In топологии и связанных ветвей математики, связное пространство - это топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более disjoint non-empty открытых подмножеств. Связность - одно из основных топологических свойств, которые используются для различения топологических пространств.
Подмножество топологического пространства X является связным множеством, если оно является связным пространством, если рассматривать его как подпространство в X.
Некоторые связанные, но более сильные условия - это соединение по пути, односвязное соединение и n-соединение. Еще одно связанное понятие - локально связное, которое не подразумевает и не следует из связности.
A топологическое пространство X называется несвязным, если он является объединением двух непересекающихся непустых открытых множеств. В противном случае говорят, что X связан . Подмножество топологического пространства называется связным, если оно связано согласно своей топологии подпространства. Некоторые авторы исключают пустое множество (с его уникальной топологией) как связное пространство, но эта статья не следует этой практике.
Для топологического пространства X следующие условия эквивалентны:
Исторически эта современная формулировка понятия связности (в терминах отсутствия разделения X на два отдельных множества) впервые появилась (независимо) у NJ Lennes, Frigyes Riesz и Felix Хаусдорф в начале 20 века. Подробнее см.
максимальные связанные подмножества (упорядоченные по включению ) непустого топологического пространства, называются связными компонентами. пространства. Компоненты любого топологического пространства X образуют разбиение X: они непересекающиеся, непустые, и их объединение составляет все пространство. Каждый компонент является закрытым подмножеством исходного пространства. Отсюда следует, что в случае, когда их количество конечно, каждый компонент также является открытым подмножеством. Однако, если их число бесконечно, это может быть не так; например, компоненты связности набора рациональных чисел являются одноточечными наборами (одиночными числами ), которые не являются открытыми.
Пусть будет компонентом связности x в топологическом пространстве X, а быть пересечением всех clopen множеств, содержащих x (называемых квазикомпонент x.) Тогда где равенство выполняется, если X компактно по Хаусдорфу или локально связно.
Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными наборами, называется полностью отключенным. В связи с этим свойством пространство X называется полностью разделенным, если для любых двух отдельных элементов x и y X существуют непересекающиеся открытые множества U, содержащие x и V, содержащие y, такие что X является объединением U и V. Ясно, что любое полностью разделенное пространство полностью несвязно, но обратное неверно. Например, возьмите две копии рациональных чисел Q и идентифицируйте их в каждой точке, кроме нуля. Результирующее пространство с фактор-топологией полностью отключено. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не разделено полностью. Фактически, это даже не Хаусдорф, и условие полного разделения строго сильнее, чем условие быть Хаусдорфом.
Пример несвязанного пространства - это плоскость с удаленной бесконечной линией. Другие примеры несвязных пространств (то есть несвязных пространств) включают плоскость с удаленным кольцом , а также объединение двух непересекающихся замкнутых дисков , где все примеры этот абзац несет в себе топологию подпространства, индуцированную двумерным евклидовым пространством.
A Пространство, связанное по путям - более сильное понятие связности, требующее структуры пути. путь от точки x до точки y в топологическом пространстве X является непрерывной функцией ƒ из единичного интервала [0, 1] в X с ƒ (0) = x и ƒ (1) = y. Компонент пути X является классом эквивалентности X в соответствии с отношением эквивалентности , которое делает x эквивалентным y, если существует путь от x к y. Пространство X называется линейно связным (или линейно связанным или 0-связанным ), если существует ровно одна компонента пути, т. Е. Если существует путь, соединяющий любые две точки в X. Опять же, многие авторы исключают пустое пространство (обратите внимание, однако, что по этому определению пустое пространство не линейно связано, потому что оно не имеет компонентов пути; существует уникальное отношение эквивалентности на пустом множество, имеющее нулевые классы эквивалентности).
Каждое пространство с линейной связью связано. Обратное не всегда верно: примеры связанных пространств, которые не связаны по пути, включают расширенную длинную линию L * и синусоидальную кривую тополога.
Подмножества реальной линии Rсоединены тогда и только тогда, когда соединены по путям; эти подмножества являются интервалами из R . Кроме того, открытые подмножества R или C соединяются тогда и только тогда, когда они соединены по путям. Кроме того, связность и линейная связность одинаковы для конечных топологических пространств.
Пространство X называется дуговым соединением или дуговым соединением., если любые две различные точки могут быть соединены дугой, то есть путь ƒ, который является гомеоморфизмом между единичным интервалом [0, 1] и его изображением ƒ ( [0, 1]). Можно показать, что каждое хаусдорфово пространство, линейно связанное, также связано с дугой. Пример пространства, связанного по путям, но не связного по дуге, предоставляется путем добавления второй копии 0 '0 к неотрицательным действительным числам [0, ∞). Один наделяет этот набор частичным порядком, указывая топологию порядка 0 '< a for any positive number a, but leaving 0 and 0' incomparable. One then endows this set with the . То есть берем открытые интервалы (a, b) = {x | < x < b} and the half-open intervals [0, a) = {x | 0 ≤ x < a}, [0', a) = {x | 0' ≤ x < a} as a база для топологии. В результате получается пространство T1, но не пространство Хаусдорфа. Ясно, что 0 и 0 'могут быть соединены путем, но не дугой в этом пространстве.
Топологическое пространство называется локально связным в точке x, если каждая окрестность x содержит связную открытую окрестность. Это локально подключенный, если он имеет базу связанных наборов. Можно показать, что пространство X локально связно тогда и только тогда, когда каждая компонента каждого открытого множества X открыта.
Аналогично, топологическое пространство называется локально линейно связным, если оно имеет базу линейно связанных множеств. Открытое подмножество локально линейно связанного пространства связано тогда и только тогда, когда оно линейно связано. Это обобщает более раннее утверждение о R и C, каждый из которых связан локально по пути. В более общем плане любое топологическое многообразие локально линейно связно.
Синусоидальная кривая тополога связана, но не связана локально.Локально связанная не подразумевает связность, а локально связанная линия не подразумевает связность пути. Простым примером локально связанного (и локально линейно связанного) пространства, которое не связано (или линейно связано), является объединение двух разделенных интервалов в , например .
Классический пример связного Пространство, которое не является локально связным, является так называемой синусоидальной кривой тополога, определяемой как с евклидовой топологией , индуцированной включением в .
пересечение связанных множеств не обязательно связано.
union связных множеств не обязательно является связным, как можно увидеть, рассматривая .
Каждый эллипс является связным множеством, но объединение не связано, так как оно может быть разделено на два непересекающихся открытых набора и .
Это означает, что если объединение отключено, то коллекция можно разделить на две подколлекции, так что объединения подколлекций не пересекаются и открываются в (см. Рисунок). Это означает, что в некоторых случаях объединение связных множеств обязательно связано. В частности:
Разность наборов связанных наборов не обязательно связаны. Однако, если и их разность отключается (и таким образом, может быть записано как объединение двух открытых множеств и ), то объединение с каждым таким компонентом связано (т.е. подключен для всех ).
Доказательство : от противного предположим, что не подключен. Таким образом, его можно записать как объединение двух непересекающихся открытых множеств, например . Поскольку подключен, он должен полностью содержаться в одном из этих компонентов, скажем, , и таким образом содержится в . Теперь мы знаем, что:
Два набора в последнем объединении не пересекаются и открываются в , поэтому существует разделение , что противоречит тому факту, что связано.
Графы имеют подмножества, соединенные по пути, а именно те подмножества, для которых каждая пара точек имеет путь соединяющих их ребер. Но не всегда можно найти топологию на множестве точек, которая индуцирует одни и те же связные множества. Граф с 5 циклами (и любой n-цикл с нечетным n>3) является одним из таких примеров.
Как следствие, понятие связности может быть сформулировано независимо от топологии пространства. А именно, существует категория связных пространств, состоящая из множеств с наборами связных подмножеств, удовлетворяющих аксиомам связности; их морфизмы - это те функции, которые отображают связанные множества в связанные множества (Muscat Buhagiar 2006). Топологические пространства и графы - частные случаи связных пространств; действительно, конечные связные пространства - это в точности конечные графы.
Однако любой граф можно канонически превратить в топологическое пространство, рассматривая вершины как точки и ребра как копии единичного интервала (см. теория топологических графов # Графы как топологические пространства ). Тогда можно показать, что граф связен (в теоретическом смысле графа) тогда и только тогда, когда он связан как топологическое пространство.
Существуют более сильные формы связности для топологических пространств, например:
В общем, обратите внимание, что любое пространство, связанное по пути, должно быть связано, но существуют связанные пространства, которые не связаны по пути. удаленное пространство гребенки представляет такой пример, как и упомянутая выше синусоидальная кривая тополога .