Классическая группа

В математике классические группы определены как специальные линейные группы над вещественными числами R, комплексными числами Cи кватернионами Hвместе со специальными группами автоморфизмов из симметричных или кососимметричные билинейные формы и эрмитовы или косо-эрмитовые полуторалинейные формы, определенные на вещественных, комплексные и кватернионные конечномерные векторные пространства. Из них комплексные классические группы Ли представляют собой четыре бесконечных семейства групп Ли, которые вместе с исключительными группами исчерпывают классификацию простых групп Ли. компактные классические группы являются компактными вещественными формами комплексных классических групп. Конечными аналогами классических групп являются классические группы лиева типа. Термин «классическая группа» был введен Германом Вейлем, так было названо его монография 1939 года Классические группы.

Классические группы составляют наиболее глубокую и полезную часть предмета линейных Группы Ли. Большинство типов классических групп находят применение в классической и современной физике. Вот несколько примеров. Группа вращения SO (3) - это симметрия евклидова пространства и всех фундаментальных законов физики, группа Лоренца O (3,1) - симметрия группа пространства-времени из специальной теории относительности. Специальная унитарная группа SU (3) является группой симметрии квантовой хромодинамики, а симплектическая группа Sp (m) находит применение в гамильтоновой механике и квантово-механические его версии.

Содержание

• 1 Классические группы
• 2 Билинейные и полуторалинейные формы
  • 2.1 Симметричные, кососимметричные, эрмитовы и косоэрмитовы формы
• 3 Группы автоморфизмов
  • 3.1 Aut (φ) - группа автоморфизмов
  • 3.2 Билинейный случай
    • 3.2.1 Вещественный случай
      • 3.2.1.1 O (p, q) и O (n) - ортогональные группы
      • 3.2.1.2 Sp (m, R) - вещественная симплектическая группа
    • 3.2.2 Комплексный случай
      • 3.2.2.1 O (n, C) - комплексная ортогональная группа
      • 3.2.2.2 Sp (m, C) - комплексная симплектическая группа
  • 3.3 Полуторный случай
    • 3.3.1 Комплексный случай
      • 3.3.1.1 U (p, q) и U (n) - унитарные группы
    • 3.3.2 Кватернионный случай
      • 3.3.2.1 GL (n, H) и SL (n, H)
      • 3.3.2.2 Sp (p, q) - кватернионная унитарная группа
      • 3.3.2.3 O (2n) = O (n, H) - кватернионная ортогональная группа
• 4 Классические группы над общими полями или алгебрами
  • 4.1 Общие и специальные линейные группы
  • 4.2 Унитарные группы
  • 4.3 Симплектические группы
  • 4.4 Ортогональные группы
  • 4.5 Условные обозначения
• 5 Контраст с исключительной Ли гр oups
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Классические группы

классические группы - это в точности общие линейные группы над R, Cи H вместе с группами автоморфизмов невырожденных форм, обсуждаемыми ниже. Эти группы обычно дополнительно ограничиваются подгруппами, элементы которых имеют определитель 1, так что их центры дискретны. Классические группы с условием детерминанта 1 перечислены в таблице ниже. В дальнейшем условие определителя 1 не используется последовательно в интересах большей общности.

Имя	Группа	Поле	Форма	Максимальная компактная подгруппа	Алгебра Ли	Корневая система
Специальная линейная	SL (n, R)	R	-	SO (n)
Комплексный специальный линейный	SL (n, C)	C	-	SU(n)	Комплексный	$A\; m,\; n\; =\; m\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; color\; \{Blue\}\; A\_\; \{m\}),\; n\; =\; m\; +\; 1\}$
Кватернионный специальный линейный	SL (n, H ) = SU (2n)	H	-	Sp (n)
(Неопределенный) специальный ортогональный	SO (p, q)	R	Симметричный	S (O (p) × O (q))
Комплексный специальный ортогональный	SO (n, C)	C	Симметричный	SO(n)	Комплексный	$\{B\; m,\; n\; =\; 2\; m\; +\; 1\; D\; m,\; n\; =\; 2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; color\; \{Blue\}\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; B\_\; \{m\},\; n\; =\; 2m\; +\; 1\; \backslash \backslash \; D\_\; \{m\},\; n\; =\; 2m\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$
Симплектический	Sp (n, R)	R	Кососимметричный	U (n)
Комплексный симплектический	Sp (n, C)	C	Кососимметричный	Sp(n)	Комплексный	$C\; m,\; n\; =\; 2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; color\; \{Blue\}\; C\_\; \{m\},\; n\; =\; 2m\}$
(Неопределенный) специальный унитарный	SU (p, q)	C	Эрмитов	S (U (p) × U (q))
(Неопределенный) кватернионный унитарный	Sp (p, q)	H	Эрмитский	Sp ( p) × Sp (q)
Кватернионно-ортогональные	SO (2n)	H	Косоэрмитовы	SO (2n)

Комплексные классические группы - SL (n, C ), SO (n, C ) и Sp (n, C ). Группа сложна в зависимости от того, комплексна ли ее алгебра Ли. Вещественные классические группы относятся ко всем классическим группам, поскольку любая алгебра Ли является вещественной алгеброй. компактные классические группы - это компактные вещественные формы комплексных классических групп. Это, в свою очередь, SU (n), SO (n) и Sp (n). Одна характеристика компактной вещественной формы дана в терминах алгебры Ли g . Если g= u+ i u, комплексификация элемента u, и если связная группа K, порожденная {exp (X): X ∈ u } компактно, то K - компактная вещественная форма.

Классические группы можно равномерно охарактеризовать по-другому, используя вещественные формы. Классические группы (здесь с условием определителя 1, но это не обязательно) следующие:

Комплексные линейные алгебраические группы SL (n, C ), SO ( n, C ) и Sp (n, C ) вместе с их действительными формами.

Например, SO (2n) является реальной формой SO (2n, C ), SU (p, q) - действительная форма SL (n, C ), а SL (n, H ) - действительная форма SL (2n, C ). Без условия определителя 1 заменить специальные линейные группы соответствующими общими линейными группами в характеризации. Рассматриваемые алгебраические группы являются группами Ли, но «алгебраический» квалификатор необходим, чтобы получить правильное понятие «действительной формы».

Билинейные и полуторалинейные формы

Классические группы определены в терминах форм, определенных на R, Cи H, где R и C - это поля из вещественных и комплексных чисел. Кватернионы , Hне составляют поле, потому что умножение не коммутируется; они образуют тело, или тело, или некоммутативное поле . Однако определение матричных кватернионных групп по-прежнему возможно. По этой причине векторное пространство V может быть определено в R, C, а также в H ниже. В случае H, V является правым векторным пространством, чтобы сделать возможным представление действия группы в виде матричного умножения слева, так же, как для R и C.

формы A φ: V × V → F на некотором конечномерном правом векторном пространстве над F = R, C, или H является билинейным, если

$\phi \; (x\; \alpha ,\; y\; \beta )\; =\; \alpha \; \phi \; (x,\; y)\; \beta ,\; \forall \; x,\; y\; \in \; V,\; \forall \; \alpha ,\; \beta \; \in \; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x\; \backslash \; alpha,\; y\; \backslash \; beta)\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; \backslash \; beta,\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; x,\; y\; \backslash \; in\; V,\; \backslash \; forall\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\; \backslash \; in\; F.\}$и если

$\phi \; (x\; 1\; +\; x\; 2,\; y\; 1\; +\; y\; 2)\; =\; \phi \; (x\; 1,\; y\; 1)\; +\; \phi \; (x\; 1,\; y\; 2)\; +\; \phi \; (x\; 2,\; y\; 1)\; +\; \phi \; (x\; 2,\; y\; 2),\; \forall \; x\; 1,\; x\; 2,\; y\; 1,\; y\; 2\; \in \; V.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x\_\; \{1\}\; +\; x\_\; \{2\},\; y\_\; \{1\}\; +\; y\_\; \{2\})\; =\; \backslash \; varphi\; (x\_\; \{1\},\; y\_\; \{1\})\; +\; \backslash \; varphi\; (x\_\; \{1\},\; y\_\; \{2\})\; +\; \backslash \; varphi\; (x\_\; \{2\},\; y\_\; \{1\})\; +\; \backslash \; varphi\; (x\_\; \{2\},\; y\_\; \{2\}),\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; y\_\; \{1\; \},\; y\_\; \{2\}\; \backslash \; in\; V.\}$

Он называется сквилинейным, если

$\phi \; (x\; \alpha ,\; y\; \beta )\; =\; \alpha \; ¯\; \phi \; (x,\; y)\; \beta ,\; \forall \; x,\; y\; \in \; V,\; \forall \; \alpha ,\; \beta \; \in \; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x\; \backslash \; alpha,\; y\; \backslash \; beta)\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; \backslash \; beta,\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; x,\; y\; \backslash \; in\; V,\; \backslash \; forall\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\; \backslash \; in\; F.\}$и если: $\phi \; (x\; 1\; +\; x\; 2,\; y\; 1\; +\; y\; 2)\; =\; \phi \; (x\; 1,\; y\; 1)\; +\; \phi \; (x\; 1,\; y\; 2)\; +\; \phi \; (x\; 2,\; y\; 1)\; +\; \phi \; (x\; 2,\; y\; 2)\; \forall \; x\; 1,\; x\; 2,\; y\; 1,\; y\; 2\; \in \; V.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x\_\; \{1\}\; +\; x\_\; \{2\},\; y\_\; \{1\}\; +\; y\_\; \{2\})\; =\; \backslash \; varphi\; (x\_\; \{1\},\; y\_\; \{1\})\; +\; \backslash \; varphi\; (x\_\; \{1\},\; y\_\; \{2\})\; +\; \backslash \; varphi\; (x\_\; \{2\},\; y\_\; \{1\})\; +\; \backslash \; varphi\; (x\_\; \{2\},\; y\_\; \{2\})\; \backslash \; forall\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; y\_\; \{1\},\; y\_\; \{2\}\; \backslash \; in\; V.\}$

. Эти соглашения выбраны, потому что они работают во всех рассмотренных случаях. автоморфизм отображения φ - это отображение Α в множестве линейных операторов на V такое, что

$\phi \; (A\; x,\; A\; y)\; =\; \phi \; (x,\; y),\; \forall \; x,\; y\; \in \; V.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (Ax,\; Ay)\; =\; \backslash \; varphi\; (x,\; y),\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; x,\; y\; \backslash \; in\; V.\}$

(1)

Множество всех автоморфизмов φ образуют группу, она называется группой автоморфизмов отображения φ и обозначается Aut (φ). Это приводит к предварительному определению классической группы:

Классическая группа - это группа, которая сохраняет билинейную или полуторалинейную форму на конечномерных векторных пространствах над R, Cили H.

. Это определение имеет некоторую избыточность. В случае F = R билинейность эквивалентна полуторалинейной. В случае F = H ненулевые билинейные формы отсутствуют.

Симметричные, кососимметричные, эрмитовы и косоэрмитовы формы

Форма является симметричным, если

$\phi \; (x,\; y)\; =\; \phi \; (y,\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; varphi\; (y,\; x).\}$

Это кососимметричный, если

$\phi \; (x,\; y)\; =\; -\; \phi \; (y,\; Икс).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; -\; \backslash \; varphi\; (y,\; x).\}$

Это эрмитовское, если

$\phi \; (x,\; y)\; =\; \phi \; (y,\; x)\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; varphi\; (y,\; x)\}\}\}$

Наконец, это косоэрмитовский, если

$\phi \; (x,\; y)\; =\; -\; \phi \; (y,\; x)\; ¯.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; -\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; varphi\; (y,\; x)\}\}.\}$

Билинейная форма φ однозначно является суммой симметричной формы и кососимметричной формы. Преобразование, сохраняющее φ, сохраняет обе части по отдельности. Таким образом, группы, сохраняющие симметрическую и кососимметричную формы, можно изучать отдельно. То же самое относится, mutatis mutandis, к эрмитовым и косоэрмитовым формам. По этой причине в целях классификации рассматриваются только чисто симметричные, кососимметричные, эрмитовы или косоэрмитовы формы. нормальные формы форм соответствуют конкретному подходящему выбору оснований. Это базисы, дающие следующие нормальные формы в координатах:

$Билинейная симметричная форма в (псевдо) ортонормированном базисе: φ (x, y) = ± ξ 1 η 1 ± ξ 2 η 2 ± ⋯ ± ξ n η n, (R) Билинейная симметрическая форма в ортонормированном базисе: φ (x, y) = ξ 1 η 1 + ξ 2 η 2 + ⋯ + ξ n η n, (C) Билинейная кососимметричная форма в симплектическом базисе: φ (x, y) = ξ 1 η m + 1 + ξ 2 η m + 2 + ⋯ + ξ m η 2 m = n - ξ m + 1 η 1 - ξ m + 2 η 2 - ⋯ - ξ 2 m = n η m, (R, C) Полуторалинейный эрмитов: φ (x, y) = ± ξ 1 ¯ η 1 ± ξ 2 ¯ η 2 ± ⋯ ± ξ n ¯ η n, (C, H) Полуарлинейный косоэрмитов: φ (x, y) = ξ 1 ¯ j η 1 + ξ 2 ¯ j η 2 + ⋯ + ξ n ¯ j η n, (H). {\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Билинейная симметричная форма в (псевдо) ортонормированном базисе:}} \ qquad \ varphi (x, y) = \ pm \ xi _ {1} \ eta _ {1 } \ pm \ xi _ {2} \ eta _ {2} \ pm \ cdots \ pm \ xi _ {n} \ eta _ {n}, \, \, (\ mathbf {R}) \\ {\ text {Билинейная симметричная форма в ортонормированном базисе:}} \ qquad \ varphi (x, y) = \ xi _ {1} \ eta _ {1} + \ xi _ {2} \ eta _ {2} + \ cdots + \ xi _ {n} \ eta _ {n}, \, \, (\ mathbf {C}) \\ {\ text {Билинейный кососимметричный в симплектическом базисе:}} \ qquad \ varphi (x, y) = \ xi _ {1} \ eta _ {m + 1} + \ xi _ {2} \ eta _ {m + 2} + \ cdots + \ xi _ {m} \ eta _ {2m = n} \\ - \ xi _ {m + 1} \ eta _ {1} - \ xi _ {m + 2} \ eta _ {2} - \ cdots - \ xi _ {2m = n} \ eta _ {m}, \, \, (\ mathbf {R}, \ mathbf {C}) \\ {\ text {Полулинейный эрмитов:}} \ qquad \ varphi (x, y) = \ pm {\ bar {\ xi _ {1 }}} \ eta _ {1} \ pm {\ bar {\ xi _ {2}}} \ eta _ {2} \ pm \ cdots \ pm {\ bar {\ xi _ {n}}} \ eta _ {n}, \, \, (\ mathbf {C}, \ mathbf {H}) \\ {\ text {Полуторалинейный косоэрмитов:}} \ qquad \ varphi (x, y) = {\ bar {\ xi _ {1}}} \ mathbf {j} \ eta _ {1} + {\ bar {\ xi _ {2}}} \ mathbf {j} \ eta _ {2} + \ cdots + {\ bar { \ xi _ {n}}} \ mathbf {j} \ eta _ {n}, \, \, (\ mat hbf {H}). \ end {align}}}$

j в косоэрмитовой форме является третьим базисным элементом в базисе (1, i, j, k) для H . Доказательство существования этих оснований и закона инерции Сильвестра, независимости числа знаков плюс и минус p и q в симметричной и эрмитовой формах, а также наличия или отсутствия поля в каждом выражении можно найти в Rossmann (2002) или Goodman Wallach (2009). Пара (p, q), а иногда и p - q, называется подписью формы.

Объяснение появления полей R, C, H: Нет нетривиальных билинейных форм над H . В симметричном билинейном случае сигнатуру имеют только формы более R . Другими словами, сложная билинейная форма с «сигнатурой» (p, q) может быть приведена путем изменения базиса к форме, в которой все знаки равны «+» в приведенном выше выражении, тогда как в реальном случае это невозможно., в котором p - q не зависит от базиса в таком виде. Однако эрмитовы формы имеют сигнатуру, не зависящую от базиса, как в сложном, так и в кватернионном случае. (Реальный случай сводится к симметричному случаю.) Косоэрмитова форма на комплексном векторном пространстве становится эрмитовой путем умножения на i, поэтому в этом случае интересно только H .

Группы автоморфизмов

Герман Вейль, автор Классические группы. Вейль внес существенный вклад в теорию представлений классических групп.

В первом разделе представлены общие принципы. В других разделах исчерпываются качественно разные случаи, возникающие как группы автоморфизмов билинейных и полуторалинейных форм на конечномерных векторных пространствах над R, Cи H.

Aut (φ) - группа автоморфизмов

Предположим, что φ является невырожденная форма в конечномерном векторном пространстве V над R, Cили H . Группа автоморфизмов определяется на основании условия (1) как

$A\; ut\; (\phi )\; =\; \{A\; \in \; GL\; (V):\; \phi \; (A\; x,\; A\; y)\; =\; \phi \; (x,\; y),\; \forall \; x,\; y\; \in \; V\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Aut\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; \{A\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; (V):\; \backslash \; varphi\; (Ax,\; Ay)\; =\; \backslash \; varphi\; (x,\; y),\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; x,\; y\; \backslash \; in\; V\; \backslash \}.\}$

Каждый A ∈ M n (V) имеет сопряженный A относительно φ, определенный формулой

$\phi \; (A\; x,\; y)\; =\; \phi \; (x,\; A\; \phi \; y),\; x,\; y\; \in \; V.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (Ax,\; y)\; =\; \backslash \; varphi\; (x,\; A\; ^\; \{\backslash \; varphi\}\; y),\; \backslash \; qquad\; x,\; y\; \backslash \; in\; V.\}$

(2)

Использование этого определения в условии ( 1), группа автоморфизмов задается формулой

$Aut\; \; (\phi )\; =\; \{A\; \in \; GL\; \; (V):\; A\; \phi \; A\; =\; 1\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Aut\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; \{A\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (V):\; A\; ^\; \{\backslash \; varphi\}\; A\; =\; 1\; \backslash \}.\}$

(3)

Исправить базис для V. В терминах этого базиса положим

$\phi \; (x,\; y)\; =\; \sum \; \xi \; i\; \phi \; ij\; \eta \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; xi\; \_\; \{i\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{j\}\}$

, где ξ i, η j - компоненты x, y. Это подходит для билинейных форм. Полуторные формы имеют похожие выражения и позже будут рассматриваться отдельно. В матричной записи можно найти

$\phi \; (x,\; y)\; =\; x\; T\; \Phi \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; x\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; \backslash \; Phi\; y\}$

и

$A\; \phi \; =\; \Phi \; -\; 1\; AT\; \Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\backslash \; varphi\}\; =\; \backslash \; Phi\; ^\; \{-\; 1\}\; A\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; \backslash \; Phi\}$

(4)

из (2), где Φ - матрица (φ ij). Условие невырожденности означает в точности обратимость Φ, поэтому сопряженный всегда существует. Выражение Aut (φ) с его помощью становится

$Aut\; \; (\phi )\; =\; \{A\; \in \; GL\; \; (V):\; \Phi \; -\; 1\; A\; T\; \Phi \; A\; =\; 1\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Aut\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; \{A\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (V):\; \backslash \; Phi\; ^\; \{-\; 1\}\; A\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; \backslash \; Phi\; A\; =\; 1\; \backslash \}.\}$

Алгебра Ли aut (φ) групп автоморфизмов может быть записана немедленно. Абстрактно X ∈ aut (φ) тогда и только тогда, когда

$(et\; X)\; \phi \; et\; X\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (e\; ^\; \{tX\})\; ^\; \{\backslash \; varphi\}\; e\; ^\; \{tX\}\; =\; 1\}$

для всех t, что соответствует условию в (3) при экспоненциальном отображении алгебр Ли, так что

$aut\; (\phi )\; =\; \{X\; \in \; M\; n\; (\; V):\; Икс\; \phi \; =\; -\; X\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{aut\}\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; \{X\; \backslash \; in\; M\_\; \{n\}\; (V):\; X\; ^\; \{\backslash \; varphi\}\; =\; -\; X\; \backslash \},\; \}$

или в основе

$aut\; (\phi )\; =\; \{X\; \in \; M\; n\; (V):\; \Phi \; -\; 1\; XT\; \Phi \; =\; -\; X\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{aut\}\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; \{X\; \backslash \; in\; M\_\; \{n\}\; (V):\; \backslash \; Phi\; ^\; \{-\; 1\}\; X\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; \backslash \; Phi\; =\; -X\; \backslash \}\}$

(5)

как видно с использованием степенной ряд расширение экспоненциального отображения и линейность задействованных операций. Наоборот, предположим, что X ∈ aut (φ). Тогда, используя полученный выше результат, φ (Xx, y) = φ (x, Xy) = -φ (x, Xy). Таким образом, алгебру Ли можно охарактеризовать без ссылки на базис или сопряженный элемент, как

$aut\; (\phi )\; =\; \{X\; \in \; M\; n\; (V):\; \phi \; (X\; x,\; y)\; =\; -\; \phi \; (x,\; X\; y),\; \forall \; x,\; y\; \in \; V\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{aut\}\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; \{X\; \backslash \; in\; M\_\; \{n\}\; (V):\; \backslash \; varphi\; (Xx,\; y)\; =\; -\; \backslash \; varphi\; (x,\; Xy),\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; x,\; y\; \backslash \; in\; V\; \backslash \}.\}$

Нормальная форма для φ будет дана для каждой классической группы ниже. Из этой нормальной формы матрица Φ может быть считана напрямую. Следовательно, выражения для сопряженной алгебры и алгебры Ли могут быть получены с использованием формул (4) и (5). Ниже это демонстрируется в большинстве нетривиальных случаев.

Билинейный случай

Когда форма симметрична, Aut (φ) называется O (φ). Когда он кососимметричный, Aut (φ) называется Sp (φ). Это касается реальных и сложных случаев. Кватернионный случай пуст, поскольку в кватернионных векторных пространствах не существует ненулевых билинейных форм.

Реальный случай

Реальный случай разбивается на два случая: симметричную и антисимметричную, которые следует рассматривать отдельно.

O (p, q) и O (n) - ортогональные группы

Если φ симметрично, а векторное пространство вещественно, можно выбрать базис так, чтобы

$\phi \; (\; x,\; y)\; =\; \pm \; \xi \; 1\; \eta \; 1\; \pm \; \xi \; 1\; \eta \; 1\; \cdots \; \pm \; \xi \; n\; \eta \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; pm\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; pm\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; pm\; \backslash \; xi\; \_\; \{n\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{n\}.\}$

Количество знаков плюс и минус не зависит от конкретной основы. В случае V = R пишут O (φ) = O (p, q), где p - количество знаков плюс, а q - количество знаков минус, p + q = n. Если q = 0, обозначение O (n). Матрица Φ в данном случае имеет вид

$\Phi \; =\; (I\; p\; 0\; 0\; -\; I\; q)\; \equiv \; I\; p,\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; I\_\; \{p\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; -\; I\_\; \{q\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Equiv\; I\_\; \{p,\; q\}\}$

после переупорядочения базиса, если необходимо. Тогда сопряженная операция (4) принимает вид

$A\; \phi \; =\; (I\; p\; 0\; 0\; -\; I\; q)\; (A\; 11\; \cdots \; \cdots \; A\; nn)\; T\; (I\; p\; 0\; 0\; -\; I\; q),\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\; \backslash \; varphi\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; I\_\; \{p\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; -I\_\; \{q\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; A\_\; \{11\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \backslash \; cdots\; A\_\; \{nn\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; I\_\; \{p\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; -I\_\; \{q\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right),\}$

который сводится к обычному транспонированию, когда p или q равно 0. Алгебра Ли находится с использованием уравнения (5) и подходящего анзаца (это подробно описано для случая Sp (m, R ) ниже),

$o\; (p,\; q)\; =\; \{(X\; p\; \times \; p\; Y\; p\; \times \; q\; YTW\; q\; \times \; q)\; |\; XT\; =\; -\; X,\; WT\; =\; -\; W\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{o\}\}\; (p,\; q)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left.\; \backslash \; Left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; X\_\; \{p\; \backslash \; times\; p\})\; Y\_\; \{p\; \backslash \; times\; q\}\; \backslash \backslash \; Y\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; W\_\; \{q\; \backslash \; times\; q\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; X\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; =\; -\; X,\; \backslash \; quad\; W\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; =\; -\; W\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

и группа согласно (3) задается как

$O\; (p,\; q)\; =\; \{g\; \in \; GL\; (n,\; R)\; |\; I\; p,\; q\; -\; 1\; g\; T\; I\; p,\; q\; g\; =\; I\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{O\}\; (p,\; q)\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; (n,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\; |\; I\_\; \{p,\; q\}\; ^\; \{-\; 1\}\; g\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; I\_\; \{p,\; q\}\; g\; =\; I\; \backslash \}.\}$

Группы O (p, q) и O (q, p) изоморфны посредством отображения

$O\; (p,\; q)\; \to \; O\; (q,\; p),\; g\; \to \; \sigma \; g\; \sigma \; -\; 1,\; \sigma \; =\; [0\; 0\; \cdots \; 1\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; 0\; 1\; \cdots \; 0\; 1\; 0\; \cdots \; 0].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{O\}\; (p,\; q)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathrm\; \{O\}\; (q,\; p),\; \backslash \; quad\; g\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; sigma\; g\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; sigma\; =\; \backslash \; left\; [\; \{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 0\; 0\; \backslash \; cdots\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right].\}$

Для Например, алгебра Ли группы Лоренца может быть записана как

$o\; (3,\; 1)\; =\; span\; \{(0\; 1\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0),\; (0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0),\; (0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0),\; (0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0),\; (0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0),\; (0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 1\; 0)\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{o\}\}\; (3,1)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{span\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 0\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\; \}\; \backslash \; right),\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 0\; 0\; -1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; -1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; begin\; \{smallmat\; rix\}\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; smallmatrix\}\; \backslash \; end\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Естественно, можно переставить так, чтобы q-блок находился в верхнем левом углу (или в любом другом блоке). Здесь «компонент времени» оказывается четвертой координатой в физической интерпретации, а не первой, как может быть более распространено.

Sp (m, R) - вещественная симплектическая группа

Если φ кососимметрична, а векторное пространство вещественно, существует базис, дающий

$\phi \; (x,\; y)\; знак\; равно\; \xi \; 1\; \eta \; м\; +\; 1\; +\; \xi \; 2\; \eta \; m\; +\; 2\; \cdots \; +\; \xi \; m\; \eta \; 2\; m\; =\; n\; -\; \xi \; m\; +\; 1\; \eta \; 1\; -\; \xi \; m\; +\; 2\; \eta \; 2\; \cdots \; -\; \xi \; 2\; m\; =\; n\; \eta \; m,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{m\; +\; 1\}\; +\; \backslash \; xi\; \_\; \{2\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{m\; +\; 2\}\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; xi\; \_\; \{m\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{\; 2m\; =\; n\}\; -\; \backslash \; xi\; \_\; \{m\; +\; 1\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; xi\; \_\; \{m\; +\; 2\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; -\; \backslash \; xi\; \_\; \{2m\; =\; n\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{m\; \},\}$

где n = 2m. Для Aut (φ) пишут Sp (φ) = Sp (V). В случае V = R= Rпишут Sp (m, R ) или Sp (2m, R ). Из нормальной формы читается

$\Phi \; =\; (0\; m\; I\; m\; -\; I\; m\; 0\; m)\; =\; J\; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\_\; \{m\}\; I\_\; \{m\}\; \backslash \backslash \; -\; I\_\; \{m\}\; 0\_\; \{m\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; =\; J\_\; \{m\}.\}$

Сделав анзац

$V\; =\; (XYZW),\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; XY\; \backslash \backslash \; ZW\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right),\}$

где X, Y, Z, W являются m-мерными матрицами, и учитывая (5),

$(0\; m\; -\; I\; m\; I\; m\; 0\; m)\; (XYZW)\; T\; (0\; m\; I\; m\; -\; I\; m\; 0\; m)\; =\; -\; (XYZW)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\_\; \{m\}\; -\; I\_\; \{m\}\; \backslash \backslash \; I\_\; \{m\}\; 0\_\; \{m\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; XY\; \backslash \backslash \; ZW\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\_\; \{m\}\; I\_\; \{m\}\; \backslash \backslash \; -\; I\_\; \{m\}\; 0\_\; \{\; m\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; XY\; \backslash \backslash \; ZW\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\}$

находит алгебру Ли Sp (m, R ),

$sp\; (m,\; R)\; =\; \{X\; \in \; M\; n\; (R):\; J\; m\; X\; +\; XTJ\; m\; =\; 0\}\; =\; \{(XYZ\; -\; XT)\; |\; YT\; =\; Y,\; ZT\; =\; Z\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{sp\}\}\; (m,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\; =\; \backslash \; \{X\; \backslash \; in\; M\_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}):\; J\_\; \{m\}\; X\; +\; X\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; J\_\; \{m\}\; =\; 0\; \backslash \}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left.\; \backslash \; Left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; XY\; \backslash \backslash \; Z\; -X\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\})\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; Y\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; =\; Y,\; Z\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; =\; Z\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

и группа задается формулой

$S\; p\; (m,\; R)\; =\; \{g\; \in \; M\; n\; (R)\; |\; г\; Т\; Дж\; м\; г\; =\; Дж\; м\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Sp\}\; (m,\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; M\_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\; |\; g\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; J\_\; \{m\}\; g\; =\; J\_\; \{m\}\; \backslash \}.\}$

Комплексный случай

Как и в реальном случае, есть два случая, симметричный и антисимметричный, каждый из которых дает семейство классических групп.

O (n, C) - комплексная ортогональная группа

Если случай φ симметричный, а векторное пространство комплексное, базис

$\phi \; (x,\; y)\; =\; \xi \; 1\; \eta \; 1\; +\; \xi \; 1\; \eta \; 1\; \cdots \; +\; \xi \; N\; \eta \; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; xi\; \_\; \{n\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{n\}\}$

можно использовать только со знаками плюс. Группа автоморфизмов в случае V = C называется O (n, C ). Алгебра Ли - это просто частный случай для o (p, q),

$o\; (n,\; C)\; =\; s\; o\; (n,\; C)\; =\; \{X\; |\; XT\; =\; -\; X\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{o\}\}\; (n,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{so\}\}\; (n,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\; =\; \backslash \; \{X\; |\; X\; ^\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; =\; -\; X\; \backslash \},\}$

и группа задается как

$O\; (n,\; C)\; =\; \{g\; |\; g\; T\; g\; =\; I\; n\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{O\}\; (n,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\; =\; \backslash \; \{g\; |\; g\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; g\; =\; I\_\; \{n\}\; \backslash \}.\}$

В терминах Классификация простых алгебр Ли, so (n) разделены на два класса: с нечетным n с корневой системой B n и с четным n с корневой системой D n.

Sp (m, C) - комплексная симплектическая группа

Для кососимметричных φ и комплексных векторных пространств та же формула

$\phi \; (x,\; y)\; =\; \xi \; 1\; \eta \; m\; +\; 1\; +\; \xi \; 2\; \eta \; м\; +\; 2\; \cdots \; +\; \xi \; м\; \eta \; 2\; м\; знак\; равно\; N\; -\; \xi \; м\; +\; 1\; \eta \; 1\; -\; \xi \; м\; +\; 2\; \eta \; 2\; \cdots \; -\; \xi \; 2\; м\; знак\; равно\; N\; \eta \; м,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{m\; +\; 1\}\; +\; \backslash \; xi\; \_\; \{2\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{m\; +\; 2\}\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; xi\; \_\; \{m\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{2m\; =\; n\}\; -\; \backslash \; xi\; \_\; \{m\; +\; 1\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; xi\; \_\; \{m\; +\; 2\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; -\; \backslash \; xi\; \_\; \{2m\; =\; n\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{m\},\}$

применяется как в реальном случае. Для Aut (φ) пишут Sp (φ) = Sp (V). В случае V = ℂ = ℂ пишут Sp (m, ℂ) или Sp (2m, ℂ). Алгебра Ли параллельна алгебре sp (m, ℝ),

$sp\; (m,\; C)\; =\; \{X\; \in \; M\; n\; (C):\; J\; m\; X\; +\; XTJ\; m\; =\; 0\}\; =\; \{(\; XYZ\; -\; XT)\; |\; YT\; =\; Y,\; ZT\; =\; Z\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{sp\}\}\; (m,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\; =\; \backslash \; \{X\; \backslash \; in\; M\_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\}):\; J\_\; \{m\}\; X\; +\; X\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; J\_\; \{m\}\; =\; 0\; \backslash \}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left.\; \backslash \; Left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; XY\; \backslash \backslash \; Z\; -X\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\})\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; Y\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; =\; Y,\; Z\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; =\; Z\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

и группа задается формулой

$S\; p\; (m,\; C)\; =\; \{g\; \in \; M\; n\; (C)\; |\; г\; Т\; Дж\; м\; г\; =\; Дж\; м\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Sp\}\; (m,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; M\_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})\; |\; g\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; J\_\; \{m\}\; g\; =\; J\_\; \{m\}\; \backslash \}.\}$

Полулинейный случай

В случае секвилинейной формы используется несколько иной подход к форме с точки зрения базиса,

$\phi \; (x,\; y)\; =\; \sum \; \xi \; ¯\; i\; \phi \; ij\; \eta \; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; sum\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{j\}.\}$

Другими изменяемыми выражениями являются

$\phi \; (Икс,\; Y)\; знак\; равно\; Икс\; \ast \; \Phi \; Y,\; A\; \phi \; =\; \Phi \; -\; 1\; A\; \ast \; \Phi ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; x\; ^\; \{*\}\; \backslash \; Phi\; y,\; \backslash \; qquad\; A\; ^\; \{\backslash \; varphi\}\; =\; \backslash \; Phi\; ^\; \{-\; 1\}\; A\; ^\; \{*\}\; \backslash \; Phi,\}$

$Aut\; \; (\phi )\; =\; \{A\; \in \; GL\; \; (V):\; \Phi \; -\; 1\; A\; \ast \; \Phi \; A\; =\; 1\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Aut\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; \{A\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{GL\}\; (V):\; \backslash \; Phi\; ^\; \{-\; 1\}\; A\; ^\; \{*\}\; \backslash \; Phi\; A\; =\; 1\; \backslash \},\}$

$aut\; (\phi )\; =\; \{X\; \in \; M\; n\; (V):\; \Phi \; -\; 1\; X\; \ast \; \Phi \; =\; -\; X\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{aut\}\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; \{X\; \backslash \; in\; M\_\; \{n\}\; (V):\; \backslash \; Phi\; ^\; \{-\; 1\}\; X\; ^\; \{*\}\; \backslash \; Phi\; =\; -X\; \backslash \}.\}$

(6)

Реальный случай, конечно, не дает ничего нового. Комплексный и кватернионный случай будут рассмотрены ниже.

Сложный случай

С качественной точки зрения рассмотрение косоэрмитовых форм (с точностью до изоморфизма) не дает новых групп; умножение на i дает косоэрмитову форму эрмитовой, и наоборот. Таким образом, необходимо рассматривать только эрмитов случай.

U (p, q) и U (n) - унитарные группы

Невырожденная эрмитова форма имеет нормальную форму

$\phi \; (x,\; y)\; =\; \pm \; \xi \; 1\; ¯\; \eta \; 1\; \pm \; \xi \; 2\; ¯\; \eta \; 2\; \cdots \; \pm \; \xi \; n\; ¯\; \eta \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{2\; \}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{n\}.\}$

Как и в билинейном случае, сигнатура (p, q) не зависит от базиса. Группа автоморфизмов обозначается U (V) или, в случае V = C, U (p, q). Если q = 0, обозначение U (n). В этом случае Φ принимает вид

$\Phi \; =\; (1\; p\; 0\; 0\; -\; 1\; q)\; =\; I\; p,\; q,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\_\; \{p\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; -1\_\; \{q\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; =\; I\_\; \{p,\; q\},\}$

и алгебра Ли задается формулой

$u\; (p,\; q)\; =\; \{(X\; p\; \times \; p\; Z\; p\; \times \; q\; Z\; p\; \times \; q\; ¯\; TY\; q\; \times \; q)\; |\; X\; ¯\; T\; =\; -\; X,\; Y\; ¯\; T\; =\; -\; Y\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{u\}\}\; (p,\; q)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left.\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; X\_\; \{p\; \backslash \; times\; p\}\; Z\_\; \{p\; \backslash \; times\; q\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; overline\; \{Z\_\; \{p\; \backslash \; times\; q\}\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; Y\_\; \{q\; \backslash \; times\; q\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; T\}\}\; =\; -\; X,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; overline\; \{Y\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; =\; -\; Y\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Группа задается как

$U\; (p,\; q)\; =\; \{g\; |\; I\; p,\; q\; -\; 1\; g\; \ast \; I\; p,\; q\; g\; =\; I\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{U\}\; (p,\; q)\; =\; \backslash \; \{g\; |\; I\_\; \{p,\; q\}\; ^\; \{-\; 1\}\; g\; ^\; \{*\}\; I\_\; \{p,\; q\}\; g\; =\; I\; \backslash \}.\}$

Кватернионный случай

Пространство H рассматривается как правое векторное пространство над H . Таким образом, A (vh) = (Av) h для кватерниона h, вектора-столбца кватерниона v и матрицы кватерниона A. Если H было левым векторным пространством над H, то умножение матриц справа на векторы-строки потребовалось бы для сохранения линейности. Это не соответствует обычной линейной операции группы в векторном пространстве, когда задан базис, то есть матричное умножение слева на векторах-столбцах. Таким образом, V отныне является правым векторным пространством над H . Даже в этом случае следует соблюдать осторожность из-за некоммутативного характера H . Детали (в основном очевидные) опускаются, потому что будут использоваться сложные представления.

При работе с кватернионными группами удобно представлять кватернионы, используя комплексные 2 × 2-матрицы,

$q\; =\; a\; 1\; +\; bi\; +\; cj\; +\; dk\; =\; \alpha \; +\; j\; \beta \; \leftrightarrow \; [\alpha \; -\; \beta \; ¯\; \beta \; \alpha \; ¯]\; =\; Q,\; q\; \in \; H,\; a,\; b,\; c,\; d\; \in \; R,\; \alpha ,\; \beta \; \in \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; a\; \backslash \; mathrm\; \{1\}\; +\; b\; \backslash \; mathrm\; \{i\}\; +\; c\; \backslash \; mathrm\; \{j\}\; +\; d\; \backslash \; mathrm\; \{k\}\; =\; \backslash \; alpha\; +\; j\; \backslash \; beta\; \backslash \; leftrightarrow\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; alpha\; -\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; beta\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; Q,\; \backslash \; quad\; q\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{H\},\; \backslash \; quad\; a,\; b,\; c,\; d\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}.\}$

(7)

В этом представлении кватернионное умножение становится матричным умножением, а кватернионное сопряжение принимает эрмитово прилегающий. Более того, если кватернион в соответствии с комплексным кодированием q = x + j y задан как вектор-столбец (x, y), то умножение слева на матричное представление кватерниона дает новый столбец вектор, представляющий правильный кватернион. Это представление немного отличается от более общего представления, найденного в статье quaternion. Более распространенное соглашение заставит умножение справа на матрице строк для достижения того же самого.

Между прочим, из приведенного выше представления становится ясно, что группа единичных кватернионов (αα + ββ = 1 = det Q) изоморфна SU (2).

Кватернионные n × n-матрицы могут, с очевидным расширением, быть представлены блочными матрицами 2n × 2n комплексных чисел. Если кто-то соглашается представить кватернионный вектор-столбец n × 1 вектором-столбцом 2n × 1 с комплексными числами в соответствии с кодировкой, приведенной выше, причем верхние n чисел являются α i, а нижние n - β i, то кватернионная n × n-матрица становится комплексной 2n × 2n-матрицей точно такой формы, как указано выше, но теперь с α и β n × n-матрицами. Более формально

$(Q)\; n\; \times \; n\; =\; (X)\; n\; \times \; n\; +\; j\; (Y)\; n\; \times \; n\; \leftrightarrow \; (X\; -\; Y\; ¯\; Y\; X\; ¯)\; 2\; n\; \times \; 2\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (Q\; \backslash \; right)\; \_\; \{n\; \backslash \; times\; n\}\; =\; \backslash \; left\; (X\; \backslash \; right)\; \_\; \{n\; \backslash \; times\; n\}\; +\; \backslash \; mathrm\; \{j\}\; \backslash \; left\; (Y\; \backslash \; right)\; \_\; \{n\; \backslash \; times\; n\}\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; X\; -\; \{\backslash \; bar\; \{Y\}\}\; \backslash \backslash \; Y\; \{\backslash \; bar\; \{X\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{2n\; \backslash \; times\; 2n\}.\}$

(8)

Матрица T ∈ GL (2n, C ) имеет форму, отображаемую в (8) тогда и только тогда, когда J n T = TJ n. С этими отождествлениями

$H\; n\; \approx \; C\; 2\; n,\; M\; n\; (H)\; \approx \; \{T\; \in \; M\; 2\; n\; (C)\; |\; J\; n\; T\; =\; T\; ¯\; J\; n,\; J\; n\; =\; (0\; I\; n\; -\; I\; n\; 0)\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{H\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{2n\},\; M\_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{H\})\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left.T\; \backslash \; in\; M\_\; \{2n\; \}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\})\; \backslash \; right\; |\; J\_\; \{n\}\; T\; =\; \{\backslash \; overline\; \{T\}\}\; J\_\; \{n\},\; \backslash \; quad\; J\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; I\_\; \{n\}\; \backslash \; \backslash \; -I\_\; \{n\}\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Пространство M n(H) ⊂ M 2n(C) является вещественной алгеброй, но не комплексным подпространством из M 2n(C). Умножение (слева) на i в M n(H) с использованием кватернионного умножения по элементам с последующим отображением на изображение в M 2n(C) дает другой результат, чем прямое умножение по записи на i. в M 2n(C). Правила кватернионного умножения дают i (X + j Y) = (i X) + j(−iY), где новые X и Y находятся внутри круглые скобки.

Действие кватернионных матриц на кватернионные векторы теперь представлено комплексными величинами, но в остальном оно такое же, как для "обычных" матриц и векторов. Таким образом, кватернионные группы вложены в M 2n (C), где n - размерность кватернионных матриц.

Определитель кватернионной матрицы определяется в этом представлении как обычный комплексный определитель ее репрезентативной матрицы. Некоммутативный характер кватернионного умножения в кватернионном представлении матриц был бы неоднозначным. Способ вложения M n(H) в M 2n(C) не уникален, но все такие вложения связаны через g ↦ AgA, g ∈ GL (2n, C ) для A ∈ O (2n, C ), не затрагивая детерминант. Имя SL (n, H ) в этом сложном облике - SU (2n).

В отличие от случая C, как эрмитов, так и косоэрмитов случай вносит что-то новое, когда рассматривается H, поэтому эти случаи рассматриваются по отдельности.

GL (n, H) и SL (n, H)

При указанном выше отождествлении

$GL\; (n,\; H)\; =\; \{g\; \in \; GL\; (2\; n,\; C)\; |\; J\; g\; =\; g\; ¯\; J,\; d\; e\; t\; g\; \ne \; 0\}\; \equiv \; U\; \ast \; (2\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; (n,\; \backslash \; mathbb\; \{H\})\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; (2n,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\; |\; Jg\; =\; \{\backslash \; overline\; \{g\}\}\; J,\; \backslash \; mathrm\; \{det\}\; \backslash \; quad\; g\; \backslash \; neq\; 0\; \backslash \}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; mathrm\; \{U\}\; ^\; \{*\}\; (2n).\}$

Его алгебра Ли gl (n, H ) - это множество всех матриц в образе отображения M n(H) ↔ M 2n(C), приведенного выше,

$gl\; (n,\; H)\; =\; \{(X\; -\; Y\; ¯\; YX\; ¯)\; |\; X,\; Y\; \in \; g\; l\; (n,\; C)\}\; \equiv \; u\; \ast \; (2\; n).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; (п,\; \backslash \; mathbb\; \{H\})\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left.\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; X\; -\; \{\backslash \; overline\; \{Y\}\}\; \backslash \backslash \; Y\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; X,\; Y\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathfrak\; \{gl\}\}\; (n,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; mathfrak\; \{u\}\; \}\; ^\; \{*\}\; (2n).\}$

Специальная кватернионная линейная группа задается формулой

$SL\; (n,\; H)\; =\; \{g\; \in \; GL\; (n,\; H)\; |\; detg\; =\; 1\}\; \equiv \; SU\; *\; (2\; n),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SL\}\; (n,\; \backslash \; mathbb\; \{H\})\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; (n,\; \backslash \; mathbb\; \{H\})\; |\; \backslash \; mathrm\; \{det\}\; \backslash \; g\; =\; 1\; \backslash \}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; mathrm\; \{SU\}\; ^\; \{*\}\; (2n),\}$

где определитель берется на матрицах в C . Алгебра Ли имеет вид

$s\; l\; (n,\; H)\; =\; \{(X\; -\; Y\; ¯\; Y\; X\; ¯)\; |\; Tr\; \; X\; =\; 0\}\; \equiv \; s\; u\; \ast \; (2\; n).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{sl\}\}\; (п,\; \backslash \; mathbb\; \{H\})\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left.\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; X\; -\; \{\backslash \; overline\; \{Y\}\}\; \backslash \backslash \; Y\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; X\; =\; 0\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; mathfrak\; \{su\}\}\; ^\; \{*\}\; (2n).\}$

Sp (p, q) - кватернионная унитарная группа

Как и выше в комплексном случае, нормальная форма имеет вид

$\phi \; (x,\; y)\; =\; \pm \; \xi \; 1\; ¯\; \eta \; 1\; \pm \; \xi \; 2\; ¯\; \eta \; 2\; \cdots \; \pm \; \xi \; N\; ¯\; \eta \; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{2\}\; \}\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{n\}\}$

, а количество знаков плюс не зависит от базиса. Когда V = H в этой форме, Sp (φ) = Sp (p, q). Причина для обозначения состоит в том, что группа может быть представлена, используя вышеуказанный рецепт, как подгруппу Sp (n, C ), сохраняющую комплексно-эрмитову форму подписи (2p, 2q) Если p или q = 0, группа обозначается U (n, H ). Иногда ее называют гиперунитарной группой .

. В кватернионной системе обозначений

$\Phi \; =\; (I\; p\; 0\; 0\; -\; I\; q)\; =\; I\; p,\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\; \}\; I\_\; \{p\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; -I\_\; \{q\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; =\; I\_\; \{p,\; q\}\}$

означает, что кватернионные матрицы вида

$Q\; =\; (X\; p\; \times \; п\; Z\; п\; \times \; q\; Z\; \ast \; Y\; q\; \times \; q),\; X\; \ast \; =\; -\; X,\; Y\; \ast \; =\; -\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{X\})\; \}\; \_\; \{p\; \backslash \; times\; p\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; \_\; \{p\; \backslash \; times\; q\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{Y\}\}\; \_\; \{q\; \backslash \; times\; q\; \}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; mathcal\; \{X\}\}\; ^\; \{*\}\; =\; -\; \{\backslash \; mathcal\; \{X\}\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{Y\}\}\; ^\; \{*\}\; =\; -\; \{\backslash \; mathcal\; \{Y\}\}\}$

(9)

удовлетворяет

$\Phi \; -\; 1\; Q\; \ast \; \Phi \; =\; -\; Q,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; Phi\; =\; -\; \{\backslash \; mathcal\; \{Q\}\},\}$

см. Раздел о u (p, q). Следует проявлять осторожность при работе с умножением кватернионных матриц, но здесь задействованы только I и -I, и они коммутируют с каждой матрицей кватернионов. Теперь примените рецепт (8) к каждому блоку,

$X\; =\; (X\; 1\; (p\; \times \; p)\; -\; X\; ¯\; 2\; X\; 2\; X\; ¯\; 1),\; Y\; =\; (Y\; 1\; (q\; \times \; q)\; -\; Y\; ¯\; 2\; Y\; 2\; Y\; ¯\; 1),\; Z\; знак\; равно\; (Z\; 1\; (p\; \times \; q)\; -\; Z\; ¯\; 2\; Z\; 2\; Z\; ¯\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{X\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; X\_\; \{\; 1\; (p\; \backslash \; times\; p)\}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; X\_\; \{2\}\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right),\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{Y\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; Y\_\; \{1\; (q\; \backslash \; times\; q)\}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{Y\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; Y\_\; \{2\}\; \{\backslash \; overline\; \{\; Y\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right),\; \{\backslash \; mathcal\; \{Z\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; Z\_\; \{1\; (p\; \backslash \; times\; q)\}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{\; Z\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; Z\_\; \{2\}\; \{\backslash \; overline\; \{Z\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right),\}$

и отношения в (9) будут выполняется, если

$X\; 1\; \ast \; =\; -\; X\; 1,\; Y\; 1\; \ast \; =\; -\; Y\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{*\}\; =\; -\; X\_\; \{1\},\; Y\_\; \{1\}\; ^\; \{*\}\; =\; -\; Y\_\; \{1\}.\}$

Алгебра Ли принимает вид

$sp\; (p,\; q)\; =\; \{([X\; 1\; (p\; \times \; p)\; -\; X\; ¯\; 2\; X\; 2\; X\; ¯\; 1]\; [Z\; 1\; (p\; \times \; q)\; -\; Z\; ¯\; 2\; Z\; 2\; Z\; ¯\; 1]\; [Z\; 1\; (p\; \times \; q)\; -\; Z\; ¯\; 2\; Z\; 2\; Z\; ¯\; 1]\; \ast \; [Y\; 1\; (q\; \times \; q)\; -\; Y\; ¯\; 2\; Y\; 2\; Y\; ¯\; 1])\; |\; X\; 1\; \ast \; =\; -\; X\; 1,\; Y\; 1\; \ast \; =\; -\; Y\; 1\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{sp\}\}\; (p,\; q)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left\; (\backslash \; left.\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; X\_\; \{1\; (p\; \backslash \; times\; p)\}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; X\_\; \{2\}\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; Z\_\; \{1\; (p\; \backslash \; times\; q)\}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{Z\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; Z\_\; \{2\}\; \{\backslash \; overline\; \{Z\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; Z\_\; \{1\; (p\; \backslash \; times\; q)\}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{Z\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; Z\_\; \{2\}\; \{\backslash \; overline\; \{Z\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ^\; \{*\}\; \{\; \backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; Y\_\; \{1\; (q\; \backslash \; times\; q)\}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{Y\}\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; Y\_\; \{2\}\; \{\backslash \; overline\; \{Y\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\; \}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; X\_\; \{1\}\; ^\; \{*\}\; =\; -\; X\_\; \{1\},\; Y\_\; \{1\}\; ^\; \{*\}\; =\; -\; Y\_\; \{1\}\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Группа задается формулой

$S\; p\; (p,\; q)\; =\; \{g\; \in \; GL\; (n,\; H)\; |\; I\; p,\; q\; -\; 1\; g\; \ast \; I\; p,\; q\; g\; =\; I\; p\; +\; q\}\; =\; \{g\; \in \; G\; L\; (2\; n,\; C)\; |\; K\; p,\; q\; -\; 1\; g\; \ast \; K\; p,\; q\; g\; =\; I\; 2\; (p\; +\; q),\; K\; =\; d\; i\; a\; g\; (I\; p,\; q,\; I\; p,\; q)\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Sp\}\; (p,\; q)\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; (n,\; \backslash \; mathbb\; \{H\})\; |\; I\_\; \{p,\; q\}\; ^\; \{-\; 1\}\; g\; ^\; \{*\}\; I\_\; \{p,\; q\}\; g\; =\; I\_\; \{p\; +\; q\}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; (2n,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\; |\; K\_\; \{p,\; q\}\; ^\; \{-\; 1\}\; g\; ^\; \{*\}\; K\_\; \{p,\; q\}\; g\; =\; I\_\; \{2\; (p\; +\; q)\},\; \backslash \; qquad\; K\; =\; \backslash \; mathrm\; \{diag\}\; (I\_\; \{p,\; q\},\; I\_\; \{p,\; q\})\; \backslash \}.\}$

Возвращаясь к нормальной форме φ (w, z) вместо Sp (p, q), сделаем замены w → u + jv и z → x + jy с u, v, x, y ∈ C . Тогда

$\phi \; (w,\; z)\; =\; [u\; \ast \; v\; \ast ]\; K\; p,\; q\; [xy]\; +\; j\; [u\; -\; v]\; K\; p,\; q\; [yx]\; =\; \phi \; 1\; (w,\; z)\; +\; j\; \phi \; 2\; (вес,\; z),\; К\; п,\; q\; знак\; равно\; диаг\; (я\; п,\; q,\; я\; п,\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (w,\; z)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; u\; ^\; \{*\}\; v\; ^\; \{*\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; K\_\; \{p,\; q\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; x\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; +\; j\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; u\; -v\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; K\_\; \{p,\; q\; \}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; y\; \backslash \backslash \; x\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; (w,\; z)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\}\; (w,\; z),\; \backslash \; qquad\; K\_\; \{p,\; q\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{diag\}\; (I\_\; \{p,\; q\},\; I\_\; \{p,\; q\})\}$

рассматривается как H -значная форма на C . Таким образом, элементы Sp (p, q), рассматриваемые как линейные преобразования C, сохраняют как эрмитову форму сигнатуры (2p, 2q), так и невырожденную кососимметричную форму. Обе формы принимают чисто комплексные значения, и из-за префактора j второй формы они сохраняются отдельно. Это означает, что

$S\; p\; (p,\; q)\; =\; U\; (C\; 2\; n,\; \phi \; 1)\; \cap \; S\; p\; (C\; 2\; n,\; \phi \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Sp\}\; (p,\; q)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{U\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{2n\},\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\; \backslash \; cap\; \backslash \; mathrm\; \{Sp\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{2n\},\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\})\}$

и это объясняет как название группы, так и обозначения.

O (2n) = O (n, H) - кватернионная ортогональная группа

Нормальная форма для косоэрмитовой формы определяется как

$\phi \; (x,\; y)\; =\; \xi \; 1\; ¯\; j\; \eta \; 1\; +\; \xi \; 2\; ¯\; j\; \eta \; 2\; \cdots \; +\; \xi \; N\; ¯\; j\; \eta \; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; xi\; \_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{n\},\}$

где j - третий базисный кватернион в упорядоченном листинге (1, i, j, k). В этом случае Aut (φ) = O (2n) может быть реализовано с использованием описанного выше комплексного матричного кодирования как подгруппа O (2n, C ), которая сохраняет невырожденный комплексный перекос. эрмитова форма подписи (n, n). Из нормальной формы видно, что в кватернионной записи

$\Phi \; =\; (j\; 0\; \cdots \; 0\; 0\; j\; \cdots \; ⋮\; ⋮\; \ddots \; 0\; \cdots \; 0\; j)\; \equiv \; jn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; 0\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; mathrm\; \{j\}\; \_\; \{n\}\}$

и из (6) следует, что

$-\; \Phi \; V\; \ast \; \Phi \; =\; -\; V\; \iff \; V\; \ast \; =\; jn\; V\; jn.\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; Phi\; V\; ^\; \{*\}\; \backslash \; Phi\; =\; -V\; \backslash \; Leftrightarrow\; V\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{j\}\; \_\; \{n\}\; V\; \backslash \; mathrm\; \{j\}\; \_\; \{n\}.\}$

(9)

для V ∈ o (2n). Теперь положим

$V\; =\; X\; +\; J\; Y\; \leftrightarrow \; (X\; -\; Y\; ¯\; YX\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; X\; +\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; Y\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; X\; -\; \{\backslash \; overline\; \{Y\; \}\}\; \backslash \backslash \; Y\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\}$

согласно предписанию (8). Тот же самый рецепт дает Φ,

$\Phi \; \leftrightarrow \; (0\; -\; I\; n\; I\; n\; 0)\; \equiv \; J\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; -I\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \; I\_\; \{n\}\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Equiv\; J\_\; \{n\}.\}$

Сейчас последнее условие в (9) в комплексной записи имеет вид

$(X\; -\; Y\; ¯\; YX\; ¯)\; \ast \; =\; (0\; -\; I\; n\; I\; n\; 0)\; (X\; -\; Y\; ¯\; YX\; ¯)\; (0\; -\; I\; n\; I\; n\; 0)\; \iff \; XT\; =\; -\; X,\; Y\; ¯\; T\; =\; Y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; X\; -\; \{\backslash \; overline\; \{Y\}\}\; \backslash \backslash \; Y\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; -I\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \; I\_\; \{n\}\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; X\; -\; \{\backslash \; overline\; \{Y\}\}\; \backslash \backslash \; Y\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 0\; -I\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \; I\_\; \{n\}\; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Leftrightarrow\; X\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; =\; -\; X,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; overline\; \{Y\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; =\; Y.\}$

Алгебра Ли принимает вид

$o\; \ast \; (2\; n)\; =\; \{(X\; -\; Y\; ¯\; YX\; ¯)\; |\; XT\; =\; -\; Икс,\; Y\; ¯\; T\; =\; Y\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{o\}\}\; ^\; \{*\}\; (2n)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left.\; \backslash \; Left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; X\; -\; \{\backslash \; над\; чертой\; \{Y\}\}\; \backslash \backslash \; Y\; \{\backslash \; overline\; \{X\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; X\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; =\; -\; X,\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; overline\; \{Y\}\}\; ^\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; =\; Y\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

и группа задается формулой

$O\; \ast \; (2\; n)\; =\; \{g\; \in \; GL\; (n,\; H)\; |\; j\; n\; -\; 1\; g\; \ast \; j\; n\; g\; =\; I\; n\}\; =\; \{g\; \in \; G\; L\; (2\; n,\; C)\; |\; J\; n\; -\; 1\; g\; \ast \; J\; n\; g\; =\; I\; 2\; n\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{O\}\; ^\; \{*\}\; (2n)\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; (n,\; \backslash \; mathbb\; \{H\})\; |\; \backslash \; mathrm\; \{j\}\; \_\; \{n\}\; ^\; \{-\; 1\}\; g\; ^\; \{*\}\; \backslash \; mathrm\; \{j\}\; \_\; \{n\}\; g\; =\; I\_\; \{n\}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{GL\}\; (2n,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\; |\; J\_\; \{n\}\; ^\; \{-\; 1\}\; g\; ^\; \{*\}\; J\_\; \{n\}\; g\; =\; I\_\; \{2n\}\; \backslash \}.\}$

Группа SO (2n) может быть охарактеризована как

$O\; \ast \; (2\; n)\; =\; \{g\; \in \; O\; (2\; n,\; C)\; |\; \theta \; (г\; ¯)\; =\; g\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{O\}\; ^\; \{*\}\; (2n)\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{O\}\; (2n,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\; |\; \backslash \; theta\; (\{\backslash \; overline\; \{g\}\})\; =\; g\; \backslash \},\}$

где отображение θ: GL (2n, C ) → GL (2n, C ) определяется как g ↦ -J 2ngJ2n. Кроме того, форму, определяющую группу, можно рассматривать как форму со значением H на C . Сделайте замены x → w 1 + iw 2 и y → z 1 + iz 2 в выражении для формы. Тогда

$\phi \; (x,\; y)\; =\; w\; ¯\; 2\; I\; nz\; 1\; -\; w\; ¯\; 1\; I\; nz\; 2\; +\; j\; (w\; 1\; I\; nz\; 1\; +\; w\; 2\; I\; nz\; 2)\; =\; \phi \; 1\; (w,\; z)\; ¯\; +\; j\; \phi \; 2\; (w,\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{w\}\}\; \_\; \{2\}\; I\_\; \{n\}\; z\_\; \{1\}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{w\}\}\; \_\; \{1\}\; I\_\; \{n\}\; z\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; (w\_\; \{1\}\; I\_\; \{n\}\; z\_\; \{1\}\; +\; w\_\; \{2\}\; I\_\; \{n\}\; z\_\; \{2\})\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; (w,\; z)\}\; \}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\}\; (w,\; z).\}$

Форма φ 1 эрмитова (в то время как первая форма в левой части косоэрмитова) подписи (n, n). Подпись становится очевидной путем изменения базы с (e, f) на ((e + i f ) / √2, (e - i f ) / √2) где e, f- это первый и последний n базисных векторов соответственно. Вторая форма, φ 2, является симметричной положительно определенной. Таким образом, благодаря множителю j, O(2n) сохраняет оба по отдельности, и можно сделать вывод, что

$O\; \ast \; (2\; n)\; =\; O\; (2\; n,\; C)\; \cap \; U\; (C\; 2\; n,\; \phi \; 1),\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{O\}\; ^\; \{*\}\; (2n)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{O\}\; (2n,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})\; \backslash \; cap\; \backslash \; mathrm\; \{U\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{2n\},\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}),\}$

и поясняется обозначение «O».

Классические группы над общими полями или алгебрами

Классические группы, более широко рассматриваемые в алгебре, предоставляют особенно интересные матричные группы. Когда поле F коэффициентов группы матриц представляет собой действительное или комплексное число, эти группы являются просто классическими группами Ли. Когда основное поле - это конечное поле, тогда классические группы - это группы лиева типа. Эти группы играют важную роль в классификации конечных простых групп. Кроме того, можно рассматривать классические группы над унитальной ассоциативной алгеброй R над F; где R = H (алгебра над вещественными числами) представляет собой важный случай. Для общности статья будет относиться к группам над R, где R может быть самим основным полем F.

Учитывая их абстрактную теорию групп, многие линейные группы имеют "специальную " подгруппу, обычно состоящую из элементов определителя 1 над основным полем, и большей части с ними связаны "проективные " частные, которые являются частными по центру группы. Для ортогональных групп в характеристике 2 "S" имеет другое значение.

Слово «general » перед именем группы обычно означает, что группе разрешено умножать какую-либо форму на константу, а не оставлять ее фиксированной. Нижний индекс n обычно указывает размер модуля , на который действует группа; это векторное пространство , если R = F. Предостережение: эта нотация несколько противоречит n диаграмм Дынкина, то есть рангу.

Общие и специальные линейные группы

Общая линейная группа GLn(R) - это группа всех R-линейных автоморфизмов R. Существует подгруппа: специальная линейная группа SLn(R) и их частные: проективная общая линейная группа PGL n (R) = GL n (R) / Z (GL n (R)) и проективная специальная линейная группа PSL n (R) = SL n (R) / Z (SL n (R)). Проективная специальная линейная группа PSL n (F) над полем F проста для n ≥ 2, за исключением двух случаев, когда n = 2 и поле имеет порядок 2 или 3.

Унитарные группы

Унитарная группа Un(R) - это группа, сохраняющая полуторалинейную форму на модуле. Существует подгруппа специальная унитарная группа SUn(R) и их частные проективная унитарная группа PUn(R) = U n (R) / Z (U n (R)) и проективная специальная унитарная группа PSU n (R) = SU n (R) / Z (SU n (R))

Симплектические группы

симплектическая группа Sp2n(R) сохраняет кососимметричную форму на модуль. У него есть фактор, проективная симплектическая группа PSp 2n (R). Общая симплектическая группа GSp 2n (R) состоит из автоморфизмов модуля, умножающего кососимметрическую форму на некоторый обратимый скаляр. Проективная симплектическая группа PSp 2n(Fq) над конечным полем проста при n ≥ 1, за исключением случаев PSp 2 над полями из двух и трех элементов.

Ортогональные группы

Ортогональная группа On(R) сохраняет невырожденную квадратичную форму на модуле. Существует подгруппа, специальная ортогональная группа SOn(R) и факторы, проективная ортогональная группа POn(R) и специальная проективная ортогональная группа PSO п (R). В характеристике 2 определитель всегда равен 1, поэтому специальная ортогональная группа часто определяется как подгруппа элементов инварианта Диксона 1.

Существует безымянная группа, часто обозначаемая Ω n (R), состоящая из элементов ортогональной группы элементов спинорной нормы 1, с соответствующей подгруппой и фактор-группы SΩ n (R), PΩ n (R), PSΩ n (R). (Для положительно определенных квадратичных форм над вещественными числами группа Ω совпадает с ортогональной группой, но в целом меньше.) Существует также двойное покрытие Ω n (R), называется группой контактов Pin n (R), и у нее есть подгруппа, называемая спиновой группой Spin n (R). Общая ортогональная группа GOn(R) состоит из автоморфизмов модуля, умножающего квадратичную форму на некоторый обратимый скаляр.

Условные обозначения

Контраст с исключительными группами Ли

В отличие от классических групп Ли исключительные группы Ли, G 2, F 4, E 6, E 7, E 8, которые разделяют их абстрактные свойства, но не их знакомство. Они были обнаружены только около 1890 года при классификации простых алгебр Ли над комплексными числами Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном.

Примечания

Ссылки

• Э. Артин (1957) Геометрическая алгебра, Interscience
• Дьедонне, Жан (1955), La géométrie des groupes classiques, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Grenzgebiete (NF), Heft 5, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-05391-2, MR 0072144
• Goodman, Roe; Уоллах, Нолан Р. (2009), Симметрия, представления и инварианты, Тексты для выпускников по математике, 255, Springer-Verlag, ISBN 978 -0-387-79851-6
• Кнапп, AW (2002). Группы лжи за пределами введения. Успехи в математике. 120 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• В.Л. Попов (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - Введение в линейные группы, Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0 19 859683 9