Полностью отключенное пространство

В топологии и связанных разделов математики, полностью отключенное пространство - это топологическое пространство, которое максимально отключено, в том смысле, что оно не имеет нетривиальные связанные подмножества. В каждом топологическом пространстве синглтоны (и, когда оно считается связным, пустое множество) связаны; в полностью отключенном пространстве это единственные связанные подмножества.

Важным примером полностью отключенного пространства является набор Кантора. Другой пример, играющий ключевую роль в теории алгебраических чисел, - это поле Qpс p-адическими числами.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Свойства
• 4 Создание полностью отключенного пространства
• 5 Ссылки
• 6 См. Также

Топологическое пространство X полностью отключено, если подключен компоненты в X являются одноточечными множествами. Аналогично, топологическое пространство X является полностью разъединенным по пути, если все компоненты пути в X являются одноточечными множествами.

Ниже приведены примеры полностью несвязанных пространств:

• Дискретные пространства
• рациональные числа
• иррациональные числа
• p-адические числа ; в более общем смысле все проконечные группы полностью отключены.
• Канторовское множество и Канторовское пространство
• Бэровское пространство
• Линия Зоргенфри
• Каждое пространство Хаусдорфа малой индуктивной размерности 0 полностью разъединено
• Пространство Эрдеша ℓ $\cap \; Q\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \backslash \; cap\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; ^\; \{\backslash \; omega\}\}$- это полностью несвязное хаусдорфово пространство, не имеющее малой индуктивной размерности 0.
• Экстремально несвязное хаусдорфово пространство
• Каменные пространства
• Веер Кнастера – Куратовски представляет собой пример связного пространства, так что удаление одной точки дает полностью отключенное пространство.

• Подпространства, продукты и копроизведения полностью несвязанных пространств полностью отключены.
• Полностью несвязанные пространства - это T1пробелы, поскольку синглтоны закрыты.
• Непрерывные образы полностью разъединенных пространств не обязательно полностью разъединены, на самом деле, каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом канторовского множества.
• A локально компактного Хаусдорфова пространства имеет малую индуктивную размерность 0 тогда и только тогда, когда оно полностью разъединено.
• Каждое полностью разъединенное компактное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству счетного произведения дискретные пространства.
• В целом неверно, что каждое открытое множество в полностью несвязанном пространстве также является замкнутым.
• В общем случае неверно, что закрытие каждого открытого множества в полностью несвязанном пространстве открыто, т.е. не каждое полностью несвязное хаусдорфово пространство является экстремально несвязным.

Пусть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$будет произвольным топологическим пространством. Пусть $x\; \sim \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; sim\; y\}$тогда и только тогда, когда $y\; \in \; conn\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{conn\}\; (x)\}$(где $conn\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{conn\}\; (x)\}$обозначает наибольшее связное подмножество, содержащее $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$). Очевидно, что это отношение эквивалентности, классы эквивалентности которого являются связными компонентами $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Наделите $X\; /\; \sim \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; /\; \{\backslash \; sim\}\}$факторной топологией , т. Е. лучшую топологию, составляющую карту $m:\; x\; \mapsto \; conn\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; m:\; x\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; mathrm\; \{conn\}\; (x)\}$непрерывно. Приложив немного усилий, мы можем увидеть, что $X\; /\; \sim \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; /\; \{\backslash \; sim\}\}$полностью отключен. У нас также есть следующее универсальное свойство : if $f:\; X\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; rightarrow\; Y\}$непрерывное отображение в полностью несвязанное пространство $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$, тогда существует уникальная непрерывная карта $f\; ˘:\; (X\; /\; \sim )\; \to \; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; breve\; \{f\}\}\; :(\; X\; /\; \backslash \; sim)\; \backslash \; rightarrow\; Y\}$с $f\; =\; f\; ˘\; \circ \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \{\backslash \; breve\; \{f\}\}\; \backslash \; circ\; m\}$.

• Уиллард, Стивен (2004), Общая топология, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43479-7, MR 2048350 (перепечатка оригинала 1970 года, MR 0264581 )

• Экстремально отключенное пространство
• Полностью отключенные группы.