Метрическое пространство

В математике, метрическое пространство является набор вместе с метрикой на множестве. Метрика - это функция, которая определяет понятие расстояния между любыми двумя элементами набора, которые обычно называются точками. Метрика удовлетворяет нескольким простым свойствам. Неформально:

• расстояние от до равно нулю тогда и только тогда, когда и являются одной и той же точкой,${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$
• расстояние между двумя разными точками положительное,
• расстояние от до такое же, как расстояние от до, и${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$
• расстояние от до меньше или равно расстоянию от до через любую третью точку.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$

Метрика в пространстве индуцирует топологические свойства, такие как открытые и замкнутые множества, которые приводят к изучению более абстрактных топологических пространств.

Наиболее известное метрическое пространство - трехмерное евклидово пространство. Фактически, «метрика» - это обобщение евклидовой метрики, возникающее из четырех давно известных свойств евклидова расстояния. Евклидова метрика определяет расстояние между двумя точками как длину соединяющего их отрезка прямой. Другие метрические пространства встречаются, например, в эллиптической геометрии и гиперболической геометрии, где расстояние на сфере, измеренное углом, является метрикой, а гиперболоидная модель гиперболической геометрии используется специальной теорией относительности как метрическое пространство скоростей. Некоторые из негеометрических метрических пространств включают пространства конечных строк ( конечных последовательностей символов из заранее определенного алфавита), снабженные, например, расстоянием Хэмминга или Левенштейна, пространством подмножеств любого метрического пространства, снабженным расстоянием Хаусдорфа, пространством вещественных функции, интегрируемые на единичном интервале с интегральной метрикой или вероятностные пространства на любом выбранном метрическом пространстве, снабженном метрикой Вассерштейна. См. Также раздел § Примеры метрических пространств. ${\ displaystyle d (f, g) = \ int _ {x = 0} ^ {x = 1} \ left \ vert f (x) -g (x) \ right \ vert \, dx}$

• 1 История
• 2 Определение
• 3 Примеры метрических пространств
• 4 Открытые и замкнутые множества, топология и сходимость
• 5 Типы метрических пространств
  • 5.1 Полные пространства
  • 5.2 Ограниченные и вполне ограниченные пространства
  • 5.3 Компактные пространства
  • 5.4 Локально компактные и собственные пространства
  • 5.5 Связность
  • 5.6 Разделимые пространства
  • 5.7 Точечные метрические пространства
• 6 Типы карт между метрическими пространствами
  • 6.1 Непрерывные карты
  • 6.2 Равномерно непрерывные отображения
  • 6.3 Липшицевы отображения и сжатия
  • 6.4 Изометрии
  • 6.5 Квазиизометрии
• 7 Понятия эквивалентности метрических пространств
• 8 Топологические свойства
• 9 Расстояние между точками и наборами; Расстояние Хаусдорфа и метрика Громова
• 10 метрических пространств продукта
  • 10.1 Непрерывность дистанции
• 11 Факторметрические пространства
• 12 Обобщения метрических пространств
  • 12.1 Метрические пространства как расширенные категории
• 13 См. Также
• 14 Ссылки
• 15 Дальнейшее чтение
• 16 Внешние ссылки

В 1906 году Морис Фреше ввел метрические пространства в своей работе Sur quelques points du Calcul fonctionnel. Однако имя принадлежит Феликсу Хаусдорфу.

Метрическое пространство является упорядоченной парой, где есть множество и является метрикой на, то есть, функция ${\ displaystyle (M, d)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle d \, \ двоеточие M \ times M \ to \ mathbb {R}}$

такое, что для любого имеет место следующее: ${\ displaystyle x, y, z \ in M}$

1.	${\ displaystyle d (x, y) = 0 \ iff x = y}$	идентичность неразличимых
2.	${\ Displaystyle д (х, у) = д (у, х)}$	симметрия
3.	${\ displaystyle d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)}$	субаддитивность или неравенство треугольника

Учитывая три вышеупомянутые аксиомы, мы также имеем это для любого. Это выводится следующим образом (сверху вниз): ${\ Displaystyle д (х, у) \ geq 0}$${\ displaystyle x, y \ in M}$

${\ displaystyle d (x, y) + d (y, x) \ geq d (x, x)}$	неравенством треугольника
${\ displaystyle d (x, y) + d (x, y) \ geq d (x, x)}$	по симметрии
${\ Displaystyle 2d (х, у) \ geq 0}$	по идентичности неразличимых
${\ Displaystyle д (х, у) \ geq 0}$	у нас есть неотрицательность

Эта функция также называется функцией расстояния или просто расстоянием. Часто опускается и пишется просто для метрического пространства, если из контекста ясно, какая метрика используется. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle M}$

Игнорируя математические детали, для любой системы дорог и местности расстояние между двумя точками можно определить как длину кратчайшего маршрута, соединяющего эти точки. Чтобы быть метрикой, не должно быть дорог с односторонним движением. Неравенство треугольника выражает тот факт, что объездные пути не являются сокращением. Если расстояние между двумя точками равно нулю, эти две точки неотличимы друг от друга. Многие из приведенных ниже примеров можно рассматривать как конкретные версии этой общей идеи.

• В действительных числах с функцией расстояния, заданная абсолютной разностью, и, в более общем плане, евклидов п -пространством с евклидовым расстоянием, являются полными метрическими пространствами. В рациональных числах с одной и той же функцией расстояния также образуют метрическое пространство, но не полный.${\ displaystyle d (x, y) = | yx |}$
• В положительных действительных числах с функцией расстояния является полным метрическим пространством.${\ Displaystyle д (х, у) = \ влево | \ журнал (у / х) \ вправо |}$
• Любое нормированное векторное пространство является метрическим пространством по определению, см. Также метрики в векторных пространствах. (Если такое пространство полно, мы называем его банаховым пространством. ) Примеры: ${\ Displaystyle d (х, y) = \ lVert yx \ rVert}$
  • Manhattan норма порождает Манхэттен расстояние, где расстояние между любыми двумя точками, или векторами, является суммой разностей между соответствующими координатами.
  • Циклическая метрика Мангейма или расстояние Мангейма - это вариант манхэттенской метрики по модулю.
  • Максимальная норма порождает расстояние Чебышева или шахматным расстояние, минимальное количество ходов шахматный король бы путешествовать от до.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$
• British Rail Метрика (также называется «почтовое отделение Метрика» или « SNCF метрика») на нормированном векторном пространстве задается для различных точек и, и. В более общем смысле может быть заменена функцией, принимающей произвольный набор неотрицательных вещественных чисел и принимающей значение не более одного раза: тогда метрика определяется с помощью для различных точек и, и. Название намекает на тенденцию железнодорожных путешествий проходить через Лондон (или Париж) независимо от их конечного пункта назначения.${\ displaystyle d (x, y) = \ lVert x \ rVert + \ lVert y \ rVert}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle d (х, х) = 0}$${\ displaystyle \ lVert \ cdot \ rVert}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle д (х, у) = е (х) + е (у)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle d (х, х) = 0}$
• Если это метрическое пространство и является подмножеством из, то становится метрическим пространство, ограничивая область с. ${\ displaystyle (M, d)}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle X \ раз X}$
• Дискретная метрика, где, если и в противном случае, это простой, но важный пример, и может быть применена ко всем множествам. Это, в частности, показывает, что для любого набора всегда есть связанное с ним метрическое пространство. Используя эту метрику, одноэлемент любой точки является открытым шаром, поэтому каждое подмножество открыто, а пространство имеет дискретную топологию. ${\ displaystyle d (x, y) = 0}$${\ displaystyle x = y}$${\ Displaystyle д (х, у) = 1}$
• Конечное метрическое пространство - это метрическое пространство с конечным числом точек. Не всякое конечное метрическое пространство может быть изометрически вложено в евклидово пространство.
• Гиперболическая плоскость является метрическим пространством. В более общем смысле:
  • Если это любое связное риманово многообразие, то мы можем превратиться в метрическое пространство, определив расстояние между двумя точками как нижнюю грань длин путей (непрерывно дифференцируемых кривых ), соединяющих их.${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$
• Если некоторое множество и метрическое пространство, то множество всех ограниченных функций (то есть те функции, образ которого является ограниченным подмножеством в) можно превратить в метрическое пространство, определив для любых двух ограниченных функций и (где это супремум ). Эта метрика называется равномерной метрикой или метрикой супремума, и если она полная, то это функциональное пространство также полно. Если X также является топологическим пространством, то множество всех ограниченных непрерывных функций от до (наделенных равномерной метрикой) также будет полной метрикой, если M является.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до M}$ ${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle d (е, г) = \ sup _ {х \ in X} d (е (х), г (х))}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ sup}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$
• Если это неориентированный связный граф, то множество вершин можно превратить в метрическое пространство, задав длину кратчайшего пути, соединяющего вершины и. В геометрической теории групп это применяется к графу Кэли группы, в результате чего получается слово «метрика». ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle д (х, у)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$
• Расстояние редактирования графа - это мера различия между двумя графами, определяемая как минимальное количество операций редактирования графа, необходимых для преобразования одного графа в другой.
• Расстояние Левенштейна является мерой несходства между двумя строками и, определяется как минимальное количество символов делеций, вставок или замещений необходимо преобразовать в. Это можно рассматривать как частный случай метрики кратчайшего пути на графике и является одним из примеров расстояния редактирования. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$
• Учитывая метрическое пространство и возрастающую вогнутую функцию, такую, что если и только если, то также является метрикой на.${\ displaystyle (X, d)}$ ${\ Displaystyle е \ двоеточие [0, \ infty) \ к [0, \ infty)}$${\ displaystyle f (x) = 0}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle f \ circ d}$${\ displaystyle X}$
• Дано инъективную функцию из любого множества в метрическом пространстве, определяет метрику.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (X, d)}$${\ Displaystyle д (е (х), е (у))}$${\ displaystyle A}$
• Используя T-теорию, узкая оболочка метрического пространства также является метрическим пространством. Тесный интервал полезен в нескольких типах анализа.
• Множество матриц all by над некоторым полем является метрическим пространством по отношению к ранговому расстоянию.${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle d (X, Y) = \ mathrm {rank} (YX)}$
• Метрика Хелли используется в теории игр.

Каждое метрическое пространство является топологическим пространством естественным образом, и поэтому все определения и теоремы об общих топологических пространствах также применимы ко всем метрическим пространствам.

О любой точке в метрическом пространстве мы определяем открытый шар радиуса (где - действительное число) примерно как множество ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle rgt; 0}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle В (х; г) = \ {у \ в М: d (х, у) lt;г \}.}$

Эти открытые шары образуют основу топологии на M, что делает его топологическим пространством.

Явно, подмножество из называется открытым, если для каждого в существует такое, что содержится в. Дополнение открытого множества называется закрытым. Окрестности точки является любое подмножество, которое содержит открытый шар о качестве подмножества. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle rgt; 0}$${\ Displaystyle В (х; г)}$${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x}$

Топологическое пространство, которое может возникнуть таким образом из метрического пространства, называется метризуемым пространством.

Последовательность () в метрическом пространстве называется сходятся к пределу, если и только если для каждого существует натуральное число N такое, что для всех. Равным образом можно использовать общее определение сходимости, имеющееся во всех топологических пространствах. ${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle x \ in M}$ ${\ displaystyle \ varepsilongt; 0}$${\ Displaystyle д (х_ {п}, х) lt;\ varepsilon}$${\ displaystyle ngt; N}$

Подмножество метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда каждая последовательность в нем сходится к пределу в, имеет предел в. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$

Полные пространства

Основная статья: Полное метрическое пространство

Метрическое пространство называется полным, если каждая последовательность Коши сходится в. То есть: если оба и независимо уходят в бесконечность, то есть некоторая с. ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {m}) \ to 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle y \ in M}$${\ displaystyle d (x_ {n}, y) \ to 0}$

Каждое евклидово пространство полно, как и любое замкнутое подмножество полного пространства. Рациональные числа, использующие метрику абсолютного значения, не являются полными. ${\ Displaystyle д (х, у) = \ верт ху \ верт}$

Каждое метрическое пространство имеет уникальное (с точностью до изометрии ) пополнение, которое представляет собой полное пространство, содержащее данное пространство как плотное подмножество. Например, реальные числа - это завершение рациональных чисел.

Если - полное подмножество метрического пространства, то замкнуто в. В самом деле, пространство полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто в любом содержащем метрическом пространстве. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$

Каждое полное метрическое пространство является пространством Бэра.

Ограниченные и вполне ограниченные пространства

Диаметр комплекта. См. Также: ограниченное множество

Метрическое пространство называется${\ displaystyle M}$ ограничен, если существует какое-то число, такое, чтодля всех наименьшее возможное такоеназывается${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle д (х, у) \ leq г}$${\ displaystyle x, y \ in M.}$${\ displaystyle r}$ Диаметр отПространстваназываетсяпредкомпактенили полностью ограничен если для каждогосуществует конечного число открытых шаров радиуса, объединениеохватываетПоскольку множество центров этих шаров конечно, она имеет конечный диаметр, из которого следует (используя неравенство треугольника), что всякое вполне ограниченное пространство ограничено. Обратное неверно, поскольку любому бесконечному множеству может быть дана дискретная метрика (один из приведенных выше примеров), при которой оно ограничено, но не полностью. ${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle rgt; 0}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle M.}$

Обратите внимание, что в контексте интервалов в пространстве действительных чисел и иногда регионов в евклидовом пространстве ограниченное множество называется «конечным интервалом» или «конечной областью». Однако, как правило, ограниченность не следует путать с «конечным», которое относится к количеству элементов, а не к тому, насколько далеко простирается множество; конечность влечет ограниченность, но не наоборот. Также обратите внимание, что неограниченное подмножество может иметь конечный объем. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Компактные пространства

Метрическое пространство компактно, если каждая последовательность в имеет подпоследовательность, сходящуюся к точке в. Это известно как секвенциальная компактность и в метрических пространствах (но не в общих топологических пространствах) эквивалентно топологическим понятиям счетной компактности и компактности, определяемым через открытые накрытия. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$

Примеры компактных метрических пространств включают отрезок с метрикой абсолютного значения, все метрические пространства с конечным числом точек и множество Кантора. Каждое замкнутое подмножество компакта само компактно. ${\ displaystyle [0,1]}$

Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. Это известно как теорема Гейне – Бореля. Отметим, что компактность зависит только от топологии, а ограниченность - от метрики.

Номер лемма Лебега утверждает, что для каждого открытого покрытия компактного метрического пространства, существует «число лебеговой» таким образом, что каждое подмножество из диаметра содержится в некотором элементе покрытия. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle г lt;\ дельта}$

Каждое компактное метрическое пространство является вторым счетным и является непрерывным образом множества Кантора. (Последний результат принадлежит Павлу Александрову и Урысону. )

Локально компактные и собственные пространства

Метрическое пространство называется локально компактным, если каждая точка имеет компактную окрестность. Евклидовы пространства локально компактны, а бесконечномерные банаховы пространства - нет.

Пространство является собственным, если каждый замкнутый шар компактен. Собственные пространства локально компактны, но обратное, вообще говоря, неверно. ${\ Displaystyle \ {у \, \ двоеточие d (х, у) \ Leq г \}}$

Связность

Метрическое пространство является связано, если только подмножеством, которые являются одновременно открытыми и закрытыми являются пустым множеством и сами. ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$

Метрическое пространство является линейно связным, если для любых двух точек существует непрерывное отображение с и. Каждое пространство, связанное путями, связано, но в общем случае обратное неверно. ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle x, y \ in M}$${\ Displaystyle е \ двоеточие [0,1] \ к М}$${\ displaystyle f (0) = x}$${\ displaystyle f (1) = y}$

Существуют также локальные версии этих определений: пространства с локальной связью и пространства с локальной связью по путям.

Односвязные пространства - это те, в которых в определенном смысле нет «дыр».

Разделимые пространства

Метрическое пространство называется сепарабельным, если у него есть счетное плотное подмножество. Типичные примеры - действительные числа или любое евклидово пространство. Для метрических пространств (но не для общих топологических пространств) сепарабельность эквивалентна второй счетности, а также свойству Линделёфа.

Остроконечные метрические пространства

Если - метрическое пространство, то называется точечным метрическим пространством и называется выделенной точкой. Обратите внимание, что метрическое пространство с точками - это просто непустое метрическое пространство с выделенной точкой, и что любое непустое метрическое пространство можно рассматривать как метрическое пространство с точками. Выделенная точка иногда обозначается из-за ее аналогичного поведения нулю в определенных контекстах. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x_ {0} \ in X}$${\ displaystyle (X, x_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle 0}$

Предположим, что и - два метрических пространства. ${\ displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$${\ displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$

Непрерывные карты

Основная статья: Непрерывная функция (топология)

Карта является непрерывной, если она имеет одно (и, следовательно, все) из следующих эквивалентных свойств: ${\ displaystyle f \, \ двоеточие M_ {1} \ to M_ {2}}$

Общая топологическая непрерывность

для каждого открытого множества в, то прообраз открыт в${\ displaystyle U}$${\ displaystyle M_ {2}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} [U]}$${\ displaystyle M_ {1}}$

Это общее определение непрерывности в топологии.

Последовательная преемственность

if - последовательность в, сходящаяся к, то последовательность сходится к in.${\ displaystyle (x_ {n})}$${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle (е (х_ {п}))}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle M_ {2}}$

Это последовательная преемственность, благодаря Эдуарду Гейне.

определение ε-δ

для всех и каждого существует такое, что для всех в нас есть ${\ Displaystyle х \ в M_ {1}}$${\ displaystyle \ varepsilongt; 0}$${\ displaystyle \ deltagt; 0}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle M_ {1}}$

${\ displaystyle d_ {1} (x, y) lt;\ delta \ подразумевает d_ {2} (f (x), f (y)) lt;\ varepsilon.}$

Здесь используется (ε, δ) -определение предела, принадлежащее Огюстену Луи Коши.

Более того, непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно на каждом компактном подмножестве. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M_ {1}}$

Изображение каждого компактного множества при непрерывной функции компактно, и изображение каждого подключенного множества при непрерывной функции связанно.

Равномерно непрерывные карты

Карта является равномерно непрерывным, если для любого существует такое, что ${\ displaystyle f \, \ двоеточие M_ {1} \ to M_ {2}}$ ${\ displaystyle \ varepsilongt; 0}$${\ displaystyle \ deltagt; 0}$

${\ displaystyle d_ {1} (x, y) lt;\ delta \ подразумевает d_ {2} (f (x), f (y)) lt;\ varepsilon \ quad {\ t_dv {для всех}} \ quad x, y \ in M_ {1}.}$

Всякая равномерно непрерывная карта непрерывна. Обратное верно, если он компактен ( теорема Гейне – Кантора ). ${\ displaystyle f \, \ двоеточие M_ {1} \ to M_ {2}}$${\ displaystyle M_ {1}}$

Равномерно непрерывные отображения превращают последовательности Коши в последовательности Коши в. Для непрерывных карт это обычно неверно; например, непрерывное отображение открытого интервала на действительную прямую превращает некоторые последовательности Коши в неограниченные последовательности. ${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle M_ {2}}$${\ displaystyle (0,1)}$

Липшицево-непрерывные отображения и сжатия

Основная статья: непрерывность Липшица

Для действительного числа отображение является K -липшицевым, если ${\ displaystyle Kgt; 0}$${\ displaystyle f \, \ двоеточие M_ {1} \ to M_ {2}}$

${\ Displaystyle d_ {2} (е (х), f (y)) \ leq Kd_ {1} (x, y) \ quad {\ t_dv {для всех}} \ quad x, y \ in M_ {1}.}$

Любое липшицево-непрерывное отображение равномерно непрерывно, но обратное, вообще говоря, неверно.

Если, то называется сокращением. Допустим и полно. Если - сжатие, то допускает единственную неподвижную точку ( теорема Банаха о неподвижной точке ). Если компактно, условие можно немного ослабить: допускает единственную неподвижную точку, если ${\ displaystyle K lt;1}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle M_ {2} = M_ {1}}$${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle d (е (х), е (y)) lt;d (x, y) \ quad {\ t_dv {для всех}} \ quad x \ neq y \ in M_ {1}}$.

Изометрии

Карта является изометрией, если ${\ displaystyle f \, \ двоеточие M_ {1} \ to M_ {2}}$

${\ Displaystyle d_ {2} (е (х), f (y)) = d_ {1} (x, y) \ quad {\ t_dv {для всех}} \ quad x, y \ in M_ {1}}$

Изометрии всегда инъективны ; образ компакта или полного множества при изометрии будет компактным или полным соответственно. Однако, если изометрия не сюръективна, то изображение замкнутого (или открытого) множества не обязательно должно быть замкнутым (или открытым).

Квазиизометрии

Отображение является квазиизометрией, если существуют константы и такие, что ${\ displaystyle f \, \ двоеточие M_ {1} \ to M_ {2}}$ ${\ displaystyle A \ geq 1}$${\ displaystyle B \ geq 0}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {A}} d_ {2} (f (x), f (y)) - B \ leq d_ {1} (x, y) \ leq Ad_ {2} (f ( x), f (y)) + B \ quad {\ text {для всех}} \ quad x, y \ in M_ {1}}$

и константа, такая, что каждая точка находится на расстоянии не более чем от некоторой точки изображения. ${\ displaystyle C \ geq 0}$${\ displaystyle M_ {2}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle f (M_ {1})}$

Обратите внимание, что квазиизометрия не обязательно должна быть непрерывной. Квазиизометрии сравнивают «крупномасштабную структуру» метрических пространств; они находят применение в геометрической теории групп по отношению к слову «метрика».

Учитывая два метрических пространства и: ${\ displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$${\ displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$

• Они называются гомеоморфными (топологически изоморфными), если между ними существует гомеоморфизм (т. Е. Биекция, непрерывная в обоих направлениях).
• Они называются униформными (равномерно изоморфными), если между ними существует равномерный изоморфизм (т. Е. Биекция, равномерно непрерывная в обоих направлениях).
• Они называются изометрическими, если между ними существует биективная изометрия. В этом случае два метрических пространства по существу идентичны.
• Они называются квазиизометричными, если между ними существует квазиизометрия.

Метрические пространства являются паракомпактными хаусдорфовыми пространствами и, следовательно, нормальны (действительно, они совершенно нормальны). Важным следствием является то, что каждое метрическое пространство допускает разбиения единицы и что каждая непрерывная вещественнозначная функция, определенная на замкнутом подмножестве метрического пространства, может быть расширена до непрерывного отображения на всем пространстве ( теорема Титце о расширении ). Также верно, что всякое вещественнозначное липшицево-непрерывное отображение, определенное на подмножестве метрического пространства, может быть расширено до липшицево-непрерывного отображения на всем пространстве.

Метрические пространства сначала являются счетными, поскольку в качестве базы окрестности можно использовать шары рационального радиуса.

Метрическая топология на метрическом пространстве - это грубейшая топология, относительно которой метрика является непрерывным отображением произведения с самой собой на неотрицательные действительные числа. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle M}$

Простой способ построить функцию, отделяющую точку от замкнутого множества (как требуется для полностью регулярного пространства), - это учесть расстояние между точкой и множеством. Если метрическое пространство, является подмножеством из и является точкой, мы определим расстояние от до, как ${\ displaystyle (M, d)}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle d (x, S) = \ inf \ {d (x, s): s \ in S \}}$где представляет собой точную нижнюю грань. ${\ displaystyle \ inf}$

Тогда, если и только если принадлежит к закрытию части. Кроме того, мы имеем следующее обобщение неравенства треугольника: ${\ displaystyle d (x, S) = 0}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle д (х, S) \ Leq d (х, у) + d (у, S),}$

что, в частности, показывает, что отображение непрерывно. ${\ Displaystyle х \ mapsto d (х, S)}$

Учитывая два подмножества и из, определим их хаусдорфову расстояние, чтобы быть ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle d_ {H} (S, T) = \ max \ {\ sup \ {d (s, T): s \ in S \}, \ sup \ {d (t, S): t \ in T \} \}}$где представляет собой супремум. ${\ displaystyle \ sup}$

В общем случае расстояние Хаусдорфа может быть бесконечным. Два набора близки друг к другу на расстоянии Хаусдорфа, если каждый элемент любого набора близок к некоторому элементу другого набора. ${\ displaystyle d_ {H} (S, T)}$

Расстояние Хаусдорфа превращает множество всех непустых компактных подмножеств в метрическое пространство. Можно показать, что завершено, если завершено. (Другое понятие сходимости компактных подмножеств дает сходимость Куратовского. ) ${\ displaystyle d_ {H}}$${\ Displaystyle К (М)}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle К (М)}$${\ displaystyle M}$

Затем можно определить расстояние Громова – Хаусдорфа между любыми двумя метрическими пространствами, рассматривая минимальное расстояние Хаусдорфа изометрически вложенных версий этих двух пространств. Используя это расстояние, класс всех (классов изометрии) компактных метрических пространств становится сам по себе метрическим пространством.

Если - метрические пространства, и - евклидова норма на, то - метрическое пространство, где метрика произведения определяется как ${\ displaystyle (M_ {1}, d_ {1}), \ ldots, (M_ {n}, d_ {n})}$${\ displaystyle N}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle {\ Bigl (} M_ {1} \ times \ cdots \ times M_ {n}, N (d_ {1}, \ ldots, d_ {n}) {\ Bigr)}}$

${\ Displaystyle N (d_ {1}, \ ldots, d_ {n}) {\ Big (} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), (y_ {1}, \ ldots, y_ {n }) {\ Big)} = N {\ Big (} d_ {1} (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots, d_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) {\ Большой)},}$

и индуцированная топология согласуется с топологией продукта. По эквивалентности норм в конечных измерениях эквивалентная метрика получается, если это норма такси, p-норма, максимальная норма или любая другая норма, которая не убывает как координаты положительного увеличения набора (что дает неравенство треугольника). ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle n}$

Точно так же счетное произведение метрических пространств может быть получено с помощью следующей метрики

${\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {i}}} {\ frac {d_ {i} (x_ {i}, y_ {i})} {1 + d_ {i} (x_ {i}, y_ {i})}}.}.$

Несчетное произведение метрических пространств не обязательно должно быть метризуемым. Например, не учитывается первым и, следовательно, не подлежит метризуемости. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {R}}}$

Непрерывность расстояния

В случае единственного пространства карта расстояний (из определения ) равномерно непрерывна по отношению к любой из вышеупомянутых метрик продукта и, в частности, непрерывна по отношению к топологии продукта. ${\ displaystyle (M, d)}$${\ displaystyle d \ двоеточие M \ times M \ to R ^ {+}}$ ${\ Displaystyle N (д, д)}$${\ displaystyle M \ times M}$

Если M метрическое пространство с метрикой, и является отношением эквивалентности на, то мы можем наделить фактормножества с псевдометрике. Для двух классов эквивалентности и определим ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ sim}$ ${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle M / \! \ sim}$${\ Displaystyle [х]}$${\ displaystyle [y]}$

${\ displaystyle d '([x], [y]) = \ inf \ {d (p_ {1}, q_ {1}) + d (p_ {2}, q_ {2}) + \ dotsb + d ( p_ {n}, q_ {n}) \}}$

где нижняя грань берется по всем конечным последовательностям, и с,,. В общем, это будет определять только псевдометрию, т.е. не обязательно означает это. Однако для некоторых отношений эквивалентности (например, тех, которые задаются склейкой многогранников по граням), является метрикой. ${\ displaystyle (p_ {1}, p_ {2}, \ dots, p_ {n})}$${\ displaystyle (q_ {1}, q_ {2}, \ dots, q_ {n})}$${\ displaystyle [p_ {1}] = [x]}$${\ displaystyle [q_ {n}] = [y]}$${\ Displaystyle [д_ {я}] = [р_ {я + 1}], я = 1,2, \ точки, п-1}$ ${\ displaystyle d '([x], [y]) = 0}$${\ Displaystyle [х] = [у]}$${\ displaystyle d '}$

Факторметрика характеризуется следующим универсальным свойством. Если это короткое отображение между метрическими пространствами (то есть, для всех,), удовлетворяющих всякий раз, когда то индуцированное функция, заданная, является метрикой на карте${\ displaystyle d}$ ${\ Displaystyle е \, \ двоеточие (М, d) \ к (Х, \ дельта)}$ ${\ Displaystyle \ дельта (е (х), е (у)) \ Leq d (х, у)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle е (х) = е (у)}$${\ displaystyle x \ sim y,}$${\ displaystyle {\ overline {f}} \, \ двоеточие M / \! \ sim \ to X}$${\ displaystyle {\ overline {f}} ([x]) = f (x)}$${\ displaystyle {\ overline {f}} \, \ двоеточие (M / \! \ sim, d ') \ to (X, \ delta).}$

Топологическое пространство секвенциально тогда и только тогда, когда оно является фактором метрического пространства.

• Каждое метрическое пространство является однородным пространством естественным образом, и каждое равномерное пространство естественно является топологическим пространством. Поэтому равномерные и топологические пространства можно рассматривать как обобщения метрических пространств.
• Ослабление требования, чтобы расстояние между двумя различными точками было ненулевым, приводит к концепциям псевдометрического пространства или смещенного метрического пространства. Убрав требование симметрии, мы приходим к квазиметрическому пространству. Замена неравенства треугольника более слабой формой приводит к полуметрическим пространствам.
• Если функция расстояния принимает значения в расширенной действительной числовой строке, но в остальном удовлетворяет условиям метрики, то она называется расширенной метрикой, а соответствующее пространство называется -метрическим пространством. Если функция расстояния принимает значения в некотором (подходящем) упорядоченном множестве (и неравенство треугольника корректируется соответствующим образом), то мы приходим к понятию обобщенной ультраметрики.${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ чашка \ {+ \ infty \}}$${\ displaystyle \ infty}$
• Пространства подхода - это обобщение метрических пространств, основанное на расстояниях от точки к точке, а не на расстояниях от точки к точке.
• Пространство непрерывности является обобщением метрических пространств и ч.у.м., которые могут быть использованы, чтобы объединить понятия метрических пространств и областей.
• Частичное метрическое пространство призвано быть наименьшим обобщением понятия метрического пространства, так что расстояние каждой точки от самой себя больше не обязательно равно нулю.

Метрические пространства как обогащенные категории

Упорядоченный набор можно рассматривать как категорию, запрашивая ровно один морфизм, если и ни один в противном случае. При использовании в качестве тензорного произведения и в качестве тождества он становится моноидальной категорией. Каждое метрическое пространство может теперь рассматриваться как категория обогащается более: ${\ Displaystyle (\ mathbb {R}, \ geq)}$ ${\ Displaystyle от \ до b}$${\ displaystyle a \ geq b}$${\ displaystyle +}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle R ^ {*}}$${\ displaystyle (M, d)}$${\ displaystyle M ^ {*}}$ ${\ Displaystyle R ^ {*}}$

• Установленный ${\ displaystyle \ operatorname {Ob} (M ^ {*}): = M}$
• Для каждого набора${\ displaystyle X, Y \ in M}$${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (X, Y): = d (X, Y) \ in \ operatorname {Ob} (R ^ {*})}$
• Морфизм композиции будет единственным морфизмом, заданным неравенством треугольника${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (Y, Z) \ otimes \ operatorname {Hom} (X, Y) \ to \ operatorname {Hom} (X, Z)}$${\ Displaystyle R ^ {*}}$${\ Displaystyle d (y, z) + d (x, y) \ geq d (x, z)}$
• Морфизм идентичности будет уникальным морфизмом, полученным из того факта, что.${\ displaystyle 0 \ to \ operatorname {Hom} (X, X)}$${\ displaystyle 0 \ geq d (X, X)}$
• Так как это элементарный набор, все диаграммы, необходимые для обогащенной категории, коммутируют автоматически.${\ Displaystyle R ^ {*}}$

См. Статью Ф. В. Ловера, указанную ниже.

• Измерение Ассуада-Нагаты
• Проблема Александрова – Рассиаса
• Категория метрических пространств
• Классическое винеровское пространство
• Картирование  сокращения - функция уменьшения расстояния между всеми точками
• Глоссарий римановой и метрической геометрии  - Математический глоссарий
• Гильбертово пространство  - Обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечные измерения
• Четвертая проблема Гильберта
• Изометрия
• Расстояние Ли
• Липшицева непрерывность  - сильная форма равномерной непрерывности
• Мера (математика)  - Обобщение длины, площади, объема и интеграла
• Метрика (математика)  - математическая функция, определяющая расстояние
• Метрическая карта
• Сигнатура метрики  - количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений метрического тензора
• Метрический тензор  - структура, которая локально определяет расстояние на римановом многообразии.
• Метрическое дерево
• Норма (математика)  - Длина в векторном пространстве
• Нормированное векторное пространство  - Векторное пространство, на котором определено расстояние.
• Метрика продукта
• Пространство (математика)  - математический набор с некоторой дополнительной структурой.
• Неравенство треугольника  - свойство геометрии, также используется для обобщения понятия «расстояние» в метрических пространствах.
• Ультраметрическое пространство  - Тип метрического пространства

• Виктор Брайант, Метрические пространства: итерация и применение, Cambridge University Press, 1985, ISBN   0-521-31897-1.
• Дмитрий Бураго, Ю. Д. Бураго, Сергей Иванов, Курс метрической геометрии, Американское математическое общество, 2001, ISBN   0-8218-2129-6.
• Атанас Пападопулос, Метрические пространства, выпуклость и неположительная кривизна, Европейское математическое общество, первое издание 2004 г., ISBN   978-3-03719-010-4. Второе издание 2014 г., ISBN   978-3-03719-132-3.
• Мичел-Сиркоид, Метрические пространства, Серия Springer по математике для студентов, 2006 г., ISBN   1-84628-369-8.
• Ловер, Ф. Уильям, "Метрические пространства, обобщенная логика и замкнутые категории", [Rend. Сем. Мат. Fis. Milano 43 (1973), 135–166 (1974); (Итальянское резюме)

Это перепечатано (с комментариями автора) в Reprints in Theory and Applications of Categories Также (с комментариями автора) в Enriched Categories в логике геометрии и анализа. Repr. Теория Appl. Категория № 1 (2002), 1–37.

• Вайсштейн, Эрик В. «Метрика продукта». MathWorld.

• «Метрическое пространство», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Далеко и близко - несколько примеров функций расстояния в разорванном узле.