Теорема Гейне – Бореля

редактировать

Подмножество евклидова пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено

In Реальный анализ теорема Гейне – Бореля, названная в честь Эдуарда Гейне и Эмиля Бореля, утверждает:

Для подмножество S из евклидова пространства R, следующие два оператора эквивалентны:

S является закрытым и ограниченным
S является компактным, то есть каждое открытое покрытие S имеет конечное подпокрытие.

Содержание

1 История и мотивация
2 Доказательство
3 Свойство Гейне – Бореля
- 3.1 В теории метрических пространств
- 3.2 В теории топологических векторных пространств
4 См. Также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

История и мотивация

История того, что сегодня называется теоремой Гейне – Бореля, начинается в 19 веке с поиска прочных основ реального анализа. Центральным в теории была концепция равномерной непрерывности и теорема, утверждающая, что каждая непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна. Питер Густав Лежен Дирихле был первым, кто доказал это, и неявно использовал в своем доказательстве существование конечного подпокрытия данного открытого покрытия отрезка. Он использовал это доказательство в своих лекциях 1852 года, которые были опубликованы только в 1904 году. Позже Эдуард Гейне, Карл Вейерштрасс и Сальваторе Пинчерле использовали аналогичные приемы. Эмиль Борель в 1895 году первым сформулировал и доказал форму того, что теперь называется теоремой Гейне – Бореля. Его формулировка ограничивалась счетными обложками. Пьер Кузен (1895), Лебег (1898) и Шенфлис (1900) обобщили его на произвольные покрытия.

Доказательство

Если множество компактно, то он должен быть закрыт.

Пусть S будет подмножеством R . Прежде всего заметим следующее: если a является предельной точкой множества S, то любой конечный набор C открытых множеств, такой, что каждое открытое множество U ∈ C не пересекается с некоторой окрестностью VUнекоторой, не может быть покрытием S. Действительно, пересечение конечного семейства множеств V U является окрестностью W точки a в R . Поскольку a является предельной точкой S, W должен содержать точку x в S. Этот x ∈ S не покрывается семейством C, потому что каждый U в C не пересекается с V U и, следовательно, не пересекается с W, который содержит x.

Если S компактно, но не замкнуто, то у него есть предельная точка a не в S. Рассмотрим набор C ′, состоящий из открытой окрестности N (x) для каждого x ∈ S, выбранной достаточно малой, чтобы не пересекаются с некоторой окрестностью V x точки a. Тогда C ′ - открытое покрытие S, но любая конечная подгруппа C ′ имеет форму C, обсуждавшуюся ранее, и поэтому не может быть открытым подпокрытием S. Это противоречит компактности S. Следовательно, каждая точка накопления S является в S, поэтому S замкнуто.

Приведенное выше доказательство почти без изменений применяется к показу, что любое компактное подмножество S топологического пространства Хаусдорфа X замкнуто в X.

Если множество компактно, то оно ограничено.

Пусть $S {\ displaystyle S}$ $S$ будет компактным множеством в $R n {\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n}}$ $\ mathbf {R} ^ {n}$ и $U x {\ displaystyle U_ {x}}$ $U_x$ шар радиуса 1 с центром в точке $x ∈ R n {\ displaystyle x \ in \ mathbf {R} ^ {n} }$ $x \ in \ mathbf {R} ^ n$ . Тогда набор всех таких шаров с центром в $x ∈ S {\ displaystyle x \ in S}$ $x \ in S$ , очевидно, является открытой крышкой $S {\ displaystyle S}$ $S$ , поскольку $∪ x ∈ SU x {\ displaystyle \ cup _ {x \ in S} U_ {x}}$ ${\ displaystyle \ cup _ {x \ in S} U_ {x}}$ содержит все $S {\ displaystyle S}$ $S$ . Поскольку $S {\ displaystyle S}$ $S$ компактно, возьмем конечное подпокрытие этого покрытия. Это подпокрытие представляет собой конечное объединение шаров радиуса 1. Рассмотрим все пары центров этих (конечного числа) шаров (радиуса 1) и пусть $M {\ displaystyle M}$ $M$ будет максимумом из расстояния между ними. Тогда, если $C p {\ displaystyle C_ {p}}$ $C_ {p}$ и $C q {\ displaystyle C_ {q}}$ $C_q$ являются центрами (соответственно) единичных шаров содержащий произвольные $p, q ∈ S {\ displaystyle p, q \ in S}$ ${\ displaystyle p, q \ in S}$ , неравенство треугольника гласит: $d (p, q) ≤ d (p, C p) + d (C p, C q) + d (C q, q) ≤ 1 + M + 1 = M + 2. {\ displaystyle d (p, q) \ leq d (p, C_ {p}) + d ( C_ {p}, C_ {q}) + d (C_ {q}, q) \ leq 1 + M + 1 = M + 2.}$ ${\ displaystyle d (p, q) \ leq d (p, C_ {p}) + d (C_ {p}, C_ {q}) + d (C_ {q}, q) \ leq 1 + M + 1 = M + 2.}$ Итак, диаметр $S {\ displaystyle S}$ $S$ ограничено $M + 2 {\ displaystyle M + 2}$ ${\ displaystyle M + 2}$ .

Замкнутое подмножество компакта является компактом.

Пусть K - замкнутое подмножество компакта T в R и пусть C K - открытое покрытие K. Тогда U = R \ K - открытое множество и

CT = CK ∪ {U} {\ displaystyle C_ {T} = C_ {K} \ cup \ {U \}}

C_ {T} = C_ {K} \ cup \ {U \}

- открытое покрытие T. Поскольку T компактно, то C T имеет конечное подпокрытие $CT ′, {\ displaystyle C_ {T} ',}$ $C_{T}',$ , которое также покрывает меньшее множество K. Поскольку U не содержит ни одной точки из K, множество K уже является c покрывается $CK ′ = CT ′ ∖ {U}, {\ displaystyle C_ {K} '= C_ {T}' \ setminus \ {U \},}$ $C_{K}'=C_{T}'\setminus \{U\},$ , который является конечной подгруппой исходный сборник C K. Таким образом, можно извлечь из любого открытого покрытия C K поля K конечное подпокрытие.

Если набор замкнут и ограничен, то он компактен.

Если набор S в R ограничен, то его можно заключить в n-блок

T 0 = [- a, a] n {\ displaystyle T_ {0} = [- a, a] ^ {n}}

T_ {0} = [- a, а] ^ {n}

где a>0. По указанному выше свойству достаточно показать, что T 0 компактно.

Допустим, от противного, что T 0 не компактно. Тогда существует бесконечное открытое покрытие C множества T 0, не допускающее никакого конечного подпокрытия. Путем деления пополам каждой из сторон T 0 блок T 0 может быть разбит на 2 под-блока, каждый из которых имеет диаметр, равный половине диаметра T 0. Тогда по крайней мере одно из двух разделов T 0 должно требовать бесконечного подпокрытия C, в противном случае C сам имел бы конечное подпокрытие, объединяя вместе конечные покрытия секций. Назовите этот участок T 1.

. Точно так же стороны T 1 могут быть разделены пополам, в результате чего получатся 2 участка T 1, по крайней мере, для одного из которых должно потребоваться бесконечное дополнительное покрытие C. Продолжение подобным образом дает убывающую последовательность вложенных n-блоков:

T 0 ⊃ T 1 ⊃ T 2 ⊃… ⊃ T k ⊃… {\ displaystyle T_ {0} \ supset T_ {1} \ supset T_ {2 } \ supset \ ldots \ supset T_ {k} \ supset \ ldots}

T_ {0} \ supset T_ {1 } \ supset T_ {2} \ supset \ ldots \ supset T_ {k} \ supset \ ldots

где длина стороны T k равна (2 a) / 2, которая стремится к 0, когда k стремится к бесконечности. Определим последовательность (x k) так, чтобы каждый x k находился в T k. Эта последовательность - Коши, поэтому она должна сходиться к некоторому пределу L. Поскольку каждое T k замкнуто, и для каждого k последовательность (x k) в конечном итоге всегда находится внутри T k, мы видим, что L ∈ T k для каждого k.

Поскольку C покрывает T 0, то у него есть элемент U ∈ C такой, что L ∈ U. Поскольку U открыто, существует n-шар B (L) ⊆ U. Для достаточно большого k имеем T k B (L) ⊆ U, но тогда бесконечное количество членов C, необходимых для покрытия T k, можно заменить только одним: U; противоречие.

Таким образом, T 0 является компактным. Поскольку S замкнуто и является подмножеством компакта T 0, то S также компактно (см. Выше).

Свойство Гейне – Бореля

Теорема Гейне – Бореля не выполняется, как указано для общих метрических и топологических векторных пространств, и это приводит к к необходимости рассматривать специальные классы пространств, в которых верно это предложение. Они называются пространствами со свойством Гейне – Бореля .

В теории метрических пространств

A метрическое пространство $(X, d) {\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ имеет свойство Гейне – Бореля, если каждое замкнутое ограниченное множество в $X {\ displaystyle X}$ $X$ компактно.

Многие метрические пространства не обладают свойством Гейне – Бореля, например, метрическое пространство рациональных чисел (или вообще любое неполное метрическое пространство). Полные метрические пространства также могут не обладать этим свойством, например, никакие бесконечномерные банаховы пространства не обладают свойством Гейне – Бореля (как метрические пространства). Еще более тривиально, если действительная прямая не наделена обычной метрикой, она может не обладать свойством Гейне – Бореля.

Метрическое пространство $(X, d) {\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ имеет метрику Гейне – Бореля, которая локально идентична метрике Коши $d {\ displaystyle d}$ $d$ тогда и только тогда, когда он полный, $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ -compact и локально компактный.

В теории топологических векторных пространств

A топологическое векторное пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ , как говорят, обладает свойством Гейне – Бореля (Р. Э. Эдвардс использует термин "ограниченно компактное пространство"), если каждое замкнутое ограниченное множество в $X {\ displaystyle X}$ $X$ компактно. Никакие бесконечномерные банаховы пространства не обладают свойством Гейне – Бореля (как топологические векторные пространства). Но некоторые бесконечномерные пространства Фреше действительно имеют, например, пространство $C ∞ (Ω) {\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ Omega) }$ из гладкие функции на открытом множестве $Ω ⊂ R n {\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ и в пространстве $H (Ω) {\ displaystyle H (\ Omega)}$ ${\ displaystyle H (\ Omega)}$ голоморфных функций на открытом множестве $Ω ⊂ C n {\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {C} ^ {n}}$ . В более общем смысле любое квазиполное ядерное пространство обладает свойством Гейне – Бореля. Все пространства Монтеля также обладают свойством Гейне – Бореля.

См. Также

Теорема Больцано – Вейерштрасса

Примечания

Ссылки

P. Дугак (1989). "По переписке Бореля и теории Дирихле-Гейне-Вейерштрасса-Бореля-Шенфлиса-Лебега". Arch. Int. Hist. Sci. 39 : 69–110.
«Доказательство теоремы Гейне-Бореля». PlanetMath.
BookOfProofs: Собственность Гейне-Бореля
Джеффрис, Х.; Джеффрис, Б.С. (1988). Методы математической физики. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521097239. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Уильямсон, Р.; Янос, Л. (1987). "Строительные метрики со свойством Гейне-Бореля". Proc. AMS. 100 (3): 567–573. doi : 10.1090 / S0002-9939- 1987-0891165-X. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Кириллов, А.А.; Гвишиани, А.Д. (1982). Теоремы и проблемы функционального анализа. Springer-Verlag New York. ISBN 978-1-4613-8155-6. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Эдвардс, Р. Э. (1965). Функциональный анализ. Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Внешние ссылки

Иван Кениг, д-р проф. Hans-Christian Graf v. Botthmer, Дмитрий Тиссен, Андреас Тимм, Виктор Виттман (2004). Теорема Гейне – Бореля. Ганновер: Leibniz Universität. Архивировано из оригинала (avi • mp4 • mov • swf • потоковое видео) 19.07.2011.
, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Mathworld «Теорема Гейне-Бореля»