Локально связанное пространство

редактировать

В этом топологическом пространстве V является окрестностью p и содержит связанный открытый набор (темно-зеленый диск), содержащий стр.

В топологии и других разделах математики топологическое пространство X является локально связанным, если каждая точка допускает базис соседства, состоящий полностью из открытых, связанных множеств.

Содержание

1 Предпосылки
2 Определения и первые примеры
- 2.1 Первые примеры
3 Свойства
4 Компоненты и компоненты пути
- 4.1 Примеры
5 Квазикомпоненты
- 5.1 Примеры
6 Подробнее о локальной связности в сравнении со слабой локальной связностью
7 Примечания
8 См. Также
9 Ссылки
10 Дополнительная литература

Предпосылки

На протяжении всей истории топологии, связность и компактность были двумя наиболее широко изученными топологическими свойствами. Действительно, изучение этих свойств даже среди подмножеств евклидова пространства и признание их независимости от конкретной формы евклидовой метрики сыграли большую роль в прояснении понятия топологическое свойство и, следовательно, топологическое пространство. Однако, в то время как структура компактных подмножеств евклидова пространства была понята довольно рано с помощью теоремы Гейне – Бореля, связные подмножества $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ (для n>1) оказалось намного сложнее. Действительно, хотя любое компактное хаусдорфово пространство является локально компактным, связное пространство - и даже связное подмножество евклидовой плоскости - не обязательно должно быть локально связным (см. Ниже).

Это привело к обширным исследованиям в первой половине двадцатого века, в ходе которых топологи изучали последствия между все более тонкими и сложными вариациями в понятии локально связанного пространства. В качестве примера понятие слабой локальной связности в точке и его связь с локальной связностью будут рассмотрены позже в статье.

Во второй половине двадцатого века исследовательские тенденции сместились в сторону более интенсивного изучения пространств, таких как многообразия, которые локально хорошо изучены (будучи локально гомеоморфными евклидовым пространство), но имеют сложное глобальное поведение. Это означает, что хотя базовая топология множества точек многообразий относительно проста (поскольку многообразия по существу метризуемы согласно большинству определений концепции), их алгебраическая топология намного сложнее. С этой современной точки зрения более сильное свойство локальной связности путей оказывается более важным: например, для того, чтобы пространство допускало универсальное покрытие, оно должно быть связано и локально соединено путями. Также будет обсуждаться локальная связность путей.

Пространство локально связно тогда и только тогда, когда для каждого открытого множества U компоненты связности U (в топологии подпространства ) открыты. Отсюда следует, например, что непрерывная функция от локально связанного пространства до полностью разъединенного пространства должна быть локально постоянной. На самом деле открытость компонентов настолько естественна, что нужно помнить, что в целом это не так: например, пространство Кантора полностью отключено, но не дискретное.

Определения и первые примеры

Пусть X будет топологическим пространством, и пусть x будет точкой X.

Мы говорим, что X локально связно в x, если для каждого открытого множества V, содержащее x, существует связное открытое множество U с $x ∈ U ⊆ V {\ displaystyle x \ in U \ substeq V}$ ${\ displaystyle x \ in U \ substeq V}$ . Пространство X называется локально связным, если оно локально связано в x для всех x в X. Обратите внимание, что локальная связность и связность не связаны друг с другом; пространство может обладать одним или обоими этими свойствами, либо ни одним из них.

Напротив, мы говорим, что X слабо локально связно в x (или связано im kleinen в x ), если для каждого открытого множества V, содержащего x, существует связное подмножество N в V такое, что x лежит внутри N. Эквивалентное определение: каждое открытое множество V, содержащее x, содержит такую открытую окрестность U точки x, что любые две точки в U лежат в некотором связном подмножестве V. X называется слабо локально связным, если он слабо локально связан в x для всех x в X.

Другими словами, единственное различие между двумя определениями состоит в том, что для локальной связности в точке x нам нужна база окрестностей открытых связных множеств, содержащих x, тогда как для слабой локальной связности в x нам нужна только база окрестностей связных множеств, содержащих x.

Очевидно, пространство, локально связное в точке x, слабо локально связно в точке x. Обратное неверно (контрпример, пространство метлы, приводится ниже). С другой стороны, столь же ясно, что локально связное пространство слабо локально связно, и здесь оказывается, что верно обратное: пространство, которое слабо локально связно во всех своих точках, обязательно локально связно во всех своих точках. точки. Доказательство приводится ниже.

Мы говорим, что X является локально путем, соединенным в x, если для каждого открытого множества V, содержащего x, существует путь, соединенный, открытое множество U с $x ∈ U ⊆ V {\ Displaystyle х \ в U \ substeq V}$ ${\ displaystyle x \ in U \ substeq V}$ . Пространство X называется локально соединенным путями, если оно локально соединено путями в x для всех x в X.

Поскольку пространства, соединенные путями, связаны, пространства, соединенные путями, локально соединены. На этот раз обратное неверно (см. Пример 6 ниже).

Первые примеры

Для любого положительного целого числа n евклидово пространство $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ соединено локально путями, таким образом локально подключен; она также связана.
В более общем смысле, каждое локально выпуклое топологическое векторное пространство локально связно, так как каждая точка имеет локальную базу выпуклого (и, следовательно, связную) окрестности.
Подпространство $[0, 1] ∪ [2, 3] {\ displaystyle [0,1] \ cup [2,3]}$ $[0,1] \ cup [2,3]$ вещественной линии $R 1 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {1}$ подключен локально, но не подключен.
Синусоидальная кривая тополога является связное, но не локально связное подпространство евклидовой плоскости.
Пространство $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ рациональных чисел наделен стандартной евклидовой топологией, не связан и не связан локально.
Пространство гребенки связано по путям, но не по пути локально.
Счетное бесконечное множество, наделенное конфинитная топология локально подключена (действительно, гиперподключена ), но не подключена локально по пути.

Дальнейшие примеры приведены на тер в статье.

Свойства

Локальная связность - это, по определению, локальное свойство топологических пространств, т. Е. Топологическое свойство P, такое, что пространство X обладает свойством P тогда и только тогда, когда каждая точка x в X допускает базу окрестностей множеств, обладающих свойством P. Соответственно, все «метасвойства», поддерживаемые локальным свойством, выполняются для локальной связности. В частности:
Пространство локально связно тогда и только тогда, когда оно допускает базу связанных подмножеств.
дизъюнктное объединение $∐ i X i {\ displaystyle \ coprod _ {i} X_ {i}}$ $\ coprod _ {i} X_ {i}$ из семейства ${X i} {\ displaystyle \ {X_ {i} \}}$ $\ {X_ {i} \}$ пробелов локально подключен тогда и только тогда, когда каждый $X i {\ displaystyle X_ {i}}$ $X_ {i}$ подключен локально. В частности, поскольку одна точка заведомо локально связна, отсюда следует, что любое дискретное пространство локально связно. С другой стороны, дискретное пространство полностью отключено, поэтому подключается, только если оно имеет не более одной точки.
И наоборот, полностью отключенное пространство локально связан тогда и только тогда, когда он дискретен. Это можно использовать для объяснения вышеупомянутого факта, что рациональные числа не связаны локально.

Компоненты и компоненты пути

Следующий результат почти сразу следует из определений, но будет весьма полезен:

Лемма: Пусть X - пространство, а ${Y i} {\ displaystyle \ {Y_ {i} \}}$ $\ {Y_ {i} \}$ - семейство подмножеств X. Предположим, что $⋂ i Y i {\ displaystyle \ bigcap _ {i} Y_ {i}}$ $\ bigcap _ {i} Y_ {i}$ непусто. Затем, если каждый $Y i {\ displaystyle Y_ {i}}$ $Y_ {i}$ связан (соответственно, путь подключен), тогда объединение $⋃ i Y i {\ displaystyle \ bigcup _ {i} Y_ {i}}$ $\ bigcup _ {i} Y_ {i}$ связан (соответственно, путь связан).

Теперь рассмотрим два отношения в топологическом пространстве X: для $x, y ∈ X {\ displaystyle x, y \ in X}$ $x, y \ in X$ , запишите:

x ≡ cy {\ displaystyle x \ Equiv _ {c} y}

x \ эквив _ {c} y

, если существует связное подмножество X, содержащее как x, так и у; и

x ≡ pcy {\ displaystyle x \ Equiv _ {pc} y}

x \ Equiv _ {{pc}} y

, если существует линейно связное подмножество X, содержащее как x, так и y.

Очевидно, оба отношения рефлексивны и симметричны. Более того, если x и y содержатся в связном (соответственно линейно связном) подмножестве A, а y и z связаны в связном (соответственно линейно связном) подмножестве B, то из леммы следует, что $A ∪ B {\ displaystyle A \ cup B}$ $A \ cup B$ - это связное (соответственно, связанное по пути) подмножество, содержащее x, y и z. Таким образом, каждое отношение является отношением эквивалентности и определяет разделение X на классы эквивалентности. Рассмотрим эти два раздела по очереди.

Для x в X, набор $C x {\ displaystyle C_ {x}}$ $C_ {x}$ всех точек y таких, что $y ≡ cx {\ displaystyle y \ Equiv _ {c} x}$ $y \ Equiv _ {c} x$ называется компонентом связности x. Из леммы следует, что $C x {\ displaystyle C_ {x}}$ $C_ {x}$ - единственное максимальное связное подмножество X, содержащее x. Поскольку закрытие $C x {\ displaystyle C_ {x}}$ $C_ {x}$ также является связным подмножеством, содержащим x, отсюда следует, что $C x {\ displaystyle C_ {x}}$ $C_ {x}$ замкнуто.

Если X имеет только конечное число компонент связности, то каждая компонента является дополнением к конечному объединению замкнутых множеств и, следовательно, открыта. В общем, связанные компоненты не обязательно должны быть открытыми, поскольку, например, существуют полностью несвязанные пространства (т. Е. $C x = {x} {\ displaystyle C_ {x} = \ {x \}}$ $C_{x}=\{x\}$ для всех точек x), которые не являются дискретными, как пространство Кантора. Однако связанные компоненты локально связного пространства также являются открытыми и, таким образом, являются закрытыми множествами. Отсюда следует, что локально связное пространство X является топологическим непересекающимся объединением $∐ C x {\ displaystyle \ coprod C_ {x}}$ $\ coprod C_ {x}$ его различных компонент связности. И наоборот, если для каждого открытого подмножества U в X компоненты связности U открыты, то X допускает базу связных множеств и, следовательно, локально связен.

Аналогично x в X, множество $PC x {\ displaystyle PC_ {x}}$ $ПК_ {x}$ всех точек y, таких что $y ≡ pcx {\ displaystyle y \ Equiv _ {pc} x}$ $y \ Equiv _ {{pc}} x$ называется компонентом пути из х. Как и выше, $P C x {\ displaystyle PC_ {x}}$ $ПК_ {x}$ также является объединением всех соединенных путями подмножеств X, содержащих x, так что по лемме само соединено путями. Поскольку соединенные по путям множества связаны, мы имеем $PC x ⊆ C x {\ displaystyle PC_ {x} \ substeq C_ {x}}$ ${\ displaystyle PC_ {x} \ substeq C_ {x}}$ для всех x в X.

Однако замыкание линейно связного множества не обязательно должно быть линейно связным: например, синусоидальная кривая тополога - это замыкание открытого подмножества U, состоящего из всех точек (x, y) с x>0, и U, гомеоморфного интервалу на реальной линии, безусловно, связан путем. Более того, компонентами пути синусоидальной кривой C тополога являются U, который открыт, но не замкнут, и $C ∖ U {\ displaystyle C \ setminus U}$ $C \ setminus U$ , который замкнут, но не открыт.

Пространство является локально связным по путям тогда и только тогда, когда для всех открытых подмножеств U компоненты пути в U открыты. Следовательно, компоненты путей в пространстве с локальной линейной связностью задают разбиение X на попарно непересекающиеся открытые множества. Отсюда следует, что открытое связное подпространство локально линейно связного пространства обязательно линейно связно. Более того, если пространство соединено локально путями, то оно также локально связано, поэтому для всех x в X, $C x {\ displaystyle C_ {x}}$ $C_ {x}$ соединен и открыт, следовательно, путь подключено, т. е. $C x = PC x {\ displaystyle C_ {x} = PC_ {x}}$ $C_ {x} = PC_ {x}$ . То есть для пространства, связанного локально путями, компоненты и компоненты пути совпадают.

Примеры

Набор I × I (где I = [0,1]) в словаря топологии порядка имеет ровно один компонент (потому что это подключен), но имеет несчетное количество компонентов пути. Действительно, любой набор вида {a} × I является компонентом пути для каждого a, принадлежащего I.
Пусть f будет непрерывным отображением из R в Rℓ(Rв нижний предел топологии ). Поскольку R связан, и изображение связного пространства под непрерывной картой должно быть связным, изображение R под f должно быть связным. Следовательно, изображение R под f должно быть подмножеством компонента Rℓ. Поскольку это изображение не пусто, единственными непрерывными отображениями от R до Rℓявляются постоянные отображения. Фактически, любое непрерывное отображение связного пространства на полностью несвязное должно быть постоянным.

Квазикомпоненты

Пусть X - топологическое пространство. Мы определяем третье отношение на X: $x ≡ qcy {\ displaystyle x \ Equiv _ {qc} y}$ $х \ эквив _ {{qc}} y$ , если нет разделения X на открытые множества A и B, такие, что x является элемент A, а y является элементом B. Это отношение эквивалентности на X, и класс эквивалентности $QC x {\ displaystyle QC_ {x}}$ $QC_ {x}$ , содержащий x, называется квазикомпонентой of x.

$QC x {\ displaystyle QC_ {x}}$ $QC_ {x}$ также можно охарактеризовать как пересечение всех clopen подмножеств X, которые содержат x. Соответственно, $Q C x {\ displaystyle QC_ {x}}$ $QC_ {x}$ закрыт; в общем, он не должен быть открытым.

Очевидно $C x ⊆ QC x {\ displaystyle C_ {x} \ substeq QC_ {x}}$ $C_ {x} \ substeq QC_ {x}$ для всех x в X. В целом у нас есть следующие включения среди компонентов пути, компоненты и квазикомпоненты в x:

PC x ⊆ C x ⊆ QC x. {\ displaystyle PC_ {x} \ substeq C_ {x} \ substeq QC_ {x}.}

PC_ {x} \ substeq C_ {x} \ substeq QC_ {x}.

Если X локально подключен, то, как указано выше, $C x {\ displaystyle C_ {x}}$ $C_ {x}$ - набор clopen, содержащий x, поэтому $QC x ⊆ C x {\ displaystyle QC_ {x} \ substeq C_ {x}}$ $QC_ {x} \ substeq C_ {x}$ и, таким образом, $QC x = C x {\ displaystyle QC_ {x} = C_ {x}}$ $QC_ {x} = C_ {x}$ . Поскольку локальная линейная связность подразумевает локальную связность, из этого следует, что во всех точках x пространства с локальной линейной связностью мы имеем

P C x = C x = Q C x. {\ displaystyle PC_ {x} = C_ {x} = QC_ {x}.}

PC_ {x} = C_ {x} = QC_ { x}.

Другой класс пространств, для которых квазикомпоненты согласуются с компонентами, - это класс компактных хаусдорфовых пространств.

Примеры

Примером пространства, квазикомпоненты которого не равны его компонентам, является последовательность с двойной предельной точкой. Это пространство полностью разъединено, но обе предельные точки лежат в одной и той же квазикомпоненте, потому что любое закрытое множество, содержащее одну из них, должно содержать хвост последовательности, а значит, и другую точку.
Пространство $({0} ∪ {1 n ∣ n ∈ Z +}) × [- 1, 1] ∖ {(0, 0)} {\ displaystyle (\ {0 \} \ cup \ {{\ frac {1} { n}} \ mid n \ in \ mathbb {Z} ^ {+} \}) \ times [-1,1] \ setminus \ {(0,0) \}}$ ${\ displaystyle (\ {0 \ } \ cup \ {{\ frac {1} {n}} \ mid n \ in \ mathbb {Z} ^ {+} \}) \ times [-1,1] \ setminus \ {(0,0) \}}$ локально компактно и Хаусдорфа, но наборы ${0} × [- 1, 0) {\ displaystyle \ {0 \} \ times [-1,0)}$ ${\ displaystyle \ {0 \} \ times [-1,0)}$ и ${0} × (0, 1] {\ displaystyle \ {0 \} \ times (0,1]}$ ${\ displaystyle \ {0 \} \ times (0,1]}$ - это два разных компонента, которые лежат в одной квазикомпоненте.
Пространство Аренса – Форта не связан локально, но, тем не менее, компоненты и квазикомпоненты совпадают: действительно, $QC x = C x = {x} {\ displaystyle QC_ {x} = C_ {x} = \ {x \}}$ $QC_ {x} = C_ {x} = \ {x \}$ для всех точек x.

Подробнее о локальной связности в сравнении со слабой локальной связностью

Теорема

Пусть X - слабо локально связное пространство. T тогда X локально связан.

Доказательство

Достаточно показать, что компоненты открытых множеств открыты. Пусть U открыто в X и C - компонента U. Пусть x - элемент из C. Тогда x является элементом U, так что существует связное подпространство A пространства X, содержащееся в U и содержащее окрестность V точки x.. Поскольку A связно и A содержит x, A должно быть подмножеством C (компонента, содержащего x). Следовательно, окрестность V точки x является подмножеством C, что показывает, что x является внутренней точкой C. Поскольку x была произвольной точкой из C, C открыта в X. Следовательно, X локально связно.

Некое бесконечное объединение убывающих пространств метел является примером пространства, которое слабо локально связано в определенной точке, но не локально связано в этой точке.

Примечания

См. Также

Ссылки

Джон Л. Келли ; Общая топология ; ISBN 0-387-90125-6
Манкрес, Джеймс (1999), Топология (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 0-13 -181629-2.
Стивен Уиллард ; Общая топология ; Dover Publications, 2004.
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (Dover перепечатка 1978 года), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863

Дополнительная литература

Коппин, Калифорния (1972 г.), «Непрерывные функции от подключенного локально подключенного устройства. Пространство в связанном пространстве с точкой рассеяния », Труды Американского математического общества, Американского математического общества, 32 (2): 625–626, doi : 10.1090 / S0002-9939-1972-0296913-7, JSTOR 2037874. Для хаусдорфовых пространств показано, что любая непрерывная функция из связного локально связного пространства в связное пространство с точкой дисперсии постоянна
Дэвис, HS (1968), "A Note on Connectedness Im Kleinen", Proceedings of the American Математическое общество, Американское математическое общество, 19 (5): 1237–1241, doi : 10.1090 / s0002-9939-1968-0254814-3, JSTOR 2036067.