Каноническое коммутационное отношение

Отношение, которому удовлетворяют сопряженные переменные в квантовой механике

В квантовой механике, каноническое коммутационное отношение является фундаментальным соотношением между каноническими сопряженными величинами (количествами, которые связаны по определению так, что одно является преобразованием Фурье другого). Например,

$[x\; ^,\; p\; ^\; x]\; =\; i\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{x\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; \_\; \{x\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\}$

между оператор положения x и оператор импульса p x в направлении x точечной частицы в одном измерении, где [x, p x ] = xp x - p x x - коммутатор x и p x, i - мнимая единица, а ℏ - приведенная Постоянная Планка h / 2π. В общем, положение и импульс являются векторами операторов, и их коммутационная связь между различными компонентами положения и импульса может быть выражена как

$[r\; ^\; i,\; p\; ^\; j]\; =\; i\; \hslash \; \delta \; i\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{r\}\}\; \_\; \{i\},\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; \_\; \{j\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}.\}$

где $\delta \; ij\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$- это дельта Кронекера.

Это отношение приписано Максу Борну (1925), который назвал его «квантовым условием» служащий постулатом теории; это было отмечено Э. Кеннарда (1927), чтобы подразумевать принцип неопределенности Гейзенберга . Теорема Стоуна – фон Неймана дает результат о единственности для операторов, удовлетворяющих (в экспоненциальной форме) каноническому коммутационному соотношению.

• 1 Отношение к классической механике
• 2 Соотношения Вейля
• 3 Обобщения
• 4 Калибровочная инвариантность
• 5 Отношение неопределенности и коммутаторы
• 6 Соотношение неопределенности для операторов углового момента
• 7 См. Также
• 8 Ссылки

Напротив, в классической физике все наблюдаемые коммутируются и коммутатор будет равен нулю. Однако существует аналогичное соотношение, которое получается заменой коммутатора на скобку Пуассона, умноженную на iℏ,

$\{x,\; p\}\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x,\; p\; \backslash \}\; =\; 1\; \backslash ,.\}$

Это наблюдение привело Дирака к предположению, что квантовые аналоги f̂, ĝ классических наблюдаемых f, g удовлетворяют

$[f\; ^,\; g\; ^]\; =\; i\; \hslash \; \{f,\; g\}\; ^.\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{f\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{g\}\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; widehat\; \{\backslash \; \{f,\; g\; \backslash \}\}\}\; \backslash ,.\}$

В 1946 году Хип Гроенвольд продемонстрировал, что общее систематическое соответствие между квантовыми коммутаторами и скобками Пуассона не может выполняться последовательно.

Однако он далее понимал, что такое систематическое соответствие действительно существует между квантовым коммутатором и деформация скобки Пуассона, сегодня называемая скобкой Мойала, и, в общем, квантовые операторы и классические наблюдаемые и распределения в фазовом пространстве. Таким образом, он наконец выяснил механизм согласованного соответствия, преобразование Вигнера – Вейля, которое лежит в основе альтернативного эквивалентного математического представления квантовой механики, известного как квантование деформации.

Группа $H\; 3\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{3\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$, сгенерированная возведением в степень числа 3- размерная алгебра Ли определяется соотношением коммутации $[x\; ^,\; p\; ^]\; =\; i\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{x\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\}$называется группой Гейзенберга. Эта группа может быть реализована в виде группы $3\; \times \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \backslash \; times\; 3\}$верхнетреугольных матриц с единицами по диагонали.

Согласно стандарту математическая формулировка квантовой механики, квантовые наблюдаемые, такие как $x\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\}$и $p\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{p\; \}\}\}$следует представить как самосопряженные операторы в некотором гильбертовом пространстве. Относительно легко увидеть, что два оператора, удовлетворяющие указанным выше каноническим коммутационным соотношениям, не могут оба быть ограниченными. Конечно, если $x\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\}$и $p\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\}$были класс трассировки операторов, отношение $Tr\; \; (AB)\; =\; Tr\; \; (BA)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (AB)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (BA)\}$дает ненулевое число справа и ноль слева.

В качестве альтернативы, если $x\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\}$и $p\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\}$были ограниченными операторами, обратите внимание, что $[x\; ^\; n,\; p\; ^]\; =\; i\; \hslash \; nx\; ^\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; hat\; \{p\; \}\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; n\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; ^\; \{n-1\}\}$, следовательно, нормы оператора удовлетворяют

$2\; \Vert \; p\; ^\; \Vert \; \Vert \; x\; ^\; \Vert \; n\; \ge \; n\; \hslash \; \Vert \; x\; ^\; \Vert \; N\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; ^\; \{n\}\; \backslash \; geq\; n\; \backslash \; hbar\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; ^\; \{n-1\}\}$, так что для любого n

$2\; \Vert \; p\; ^\; \Vert \; \Vert \; x\; ^\; \Vert \; \ge \; n\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \backslash \; geq\; n\; \backslash \; hbar\}$

Однако n может быть произвольно большой, поэтому по крайней мере один оператор не может быть ограничен, а размерность основного гильбертова пространства не может быть конечной. Если операторы удовлетворяют соотношениям Вейля (возведенная в степень версия канонических коммутационных соотношений, описанных ниже), то, как следствие теоремы Стоуна – фон Неймана, оба оператора должны быть неограниченными.

Тем не менее, эти канонические коммутационные отношения можно сделать несколько более «укрощенными», записав их в терминах (ограниченных) унитарных операторов $exp\; (itx\; ^)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{exp\}\; (it\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\})\}$и $exp\; (isp\; ^)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{exp\}\; (is\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\})\}$. Результирующие соотношения плетения для этих операторов представляют собой так называемые отношения Вейля

$exp\; (itx\; ^)\; exp\; (isp\; ^)\; =\; exp\; (-\; ist\; \hslash )\; exp\; (isp\; ^)\; exp\; (itx\; ^)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{exp\}\; (it\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\})\; \backslash \; mathrm\; \{exp\}\; (is\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\})\; =\; \backslash \; mathrm\; \{exp\}\; (-ist\; \backslash \; hbar)\; \backslash \; mathrm\; \{exp\}\; (is\; \{\; \backslash \; hat\; \{p\}\})\; \backslash \; mathrm\; \{exp\}\; (it\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\})\}$.

Эти отношения можно рассматривать как возведенную в степень версии канонических коммутационных соотношений; они отражают, что переводы в позиции и переводы в импульсе не переключаются. Можно легко переформулировать соотношения Вейля в терминах представлений группы Гейзенберга.

. Тогда уникальность канонических коммутационных соотношений в форме соотношений Вейля гарантируется Стоун-фон Нейман. теорема.

Важно отметить, что по техническим причинам отношения Вейля не строго эквивалентны каноническому отношению коммутации $[x\; ^,\; p\; ^]\; =\; i\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{x\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\}$. Если $x\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\}$и $p\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\}$были ограниченными операторами, тогда специальный случай формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа позволил бы «возвести в степень» канонические коммутационные соотношения и соотношения Вейля. Поскольку, как мы уже отмечали, любые операторы, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, должны быть неограниченными, формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа неприменима без дополнительных предположений об области. Действительно, существуют контрпримеры, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, но не соотношениям Вейля. (Эти же операторы дают контрпример к наивной форме принципа неопределенности.) Эти технические проблемы являются причиной того, что теорема Стоуна – фон Неймана сформулирована в терминах соотношений Вейля..

Дискретная версия отношений Вейля, в которой параметры s и t находятся в диапазоне $Z\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; n\}$, может быть реализована в конечномерном гильбертовом пространстве с помощью матриц часов и сдвига .

Простая формула

$[x,\; p]\; =\; i\; \hslash ,\; \{\backslash \; displaystyle\; [x,\; p\; ]\; =\; i\; \backslash \; hbar,\; \backslash ,\}$

, допустимое для квантования простейшей классической системы, может быть обобщено на случай произвольного лагранжиана $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$. Мы идентифицируем канонические координаты (например, x в приведенном выше примере или поле Φ (x) в случае квантовой теории поля ) и канонические импульсы πx( в приведенном выше примере это p или, в более общем смысле, некоторые функции, включающие производные канонических координат по времени):

$\pi \; i\; =\; def\; \partial \; L\; \partial \; (\partial \; xi\; /\; \partial \; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{i\}\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; (\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\; /\; \backslash \; partial\; t)\}\}.\}$

Это определение канонического импульса гарантирует, что одно из уравнений Эйлера – Лагранжа имеет вид

$\partial \; \partial \; t\; \pi \; i\; =\; \partial \; L\; \partial \; xi.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}.\}$

Тогда канонические коммутационные отношения составляют

$[xi,\; \pi \; j]\; =\; i\; \hslash \; \delta \; ij,\; \{\backslash \; displaystyle\; [x\_\; \{i\},\; \backslash \; pi\; \_\; \{j\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\},\; \backslash ,\}$

где δ ij - дельта Кронекера.

Далее, легко показать, что

$[F\; (x\; \to ),\; pi]\; =\; i\; \hslash \; \partial \; F\; (x\; \to )\; \partial \; xi;\; [x\; i,\; F\; (p\; \to )]\; =\; i\; \hslash \; \partial \; F\; (p\; \to )\; \partial \; p\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; [F\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\}),\; p\_\; \{i\}]\; =\; я\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\; (\{\backslash \; vec\; \{x\}\})\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; ;\; \backslash \; qquad\; [x\_\; \{i\},\; F\; (\{\backslash \; vec\; \{p\}\})]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\; (\{\backslash \; vec\; \{p\}\})\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{i\}\}\}.\}$

Использование $C\; n\; +\; 1\; k\; =\; C\; nk\; +\; C\; nk\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\; +\; 1\}\; ^\; \{k\}\; =\; C\_\; \{n\}\; ^\; \{k\}\; +\; C\_\; \{n\}\; ^\; \{k-1\}\}$, можно легко показать, что с помощью математической индукции

$[x\; ^\; n,\; p\; ^\; m]\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; min\; (m,\; n)\; -\; (-\; i\; \hslash )\; кн!\; м!\; к!\; (п\; -\; к)!\; (м\; -\; к)!\; Икс\; ^\; N\; -\; К\; п\; ^\; м\; -\; К\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; м\; я\; N\; (м,\; п)\; (я\; \hslash )\; К\; N!\; м!\; к!\; (п\; -\; к)!\; (м\; -\; к)!\; p\; ^\; m\; -\; kx\; ^\; n\; -\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{min\; \backslash \; left\; (m,\; n\; \backslash \; right)\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; left\; (-i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; n!\; m!\}\; \{k!\; \backslash \; left\; (nk\; \backslash \; right)!\; \backslash \; left\; (mk\; \backslash \; right)!\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; ^\; \{nk\}\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; ^\; \{mk\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{min\; \backslash \; left\; (m,\; n\; \backslash \; right)\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; n!\; m!\}\; \{k!\; \backslash \; left\; (nk\; \backslash \; right)!\; \backslash \; left\; (mk\; \backslash \; right)!\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; ^\; \{mk\}\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; ^\; \{nk\}\}\}$

Каноническое квантование применяется, по определению, к каноническим координатам. Однако в присутствии электромагнитного поля канонический импульс p не является калибровочно-инвариантом . Правильный калибровочно-инвариантный импульс (или «кинетический импульс») равен

$p\; kin\; =\; p\; -\; q\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \_\; \{\backslash \; text\; \{kin\}\}\; =\; p-qA\; \backslash ,\; \backslash !\}$(единиц СИ ) $p\; кин\; =\; p\; -\; q\; A\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \_\; \{\backslash \; text\; \{kin\}\}\; =\; p\; -\; \{\backslash \; frac\; \{qA\}\; \{c\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$(cgs единиц ),

где q - электрический заряд частицы, A - векторный потенциал, а c - скорость света. Хотя величина p kin является «физическим импульсом», в том смысле, что это величина, которую можно отождествить с импульсом в лабораторных экспериментах, она не удовлетворяет каноническим коммутационным соотношениям; только канонический импульс делает это. Это можно увидеть следующим образом.

Нерелятивистский гамильтониан для квантованной заряженной частицы массы m в классическом электромагнитном поле равен (в единицах cgs)

$H\; =\; 1\; 2\; m\; (p\; -\; q\; A\; c)\; 2\; +\; q\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; left\; (p\; -\; \{\backslash \; frac\; \{qA\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; q\; \backslash \; phi\}$

где A - трехвекторный потенциал, а φ - скалярный потенциал . Эта форма гамильтониана, а также уравнение Шредингера Hψ = iħ∂ψ / ∂t, уравнения Максвелла и закон силы Лоренца инвариантны относительно калибровочное преобразование

$A\; \to \; A\; \prime \; =\; A\; +\; \nabla \; \Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; to\; A\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; A\; +\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Lambda\}$

$\varphi \; \to \; \varphi \; \prime \; =\; \varphi \; -\; 1\; c\; \partial \; \Lambda \; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash \; to\; \backslash \; phi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; \backslash \; phi\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{c\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; Lambda\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\}$

$\psi \; \to \; \psi \; \text{'}=\; U\; \psi \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; psi\; \backslash \; к\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; U\; \backslash \; psi\}$

$H\; \to \; H\text{'}\; =\; UHU\; †,\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; UHU\; ^\; \{\; \backslash \; dagger\},\}$

где

$U\; =\; exp\; \; (iq\; \Lambda \; \hslash \; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{iq\; \backslash \; Lambda\}\; \{\backslash \; hbar\; c\}\}\; \backslash \; right)\}$

, а Λ = Λ (x, t) - калибровочная функция.

Оператор углового момента равен

$L\; =\; r\; \times \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; r\; \backslash \; times\; p\; \backslash ,\; \backslash !\}$

и подчиняется каноническим соотношениям квантования

$[L\; i,\; L\; j]\; =\; я\; \hslash \; ϵ\; ijk\; L\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; [L\_\; \{i\},\; L\_\; \{j\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; epsilon\; \_\; \{ijk\}\}\; L\_\; \{k\}\}$

определение алгебра Ли для so (3), где $ϵ\; ijk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{ijk\}\}$- Levi- Символ Чивита. При калибровочных преобразованиях угловой момент преобразуется как

$⟨\psi \; |\; L\; |\; \psi ⟩\; \to \; ⟨\psi \; \prime \; |\; L\; \prime \; |\; \psi \; \prime ⟩\; =\; ⟨\psi \; |\; L\; |\; \psi ⟩\; +\; q\; \hslash \; c\; ⟨\psi \; |\; r\; \times \; \nabla \; \Lambda \; |\; \psi ⟩.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; \backslash \; vert\; L\; \backslash \; vert\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; \backslash \; to\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; vert\; L\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; vert\; \backslash \; psi\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; \backslash \; vert\; L\; \backslash \; vert\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; +\; \{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{\backslash \; hbar\; c\}\}\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; \backslash \; vert\; r\; \backslash \; times\; \backslash \; nabla\; \backslash \; Lambda\; \backslash \; vert\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; \backslash ,.\}$

калибровочно-инвариантный угловой момент (или "кинетический угловой момент") определяется как

$K\; =\; r\; \times \; (p\; -\; q\; A\; c),\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; r\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (p\; -\; \{\backslash \; frac\; \{qA\})\; \{c\}\}\; \backslash \; right),\}$

который имеет коммутационные соотношения

$[K\; i,\; K\; j]\; =\; i\; \hslash \; ϵ\; ijk\; (K\; k\; +\; q\; \hslash \; cxk\; (x\; \cdot \; B))\; \{\backslash \; displaystyle\; [K\_\; \{i\},\; K\_\; \{j\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; epsilon\; \_\; \{ij\}\}\; ^\; \{\backslash ,\; k\}\; \backslash \; left\; (K\_\; \{k\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{q\; \backslash \; hbar\}\; \{c\}\}\; x\_\; \{k\; \}\; \backslash \; left\; (x\; \backslash \; cdot\; B\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$

где

$B\; =\; \nabla \; \times \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; times\; A\}$

- магнитное поле . Неэквивалентность этих двух формулировок проявляется в эффекте Зеемана и эффекте Ааронова – Бома.

Все такие нетривиальные коммутационные соотношения для пар операторов приводят к к соответствующим отношениям неопределенности, включающим вклады положительного полуопределенного математического ожидания их соответствующих коммутаторов и антикоммутаторов. В общем, для двух эрмитовых операторов A и B, рассмотрите значения математического ожидания в системе в состоянии ψ, при этом отклонения от соответствующих значений ожидания будут (ΔA) ≡ ⟨(A - ⟨A⟩)⟩, и т.п.

Тогда

$\Delta \; A\; \Delta \; B\; \ge \; 1\; 2\; |\; ⟨[A,\; B]⟩\; |\; 2\; +\; |\; ⟨\{A\; -\; ⟨A⟩,\; B\; -\; ⟨B⟩\}⟩\; |\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; A\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; B\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; |\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; left\; [\{A\},\; \{B\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{A-\; \backslash \; langle\; A\; \backslash \; rangle,\; B-\; \backslash \; langle\; B\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{\; 2\}\}\},\}$

где [A, B] ≡ AB - BA - коммутатор A и B, а {A, B} ≡ AB + BA - антикоммутатор.

Это следует из использования неравенства Коши – Шварца, поскольку | ⟨A⟩ | | ⟨B⟩ | ≥ | ⟨A B⟩ | и A B = ([A, B] + {A, B}) / 2; и аналогично для сдвинутых операторов A - ⟨A⟩ и B - ⟨B⟩. (См. вывод принципа неопределенности.)

Замена A и B (и тщательный анализ), как обычно, дает знакомое соотношение неопределенности Гейзенберга для x и p.

Для операторов углового момента L x = yp z - zp y, и так далее,

$[L\; x,\; L\; y]\; =\; i\; \hslash \; ϵ\; xyz\; L\; z,\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{L\_\; \{x\}\},\; \{L\_\; \{y\}\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{\; xyz\}\; \{L\_\; \{z\}\},\}$

где $ϵ\; xyz\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{xyz\}\}$- это символ Леви-Чивиты и просто переворачивает знак ответа при попарной замене индексов. Аналогичное соотношение выполняется для операторов spin.

Здесь для L x и L y в мультиплетах углового момента ψ = | ℓ, m⟩, для поперечных компонент Инвариант Казимира Lx+ L y + L z, z-симметричные отношения

⟨Lx⟩ = ⟨L y ⟩ = (ℓ (ℓ + 1) - m) ℏ / 2,

, а также ⟨L x ⟩ = ⟨L y ⟩ = 0.

Следовательно, указанное выше неравенство, примененное к этому коммутационному соотношению, определяет

$\Delta \; L\; x\; \Delta \; L\; y\; \ge \; 1\; 2\; \hslash \; 2\; |\; ⟨L\; z⟩\; |\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; L\_\; \{x\}\; \backslash \; Delta\; L\_\; \{y\}\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; |\; \backslash \; langle\; L\_\; \{z\}\; \backslash \; rangle\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; ~,\}$

следовательно

$|\; ⟨L\; x\; 2⟩\; ⟨L\; y\; 2⟩\; |\; \ge \; \hslash \; 2\; 2\; м\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; \backslash \; langle\; L\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; L\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle\; |\}\}\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{\; 2\}\}\; \{2\}\}\; m\}$

и, следовательно,

$\ell \; (\ell \; +\; 1)\; -\; m\; 2\; \ge \; m,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; (\backslash \; ell\; +1)\; -m\; ^\; \{2\}\; \backslash \; geq\; m\; ~,\}$

так что тогда он дает полезные ограничения, такие как нижняя оценка инварианта Казимира : ℓ (ℓ + 1) ≥ m (m + 1), и, следовательно, ℓ ≥ m, среди другие.

• Теорема Стоуна – фон Неймана
• Каноническое квантование
• Алгебра CCR
• Производная Ли
• Скобка Мойала

• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Springer.
• Холл, Брайан К. (2013), Группы Ли, алгебры Ли и представления, Элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer.