Симплектическая группа

Для конечных групп со всеми характеристическими абелевыми подгруппами циклическими см. Группу симплектического типа.

Группы Ли
Классические группы
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли
Полупростая алгебра Ли
Теория представлений
Группы Ли в физике
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Кляйн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ()${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,)${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2,)${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n) Специальная линейная SL ( n) Ортогональный O ( n) Евклидова E ( n) Специальный ортогональный SO ( n) Унитарный U ( n) Специальная унитарная СУ ( п) Симплектический Sp ( n) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике название симплектическая группа может относиться к двум различным, но тесно связанным, совокупностям математических групп, обозначенных Sp (2 n, F) и Sp ( n) для положительного целого числа n и поля F (обычно C или R). Последняя называется компактной симплектической группой и обозначается также через. Многие авторы предпочитают немного разные обозначения, обычно различающиеся в два раза. Используемые здесь обозначения соответствуют размеру наиболее распространенных матриц, представляющих группы. В Картана классификации «s из простых алгебр Ли, алгебра Ли комплексной группы Sp (2 п, С) обозначается С п и Sp ( п) является компактной вещественной формой в Sp (2 п, С). Заметим, что когда мы говорим о (компактной) симплектической группе, подразумевается, что мы говорим о наборе (компактных) симплектических групп, индексированных их размерностью n. ${\ Displaystyle \ mathrm {USp} (п)}$

Название «симплектическая группа» принадлежит Герману Вейлю в качестве замены предыдущих запутанных названий ( прямая) комплексная группа и абелева линейная группа и является греческим аналогом слова «комплекс».

Метаплектическая группа представляет собой двойную крышку симплектической группы над R ; он имеет аналоги над другими локальными полями, конечными полями и кольцами аделей.

• 1 сбн (2 п, ф)
  • 1.1 Сп (2 п, Ц)
  • 1.2 Sp (2 н, R)
  • 1.3 Генераторы бесконечно малых
  • 1.4 Пример симплектических матриц
    • 1.4.1 Sp (2н, П)
  • 1.5 Связь с симплектической геометрией
• 2 Sp ( п)
  • 2.1 Важные подгруппы
• 3 Связь между симплектическими группами
• 4 Физическое значение
  • 4.1 Классическая механика
  • 4.2 Квантовая механика
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 ссылки

Симплектическая группа представляет собой классическая группа определяется как множество линейных преобразований одного 2 п - мерного векторного пространства над полем F, сохраняющими невырожденной кососимметрической билинейной формой. Такое векторное пространство называется симплектическим векторным пространством, а симплектическая группа абстрактного симплектического векторного пространства V обозначается Sp ( V). После фиксации базиса для V симплектическая группа становится группой симплектических матриц 2 n × 2 n с элементами из F при операции умножения матриц. Эта группа обозначается либо Sp (2 n, F), либо Sp ( n, F). Если билинейная форма представлена невырожденной кососимметричной матрицей Ω, то

${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (2n, F) = \ {M \ in M_ {2n \ times 2n} (F): M ^ {\ mathrm {T}} \ Omega M = \ Omega \},}$

где М ^Т является транспонированной из М. Часто Ω определяется как

${\ displaystyle \ Omega = {\ begin {pmatrix} 0 amp; I_ {n} \\ - I_ {n} amp; 0 \\\ end {pmatrix}},}$

где I n - единичная матрица. В этом случае Sp (2 n, F) можно выразить как те блочные матрицы, где, удовлетворяющие трем уравнениям: ${\ displaystyle ({\ begin {smallmatrix} Aamp;B \\ Camp;D \ end {smallmatrix}})}$${\ Displaystyle А, В, С, D \ в М_ {п \ раз п} (F)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} -C ^ {\ mathrm {T}} A + A ^ {\ mathrm {T}} C amp; = 0, \\ - C ^ {\ mathrm {T}} B + A ^ {\ mathrm {T}} D amp; = I_ {n}, \\ - D ^ {\ mathrm {T}} B + B ^ {\ mathrm {T}} D amp; = 0. \ end {align}}}$

Так как все симплектические матрицы имеют определитель 1, симплектическая группа является подгруппой из специальной линейной группы SL (2 н, Г). Когда n = 1, симплектическое условие для матрицы выполняется тогда и только тогда, когда определитель равен единице, так что Sp (2, F) = SL (2, F). Для n gt; 1 существуют дополнительные условия, т.е. Sp (2 n, F) тогда является собственной подгруппой SL (2 n, F).

Как правило, поле F является полем действительных чисел R или комплексных чисел C. В этих случаях Sp (2 n, F) является вещественной / комплексной группой Ли вещественной / комплексной размерности n (2 n + 1). Эти группы связаны, но некомпактны.

Центр из Sp (2 н, F) состоит из матриц я 2 п и - я 2 п до тех пор, как характеристика поля не 2. Поскольку центр Sp (2 n, F) дискретен, а его фактор по модулю центра является простой группой, Sp (2 n, F) считается простой группой Ли.

Вещественный ранг соответствующей алгебры Ли и, следовательно, группы Ли Sp (2 n, F) равен n.

Алгебра Ли из Sp (2 п, F) есть множество

${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} (2n, F) = \ {X \ in M_ {2n \ times 2n} (F): \ Omega X + X ^ {\ mathrm {T}} \ Omega = 0 \ },}$

снабженный коммутатором в качестве его скобки Ли. Для стандартной кососимметрической билинейной формы эта алгебра Ли представляет собой набор всех блочных матриц, удовлетворяющих условиям ${\ displaystyle \ Omega = ({\ begin {smallmatrix} 0 amp; I \\ - I amp; 0 \ end {smallmatrix}})}$${\ displaystyle ({\ begin {smallmatrix} Aamp;B \\ Camp;D \ end {smallmatrix}})}$

${\ displaystyle {\ begin {align} A amp; = - D ^ {\ mathrm {T}}, \\ B amp; = B ^ {\ mathrm {T}}, \\ C amp; = C ^ {\ mathrm {T}}. \ конец {выровнено}}}$

Сп (2 п, С)

Симплектическая группа над полем комплексных чисел является некомпактная, односвязны, простая группа Ли.

Sp (2 н, R)

Sp ( n, C) - комплексификация вещественной группы Sp (2 n, R). Sp (2 н, R) является реальным, некомпактная, подключен, простая группа Ли. У него есть фундаментальная группа, изоморфная группе целых чисел при сложении. В качестве вещественной формы в виде простой группы Ли ее алгебра Ли является Расщепляющейся алгеброй Ли.

Некоторые дополнительные свойства Sp (2 n, R):

• Экспоненциальное отображение из алгебры Ли зр (2 н, R) в группе Sp (2 н, R) не сюръективны. Однако любой элемент группы можно представить как произведение двух экспонент. Другими словами,

${\ displaystyle \ forall S \ in \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R}) \, \, \ exists X, Y \ in {\ mathfrak {sp}} (2n, \ mathbf {R}) \, \, S = e ^ {X} e ^ {Y}.}$

• Для всех S в Sp (2 n, R):

${\ displaystyle S = OZO '\ quad {\ text {такой, что}} \ quad O, O' \ in \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R}) \ cap \ operatorname {SO} (2n) \ cong U (n) \ quad {\ text {and}} \ quad Z = {\ begin {pmatrix} D amp; 0 \\ 0 amp; D ^ {- 1} \ end {pmatrix}}.}$

Матрица D является положительно определенным и диагональю. Множество таких Z s образует некомпактную подгруппу в Sp (2 n, R), тогда как U ( n) образует компактную подгруппу. Это разложение известно как разложение Эйлера или разложения Блоха – Мессии. Другие свойства симплектической матрицы можно найти на этой странице в Википедии.

• В качестве группы Ли, Sp (2 н, R) имеет структуру многообразия. Коллектор для Sp (2 н, R) является диффеоморфен к декартово произведение из унитарной группы U ( п) с векторным пространством размерности п ( п + 1).

Бесконечно малые генераторы

Члены симплектической алгебры Ли sp (2 n, F) являются гамильтоновыми матрицами.

Это матрицы, такие что${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle Q = {\ begin {pmatrix} Aamp;B \\ C amp; -A ^ {\ mathrm {T}} \ end {pmatrix}}}$

где B и C - симметричные матрицы. См. Классическую группу для вывода.

Пример симплектических матриц

Для Sp (2, R), группы матриц 2 × 2 с определителем 1, тремя симплектическими (0, 1) -матрицами являются:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 amp; 0 \\ 0 amp; 1 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 amp; 0 \\ 1 amp; 1 \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {and}} \ quad { \ begin {pmatrix} 1 amp; 1 \\ 0 amp; 1 \ end {pmatrix}}.}$

Sp (2н, П)

Оказывается, у этого может быть довольно явное описание с помощью генераторов. Если мы обозначим симметричные матрицы, то порождается где${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R})}$${\ displaystyle \ operatorname {Sym} (n)}$${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R})}$${\ Displaystyle D (п) \ чашка N (п) \ чашка \ {\ Omega \},}$

${\ displaystyle {\ begin {align} D (n) amp; = \ left \ {\ left. {\ begin {bmatrix} A amp; 0 \\ 0 amp; (A ^ {T}) ^ {- 1} \ end {bmatrix}} \, \ right | \, A \ in \ operatorname {GL} (n, \ mathbf {R}) \ right \} \\ [6pt] N (n) amp; = \ left \ {\ left. {\ begin { bmatrix} I_ {n} amp; B \\ 0 amp; I_ {n} \ end {bmatrix}} \, \ right | \, B \ in \ operatorname {Sym} (n) \ right \} \ end {выровнено}}}$

являются подгруппами ^{pg 173pg 2}. ${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R})}$

Связь с симплектической геометрией

Симплектическая геометрия - это изучение симплектических многообразий. Касательное пространство в любой точке на симплектическое многообразии является симплектическим векторным пространством. Как отмечалось ранее, сохраняющие структуру преобразования симплектического векторного пространства образуют группу, и эта группа является Sp (2 n, F), в зависимости от размерности пространства и поля, над которым она определена.

Симплектическое векторное пространство само является симплектическим многообразием. Преобразование под действием симплектической группы является, таким образом, в некотором смысле линеаризованной версией симплектоморфизма, который является более общим сохраняющим структуру преобразованием на симплектическом многообразии.

Компактная симплектическая группа Sp ( п) есть пересечение Sp (2 н, C) с унитарной группой: ${\ displaystyle 2n \ times 2n}$

${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (n): = \ operatorname {Sp} (2n; \ mathbf {C}) \ cap \ operatorname {U} (2n) = \ operatorname {Sp} (2n; \ mathbf {C }) \ cap \ operatorname {SU} (2n).}$

Иногда его записывают как USp (2 n). В качестве альтернативы Sp ( n) можно описать как подгруппу GL ( n, H) (обратимые кватернионные матрицы), которая сохраняет стандартную эрмитову форму на H ⁿ:

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ bar {x}} _ {1} y_ {1} + \ cdots + {\ bar {x}} _ {n} y_ {n}.}$

То есть, Sp ( п) является только кватернионно унитарной группой, U ( п, Н). Действительно, ее иногда называют гиперунитарной группой. Также Sp (1) является группой кватернионов нормы 1, эквивалентной SU (2) и топологически 3- сферой S ³.

Обратите внимание, что Sp ( п) является не симплектической группой в том смысле, в предыдущем раздел, она не сохраняет невырожденную кососимметрична H -bilinear формы на Н ^н: нет такой формы, за исключением нулевой формы. Скорее, он изоморфен подгруппе Sp (2 n, C), и поэтому сохраняет комплексную симплектическую форму в векторном пространстве двойной размерности. Как поясняется ниже, алгебра Ли Sp ( n) является компактной вещественной формой комплексной симплектической алгебры Ли sp (2 n, C).

Sp ( n) - действительная группа Ли с (действительной) размерностью n (2 n + 1). Он компактен и просто подключается.

Алгебра Ли Sp ( п) задаются кватернионными косоэрмитовыми матрицами, множество п матрицы с размерностью п кватернионных матриц, которые удовлетворяют условие

${\ displaystyle A + A ^ {\ dagger} = 0}$

где ^† является сопряженной транспозицией из А (здесь один берет кватернионного конъюгата). Скобка Ли задается коммутатором.

Важные подгруппы

Некоторые основные подгруппы:

${\ Displaystyle \ OperatorName {Sp} (n) \ supset \ OperatorName {Sp} (n-1)}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {Sp} (n) \ supset \ OperatorName {U} (n)}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {Sp} (2) \ supset \ OperatorName {O} (4)}$

Наоборот, это сама подгруппа некоторых других групп:

${\ Displaystyle \ OperatorName {SU} (2n) \ supset \ OperatorName {Sp} (n)}$

${\ displaystyle \ operatorname {F} _ {4} \ supset \ operatorname {Sp} (4)}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {G} _ {2} \ supset \ OperatorName {Sp} (1)}$

Есть также изоморфизм по Lie алгебры зр (2) = так (5) и зр (1) = так (3) = су (2).

Каждая комплексная полупростая алгебра Ли имеет расщепляемую вещественную форму и компактную вещественную форму ; первое называется комплексификацией двух последних.

Алгебра Ли Sp (2 н, С) является полупростой и обозначается зр (2 н, C). Его расщепленная вещественная форма - это sp (2 n, R), а его компактная вещественная форма - sp ( n). Они соответствуют группам Ли Sp (2 n, R) и Sp ( n) соответственно.

Алгебры sp ( p, n - p), которые являются алгебрами Ли Sp ( p, n - p), являются неопределенной сигнатурой, эквивалентной компактной форме.

Классическая механика

Компактная симплектическая группа Sp ( n) возникает в классической физике как симметрии канонических координат, сохраняющих скобку Пуассона.

Рассмотрим систему из n частиц, эволюционирующую по уравнениям Гамильтона, положение которых в фазовом пространстве в данный момент времени обозначается вектором канонических координат,

${\ displaystyle \ mathbf {z} = (q ^ {1}, \ ldots, q ^ {n}, p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) ^ {\ mathrm {T}}.}$

Элементы группы Sp (2 n, R) являются в определенном смысле каноническими преобразованиями на этом векторе, т. Е. Сохраняют форму уравнений Гамильтона. Если

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} = \ mathbf {Z} (\ mathbf {z}, t) = (Q ^ {1}, \ ldots, Q ^ {n}, P_ {1}, \ ldots, P_ { п}) ^ {\ mathrm {T}}}$

- новые канонические координаты, то точка, обозначающая производную по времени,

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {Z}}} = M ({\ mathbf {z}}, t) {\ dot {\ mathbf {z}}},}$

куда

${\ Displaystyle М (\ mathbf {z}, t) \ in \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R})}$

для всех t и всех z в фазовом пространстве.

В частном случае риманова многообразия уравнения Гамильтона описывают геодезические на этом многообразии. Координаты находятся в касательном расслоении к многообразию, а импульсы - в кокасательном расслоении. По этой причине они обычно записываются с верхним и нижним индексами; это различать их местонахождение. Соответствующий гамильтониан состоит исключительно из кинетической энергии: это где - величина, обратная метрическому тензору на римановом многообразии. На самом деле, кокасательное расслоение любого гладкого многообразия может быть дано (нетривиальная) симплектическая структура в каноническом образе, с симплектической формой, определенной в качестве внешней производной от тавтологической одной формы. ${\ Displaystyle д ^ {я}}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ ${\ displaystyle H = {\ tfrac {1} {2}} g ^ {ij} (q) p_ {i} p_ {j}}$${\ displaystyle g ^ {ij}}$ ${\ displaystyle g_ {ij}}$

Квантовая механика

Рассмотрим систему из n частиц, квантовое состояние которой кодирует ее положение и импульс. Эти координаты являются непрерывными переменными, и, следовательно, гильбертово пространство, в котором живет государство, бесконечномерно. Это часто затрудняет анализ данной ситуации. Альтернативный подход состоит в рассмотрении эволюции операторов положения и импульса в соответствии с уравнением Гейзенберга в фазовом пространстве.

Построить вектор канонических координат,

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {z}} = ({\ hat {q}} ^ {1}, \ ldots, {\ hat {q}} ^ {n}, {\ hat {p}} _ { 1}, \ ldots, {\ hat {p}} _ {n}) ^ {\ mathrm {T}}.}$

Каноническое коммутационное соотношение может быть выражено просто как

${\ Displaystyle [\ mathbf {\ шляпа {z}}, \ mathbf {\ шляпа {z}} ^ {\ mathrm {T}}] = я \ hbar \ Omega}$

куда

${\ displaystyle \ Omega = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} amp; I_ {n} \\ - I_ {n} amp; \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}$

а I n - единичная матрица размера n × n.

Во многих физических ситуациях требуются только квадратичные гамильтонианы, т. Е. Гамильтонианы вида

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {\ hat {z}} ^ {\ mathrm {T}} K \ mathbf {\ hat {z}}}$

где K - вещественная симметричная матрица размером 2 n × 2 n. Это оказывается полезным ограничением и позволяет переписать уравнение Гейзенберга в виде

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {\ hat {z}}} {dt}} = \ Omega K \ mathbf {\ hat {z}}}$

Решение этого уравнения должно сохранять каноническое коммутационное соотношение. Можно показать, что временная эволюция этой системы эквивалентно действию на вещественной симплектической группы, Sp (2 н, R), на фазовом пространстве.

• Ортогональная группа
• Унитарная группа
• Проективная унитарная группа
• Симплектическое многообразие, Симплектическая матрица, Симплектическое векторное пространство, Симплектическое представление
• Представления классических групп Ли
• Гамильтонова механика
• Метаплектическая группа
• Θ10

• Арнольд В.И. (1989), Математические методы классической механики, Тексты для выпускников по математике, 60 (второе изд.), Springer-Verlag, ISBN   0-387-96890-3
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN   978-3319134666
• Фултон, В. ; Харрис, Дж. (1991), Теория представлений, Первый курс, Тексты для выпускников по математике, 129, Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-97495-8.
• Гольдштейн, Х. (1980) [1950]. «Глава 7». Классическая механика (2-е изд.). Читающий Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN   0-201-02918-9.
• Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия, Тексты для выпускников по математике, 218, Springer-Verlag, ISBN   0-387-95448-1
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - Введение в линейные группы, Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford Science Publications, ISBN   0-19-859683-9
• Ферраро, Алессандро; Оливарес, Стефано; Париж, Маттео Г.А. (март 2005 г.), «Гауссовские состояния в непрерывной переменной квантовой информации», arXiv : Quant-ph / 0503237.