Нулевой элемент

редактировать

В математике нулевой элемент является одним из нескольких обобщений число ноль для других алгебраических структур. Эти альтернативные значения могут сводиться или не сводиться к одному и тому же, в зависимости от контекста.

Содержание
  • 1 Аддитивные идентичности
  • 2 Поглощающие элементы
  • 3 Нулевые объекты
  • 4 Нулевые морфизмы
  • 5 Наименьшие элементы
  • 6 Нулевой модуль
  • 7 Нулевой идеал
  • 8 Нулевая матрица
  • 9 Нулевой тензор
  • 10 См. Также
  • 11 Ссылки
Аддитивные тождества

Аддитивные тождества - это элемент идентичности в аддитивной группе. Он соответствует элементу 0 такому, что для всех x в группе 0 + x = x + 0 = x. Вот некоторые примеры аддитивной идентичности:

Поглощающие элементы

поглощающий элемент в мультипликативной полугруппе или полукольце обобщает свойство 0 ⋅ x = 0. Примеры включают:

Многие поглощающие элементы также являются аддитивными тождествами, включая пустое множество и нулевая функция. Другим важным примером является выделенный элемент 0 в поле или кольцо, которое является как аддитивным тождеством, так и мультипликативным поглощающим элементом, и чей главный идеал является наименьшим идеалом.

Нулевые объекты

A нулевой объект в категории одновременно являются начальным и конечным объектами (и поэтому идентичность в обоих копродукциях и продукты ). Например, тривиальная структура (содержащая только идентичность) - это нулевой объект в категориях, где морфизмы должны отображать идентичности в идентичности. Конкретные примеры включают:

  • тривиальная группа, содержащая только идентичность (нулевой объект в категории групп )
  • нулевой модуль, содержащий только идентичность (нулевой объект в категории модулей над кольцом)
Нулевые морфизмы

A нулевой морфизм в категории является обобщенным поглощающим элементом при функциональной композиции : любой морфизм, составленный с нулевым морфизмом, дает нулевой морфизм. В частности, если 0 XY : X → Y - нулевой морфизм среди морфизмов из X в Y, а f: A → X и g: Y → B - произвольные морфизмы, тогда g ∘ 0 XY = 0 XB и 0 XY ∘ f = 0 AY.

Если в категории есть нулевой объект 0, тогда существуют канонические морфизмы X → 0 и 0 → Y, и их составление дает нулевой морфизм 0 XY : X → Y. В категории групп, например, нулевые морфизмы - это морфизмы, которые всегда возвращают групповые тождества, таким образом обобщая функцию z (x) = 0.

Наименьшие элементы

A наименьший элемент в частично упорядоченном множестве или решетке иногда можно назвать нулевым элементом, и записывается как 0 или.

Нулевой модуль

В математике нулевой модуль - это модуль, состоящий только из аддитивной идентичности. для функции сложения модуля. В целых числах этот идентификатор равен нулю, что дает имя нулевого модуля. То, что нулевой модуль на самом деле является модулем, просто показать; он замыкается при сложении и умножении тривиально.

Нулевой идеал

В математике, ноль идеал в кольце R {\ displaystyle R}R - это идеальный {0} {\ displaystyle \ {0 \}}\ {0 \} , состоящий только из аддитивной идентичности (или ноль элемент). То, что это идеал, следует прямо из определения.

Нулевая матрица

В математике, в частности линейной алгебре, нулевая матрица представляет собой матрицу со всеми его записями равными нулю. Он также обозначается символом O {\ displaystyle O}O . Вот некоторые примеры нулевых матриц:

0 1, 1 = [0], 0 2, 2 = [0 0 0 0], 0 2, 3 = [0 0 0 0 0 0], {\ displaystyle 0_ {1, 1} = {\ begin {bmatrix} 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,2} = {\ begin {bmatrix} 0 0 \\ 0 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,3} = {\ begin {bmatrix} 0 0 0 \\ 0 0 0 \ end {bmatrix}}, \}0_ {1,1} = {\ begin {bmatrix} 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,2} = {\ begin {bmatrix} 0 0 \\ 0 0 \ end {bmatrix}}, \ 0_ {2,3} = {\ begin {bmatrix} 0 0 0 \\ 0 0 0 \ end {bmatrix}}, \

Набор матриц размером m × n с элементами кольца K образует модуль K m, п {\ displaystyle K_ {m, n}}K_ {m, n} . Нулевая матрица 0 К m, n {\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}}}0_ {{K _ {{m, n}}}} в K m, n {\ displaystyle K_ {m, n}}K_ {m, n} - матрица, все элементы которой равны 0 K {\ displaystyle 0_ {K}}0_ {K} , где 0 K {\ displaystyle 0_ {K}}0_ {K} - аддитивная идентичность в K.

0 К м, n = [0 К 0 К ⋯ 0 К 0 К 0 К ⋯ 0 К ⋮ ⋮ ⋮ 0 К 0 К ⋯ 0 К] {\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} = {\ begin {bmatrix} 0_ {K} 0_ {K} \ cdots 0_ {K} \\ 0_ {K} 0_ {K} \ cdots 0_ {K} \\\ vdots \ vdots \ vdots \\ 0_ {K} 0_ {K} \ cdots 0_ {K} \ end {bmatrix}}}0_ {K_ {m, n}} = {\ begin {bmatrix} 0_ {K} 0_ {K} \ cdots 0_ {K} \\ 0_ {K} 0_ {K} \ cdots 0_ {K} \\\ vdots \ vdots \ vdots \\ 0_ {K} 0_ {K} \ cdots 0_ {K} \ end {bmatrix}}

Нулевая матрица - это аддитивная единица в K m, n {\ displaystyle К_ {м, н}}K_ {m, n} . То есть для всех A ∈ K m, n {\ displaystyle A \ in K_ {m, n}}A \ in K_ {m, n} :

0 K m, n + A = A + 0 K m, n = A {\ displaystyle 0_ {K_ {m, n}} + A = A + 0_ {K_ {m, n}} = A}0_ {K_ {m, n}} + A = A + 0_ {K_ {m, n}} = A

Существует ровно одна нулевая матрица любого заданного размера m × n (с элементами из данного кольца), поэтому, когда контекст ясен, часто ссылаются на нулевую матрицу. В общем, нулевой элемент кольца уникален и обычно обозначается как 0 без нижнего индекса, указывающего на родительское кольцо. Следовательно, приведенные выше примеры представляют нулевые матрицы над любым кольцом.

Нулевая матрица также представляет собой линейное преобразование, которое отправляет все векторы в нулевой вектор.

Нулевой тензор

В математике нулевой тензор представляет собой тензор любого порядка, все компоненты которого равны нулю. Нулевой тензор порядка 1 иногда называют нулевым вектором.

Взятие тензорного произведения любого тензора с любым нулевым тензором приводит к другому нулевому тензору. Добавление нулевого тензора эквивалентно тождественной операции.

См. Также
Ссылки
  1. ^ " Исчерпывающий список символов алгебры ». Математическое хранилище. 2020-03-25. Проверено 12 августа 2020 г.
  2. ^Вайсштейн, Эрик У. «Нулевой вектор». mathworld.wolfram.com. Проверено 12 августа 2020 г.
  3. ^«Определение нулевого вектора». www.merriam-webster.com. Проверено 12 августа 2020 г.
Последняя правка сделана 2021-06-23 08:42:24
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте