операция, измеряющая невозможность коммутации двух объектов
В математике коммутатор указывает степень, в которой некоторая двоичная операция не может быть коммутативной. Существуют разные определения, используемые в теории групп и теории колец.
Содержание
- 1 Теория групп
- 1.1 Тождества (теория групп)
- 2 Теория колец
- 2.1 Тождества (теория колец)
- 2.1.1 Тождества алгебры Ли
- 2.1.2 Дополнительные тождества
- 2.1.3 Экспоненциальные тождества
- 3 Градуированные кольца и алгебры
- 4 Присоединенный вывод
- 4.1 Общие положения Лейбница правило
- 5 См. также
- 6 Примечания
- 7 Ссылки
- 8 Дополнительная литература
- 9 Внешние ссылки
Теория групп
Коммутатор двух элементы, g и h, группы G, являются элементом
- [g, h] = ghgh
и равны идентичности группы тогда и только тогда, когда g и h коммутируют (что есть, если и только если gh = hg). Множество всех коммутаторов группы, как правило, не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа группы G , порожденная всеми коммутаторами, замкнута и называется производной группой или коммутаторная подгруппа группы G. Коммутаторы используются для определения нильпотентных и разрешимых групп и наибольшей абелевой факторгруппы.
Определение коммутатора, приведенное выше, используется в этой статье, но многие другие теоретики групп определяют коммутатор как
- [g, h] = ghgh.
Тождества (теория групп)
Тождества коммутаторов являются важными инструмент в теории групп. Выражение a обозначает , сопряженное с a с x, определенным как xax.
- и
- и
- и
Тождество (5) также известно как тождество Холла – Витта после Филиппа Холла и Эрнст Витт. Это теоретико-групповой аналог тождества Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. Следующий раздел).
N.B., приведенное выше определение конъюгата a на x используется некоторыми теоретиками групп. Многие другие теоретики групп определяют сопряжение a с помощью x как xax. Часто это пишется . Подобные тождества имеют место и для этих соглашений.
Используются многие идентичности, истинные по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимых групп и нильпотентных групп. Например, в любой группе вторые степени ведут себя хорошо:
Если производная подгруппа является центральным, то
Теория колец
Коммутатор двух элементов a и b кольца (включая любую ассоциативную алгебру ) определяется как
Он равен нулю тогда и только тогда, когда a и b коммутируют. В линейной алгебре, если два эндоморфизма пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они так представлены в терминах каждого базиса. Используя коммутатор в качестве скобки Ли, любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли.
антикоммутатор двух элементов a и b кольца или ассоциативная алгебра определяется как
Иногда используется для обозначения антикоммутатора, а затем используется для коммутатора. Антикоммутатор используется реже, но может использоваться для определения алгебр Клиффорда и йордановых алгебр, а также при выводе уравнения Дирака в физике элементарных частиц.
Коммутатор двух операторов, действующих в гильбертовом пространстве, является центральным понятием в квантовой механике, поскольку он количественно определяет, насколько хорошо две наблюдаемые описываемые этими операторами могут быть измерены одновременно. Принцип неопределенности в конечном итоге является теоремой о таких коммутаторах в силу соотношения Робертсона – Шредингера. В фазовом пространстве эквивалентные коммутаторы функции звёздное произведение называются скобками Мойала и полностью изоморфны упомянутым коммутаторным структурам гильбертова пространства.
Тождества (теория колец)
Коммутатор обладает следующими свойствами:
Тождества алгебры Ли
Соотношение (3) называется антикоммутативностью, а (4) - тождеством Якоби.
Дополнительные тождества
Если A является фиксированным элементом кольца R, тождество (1) может интерпретироваться как правило Лейбница для карты задается как . Другими словами, карта ad A определяет производную на кольце R. Тождества (2), (3) представляют правила Лейбница для более чем двух факторов и действительны для любых вывод. Тождества (4) - (6) также можно интерпретировать как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выражают Z-билинейность.
Некоторые из приведенных выше тождеств могут быть расширены до антикоммутатора, используя указанную выше нотацию нижнего индекса ±. Например:
Экспоненциальные тождества
Рассмотрим кольцо или алгебру, в которых экспонента может быть осмысленно определенные, такие как банахова алгебра, кольцо формальных степенных рядов или универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли.
в такое кольцо лемма Адамара, примененная к вложенным коммутаторам, дает: ( Последнее выражение см. В разделе «Присоединенный вывод» ниже.) Эта формула лежит в основе разложения Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа логарифма (exp (A) exp (B)).
Подобное разложение выражает групповой коммутатор выражений (аналогично элементам группы Ли) в терминах ряда вложенные коммутаторы (скобки Ли),
Градуированные кольца и алгебры
При работе с градуированными алгебрами коммутатор обычно заменяется на градуированный коммутатор, определенный в однородных компонентах как
Сопряженное производное
Другое обозначение оказывается полезным, особенно если имеет дело с несколькими коммутаторами в кольце R. Для элемента мы определяем сопряженное отображение по:
Это отображение является производным на кольце R:
- .
Согласно тождеству Якоби, это также вывод операции коммутации:
- .
Составив такие отображения, мы получаем, например, и
Мы можем рассматривать как отображение, , где - это кольцо отображений из R в себя с композицией в качестве операции умножения. Тогда является гомоморфизмом алгебры Ли, сохраняющим коммутатор:
Напротив, это не всегда кольцевой гомоморфизм: обычно .
Общее правило Лейбница
Общее правило Лейбница, расширяющее повторяющиеся производные продукта, может быть записано абстрактно с использованием присоединенного представления:
Замена x на оператор дифференцирования и y на оператор умножения , получаем , и применяя обе части к функции g, тождество становится обычным правилом Лейбница для производной n .
См. также
Примечания
Ссылки
- Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-01984-1
- Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 0-13-805326-X
- Herstein, IN (1975), Topics In Algebra (2-е изд.), John Wiley Sons
- Liboff, Richard Л. (2003), Введение в квантовую механику (4-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 0-8053-8714-5
- Маккей, Susan (2000), Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes, 18, Лондонский университет, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994
- McMahon, D. (2008), Quantum Field Theory, США: McGraw Hill, ISBN 978-0-07-154382-8
Дополнительная литература
- Маккенз т.е. R. ; Сноу, Дж. (2005), "Конгруэнтные модулярные многообразия: теория коммутаторов", Кудрявцев В.Б.; Розенберг, И.Г. (ред.), Структурная теория автоматов, полугрупп и универсальная алгебра, Springer, стр. 273–329
Внешние ссылки