Войти
В математике топология порядка - это определенная топология, который может быть определен на любом полностью упорядоченном наборе. Это естественное обобщение топологии вещественных чисел на произвольные полностью упорядоченные множества.
Если X является полностью упорядоченным набором, топология порядка на X генерируется суббазой «открытых лучей»
для всех a, b в X. При условии, что X имеет по крайней мере два элемента, это эквивалентно утверждению, что открытые интервалы
вместе с указанными выше лучами образуют базу для топологии порядка. Открытые множества в X - это множества, которые являются объединением (возможно, бесконечного множества) таких открытых интервалов и лучей.
A топологическое пространство X называется упорядочиваемым, если существует общий порядок на его элементах, такой, что топология порядка, индуцированная этим порядком, и данная топология на X совпадают. Топология порядка превращает X в полностью нормальное пространство Хаусдорфа.
Стандартные топологии на R, Q, Zи N являются топологиями порядка.
Если Y является подмножеством X, то Y наследует общий порядок от X. Таким образом, множество Y имеет топологию порядка, индуцированную топологию порядка . Как подмножество X, Y также имеет топологию подпространства . Топология подпространства всегда по крайней мере такая же точная, как топология индуцированного порядка, но в целом они не одинаковы.
Например, рассмотрим подмножество Y = {–1} ∪ {1 / n} n∈Nв рациональных числах. При топологии подпространства одноэлементное множество {–1} открыто в Y, но при топологии индуцированного порядка любое открытое множество, содержащее –1, должно содержать все, кроме конечного числа членов пространства.
Хотя топология подпространства Y = {–1} ∪ {1 / n} n∈Nв показанный выше раздел не порождается индуцированным порядком на Y, тем не менее, это топология порядка на Y; действительно, в топологии подпространства каждая точка изолирована (т. е. одноэлемент {y} открыт в Y для каждого y в Y), поэтому топология подпространства - это дискретная топология на Y (топология, в которой каждое подмножество Y является открытым set), а дискретная топология на любом множестве является порядковой топологией. Чтобы определить общий порядок на Y, который генерирует дискретную топологию на Y, просто измените индуцированный порядок на Y, определив -1 как наибольший элемент Y и в остальном сохраняя тот же порядок для других точек, чтобы в этом новом порядке (назовем его <1) мы имеем 1 / n <1–1 для всех n ∈ N . Тогда в топологии порядка на Y, порожденной <1, каждая точка Y изолирована в Y.
Мы хотим определить здесь подмножество Z линейно упорядоченного топологического пространства X, такое, что не будет полного порядка на Z генерирует топологию подпространства на Z, так что топология подпространства не будет топологией порядка, даже если это топология подпространства пространства, топология которого является топологией порядка.
Пусть 
аргумент следует. Предположим от противного, что существует некоторый строгий общий порядок < on Z such that the order topology generated by < is equal to the subspace topology on Z (note that we are not assuming that < is the induced order on Z, but rather an arbitrarily given total order on Z that generates the subspace topology). In the following, interval notation should be interpreted relative to the < relation. Also, if A and B are sets,
Пусть M = Z \ {-1}, единичный интервал. М связан. Если m, n ∈ M и m < -1 < n, then 
Могут быть даны несколько вариантов топологии порядка:
Топологии левого и правого порядка могут использоваться для получения контрпримеров в общей топологии. Например, топология левого или правого порядка на ограниченном множестве обеспечивает пример компактного пространства, которое не является хаусдорфовым.
Топология левого порядка - это стандартная топология, используемая для многих теоретико-множественных целей в булевой алгебре.
для любого порядкового числа λ можно рассматривать пространства порядковых чисел
![{\ displaystyle [0, \ lambda] = \ {\ alpha \ mid \ alpha \ leq \ lambda \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e469e57aa87041df20c6275a3b21c0795321ce7)
вместе с топологией естественного порядка. Эти пробелы называются порядковыми пробелами . (Заметим, что в обычном теоретико-множественном построении порядковых чисел λ = [0, λ) и λ + 1 = [0, λ]). Очевидно, что эти пространства представляют наибольший интерес, когда λ - бесконечный ординал; в противном случае (для конечных ординалов) топология порядка - это просто дискретная топология.
Когда λ = ω (первый бесконечный порядковый номер), пространство [0, ω) равно N с обычная (все еще дискретная) топология, в то время как [0, ω] - это одноточечная компактификация элемента N.
. Особый интерес представляет случай, когда λ = ω 1, множество все счетные порядковые числа и первый несчетный порядковый номер. Элемент ω 1 является предельной точкой подмножества [0, ω 1), даже если нет последовательности элементов в [0, ω 1) имеет элемент ω 1 в качестве своего предела. В частности, [0, ω 1 ] не является подсчитываемым первым. Подпространство [0, ω 1) является, однако, счетным первым, поскольку единственной точкой без счетного локальной базы является ω 1. Некоторые дополнительные свойства включают в себя
Любой порядковый номер может быть преобразован в топологическое пространство, наделив его топологией порядка (поскольку, будучи хорошо упорядоченным, порядковый номер, в частности, полностью упорядочен ): при отсутствии указания на обратное всегда используется топология этого порядка это имеется в виду, когда порядковый номер рассматривается как топологическое пространство. (Обратите внимание, что если мы готовы принять соответствующий класс в качестве топологического пространства, тогда класс всех ординалов также является топологическим пространством для топологии порядка.)
Набор предельных точек ординала α - это в точности набор предельных ординалов меньших, чем α. Последовательные порядковые номера (и ноль) меньше α - это изолированные точки в α. В частности, конечные ординалы и ω являются дискретными топологическими пространствами, и никакие другие ординалы не являются дискретными. Ординал α компактен как топологическое пространство тогда и только тогда, когда α порядковый номер-последователь.
Замкнутые множества предельного ординала α - это просто замкнутые множества в том смысле, что мы имеем уже определено, а именно те, которые содержат предельный порядковый номер, если они содержат все достаточно большие порядковые числа ниже него.
Любой порядковый номер, конечно, является открытым подмножеством любого последующего порядкового номера. Мы также можем определить топологию ординалов следующим индуктивным способом: 0 - это пустое топологическое пространство, α + 1 получается, если взять одноточечную компактификацию элемента α, а для δ - предельный ординал, δ имеет топологию предела индукции. Заметим, что если α - последовательный ординал, то α компактно, и в этом случае его одноточечная компактификация α + 1 является несвязным объединением α и точки.
В качестве топологических пространств все ординалы Хаусдорфа и даже нормальные. Они также полностью разъединены (связанные компоненты - это точки), разбросаны (каждый непустой набор имеет изолированную точку; в этом случае просто возьмите наименьший элемент), нульмерный (топология имеет открытый базис: здесь запишем открытый интервал (β, γ) как объединение открытых интервалов (β, γ '+ 1) = [β + 1, γ'] для γ '<γ). However, they are not экстремально несвязно вообще (есть открытые множества, например четные числа из ω, замыкание которых не открыто).
Топологические пространства ω 1 и его преемник ω 1 +1 часто используются как учебные примеры несчетных топологических пространств. Например, в топологическом пространстве ω 1 +1 элемент ω 1 находится в замыкании подмножества ω 1, хотя ни одна последовательность элементов в ω 1 не имеет элемента ω 1 в качестве своего предела : элемент в ω 1 является счетным множеством; для любой последовательности таких множеств объединение этих множеств является объединением счетного числа счетных множеств, поэтому все еще счетное; это union - это верхняя граница элементов последовательности и, следовательно, предел последовательности, если он есть.
Пространство ω 1 является подсчитываемым первым, но не подсчитываемым вторым, а ω 1 +1 не имеет ни одного из этих двух свойств, несмотря на то, что он компактный. Также стоит отметить, что любая непрерывная функция от ω 1 до R (вещественная линия ) в конечном итоге постоянна: поэтому Стоун – Чех компактификация из ω 1 равна ω 1 +1, так же, как и его одноточечная компактификация (в резком контрасте с ω, чья компактификация Стоуна – Чеха намного больше, чем ω).
Если α - предельный порядковый номер, а X - набор, α-индексированная последовательность элементов X просто означает функцию от α до X. Это понятие, трансфинитная последовательность или последовательность с порядковым индексом, является обобщением концепции последовательности. Обычная последовательность соответствует случаю α = ω.
Если X является топологическим пространством, мы говорим, что α-проиндексированная последовательность элементов X сходится к пределу x, когда она сходится как net, другими словами, когда задана любая В окрестности U точки x существует ординал β <α such that xι, лежащий в U для всех ι≥β.
Последовательности с порядковым индексом более эффективны, чем обычные (ω-индексированные) последовательности для определения ограничений в топологии: например, ω 1(омега-один, набор всех счетных порядковых чисел и наименьшее несчетное порядковое число), является предельной точкой ω 1 +1 (потому что это предельный порядковый номер), и, действительно, это предел ω 1 - индексированная последовательность, которая отображает любой порядковый номер, меньший, чем ω 1, в себя: однако это не предел любой обычной (ω-индексированной) последовательности в ω 1, поскольку любой такой предел меньше или равно объединению его элементов, которое является счетным объединением счетных множеств, следовательно, само счетное.
Однако последовательности с порядковым индексом недостаточно эффективны, чтобы заменить сети (или фильтры ) в целом: например, на доске Тихонова (пространство продукта 
