Войти
В алгебре ядро гомоморфизма (функция, которая сохраняет структуру ) обычно является инверсным изображением 0 (за исключением групп операция которого обозначается мультипликативно, где ядро является прообразом 1). Важным частным случаем является ядро линейного отображения. Ядро матрицы, также называемое нулевым пространством, является ядром линейной карты, определяемой матрицей.
Ядро гомоморфизма сводится к 0 (или 1) тогда и только тогда, когда гомоморфизм инъективен, то есть если прообраз каждого элемента состоит из одного элемента. Это означает, что ядро можно рассматривать как меру степени, в которой гомоморфизм не может быть инъективным.
Для некоторых типов структур, таких как абелевы группы и вектор пробелов, возможные ядра - это в точности подструктуры одного типа. Это не всегда так, и иногда возможные ядра получили специальное имя, например, нормальная подгруппа для групп и двусторонние идеалы для колец.
Ядра позволяют определять фактор-объекты (также называемые фактор-алгебрами в универсальной алгебре и коядрами в теории категорий ). Для многих типов алгебраической структуры основная теорема о гомоморфизмах (или первая теорема об изоморфизме ) утверждает, что образ гомоморфизма изоморфен к частному по ядру.
Концепция ядра была расширена на такие структуры, что прообраз отдельного элемента не достаточно для решения, является ли гомоморфизм инъективным. В этих случаях ядро является отношением конгруэнтности .
Эта статья представляет собой обзор некоторых важных типов ядер в алгебраических структурах.
Пусть V и W будут векторными пространствами над полем (или, в более общем смысле, модулями над кольцо ) и пусть T будет линейным отображением из V в W. Если 0Wявляется нулевым вектором W, то ядро T является прообраз нулевого подпространства {0W}; то есть подмножество V, состоящее из всех тех элементов V, которые отображаются T в элемент 0W. Ядро обычно обозначается как ker T или его вариант:
Поскольку линейное отображение сохраняет нулевые векторы, нулевой вектор 0VV должен принадлежать ядру. Преобразование T инъективно тогда и только тогда, когда его ядро сводится к нулевому подпространству.
Ядро ker T всегда является линейным подпространством в V. Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-пространстве V / (ker T). Первая теорема об изоморфизме для векторных пространств утверждает, что это фактор-пространство естественно изоморфно образу из T (который является подпространством в W). Как следствие, размер V равен размерности ядра плюс размер изображения.
Если V и W являются конечномерными и были выбраны основания, то T можно описать матрицей M, и ядро может быть вычислено путем решения однородной системы линейных уравнений Mv= 0. В этом случае ядро T может быть идентифицировано с ядром матрицы M, также называемым «нулевым пространством» M. Размерность нулевого пространства, называемая нулевым пространством M, задается следующим образом: количество столбцов M минус ранг M, как следствие теоремы о нулевом ранге.
Решение однородных дифференциальных уравнений часто сводится к вычислению ядра некоторые дифференциальные операторы. Например, чтобы найти все дважды- дифференцируемые функции f из вещественной прямой к самой себе такие, что
пусть V - пространство всех дважды дифференцируемых функций, пусть W - пространство всех функций, и определить линейный оператор T из V в W следующим образом:
для f в V и x произвольное вещественное число. Тогда все решения дифференциального уравнения лежат в ker T.
Аналогичным образом можно определить ядра для гомоморфизмов между модулями над кольцом . Это включает ядра для гомоморфизмов между абелевыми группами как частный случай. Этот пример отражает суть ядер в целом абелевых категорий ; см. Ядро (теория категорий).
Пусть G и H являются группами и пусть f будет гомоморфизмом групп из G в H. Если e H является элементом идентичности H, тогда ядро f является прообразом одноэлементного набора {e H }; то есть подмножество G, состоящее из всех тех элементов G, которые отображаются функцией f в элемент e H. Ядро обычно обозначают ker f (или его разновидность). В символах:
Поскольку гомоморфизм группы сохраняет элементы идентичности, элемент идентичности e G группы G должно принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество {e G }. Это верно, потому что если гомоморфизм f не инъективен, то существует 
Оказывается, ker f является не только подгруппой группы G, но фактически нормальной подгруппой. Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-группе G / (ker f). первая теорема об изоморфизме для групп утверждает, что эта фактор-группа естественно изоморфна образу f (который является подгруппой H).
В частном случае абелевых групп это работает точно так же, как в предыдущем разделе.
Пусть G будет циклической группой из 6 элементов {0,1,2,3,4,5} с модульным сложением, H - циклический на 2 элементах {0,1} с модулярным сложением, а f - гомоморфизм, который отображает каждый элемент g из G в элемент g по модулю 2 из H. Тогда ker f = {0, 2, 4}, поскольку все эти элементы отображаются в 0 H. Фактор-группа G / (ker f) состоит из двух элементов: {0,2,4} и {1,3,5}. Он действительно изоморфен H.
Пусть R и S будут кольцами (предполагается унитальным ) и пусть f будет кольцевой гомоморфизм от R к S. Если 0 S является нулевым элементом S, то ядро f является его ядром как линейное отображение над целыми числами, или, эквивалентно, как аддитивные группы. Это прообраз нулевого идеала {0S}, то есть подмножества R, состоящего из всех тех элементов R, которые отображаются с помощью f в элемент 0 S. Ядро обычно обозначают ker f (или его разновидность). В символах:
Поскольку гомоморфизм колец сохраняет нулевые элементы, нулевой элемент 0 R R должен принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество {0 R }. Это всегда так, если R является полем, а S не является нулевым кольцом.
Поскольку ker f содержит мультипликативную единицу только тогда, когда S является нулевым кольцом, оказывается, что Ядро обычно не является подкольцом R. Ядро - это подкольцо rng, а точнее, двусторонний идеал R. Таким образом, оно имеет смысл говорить о кольце частных R / (ker f). Первая теорема об изоморфизме колец утверждает, что это фактор-кольцо естественно изоморфно образу f (который является подкольцом S). (обратите внимание, что кольца не обязательно должны быть единичными для определения ядра).
В некоторой степени это можно рассматривать как частный случай ситуации для модулей, поскольку все они являются бимодулями над кольцом R:
Однако теорема об изоморфизме дает более сильный результат, поскольку изоморфизмы колец сохраняют умножение, в то время как изоморфизмы модулей (даже между кольцами) в общем случае нет.
Этот пример отражает суть ядер в целом Алгебры Мальцева.
Пусть M и N будут моноидами и пусть f будет гомоморфизм моноида от M к N. Тогда ядро f является подмножеством прямого произведения M × M, состоящего из всех этих упорядоченных пар элементов M компоненты которого обе отображаются с помощью f в один и тот же элемент в N. Ядро обычно обозначается ker f (или его разновидность). В символах:
Поскольку f является функцией , элементы формы (m, m) должны принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только диагональное множество {(m, m): m в M}.
Оказывается, ker f является отношением эквивалентности на M, и на самом деле отношением конгруэнтности. Таким образом, имеет смысл говорить о моноиде фактор-моноид M / (ker f). Первая теорема об изоморфизме для моноидов утверждает, что этот фактор-моноид естественно изоморфен образу f (который является подмоноидом из N) (для отношения конгруэнтности).
Это сильно отличается от приведенных выше примеров. В частности, прообраза единичного элемента N недостаточно для определения ядра f.
Все вышеперечисленные случаи могут быть объединены и обобщены в универсальной алгебре.
Пусть A и B - алгебраические структуры данного типа и пусть f - гомоморфизм этого типа из A в B. Тогда ядро f является подмножеством прямого произведения A × A, состоящего из всех этих упорядоченных пары элементов A, компоненты которых отображаются с помощью f в один и тот же элемент в B. Ядро обычно обозначается ker f (или его разновидностью). В символах:
Поскольку f является функцией , элементы формы (a, a) должны принадлежать ядру.
Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является в точности диагональное множество {(a, a): a∈A}.
Легко видеть, что ker f является отношением эквивалентности на A, и на самом деле отношением конгруэнтности. Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-алгебре A / (ker f). Первая теорема об изоморфизме в общей универсальной алгебре утверждает, что эта фактор-алгебра естественно изоморфна образу f (который является подалгеброй алгебры B).
Обратите внимание, что определение ядра здесь (как в примере моноида) не зависит от алгебраической структуры; это чисто теоретическая концепция. Подробнее об этой общей концепции, помимо абстрактной алгебры, см. Ядро функции.
В случае алгебр Мальцева эту конструкцию можно упростить. Каждая алгебра Мальцева имеет специальный нейтральный элемент (нулевой вектор в случае векторных пространств, тождественный элемент в в случае коммутативных групп и нулевого элемента в случае колец или модулей). Характерной чертой алгебры Мальцева является то, что мы можем восстановить все отношение эквивалентности ker f из класса эквивалентности нейтрального элемента.
Чтобы быть конкретным, пусть A и B - алгебраические структуры Мальцева данного типа, и пусть f - гомоморфизм этого типа от A к B. Если e B - нейтральный элемент B, тогда ядро f является прообразом из одноэлементного набора {eB}; то есть подмножество A, состоящее из всех тех элементов A, которые отображаются функцией f в элемент e B. Ядро обычно обозначают ker f (или его разновидность). В символах:
Поскольку гомоморфизм алгебры Мальцева сохраняет нейтральные элементы, тождественный элемент e A из A должен принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество {e A }.
Понятие идеала обобщается на любую алгебру Мальцева (как линейное подпространство в случае векторных пространств, нормальная подгруппа в случай групп, двусторонние идеалы в случае колец и подмодуль в случае модулей ). Оказывается, ker f не является подалгеброй алгебры A, но является идеалом. Тогда имеет смысл говорить о фактор-алгебре G / (ker f). Первая теорема об изоморфизме алгебр Мальцева утверждает, что эта фактор-алгебра естественно изоморфна образу f (который является подалгеброй в B).
Связь между этим и отношением конгруэнтности для более общих типов алгебр заключается в следующем. Во-первых, ядро как идеал - это класс эквивалентности нейтрального элемента e A относительно ядра как конгруэнции. Для обратного направления нам понадобится понятие частного в алгебре Мальцева (которое представляет собой деление с обеих сторон для групп и вычитание для векторных пространств, модули и кольца). Используя это, элементы a и b из A эквивалентны в соответствии с конгруэнцией ядра как a тогда и только тогда, когда их фактор a / b является элементом ядра как идеала.
Иногда алгебры снабжены неалгебраической структурой в дополнение к их алгебраическим операциям. Например, можно рассматривать топологические группы или топологические векторные пространства, снабженные топологией . В этом случае мы ожидаем, что гомоморфизм f сохранит эту дополнительную структуру; в топологических примерах мы хотели бы, чтобы f было непрерывным отображением. Процесс может натолкнуться на препятствия с фактор-алгебрами, которые могут быть некорректными. В топологических примерах мы можем избежать проблем, потребовав, чтобы топологические алгебраические структуры были хаусдорфовы (как это обычно делается); тогда ядро (как бы оно ни было построено) будет замкнутым множеством, а факторное пространство будет работать нормально (а также по Хаусдорфу).
Понятие ядра в теории категорий является обобщением ядер абелевых алгебр; см. Ядро (теория категорий). Категорическим обобщением ядра как отношения конгруэнтности является пара ядер. (Существует также понятие разностного ядра или двоичного эквалайзера.)
