Симметричная матрица

редактировать

Для матриц с симметрией над комплексным числовым полем см. Эрмитова матрица.

Симметрия матрицы 5 × 5

В линейной алгебре, А симметричная матрица является квадратной матрицей, которая равна ее транспонированной. Формально,

${\ displaystyle A {\ text {симметрично}} \ тогда и только тогда, когда A = A ^ {\textf {T}}.}$ ${\ displaystyle A {\ text {симметрично}} \ тогда и только тогда, когда A = A ^ {\textf {T}}.}$

Поскольку одинаковые матрицы имеют равные размеры, симметричными могут быть только квадратные матрицы.

Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главной диагонали. Итак, если обозначает запись в -й строке и -м столбце, тогда ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $а_ {ij}$ ${\ displaystyle i}$ $я$ ${\ displaystyle j}$ $j$

${\ displaystyle A {\ text {симметричен}} \ iff {\ text {для каждого}} i, j, \ quad a_ {ji} = a_ {ij}}$ ${\ displaystyle A {\ text {симметричен}} \ iff {\ text {для каждого}} i, j, \ quad a_ {ji} = a_ {ij}}$

для всех индексов и ${\ displaystyle i}$ $я$ ${\ displaystyle j.}$ $j.$

Каждая квадратная диагональная матрица симметрична, поскольку все недиагональные элементы равны нулю. Точно так же в характеристике, отличной от 2, каждый диагональный элемент кососимметричной матрицы должен быть равен нулю, поскольку каждый является собственным отрицательным.

В линейной алгебре вещественная симметричная матрица представляет собой самосопряженный оператор над реальным внутренним пространством продукта. Соответствующий объект для комплексного внутреннего пространства продукта - это эрмитова матрица с комплексными элементами, которая равна ее сопряженному транспонированию. Поэтому в линейной алгебре комплексных чисел часто предполагается, что симметричная матрица относится к матрице, имеющей действительные значения. Симметричные матрицы естественным образом появляются во множестве приложений, и типичное программное обеспечение численной линейной алгебры делает для них специальные приспособления.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Пример
2 свойства
- 2.1 Основные свойства
- 2.2 Разложение на симметричные и кососимметричные
- 2.3 Матрица, конгруэнтная симметричной матрице
- 2.4 Симметрия подразумевает нормальность
- 2.5 Вещественные симметричные матрицы
- 2.6 Комплексные симметричные матрицы
3 Разложение
4 гессен
5 Симметризуемая матрица
6 См. Также
7 Примечания
8 ссылки
9 Внешние ссылки

Пример

Следующая матрица симметрична: ${\ displaystyle 3 \ times 3}$ $3 \ умножить на 3$

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 7 amp; 3 \\ 7 amp; 4 amp; 5 \\ 3 amp; 5 amp; 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1 amp; 7 amp; 3 \\ 7 amp; 4 amp; 5 \\ 3 amp; 5 amp; 0 \ end {bmatrix}}}

Характеристики

Основные свойства

Сумма и разность двух симметричных матриц снова симметричны.
Это не всегда верно для продукта : заданы симметричные матрицы и, то симметрично тогда и только тогда, когда и коммутируют, т. Е. Если. ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle AB = BA}$ $AB = BA$
Для целого числа, является симметричным, если симметрично. ${\ displaystyle n}$ $п$ ${\ Displaystyle А ^ {п}}$ $A ^ {n}$ ${\ displaystyle A}$ $А$
Если существует, он симметричен тогда и только тогда, когда он симметричен. ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$ $A ^ {- 1}$ ${\ displaystyle A}$ $А$

Разложение на симметричные и кососимметричные

Любую квадратную матрицу можно однозначно записать как сумму симметричной и кососимметричной матрицы. Это разложение известно как разложение Теплица. Обозначим через пространство матриц. Если обозначает пространство симметричных матриц и пространство кососимметричных матриц, то и, т. Е. ${\ displaystyle {\ t_dv {Mat}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ t_dv {Mat}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle п \ раз п}$ $п \ раз п$ ${\ displaystyle {\ t_dv {Sym}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ t_dv {Sym}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle п \ раз п}$ $п \ раз п$ ${\ displaystyle {\ t_dv {Skew}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ t_dv {Skew}} _ {n}}$ ${\ Displaystyle п \ раз п}$ $п \ раз п$ ${\ displaystyle {\ t_dv {Mat}} _ {n} = {\ t_dv {Sym}} _ {n} + {\ t_dv {Skew}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ t_dv {Mat}} _ {n} = {\ t_dv {Sym}} _ {n} + {\ t_dv {Skew}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ t_dv {Sym}} _ {n} \ cap {\ t_dv {Skew}} _ {n} = \ {0 \}}$ ${\ displaystyle {\ t_dv {Sym}} _ {n} \ cap {\ t_dv {Skew}} _ {n} = \ {0 \}}$

{\ displaystyle {\ t_dv {Mat}} _ {n} = {\ t_dv {Sym}} _ {n} \ oplus {\ t_dv {Skew}} _ {n},}

{\ displaystyle {\ t_dv {Mat}} _ {n} = {\ t_dv {Sym}} _ {n} \ oplus {\ t_dv {Skew}} _ {n},}

где обозначает прямую сумму. Пусть тогда ${\ displaystyle \ oplus}$ $\ oplus$ ${\ displaystyle X \ in {\ t_dv {Mat}} _ {n}}$ ${\ displaystyle X \ in {\ t_dv {Mat}} _ {n}}$

{\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} \ left (X + X ^ {\textf {T}} \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (XX ^ {\ текстыf {T}} \ right)}

{\ displaystyle X = {\ frac {1} {2}} \ left (X + X ^ {\textf {T}} \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (XX ^ {\ текстыf {T}} \ right)}

Обратите внимание, что и. Это верно для каждой квадратной матрицы с элементами из любого поля, характеристика которого отличается от 2. ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (X + X ^ {\textf {T}} \ right) \ in {\ t_dv {Sym}} _ {n}}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (X + X ^ {\textf {T}} \ right) \ in {\ t_dv {Sym}} _ {n}}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (XX ^ {\textf {T}} \ right) \ in \ mathrm {Skew} _ {n}}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left (XX ^ {\textf {T}} \ right) \ in \ mathrm {Skew} _ {n}}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$

Симметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов на главной диагонали или выше). Точно так же кососимметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов над главной диагональю). ${\ Displaystyle п \ раз п}$ $п \ раз п$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} п (п + 1)}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} п (п + 1)}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} п (п-1)}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} п (п-1)}$

Матрица, конгруэнтная симметричной матрице

Любая матрица, конгруэнтная симметричной матрице, снова симметрична: если это симметричная матрица, то симметрична и для любой матрицы. ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ Displaystyle AXA ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ Displaystyle AXA ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle A}$ $А$

Симметрия подразумевает нормальность

Симметричная (действительная) матрица обязательно является нормальной матрицей.

Действительные симметричные матрицы

Обозначим стандартным внутренним произведением на. Действительная матрица симметрична тогда и только тогда, когда ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ Displaystyle п \ раз п}$ $п \ раз п$ ${\ displaystyle A}$ $А$

{\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle \ quad \ forall x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}.}

{\ displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle \ quad \ forall x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}.}

Поскольку это определение не зависит от выбора базиса, симметрия - это свойство, которое зависит только от линейного оператора A и выбора внутреннего продукта. Эта характеристика симметрии полезна, например, в дифференциальной геометрии, поскольку каждое касательное пространство к многообразию может быть снабжено внутренним произведением, что дает начало тому, что называется римановым многообразием. Другая область, где используется эта формулировка, - гильбертовы пространства.

Конечномерная спектральная теорема утверждает, что любая симметричная матрица, элементы которой является реальным может быть диагонализована с помощью ортогональной матрицы. Более подробно: для каждой реальной симметричной матрицы существует реальная ортогональная матрица, такая как диагональная матрица. Таким образом, каждая вещественная симметричная матрица, в зависимости от выбора ортонормированного базиса, является диагональной матрицей. ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ ${\ Displaystyle D = Q ^ {\ mathrm {T}} AQ}$ ${\ Displaystyle D = Q ^ {\ mathrm {T}} AQ}$

Если и являются действительными симметричными матрицами, которые коммутируют, то они могут быть одновременно диагонализованы: существует такой базис, что каждый элемент базиса является собственным вектором для обоих и. ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ Displaystyle п \ раз п}$ $п \ раз п$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle B}$ $B$

Каждая вещественная симметричная матрица эрмитова, поэтому все ее собственные значения действительны. (Фактически, собственные значения являются элементами диагональной матрицы (см. Выше), и поэтому они однозначно определяются с точностью до порядка ее элементов.) По сути, свойство быть симметричным для вещественных матриц соответствует свойству эрмитовости для комплексные матрицы. ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ displaystyle A}$ $А$

Комплексные симметричные матрицы

Сложная симметричная матрица может быть «диагонализована» с помощью унитарной матрицы : таким образом, если это комплексная симметричная матрица, существует унитарная матрица, которая является реальной диагональной матрицей с неотрицательными элементами. Этот результат получил название факторизации Autonne – Takagi. Первоначально это было доказано Леоном Отоном (1915) и Тейджи Такаги (1925) и переоткрыто с различными доказательствами несколькими другими математиками. Фактически, матрица эрмитова и положительно полуопределенная, поэтому существует унитарная матрица, диагональная с неотрицательными действительными элементами. Таким образом, комплекс является симметричным с действительным. Запись с и вещественные симметрические матрицы,. Итак. Так как и коммутируют, существует вещественная ортогональная матрица, такая что и и диагональны. Задавая (унитарную матрицу), матрица имеет комплексную диагональ. Предварительно умножив на подходящую диагональную унитарную матрицу (которая сохраняет унитарность), диагональные элементы матрицы можно сделать действительными и неотрицательными по желанию. Чтобы построить эту матрицу, мы выразим диагональную матрицу как. Матрица, которую мы ищем, просто задается. Понятно, как хотелось, поэтому вносим доработку. Так как их квадраты собственные, они совпадают с особыми значениями в. (Обратите внимание, что о собственном разложении комплексной симметричной матрицы, нормальная форма Жордана может не быть диагональной, поэтому не может быть диагонализована никаким преобразованием подобия.) ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle UAU ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle UAU ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle B = A ^ {\ dagger} A}$ ${\ displaystyle B = A ^ {\ dagger} A}$ ${\ displaystyle V}$ $V$ ${\ Displaystyle V ^ {\ dagger} BV}$ ${\ Displaystyle V ^ {\ dagger} BV}$ ${\ Displaystyle C = V ^ {\ mathrm {T}} AV}$ ${\ Displaystyle C = V ^ {\ mathrm {T}} AV}$ ${\ displaystyle C ^ {\ dagger} C}$ ${\ displaystyle C ^ {\ dagger} C}$ ${\ displaystyle C = X + iY}$ ${\ displaystyle C = X + iY}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ Displaystyle C ^ {\ dagger} C = X ^ {2} + Y ^ {2} + я (XY-YX)}$ ${\ Displaystyle C ^ {\ dagger} C = X ^ {2} + Y ^ {2} + я (XY-YX)}$ ${\ displaystyle XY = YX}$ ${\ displaystyle XY = YX}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$ ${\ displaystyle W}$ $W$ ${\ displaystyle WXW ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle WXW ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle WYW ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle WYW ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ Displaystyle U = WV ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ Displaystyle U = WV ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle UAU ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle UAU ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ${\ displaystyle UAU ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle UAU ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle UAU ^ {\ mathrm {T}} = \ operatorname {diag} (r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}, r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}, \ точки, r_ {n} e ^ {i \ theta _ {n}})}$ ${\ displaystyle UAU ^ {\ mathrm {T}} = \ operatorname {diag} (r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}, r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}, \ точки, r_ {n} e ^ {i \ theta _ {n}})}$ ${\ displaystyle D = \ operatorname {diag} (e ^ {- i \ theta _ {1} / 2}, e ^ {- i \ theta _ {2} / 2}, \ dots, e ^ {- i \ тета _ {п} / 2})}$ ${\ displaystyle D = \ operatorname {diag} (e ^ {- i \ theta _ {1} / 2}, e ^ {- i \ theta _ {2} / 2}, \ dots, e ^ {- i \ тета _ {п} / 2})}$ ${\ displaystyle DUAU ^ {\ mathrm {T}} D = \ operatorname {diag} (r_ {1}, r_ {2}, \ dots, r_ {n})}$ ${\ displaystyle DUAU ^ {\ mathrm {T}} D = \ operatorname {diag} (r_ {1}, r_ {2}, \ dots, r_ {n})}$ ${\ displaystyle U '= DU}$ ${\ displaystyle U '= DU}$ ${\ displaystyle A ^ {\ dagger} A}$ ${\ displaystyle A ^ {\ dagger} A}$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle A}$ $А$

Разложение

Используя нормальную форму Жордана, можно доказать, что каждая квадратная вещественная матрица может быть записана как произведение двух действительных симметричных матриц, а каждая квадратная комплексная матрица может быть записана как произведение двух комплексных симметричных матриц.

Каждую действительную невырожденную матрицу можно однозначно разложить на множители как произведение ортогональной матрицы и симметричной положительно определенной матрицы, что называется полярным разложением. Сингулярные матрицы также можно разложить на множители, но не однозначно.

Разложение Холецкого утверждает, что каждая действительная положительно определенная симметричная матрица является произведением нижнетреугольной матрицы и ее транспонированной матрицы, ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle L}$ $L$

{\ displaystyle A = LL ^ {\textf {T}}.}

{\ displaystyle A = LL ^ {\textf {T}}.}

Если матрица является симметричной неопределенной, она все равно может быть разложена как где матрица перестановок (возникающая из-за необходимости поворота ), нижняя единичная треугольная матрица и прямая сумма симметричных блоков и блоков, что называется разложением Банча – Кауфмана ${\ Displaystyle PAP ^ {\textf {T}} = LDL ^ {\textf {T}}}$ ${\ Displaystyle PAP ^ {\textf {T}} = LDL ^ {\textf {T}}}$ ${\ displaystyle P}$ $п$ ${\ displaystyle L}$ $L$ ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ Displaystyle 1 \ раз 1}$ $1 \ раз 1$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ раз 2$

Общая (сложная) симметричная матрица может быть дефектной и, следовательно, не поддающейся диагонализации. Если диагонализуема, она может быть разложена как ${\ displaystyle A}$ $А$

{\ displaystyle A = Q \ Lambda Q ^ {\textf {T}}}

{\ displaystyle A = Q \ Lambda Q ^ {\textf {T}}}

где - ортогональная матрица, а - диагональная матрица собственных значений. В частном случае, который является действительным симметричным, тогда и также являются действительными. Чтобы увидеть ортогональность, пусть и собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям,. потом ${\ displaystyle Q}$ $Q$ ${\ displaystyle QQ ^ {\textf {T}} = I}$ ${\ displaystyle QQ ^ {\textf {T}} = I}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Лямбда$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle Q}$ $Q$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Лямбда$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ $\ mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ $\ lambda _ {1}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$ $\ lambda _ {2}$

{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = \ langle A \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = \ langle \ mathbf {x}, A \ mathbf {y} \ rangle = \ lambda _ {2} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle.}

{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = \ langle A \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = \ langle \ mathbf {x}, A \ mathbf {y} \ rangle = \ lambda _ {2} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle.}

Поскольку и различны, мы имеем. ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ $\ lambda _ {1}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$ $\ lambda _ {2}$ ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = 0}$ ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = 0}$

Гессен

Симметричные матрицы действительных функций появляются как гессианы дважды непрерывно дифференцируемых функций действительных переменных. ${\ Displaystyle п \ раз п}$ $п \ раз п$ ${\ displaystyle n}$ $п$

Каждую квадратичную форму на можно однозначно записать в форме с симметричной матрицей. На основании приведенной выше спектральной теоремы можно сказать, что каждая квадратичная форма с точностью до выбора ортонормированного базиса "выглядит как" ${\ displaystyle q}$ $q$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ Displaystyle Q (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} A \ mathbf {x}}$ ${\ Displaystyle Q (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} A \ mathbf {x}}$ ${\ Displaystyle п \ раз п}$ $п \ раз п$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

{\ displaystyle q \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} x_ {i} ^ {2}}

{\ displaystyle q \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} x_ {i} ^ {2}}

с действительными числами. Это значительно упрощает изучение квадратичных форм, а также изучение множеств уровня, являющихся обобщениями конических сечений. ${\ displaystyle \ lambda _ {я}}$ $\ lambda _ {я}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {x}: q (\ mathbf {x}) = 1 \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {x}: q (\ mathbf {x}) = 1 \ right \}}$

Это важно отчасти потому, что поведение второго порядка каждой гладкой функции с несколькими переменными описывается квадратичной формой, принадлежащей гессиану функции; это следствие теоремы Тейлора.

Симметризуемая матрица

Матрица называется симметризуемое, если существует обратимый диагональную матрицу и симметричную матрицу такую, что ${\ Displaystyle п \ раз п}$ $п \ раз п$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ displaystyle S}$ $S$ ${\ displaystyle A = DS.}$ ${\ displaystyle A = DS.}$

Транспонирование симметризуемой матрицы симметризуемо, поскольку и симметрично. Матрица симметризуема тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: ${\ Displaystyle A ^ {\ mathrm {T}} = (DS) ^ {\ mathrm {T}} = SD = D ^ {- 1} (DSD)}$ ${\ Displaystyle A ^ {\ mathrm {T}} = (DS) ^ {\ mathrm {T}} = SD = D ^ {- 1} (DSD)}$ ${\ displaystyle DSD}$ ${\ displaystyle DSD}$ ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ $А = (а_ {ij})$

${\ displaystyle a_ {ij} = 0}$ $a_ {ij} = 0$ подразумевает для всех ${\ displaystyle a_ {ji} = 0}$ $a_ {ji} = 0$ ${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq J \ Leq п.}$ $1 \ leq я \ leq j \ leq п.$
${\ displaystyle a_ {i_ {1} i_ {2}} a_ {i_ {2} i_ {3}} \ dots a_ {i_ {k} i_ {1}} = a_ {i_ {2} i_ {1}} a_ {i_ {3} i_ {2}} \ dots a_ {i_ {1} i_ {k}}}$ ${\ displaystyle a_ {i_ {1} i_ {2}} a_ {i_ {2} i_ {3}} \ dots a_ {i_ {k} i_ {1}} = a_ {i_ {2} i_ {1}} a_ {i_ {3} i_ {2}} \ dots a_ {i_ {1} i_ {k}}}$ для любой конечной последовательности ${\ displaystyle \ left (i_ {1}, i_ {2}, \ dots, i_ {k} \ right).}$ ${\ displaystyle \ left (i_ {1}, i_ {2}, \ dots, i_ {k} \ right).}$

Смотрите также

Другие типы симметрии или узора в квадратных матрицах имеют специальные названия; см. например:

См. Также симметрию в математике.

Примечания

использованная литература

Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013), Матричный анализ (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

внешние ссылки

«Симметричная матрица», Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
Краткое введение и доказательство свойств собственных значений вещественной симметричной матрицы
Как реализовать симметричную матрицу в C ++