Евклидово расстояние

редактировать

Обычное расстояние в математике и физике

Использование теоремы Пифагора для поиска вычислить двумерное евклидово расстояние

В математике евклидово расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве представляет собой число, длину отрезок между двумя точками. Его можно вычислить из декартовых координат точек, используя теорему Пифагора, и иногда его называют расстоянием Пифагора . Эти имена происходят от древнегреческих математиков Евклид и Пифагор, но Евклид не представлял расстояния в виде чисел, и связь теоремы Пифагора с вычислением расстояний не проводилась до 17 века..

Расстояние между двумя объектами, которые не являются точками, обычно определяется как наименьшее расстояние между любыми двумя точками от двух объектов. Известны формулы для вычисления расстояний между различными типами объектов, например расстояния от точки до линии. В высшей математике понятие расстояния было обобщено на абстрактные метрические пространства, и были изучены другие расстояния, кроме евклидова. Квадрат евклидова расстояния не является метрикой, но удобен для многих приложений в статистике и оптимизации.

Содержание

  • 1 Формулы расстояний
    • 1.1 Одно измерение
    • 1.2 Два измерения
    • 1.3 Более высокие измерения
    • 1.4 Другие объекты, кроме точек
  • 2 Евклидово расстояние в квадрате
  • 3 Обобщения
  • 4 История
  • 5 Ссылки

Формулы расстояния

Одно измерение

Расстояние между любыми двумя точками на вещественной прямой является абсолютным значением числовой разности их координат. Таким образом, если p {\ displaystyle p}pи q {\ displaystyle q}q - две точки на реальной прямой, то расстояние между ними определяется по формуле:

d (p, q) = | p - q |. {\ displaystyle d (p, q) = | pq |.}{\ displaystyle d (p, q) = | pq |.}

Более сложная формула, дающая то же значение, но более легко обобщающая на более высокие измерения:

d (p, q) = (p - q) 2. {\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(pq) ^ {2}}}.}{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(pq) ^ {2}}}.}

В этой формуле возведение в квадрат с последующим извлечением квадратного корня оставляет любое положительное число неизменным, но заменяет любое отрицательное число его абсолютным значением.

Два измерения

В евклидовой плоскости пусть точка p {\ displaystyle p}pимеют декартовы координаты (p 1, p 2) {\ displaystyle (p_ {1}, p_ {2})}(p_ {1}, p_ {2}) и пусть точка q {\ displaystyle q}q имеет координаты (q 1, q 2) {\ displaystyle (q_ {1}, q_ {2})}(q_ {1}, q_ {2}) . Тогда расстояние между p {\ displaystyle p}pи q {\ displaystyle q}q определяется следующим образом:

d (p, q) = ( p 1 - q 1) 2 + (p 2 - q 2) 2. {\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2} -q_ {2}) ^ {2}}}.}{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + ( p_ {2} -q_ {2}) ^ {2}}}.}

Это можно увидеть, применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику с горизонтальной и вертикальной сторонами, имеющему отрезок из p {\ displaystyle p}От pдо q {\ displaystyle q}q в качестве его гипотенузы. Две квадратные формулы внутри квадратного корня дают площади квадратов на горизонтальной и вертикальной сторонах, а внешний квадратный корень преобразует площадь квадрата на гипотенузе в длину гипотенузы.

Также возможно вычислить расстояние для точек, заданных полярными координатами. Если полярные координаты p {\ displaystyle p}pравны (r, θ) {\ displaystyle (r, \ theta)}(r, \ theta) , а полярные координаты q {\ displaystyle q}q are (s, ψ) {\ displaystyle (s, \ psi)}{\ displaystyle (s, \ psi)} , тогда расстояние до них

d ( p, q) знак равно r 2 + s 2 - 2 rs cos ⁡ (θ - ψ). {\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {r ^ {2} + s ^ {2} -2rs \ cos (\ theta - \ psi)}}.}{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {r ^ {2} + s ^ {2} -2rs \ cos (\ theta - \ psi)}}.}

Когда p {\ displaystyle p}pи q {\ displaystyle q}q выражаются как комплексные числа в комплексной плоскости, та же формула для одномерных точек, выраженных действительными числами, можно использовать:

d (p, q) = | p - q |. {\ displaystyle d (p, q) = | pq |.}{\ displaystyle d (p, q) = | pq |.}

Высшие измерения

Получение n {\ displaystyle n}n -размерной формулы Евклидова расстояния путем многократного применения пифагорова Теорема

В общем, для точек, заданных декартовыми координатами в n {\ displaystyle n}n -мерном евклидовом пространстве, расстояние составляет

d (p, q) = (p 1 - q 1) 2 + (p 2 - q 2) 2 + ⋯ + (pi - qi) 2 + ⋯ + (pn - qn) 2. {\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2} -q_ {2}) ^ {2} + \ cdots + ( p_ {i} -q_ {i}) ^ {2} + \ cdots + (p_ {n} -q_ {n}) ^ {2}}}.}{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2} -q_ {2}) ^ {2} + \ cdots + (p_ {i} -q_ {i}) ^ {2} + \ cdots + (p_ {n} -q_ { n}) ^ {2}}}.}

Другие объекты, кроме точек

Для пар объектов, которые не являются обеими точками, расстояние проще всего определить как наименьшее расстояние между любыми двумя точками от двух объектов, хотя более сложные обобщения от точек к множествам, такие как расстояние Хаусдорфа, также являются обычно используется. Формулы для вычисления расстояний между различными типами объектов включают:

Евклидово расстояние в квадрате

Во многих приложениях и в В частности, при сравнении расстояний может быть удобнее опускать конечный квадратный корень при вычислении евклидовых расстояний. Результатом этого упущения является квадрат евклидова расстояния, который называется квадратом евклидова расстояния . В виде уравнения:

d 2 (p, q) = (p 1 - q 1) 2 + (p 2 - q 2) 2 + ⋯ + (pi - qi) 2 + ⋯ + (pn - qn) 2. {\ displaystyle d ^ {2} (p, q) = (p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2} -q_ {2}) ^ {2} + \ cdots + ( p_ {i} -q_ {i}) ^ {2} + \ cdots + (p_ {n} -q_ {n}) ^ {2}.}{\ displaystyle d ^ {2} ( p, q) = (p_ {1} -q_ {1}) ^ {2} + (p_ {2} -q_ {2}) ^ {2} + \ cdots + (p_ {i} -q_ {i}) ^ {2} + \ cdots + (p_ {n} -q_ {n}) ^ {2}.}

Помимо применения в сравнении расстояний, квадрат евклидова расстояния равен центральная важность в статистике, где он используется в методе наименьших квадратов, стандартном методе подбора статистических оценок к данным путем минимизации среднего квадрата расстояний между наблюдаемыми и оценочными значениями. Сложение квадратов расстояний друг с другом, как это делается при аппроксимации методом наименьших квадратов, соответствует операции с (неквадратными) расстояниями, называемой сложением Пифагора. В кластерном анализе квадраты расстояний могут использоваться для усиления эффекта больших расстояний.

Евклидово расстояние в квадрате не является метрикой , так как оно не удовлетворяет критерию неравенство треугольника. Однако это гладкая, строго выпуклая функция двух точек, в отличие от расстояния, которое негладко для равных точек и выпукло, но не строго выпукло. Таким образом, квадрат расстояния является предпочтительным в теории оптимизации, поскольку он позволяет использовать выпуклый анализ. Поскольку возведение в квадрат - это монотонная функция неотрицательных значений, минимизация квадрата расстояния эквивалентна минимизации евклидова расстояния, поэтому задача оптимизации эквивалентна с точки зрения любого из них, но ее легче решить, используя квадрат расстояния.

Набор всех квадратов расстояний между парами точек из конечного набора может храниться в матрице евклидовых расстояний. В рациональной тригонометрии используется квадрат евклидова расстояния, потому что (в отличие от самого евклидова расстояния) квадрат расстояния между точками с координатами рациональное число всегда рационально; в этом контексте его также называют «квадранс».

Обобщения

В более сложных областях математики евклидово пространство и его расстояние являются стандартным примером метрического пространства, называется евклидовой метрикой . Евклидова дистанционная геометрия изучает свойства евклидовой геометрии с точки зрения ее расстояний и свойства наборов расстояний, которые можно использовать для определения того, происходят ли они из евклидовой метрики. При просмотре евклидова пространства как векторного пространства его расстояние связано с нормой , называемой евклидовой нормой, определяемой как расстояние каждого вектора от происхождение. Одно из важных свойств этой нормы по сравнению с другими нормами - то, что она остается неизменной при произвольных поворотах пространства вокруг начала координат. Согласно теореме Дворецкого, каждое конечномерное нормированное векторное пространство имеет подпространство большой размерности, норма в котором приблизительно евклидова; евклидова норма - единственная норма с этим свойством. Его можно расширить до бесконечномерных векторных пространств как L norm или расстояние L.

Другие распространенные расстояния в евклидовых пространствах и векторных пространствах низкой размерности включают:

Для точек на поверхности в трех измерениях евклидово расстояние следует отличать от геодезического расстояния, длины кратчайшей кривой, которая принадлежит поверхности. В частности, для измерения расстояний по большому кругу на Земле или других почти сферических поверхностях использованные расстояния включают расстояние Гаверсинуса, дающее расстояние по большому кругу между двумя точками на сфере с учетом их долготы и широты., и формулы Винсенти, также известные как «расстояние Винсента» для определения расстояния на сфероиде.

История

Евклидово расстояние - это расстояние в евклидовом пространстве ; обе концепции названы в честь древнегреческого математика Евклида, чьи Элементы стали стандартным учебником по геометрии на многие века. Понятия длина и расстояние широко распространены в разных культурах, их можно датировать самыми ранними сохранившимися «протолитическими» бюрократическими документами из Шумера четвертого тысячелетия до нашей эры (намного раньше Евклид), и было выдвинуто предположение, что у детей они развиваются раньше, чем соответствующие концепции скорости и времени. Но понятие расстояния, как числа, определяемого двумя точками, на самом деле не встречается в «Элементах» Евклида. Вместо этого Евклид приближается к этой концепции неявно, через конгруэнтность отрезков прямой, через сравнение длин отрезков и через концепцию пропорциональности.

Теорема Пифагора тоже древний, но он сыграл центральную роль в измерении расстояний с изобретением декартовых координат Рене Декартом в 1637 году. Из-за этой связи евклидово расстояние также иногда называется расстоянием Пифагора. Хотя точные измерения больших расстояний на поверхности Земли, которые не являются евклидовыми, снова изучались во многих культурах с древних времен (см. история геодезии ), идея о том, что евклидово расстояние может быть не единственным способом Измерение расстояний между точками в математических пространствах пришло еще позже, с формулировкой 19 века неевклидовой геометрии. Определение евклидовой нормы и евклидова расстояния для геометрии более трех измерений также впервые появилось в 19 веке в работе Огюстена-Луи Коши.

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-19 06:08:05
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте