Коммутатор

редактировать
операция, измеряющая невозможность коммутации двух объектов

В математике коммутатор указывает степень, в которой некоторая двоичная операция не может быть коммутативной. Существуют разные определения, используемые в теории групп и теории колец.

Содержание

  • 1 Теория групп
    • 1.1 Тождества (теория групп)
  • 2 Теория колец
    • 2.1 Тождества (теория колец)
      • 2.1.1 Тождества алгебры Ли
      • 2.1.2 Дополнительные тождества
      • 2.1.3 Экспоненциальные тождества
  • 3 Градуированные кольца и алгебры
  • 4 Присоединенный вывод
    • 4.1 Общие положения Лейбница правило
  • 5 См. также
  • 6 Примечания
  • 7 Ссылки
  • 8 Дополнительная литература
  • 9 Внешние ссылки

Теория групп

Коммутатор двух элементы, g и h, группы G, являются элементом

[g, h] = ghgh

и равны идентичности группы тогда и только тогда, когда g и h коммутируют (что есть, если и только если gh = hg). Множество всех коммутаторов группы, как правило, не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа группы G , порожденная всеми коммутаторами, замкнута и называется производной группой или коммутаторная подгруппа группы G. Коммутаторы используются для определения нильпотентных и разрешимых групп и наибольшей абелевой факторгруппы.

Определение коммутатора, приведенное выше, используется в этой статье, но многие другие теоретики групп определяют коммутатор как

[g, h] = ghgh.

Тождества (теория групп)

Тождества коммутаторов являются важными инструмент в теории групп. Выражение a обозначает , сопряженное с a с x, определенным как xax.

  1. x y = x [x, y]. {\ displaystyle x ^ {y} = x [x, y].}{\ displaystyle x ^ {y} = x [x, y].}
  2. [y, x] = [x, y] - 1. {\ displaystyle [y, x] = [x, y] ^ {- 1}.}{\ displaystyle [y, x] = [x, y] ^ {- 1}.}
  3. [x, zy] = [x, y] ⋅ [x, z] y {\ displaystyle [x, zy] = [x, y] \ cdot [x, z] ^ {y}}{\ displaystyle [x, zy] = [x, y] \ cdot [x, z] ^ {y}} и [xz, y] = [x, y] z ⋅ [z, y]. {\ displaystyle [xz, y] = [x, y] ^ {z} \ cdot [z, y].}{\ displaystyle [xz, y] = [x, y] ^ {z} \ cdot [z, y].}
  4. [x, y - 1] = [y, x] y - 1 {\ displaystyle \ left [x, y ^ {- 1} \ right] = [y, x] ^ {y ^ {- 1}}}{\ displaystyle \ left [x, y ^ {- 1} \ right] = [ y, x] ^ {y ^ {- 1}}} и [x - 1, y] = [y, х] х - 1. {\ displaystyle \ left [x ^ {- 1}, y \ right] = [y, x] ^ {x ^ {- 1}}.}{\ displaystyle \ left [x ^ {- 1}, y \ right] = [y, x] ^ {x ^ {- 1}}.}
  5. [[x, y - 1], z] y ⋅ [[y, z - 1], x] z ⋅ [[z, x - 1], y] x = 1 {\ displaystyle \ left [\ left [x, y ^ {- 1} \ right], z \ right] ^ {y} \ cdot \ left [\ left [y, z ^ {- 1} \ right], x \ right] ^ {z} \ cdot \ left [\ left [z, x ^ {- 1} \ right], y \ right] ^ {x} = 1}{\ displaystyle \ left [\ left [х, y ^ {- 1} \ right], z \ right] ^ {y} \ cdot \ left [\ left [y, z ^ {- 1} \ right], x \ right] ^ {z} \ cdot \ left [\ left [z, x ^ {- 1} \ right], y \ right] ^ {x} = 1} и [[x, y], zx] ⋅ [[z, x], yz] ⋅ [[y, z ], xy] = 1. {\ displaystyle \ left [\ left [x, y \ right], z ^ {x} \ right] \ cdot \ left [[z, x], y ^ {z} \ right] \ cdot \ left [[y, z], x ^ {y} \ right] = 1.}{\ displaystyle \ left [\ left [x, y \ right], z ^ {x} \ right] \ cdot \ left [[z, x], y ^ {z} \ right] \ cdot \ left [[y, z], x ^ {y} \ right] = 1.}

Тождество (5) также известно как тождество Холла – Витта после Филиппа Холла и Эрнст Витт. Это теоретико-групповой аналог тождества Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. Следующий раздел).

N.B., приведенное выше определение конъюгата a на x используется некоторыми теоретиками групп. Многие другие теоретики групп определяют сопряжение a с помощью x как xax. Часто это пишется x a {\ displaystyle {} ^ {x} a}{} ^ {x} a . Подобные тождества имеют место и для этих соглашений.

Используются многие идентичности, истинные по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимых групп и нильпотентных групп. Например, в любой группе вторые степени ведут себя хорошо:

(x y) 2 = x 2 y 2 [y, x] [[y, x], y]. {\ displaystyle (xy) ^ {2} = x ^ {2} y ^ {2} [y, x] [[y, x], y].}{\ displaystyle (xy) ^ {2} = х ^ {2} y ^ {2} [y, x] [[y, x], y].}

Если производная подгруппа является центральным, то

(xy) n = xnyn [y, x] (n 2). {\ displaystyle (xy) ^ {n} = x ^ {n} y ^ {n} [y, x] ^ {\ binom {n} {2}}.}{\ displaystyle (xy) ^ {n} = x ^ {n} y ^ {n} [y, x] ^ {\ binom {n} {2}}.}

Теория колец

Коммутатор двух элементов a и b кольца (включая любую ассоциативную алгебру ) определяется как

[a, b] = ab - ba. {\ displaystyle [a, b] = ab-ba.}{\ displaystyle [a, b] = ab-ba.}

Он равен нулю тогда и только тогда, когда a и b коммутируют. В линейной алгебре, если два эндоморфизма пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они так представлены в терминах каждого базиса. Используя коммутатор в качестве скобки Ли, любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли.

антикоммутатор двух элементов a и b кольца или ассоциативная алгебра определяется как

{a, b} = ab + ba. {\ displaystyle \ {a, b \} = ab + ba.}{\ displaystyle \ {a, b \} = ab + ba.}

Иногда используется [a, b] + {\ displaystyle [a, b] _ {+}}{\ displaystyle [a, b] _ {+}} для обозначения антикоммутатора, а [a, b] - {\ displaystyle [a, b] _ {-}}{\ displaystyle [a, b] _ {-}} затем используется для коммутатора. Антикоммутатор используется реже, но может использоваться для определения алгебр Клиффорда и йордановых алгебр, а также при выводе уравнения Дирака в физике элементарных частиц.

Коммутатор двух операторов, действующих в гильбертовом пространстве, является центральным понятием в квантовой механике, поскольку он количественно определяет, насколько хорошо две наблюдаемые описываемые этими операторами могут быть измерены одновременно. Принцип неопределенности в конечном итоге является теоремой о таких коммутаторах в силу соотношения Робертсона – Шредингера. В фазовом пространстве эквивалентные коммутаторы функции звёздное произведение называются скобками Мойала и полностью изоморфны упомянутым коммутаторным структурам гильбертова пространства.

Тождества (теория колец)

Коммутатор обладает следующими свойствами:

Тождества алгебры Ли

  1. [A + B, C] = [A, C] + [B, C] {\ displaystyle [A + B, C] = [A, C] + [B, C]}{\ displaystyle [A + B, C] = [A, C] + [B, C]}
  2. [A, A] = 0 {\ displaystyle [A, A] = 0}{ \ displaystyle [A, A] = 0}
  3. [A, B] = - [B, A] {\ displaystyle [A, B] = - [B, A]}{\ displaystyle [A, B] = - [B, A]}
  4. [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 {\ displaystyle [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0}{\ displaystyle [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0}

Соотношение (3) называется антикоммутативностью, а (4) - тождеством Якоби.

Дополнительные тождества

  1. [A, BC] = [A, B] C + B [A, C] {\ displaystyle [A, BC] = [A, B] C + B [A, C]}{\ displaystyle [A, BC] = [A, B] C + B [A, C]}
  2. [A, BCD] = [A, B] CD + B [A, C] D + BC [A, D] {\ displaystyle [A, BCD] = [A, B] CD + B [A, C] D + BC [A, D]}{\ displaystyle [A, BCD] = [ A, B] CD + B [A, C] D + BC [A, D]}
  3. [A, BCDE] = [A, B] CDE + B [A, C] DE + BC [A, D] E + BCD [A, E] {\ displaystyle [A, BCDE] = [A, B] CDE + B [A, C] DE + BC [A, D] E + BCD [A, E]}{\ displaystyle [A, BCDE] = [A, B] CDE + B [A, C] DE + BC [A, D] E + BCD [A, E]}
  4. [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B {\ displaystyle [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B}{\ displaystyle [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B}
  5. [ABC, D] = AB [C, D] + A [B, D] C + [A, D] BC {\ displaystyle [ABC, D] = AB [C, D] + A [B, D] C + [A, D] BC}{\ displaystyle [ABC, D] = AB [C, D] + A [B, D] C + [A, D] BC}
  6. [ABCD, E] = ABC [D, E] + AB [C, E] D + A [B, E] CD + [A, E] BCD {\ displaystyle [ABCD, E] = ABC [D, E ] + AB [C, E] D + A [B, E] CD + [A, E] BCD}{\ displaystyle [ABCD, E] Знак равно ABC [D, E] + AB [C, E] D + A [B, E] CD + [A, E] BCD}
  7. [A, B + C] = [A, B] + [A, C] {\ displaystyle [ A, B + C] = [A, B] + [A, C]}{\ displaystyle [A, B + C] = [A, B] + [A, C]}
  8. [A + B, C + D] = [A, C] + [A, D] + [B, C] + [B, D] {\ displaystyle [A + B, C + D] = [A, C] + [A, D] + [B, C] + [B, D]}{\ displaystyle [A + B, C + D] = [A, C] + [A, D] + [B, C] + [B, D]}
  9. [AB, CD] Знак равно A [B, C] D + [A, C] BD + CA [B, D] + C [A, D] B {\ displaystyle [AB, CD] = A [B, C] D + [A, C ] BD + CA [B, D] + C [A, D] B}{\ displaystyle [AB, CD] = A [B, C] D + [ A, C] BD + CA [B, D] + C [A, D] B}
  10. [[A, C], [B, D]] = [[[A, B], C], D] + [ [[B, C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] {\ displaystyle [[A, C], [B, D]] = [[[A, B], C], D] + [[[B, C], D], A] + [[[C, D], A] », B] + [ [[D, A], B], C]}{\ displaystyle [[A, C], [B, D]] = [[[A, B], C], D ] + [[[B, C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C]} »

Если A является фиксированным элементом кольца R, тождество (1) может интерпретироваться как правило Лейбница для карты объявление A: R → R {\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {A}: R \ rightarrow R}{\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {A}: R \ rightarrow R} задается как ad A ⁡ (B) = [A, B] {\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {A} (B) = [A, B]}{\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {A} (B) = [A, B]} . Другими словами, карта ad A определяет производную на кольце R. Тождества (2), (3) представляют правила Лейбница для более чем двух факторов и действительны для любых вывод. Тождества (4) - (6) также можно интерпретировать как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выражают Z-билинейность.

Некоторые из приведенных выше тождеств могут быть расширены до антикоммутатора, используя указанную выше нотацию нижнего индекса ±. Например:

  1. [AB, C] ± = A [B, C] - + [A, C] ± B {\ displaystyle [AB, C] _ {\ pm} = A [B, C] _ { -} + [A, C] _ {\ pm} B}{\ displaystyle [AB, C] _ {\ pm} = A [B, C] _ {-} + [A, C] _ {\ pm} B}
  2. [AB, CD] ± = A [B, C] - D + AC [B, D] - + [A, C] - DB + С [A, D] ± B {\ displaystyle [AB, CD] _ {\ pm} = A [B, C] _ {-} D + AC [B, D] _ {-} + [A, C] _ {-} DB + C [A, D] _ {\ pm} B}{\ displaystyle [AB, CD] _ {\ pm} = A [B, C] _ {-} D + AC [B, D] _ {-} + [A, C] _ {-} DB + C [A, D] _ {\ pm} B}
  3. [A, [B, C] ±] + [B, [C, A] ±] + [C, [A, B] ±] знак равно 0 {\ displaystyle \ left [A, [B, C] _ {\ pm} \ right] + \ left [B, [C, A] _ {\ pm} \ right] + \ left [ C, [A, B] _ {\ pm} \ right] = 0}{\ displaystyle \ left [A, [B, C] _ {\ pm} \ right] + \ left [B, [C, A] _ {\ pm} \ right] + \ left [C, [A, B] _ {\ pm} \ right] = 0}
  4. [A, BC] ± = [A, B] - C + B [A, C] ± {\ displaystyle [A, BC ] _ {\ pm} = [A, B] _ {-} C + B [A, C] _ {\ pm}}{ \ Displaystyle [A, BC] _ {\ pm} = [A, B] _ {-} C + B [A, C] _ {\ pm}}

Экспоненциальные тождества

Рассмотрим кольцо или алгебру, в которых экспонента e A = exp ⁡ (A) = 1 + A + 1 2! A 2 + ⋯ {\ displaystyle e ^ {A} = \ exp (A) = 1 + A + {\ tfrac {1} {2!}} A ^ {2} + \ cdots}{\ displaystyle e ^ {A} = \ exp (A) = 1 + A + {\ tfrac {1} {2!}} A ^ {2} + \ cdots} может быть осмысленно определенные, такие как банахова алгебра, кольцо формальных степенных рядов или универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли.

в такое кольцо лемма Адамара, примененная к вложенным коммутаторам, дает: e AB e - A = B + [A, B] + 1 2! [A, [A, B]] +1 3! [A, [A, [A, B]]] + ⋯ = e ad A (B). {\ displaystyle e ^ {A} Be ^ {- A} \ = \ B + [A, B] + {\ frac {1} {2!}} [A, [A, B]] + {\ frac {1 } {3!}} [A, [A, [A, B]]] + \ cdots \ = \ e ^ {\ operatorname {ad} _ {A}} (B).}{\ displaystyle e ^ {A} Be ^ {- A} \ = \ B + [A, B] + {\ frac { 1} {2!}} [A, [A, B]] + {\ frac {1} {3!}} [A, [A, [A, B]]] + \ cdots \ = \ e ^ { \ operatorname {ad} _ {A}} (B).} ( Последнее выражение см. В разделе «Присоединенный вывод» ниже.) Эта формула лежит в основе разложения Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа логарифма (exp (A) exp (B)).

Подобное разложение выражает групповой коммутатор выражений e A {\ displaystyle e ^ {A}}e ^ {A} (аналогично элементам группы Ли) в терминах ряда вложенные коммутаторы (скобки Ли),

e A e B e - A e - B {\ displaystyle e ^ {A} e ^ {B} e ^ {- A} e ^ {- B}}{\ displaystyle e ^ {A} e ^ {B} e ^ {- A} e ^ {- B}}

= exp ([A, B] + 1 2! [A + B, [A, B]] + 1 3! (1 2 [A, [B, [B, A]]]] + [A + B, [A + B, [A, B]]]) + ⋯). {\ displaystyle = \ exp \! \ left ([A, B] + {\ frac {1} {2!}} [A {+} B, [A, B]] + {\ frac {1} {3 !}} \ left ({\ frac {1} {2}} [A, [B, [B, A]]] + [A {+} B, [A {+} B, [A, B]] ] \ right) + \ cdots \ right).}{\ displaystyle = \ exp \! \ left ([A, B] + {\ frac {1} {2!}} [A {+} B, [A, B]] + {\ frac {1} {3 !}} \ left ({\ frac {1} {2}} [A, [B, [B, A]]] + [A {+} B, [A {+} B, [A, B]] ] \ right) + \ cdots \ right).}

Градуированные кольца и алгебры

При работе с градуированными алгебрами коммутатор обычно заменяется на градуированный коммутатор, определенный в однородных компонентах как

[ω, η] gr: = ω η - (- 1) deg ⁡ ω deg ⁡ η η ω. {\ displaystyle [\ omega, \ eta] _ {gr}: = \ omega \ eta - (- 1) ^ {\ deg \ omega \ deg \ eta} \ eta \ omega.}{\ displaystyle [\ omega, \ eta] _ {gr}: = \ omega \ eta - (- 1) ^ {\ deg \ omega \ deg \ eta} \ eta \ omega.}

Сопряженное производное

Другое обозначение оказывается полезным, особенно если имеет дело с несколькими коммутаторами в кольце R. Для элемента x ∈ R {\ displaystyle x \ in R}x \ in R мы определяем сопряженное отображение adx: R → R {\ displaystyle \ mathrm {ad } _ {x}: R \ to R}{\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x}: R \ to R} по:

ad x ⁡ (y) = [x, y] = xy - yx. {\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x} (y) = [x, y] = xy-yx.}{\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x} (y) = [x, y] = xy-yx.}

Это отображение является производным на кольце R:

adx (yz) знак равно adx (y) z + yadx (z) {\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x} \! (yz) \ = \ \ mathrm {ad} _ {x} \! (y) \, z \, + \, y \, \ mathrm {ad} _ {x} \! (z)}{\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x} \! (Yz) \ = \ \ mathrm {ad} _ { х} \! (y) \, z \, + \, y \, \ mathrm {ad} _ {x} \! (z)} .

Согласно тождеству Якоби, это также вывод операции коммутации:

adx [y, z] = [adx (y), z] + [y, adx (z)] {\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x} [y, z] \ = \ [\ mathrm {ad } _ {x} \! (y), z] \, + \, [y, \ mathrm {ad} _ {x} \! (z)]}{\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x} [y, z] \ = \ [\ mathrm {ad} _ {x} \! (y), z] \, + \, [y, \ mathrm {ad} _ {x} \! (z)]} .

Составив такие отображения, мы получаем, например, объявление x ⁡ ad y ⁡ (z) = [x, [y, z]] {\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x} \ operatorname {ad} _ {y} (z) = [x, [y, z] \,]}{\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x} \ operatorname {ad} _ {y} (z) = [x, [y, z] \,]} и

ad x 2 (z) = ad x (ad x (z)) = [x, [x, z]]. {\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x} ^ {2} \! (z) \ = \ \ operatorname {ad} _ {x} \! (\ operatorname {ad} _ {x} \! (z)) \ = \ [x, [x, z] \,].}{\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x} ^ {2} \! (z) \ = \ \ operatorname {ad} _ {x} \! (\ operatorname {ad} _ {x} \! (z)) \ = \ [x, [x, z] \,].}

Мы можем рассматривать ad {\ displaystyle \ mathrm {ad}}\ mathrm {ad} как отображение, ad: R → E nd (R) {\ displaystyle \ mathrm {ad}: R \ to \ mathrm {End} (R)}{\ displaystyle \ mathrm {ad}: R \ to \ mathrm {End} (R)} , где E nd (R) {\ displaystyle \ mathrm {End} (R)}{\ displaystyle \ mathrm {End} (R)} - это кольцо отображений из R в себя с композицией в качестве операции умножения. Тогда ad {\ displaystyle \ mathrm {ad}}\ mathrm {ad} является гомоморфизмом алгебры Ли, сохраняющим коммутатор:

ad [x, y] = [ad x, ad y]. {\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {[x, y]} = [\ operatorname {ad} _ {x}, \ operatorname {ad} _ {y}] ~.}{\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {[x, y]} = [\ operatorname {ad} _ {x}, \ operatorname {ad } _ {y}] ~.}

Напротив, это не всегда кольцевой гомоморфизм: обычно ad xy ≠ ad x ⁡ ad y {\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {xy} \, \ neq \, \ operatorname {ad} _ {x} \ operatorname {ad} _ {y}}{\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {xy} \, \ neq \, \ operatorname {ad} _ {x} \ operatorname {ad} _ {y}} .

Общее правило Лейбница

Общее правило Лейбница, расширяющее повторяющиеся производные продукта, может быть записано абстрактно с использованием присоединенного представления:

xny = ∑ k = 0 n (nk) ad xk (y) xn - k. {\ displaystyle x ^ {n} y = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} \ operatorname {ad} _ {x} ^ {k} \! (y) \, x ^ {nk}.}{ \ displaystyle x ^ {n} y = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} \ operatorname {ad} _ {x} ^ {k} \! (y) \, x ^ {nk}.}

Замена x на оператор дифференцирования ∂ {\ displaystyle \ partial}\ partial и y на оператор умножения mf: g ↦ fg { \ displaystyle m_ {f}: g \ mapsto fg}{\ displaystyle m_ {f}: g \ mapsto fg} , получаем ad ⁡ (∂) (mf) = m ∂ (f) {\ displaystyle \ operatorname {ad} (\ partial) (m_ {f}) = m _ {\ partial (f)}}{\ displaystyle \ operatorname {ad} (\ partial) (m_ {f}) = m _ {\ partial (f)}} , и применяя обе части к функции g, тождество становится обычным правилом Лейбница для производной n ∂ n (fg) {\ displaystyle \ partial ^ {n} \! (fg)}{\ displaystyle \ partial ^ {n} \! (fg)} .

См. также

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-15 07:47:37
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте