Порядковый номер преемника

В теории множеств, то преемник из порядкового числа альфа является наименьшим порядковым большее число, чем  альфа. Порядковый номер, являющийся преемником, называется порядковым номером преемника.

• 1 Недвижимость
• 2 В модели фон Неймана
• 3 Порядковое сложение
• 4 Топология
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Каждый ординал, отличный от 0, является либо порядковым номером-преемником, либо предельным порядковым номером.

Используя порядковые числа фон Неймана (стандартная модель порядковых чисел, используемая в теории множеств), преемник S ( α ) порядкового числа α задается формулой

${\ Displaystyle S (\ альфа) = \ альфа \ чашка \ {\ альфа \}.}$

Поскольку порядок порядковых чисел задается формулой α  lt;  β тогда и только тогда, когда α  ∈  β, сразу видно, что между α и S ( α ) нет порядкового числа, а также очевидно, что α  lt;  S ( α ).

Операция преемника может использоваться для строгого определения порядкового сложения с помощью трансфинитной рекурсии следующим образом:

${\ Displaystyle \ альфа + 0 = \ альфа \!}$

${\ Displaystyle \ альфа + S (\ бета) = S (\ альфа + \ бета)}$

а для предельного ординала λ

${\ Displaystyle \ альфа + \ лямбда = \ bigcup _ {\ бета lt;\ лямбда} (\ альфа + \ бета)}$

В частности, S ( α ) = α + 1. Умножение и возведение в степень определяются аналогично.

Точки-последователи и ноль являются изолированными точками класса порядковых чисел по отношению к порядковой топологии.

• Порядковая арифметика
• Предельный порядковый номер
• Кардинал-преемник