В математике нулевой элемент является одним из нескольких обобщений число ноль для других алгебраических структур. Эти альтернативные значения могут сводиться или не сводиться к одному и тому же, в зависимости от контекста.
Аддитивные тождества - это элемент идентичности в аддитивной группе. Он соответствует элементу 0 такому, что для всех x в группе 0 + x = x + 0 = x. Вот некоторые примеры аддитивной идентичности:
поглощающий элемент в мультипликативной полугруппе или полукольце обобщает свойство 0 ⋅ x = 0. Примеры включают:
Многие поглощающие элементы также являются аддитивными тождествами, включая пустое множество и нулевая функция. Другим важным примером является выделенный элемент 0 в поле или кольцо, которое является как аддитивным тождеством, так и мультипликативным поглощающим элементом, и чей главный идеал является наименьшим идеалом.
A нулевой объект в категории одновременно являются начальным и конечным объектами (и поэтому идентичность в обоих копродукциях и продукты ). Например, тривиальная структура (содержащая только идентичность) - это нулевой объект в категориях, где морфизмы должны отображать идентичности в идентичности. Конкретные примеры включают:
A нулевой морфизм в категории является обобщенным поглощающим элементом при функциональной композиции : любой морфизм, составленный с нулевым морфизмом, дает нулевой морфизм. В частности, если 0 XY : X → Y - нулевой морфизм среди морфизмов из X в Y, а f: A → X и g: Y → B - произвольные морфизмы, тогда g ∘ 0 XY = 0 XB и 0 XY ∘ f = 0 AY.
Если в категории есть нулевой объект 0, тогда существуют канонические морфизмы X → 0 и 0 → Y, и их составление дает нулевой морфизм 0 XY : X → Y. В категории групп, например, нулевые морфизмы - это морфизмы, которые всегда возвращают групповые тождества, таким образом обобщая функцию z (x) = 0.
A наименьший элемент в частично упорядоченном множестве или решетке иногда можно назвать нулевым элементом, и записывается как 0 или.
В математике нулевой модуль - это модуль, состоящий только из аддитивной идентичности. для функции сложения модуля. В целых числах этот идентификатор равен нулю, что дает имя нулевого модуля. То, что нулевой модуль на самом деле является модулем, просто показать; он замыкается при сложении и умножении тривиально.
В математике, ноль идеал в кольце - это идеальный , состоящий только из аддитивной идентичности (или ноль элемент). То, что это идеал, следует прямо из определения.
В математике, в частности линейной алгебре, нулевая матрица представляет собой матрицу со всеми его записями равными нулю. Он также обозначается символом . Вот некоторые примеры нулевых матриц:
Набор матриц размером m × n с элементами кольца K образует модуль . Нулевая матрица в - матрица, все элементы которой равны , где - аддитивная идентичность в K.
Нулевая матрица - это аддитивная единица в . То есть для всех :
Существует ровно одна нулевая матрица любого заданного размера m × n (с элементами из данного кольца), поэтому, когда контекст ясен, часто ссылаются на нулевую матрицу. В общем, нулевой элемент кольца уникален и обычно обозначается как 0 без нижнего индекса, указывающего на родительское кольцо. Следовательно, приведенные выше примеры представляют нулевые матрицы над любым кольцом.
Нулевая матрица также представляет собой линейное преобразование, которое отправляет все векторы в нулевой вектор.
В математике нулевой тензор представляет собой тензор любого порядка, все компоненты которого равны нулю. Нулевой тензор порядка 1 иногда называют нулевым вектором.
Взятие тензорного произведения любого тензора с любым нулевым тензором приводит к другому нулевому тензору. Добавление нулевого тензора эквивалентно тождественной операции.