Арифметические операции
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Умножение (часто обозначается крест символом ×, в середине линии оператора точка ⋅, путем противопоставления, или, на компьютерах, с помощью звездочки *) является одним из четырех элементарных математических операций по арифметике, с другими из них являются дополнением, вычитание и деление. Результат операции умножения называется произведением.
Умножение целых чисел можно рассматривать как повторное сложение ; то есть умножение двух чисел эквивалентно сложению такого количества копий одного из них, множимого, как количество другого, множителя. Оба числа можно назвать факторами.
Например, 4, умноженное на 3, которое часто пишется и произносится как «3 умножить на 4», можно вычислить, сложив 3 копии 4 вместе:
Здесь 3 ( множитель) и 4 ( множимое) - множители, а 12 - произведение.
Одним из основных свойств умножения является свойство коммутативности, которое в данном случае гласит, что добавление 3 копий 4 дает тот же результат, что и добавление 4 копий 3:
Таким образом, обозначение множителя и множимого не влияет на результат умножения.
Умножение целых чисел (включая отрицательные числа), рациональных чисел (дробей) и действительных чисел определяется систематическим обобщением этого основного определения.
Умножение также можно представить себе как подсчет объектов, расположенных в прямоугольнике (для целых чисел), или как нахождение площади прямоугольника, стороны которого имеют заданную длину. Площадь прямоугольника не зависит от того, какая сторона измеряется первой - следствие коммутативности.
Произведение двух измерений - это новый тип измерения. Например, умножение длин двух сторон прямоугольника дает его площадь. Такие изделия подлежат анализу размеров.
Обратная операция умножения - это деление. Например, поскольку 4, умноженное на 3, равняется 12, 12, разделенное на 3, равняется 4. Действительно, умножение на 3 с последующим делением на 3 дает исходное число. Деление числа, отличного от 0, само по себе равно 1.
Умножение также определено для других типов чисел, таких как комплексные числа, и более абстрактных конструкций, таких как матрицы. Для некоторых из этих более абстрактных конструкций имеет значение порядок, в котором операнды перемножаются. Список множества различных видов продуктов, используемых в математике, приведен в разделе Продукт (математика).
В арифметике умножение часто записывается с использованием знака « » между терминами (т. Е. В инфиксной записи ). Например,
Знак кодируется в Юникоде как U + 00D7 × ЗНАК УМНОЖЕНИЯ (HTML amp;#215;
amp;times;
).
Есть и другие математические обозначения умножения:
В компьютерном программировании, то звездочка (как в 5*2
) по- прежнему является наиболее распространенной нотацией. Это связано с тем, что большинство компьютеров исторически были ограничены небольшими наборами символов (такими как ASCII и EBCDIC ), в которых отсутствовал знак умножения (например, ⋅
или ×
), в то время как звездочка появлялась на каждой клавиатуре. Это использование возникло в языке программирования FORTRAN.
Умножаемые числа обычно называют « множителями ». Умножаемое число - это «множимое», а число, на которое оно умножается, - «множитель». Обычно множитель ставится первым, а множимое - вторым; однако иногда первый фактор - это множимое, а второй - множитель. Кроме того, поскольку результат умножения не зависит от порядка множителей, различие между «множимым» и «множителем» полезно только на очень элементарном уровне и в некоторых алгоритмах умножения, таких как длинное умножение. Поэтому в некоторых источниках термин «множимое» рассматривается как синоним слова «множитель». В алгебре число, которое является множителем переменной или выражения (например, 3 в 3 xy 2), называется коэффициентом.
Результат умножения называется произведением. Произведение целых чисел является кратным каждому множителю. Например, 15 является произведением 3 и 5 и одновременно кратно 3 и 5.
Обычные методы умножения чисел с помощью карандаша и бумаги требуют таблицы умножения запомненных или проверенных произведений малых чисел (обычно любых двух чисел от 0 до 9), однако один метод, алгоритм крестьянского умножения, этого не делает. Пример ниже иллюстрирует «длинное умножение» («стандартный алгоритм», «умножение в начальной школе»):
23958233 × 5830 ——————————————— 00000000 ( = 23,958,233 × 0) 71874699 ( = 23,958,233 × 30) 191665864 ( = 23,958,233 × 800) + 119791165 ( = 23,958,233 × 5,000) ——————————————— 139676498390 ( = 139,676,498,390 )
Умножение чисел более чем на пару десятичных знаков вручную утомительно и подвержено ошибкам. Для упрощения таких вычислений были изобретены десятичные логарифмы, поскольку сложение логарифмов эквивалентно умножению. Правило слайд позволило номер, чтобы быстро умножается до трех мест точности. Начиная с начала 20 века механические калькуляторы, такие как Marchant, автоматизировали умножение до 10-значных чисел. Современные электронные компьютеры и калькуляторы значительно снизили потребность в ручном умножении.
Методы умножения были задокументированы в трудах древнеегипетской, греческой, индийской и китайской цивилизаций.
Кости Ishango, от примерно 18 000 до 20 000 г. до н.э., могут намекнуть на знании умножения в верхнепалеолитической эре в Центральной Африке, но это умозрительно.
Египетский метод умножения целых чисел и дробей, описанный в папирусе Ахмеса, заключался в последовательном сложении и удвоении. Например, чтобы найти произведение 13 и 21, нужно было трижды удвоить 21, получив 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168. Затем можно найти полный продукт, добавив соответствующие термины, найденные в последовательности удвоения:
В вавилонянах использовали шестидесятеричную систему позиционного номера, аналогичную современный день десятичной системы счисления. Таким образом, вавилонское умножение было очень похоже на современное десятичное умножение. Из-за относительной сложности запоминания 60 × 60 различных произведений вавилонские математики использовали таблицы умножения. Эти таблицы состояли из списка первых двадцати кратных некоторого главного числа n: n, 2 n,..., 20 n ; за которыми следуют кратные 10 n: 30 n, 40 n и 50 n. Затем, чтобы вычислить любое шестидесятеричное произведение, скажем, 53 n, нужно всего лишь сложить 50 n и 3 n, вычисленные по таблице.
В математическом тексте « Чжуби Суаньцзин», датированном до 300 г. до н.э., и « Девяти главах по математическому искусству» вычисления умножения были записаны словами, хотя ранние китайские математики использовали исчисление Стержня, включающее добавление значений числа, вычитание, умножение и деление. Китайцы уже использовали десятичную таблицу умножения к концу периода Сражающихся царств.
Современный метод умножения, основанный на индийско-арабской системе счисления, впервые был описан Брахмагуптой. Брахмагупта дал правила сложения, вычитания, умножения и деления. Генри Берчард Файн, в то время профессор математики Принстонского университета, написал следующее:
Эти алгоритмы десятичной арифметики с числовым значением были введены в арабские страны Аль Хорезми в начале 9 века и популяризированы в западном мире Фибоначчи в 13 веке.
Умножение методом сетки или метод ящика используется в начальных школах Англии и Уэльса, а также в некоторых районах США, чтобы научить понимать, как работает многозначное умножение. Примером умножения 34 на 13 может быть расположение чисел в виде сетки, например:
30 | 4 | |
---|---|---|
10 | 300 | 40 |
3 | 90 | 12 |
а затем добавьте записи.
Классический метод умножения двух n- значных чисел требует n 2- значных умножений. Были разработаны алгоритмы умножения, которые значительно сокращают время вычислений при умножении больших чисел. Методы, основанные на дискретном преобразовании Фурье, снижают вычислительную сложность до O ( n log n log log n). Недавно коэффициент log log n был заменен функцией, которая увеличивается намного медленнее, хотя она все еще не постоянна (как можно надеяться).
В марте 2019 года Дэвид Харви и Джорис ван дер Ховен представили статью, в которой был представлен алгоритм целочисленного умножения с заявленной сложностью. Алгоритм, также основанный на быстром преобразовании Фурье, предположительно является асимптотически оптимальным. Алгоритм не считается практически полезным, так как его преимущества проявляются только при умножении очень больших чисел (имеющих более 2 172912 бит).
Можно только осмысленно складывать или вычитать количества одного и того же типа, но количества разных типов можно без проблем умножать или делить. Например, четыре мешочка с тремя шариками в каждом можно представить как:
Когда два измерения умножаются вместе, продукт имеет тип, зависящий от типов измерений. Общая теория дается размерным анализом. Этот анализ обычно применяется в физике, но также находит применение в финансах и других прикладных областях.
Типичным примером в физике является тот факт, что умножение скорости на время дает расстояние. Например:
В этом случае единицы часов аннулируются, оставляя продукт только с единицами километров.
Другие примеры умножения с участием единиц включают:
Произведение последовательности факторов может быть записано с помощью символа продукта, который происходит от заглавной буквы (пи) в греческом алфавите (так же, как заглавная буква (сигма) используется в контексте суммирования ). Позиция Unicode U + 220F ∏ содержит глиф для обозначения такого продукта, отличный от U + 03A0 Π, письмо. Значение этого обозначения определяется следующим образом:
то есть
Нижний индекс дает символ связанной переменной ( в данном случае i), называемый «индексом умножения», вместе с ее нижней границей ( 1), тогда как верхний индекс (здесь 4) дает ее верхнюю границу. Нижняя и верхняя границы - это выражения, обозначающие целые числа. Коэффициенты произведения получаются путем взятия выражения, следующего за оператором произведения, с последовательными целочисленными значениями, заменяющими индекс умножения, начиная с нижней границы и увеличиваясь на 1 до (включительно) верхней границы. Например:
В более общем смысле обозначение определяется как
где m и n - целые числа или выражения, которые оцениваются как целые числа. В случае, когда m = n, стоимость продукта такая же, как и у единственного фактора x m ; если m gt; n, продукт является пустым продуктом, значение которого равно 1, независимо от выражения для факторов.
По определению,
Если все факторы идентичны, произведение n факторов эквивалентно возведению в степень :
Из ассоциативности и коммутативности умножения следует
если a - неотрицательное целое число, или если все положительные действительные числа, и
если все неотрицательные целые числа или если x - положительное действительное число.
Можно также рассматривать произведения из бесконечно большого числа членов; они называются бесконечными произведениями. Условно это состоит в замене n выше на символ бесконечности ∞. Произведение такой бесконечной последовательности определяется как предел произведения первых n членов, поскольку n неограниченно возрастает. То есть,
Аналогичным образом можно заменить m на отрицательную бесконечность и определить:
при условии, что существуют оба предела.
Для действительных и комплексных чисел, которые включают, например, натуральные числа, целые числа и дроби, умножение имеет определенные свойства:
Другие математические системы, которые включают операцию умножения, могут не обладать всеми этими свойствами. Например, умножение, как правило, не коммутативно для матриц и кватернионов.
В книге Arithmetices Начал нова methodo exposita, Пеано предложила аксиому арифметики на основе его аксиом для натуральных чисел. В арифметике Пеано есть две аксиомы умножения:
Здесь S ( у) представляет преемника из Y, или натуральное число, которое следует у. Различные свойства, такие как ассоциативность, могут быть доказаны с помощью этих и других аксиом арифметики Пеано, включая индукцию. Например, S (0), обозначаемый 1, является мультипликативным тождеством, потому что
Аксиомы для целых чисел обычно определяют их как классы эквивалентности упорядоченных пар натуральных чисел. Модель основана на обработке ( x, y) как эквивалента x - y, когда x и y рассматриваются как целые числа. Таким образом, и (0,1), и (1,2) эквивалентны −1. Аксиома умножения для целых чисел, определенная таким образом, имеет вид
Правило, согласно которому −1 × −1 = 1, может быть получено из
Умножение распространяется аналогичным образом на рациональные числа, а затем и на действительные числа.
Произведение неотрицательных целых чисел может быть определено с помощью теории множеств с использованием кардинальных чисел или аксиом Пеано. См. Ниже, как распространить это на умножение произвольных целых чисел, а затем произвольных рациональных чисел. Произведение действительных чисел определяется в терминах произведений рациональных чисел, см. Построение действительных чисел.
Есть много множеств, которые при операции умножения удовлетворяют аксиомам, определяющим структуру группы. Эти аксиомы - замыкание, ассоциативность, включение элемента идентичности и обратное.
Простым примером является набор ненулевых рациональных чисел. Здесь у нас есть тождество 1, в отличие от групп при сложении, где тождество обычно равно 0. Обратите внимание, что с рациональными числами мы должны исключить ноль, потому что при умножении он не имеет обратного: нет рационального числа, которое можно умножить на нуль, что приведет к 1. В этом примере у нас есть абелева группа, но это не всегда так.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим набор обратимых квадратных матриц заданной размерности над заданным полем. Здесь просто проверить замыкание, ассоциативность и включение единицы ( единичной матрицы ) и обратного. Однако умножение матриц не коммутативно, что показывает, что эта группа неабелева.
Еще один факт, на который стоит обратить внимание, заключается в том, что целые числа при умножении не являются группой, даже если мы исключим ноль. В этом легко убедиться по отсутствию инверсии для всех элементов, кроме 1 и −1.
Умножение в теории групп обычно обозначается точкой или сопоставлением (пропуск символа операции между элементами). Таким образом, умножая элемент а, с помощью элемента Ь может быть нотированы в виде Ь или аб. При обращении к группе через указание набора и работы используется точка. Например, наш первый пример может быть обозначен.
Числа можно сосчитать (3 яблока), заказать (3-е яблоко) или измерить (3,5 фута в высоту); По мере того как история математики продвигалась от счета на пальцах к моделированию квантовой механики, умножение было обобщено на более сложные и абстрактные типы чисел, а также на вещи, которые не являются числами (например, матрицы ) или не очень похожи на числа ( такие как кватернионы ).
Когда умножение повторяется, результирующая операция называется возведением в степень. Например, произведение трех множителей два (2 × 2 × 2) есть «два в третьей степени» и обозначается как 2 3, двойка с верхним индексом три. В этом примере число два - это основание, а три - показатель степени. Как правило, показатель степени (или надстрочный индекс) указывает, сколько раз основание встречается в выражении, так что выражение
указывает, что необходимо перемножить n копий основания a. Это обозначение может использоваться всякий раз, когда известно, что умножение является ассоциативным по степени.