Подключенное пространство

редактировать

Подключенное топологическое пространство Подключенные и отключенные подпространства R² Сверху вниз: красное пространство A, розовое пространство B, желтое пространство C и оранжевое пространство D - все соединены, тогда как зеленое пространство E (состоящее из подмножеств E1, E 2, E 3, и E 4) отключен . Кроме того, A и B также односвязны (род 0), в то время как C и D - нет: C имеет род 1, а D - род 4.

In топологии и связанных ветвей математики, связное пространство - это топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более disjoint non-empty открытых подмножеств. Связность - одно из основных топологических свойств, которые используются для различения топологических пространств.

Подмножество топологического пространства X является связным множеством, если оно является связным пространством, если рассматривать его как подпространство в X.

Некоторые связанные, но более сильные условия - это соединение по пути, односвязное соединение и n-соединение. Еще одно связанное понятие - локально связное, которое не подразумевает и не следует из связности.

Содержание
  • 1 Формальное определение
    • 1.1 Связанные компоненты
    • 1.2 Разъединенные пространства
  • 2 Примеры
  • 3 Связность пути
  • 4 Связность дуги
  • 5 Локальная связность
  • 6 Установить операции
  • 7 Теоремы
  • 8 Графы
  • 9 Более сильные формы связности
  • 10 См. также
  • 11 Ссылки
  • 12 Дополнительная литература
Формальное определение

A топологическое пространство X называется несвязным, если он является объединением двух непересекающихся непустых открытых множеств. В противном случае говорят, что X связан . Подмножество топологического пространства называется связным, если оно связано согласно своей топологии подпространства. Некоторые авторы исключают пустое множество (с его уникальной топологией) как связное пространство, но эта статья не следует этой практике.

Для топологического пространства X следующие условия эквивалентны:

  1. X связно, то есть его нельзя разделить на два непересекающихся непустых открытых множества.
  2. X нельзя разделить на два непересекающихся непустых закрытых набора.
  3. Единственными подмножествами X, которые одновременно открыты и закрыты (закрытые наборы ), являются X и пустой набор.
  4. Единственное подмножества X с пустой границей - это X и пустой набор.
  5. X не может быть записан как объединение двух непустых разделенных наборов (наборов, для которых каждый не пересекается с замыканием другого).
  6. Все непрерывные функции от X до {0,1} постоянны, где {0,1} - двухточечное пространство, наделенное дискретным топология.

Исторически эта современная формулировка понятия связности (в терминах отсутствия разделения X на два отдельных множества) впервые появилась (независимо) у NJ Lennes, Frigyes Riesz и Felix Хаусдорф в начале 20 века. Подробнее см.

Связанные компоненты

максимальные связанные подмножества (упорядоченные по включению ) непустого топологического пространства, называются связными компонентами. пространства. Компоненты любого топологического пространства X образуют разбиение X: они непересекающиеся, непустые, и их объединение составляет все пространство. Каждый компонент является закрытым подмножеством исходного пространства. Отсюда следует, что в случае, когда их количество конечно, каждый компонент также является открытым подмножеством. Однако, если их число бесконечно, это может быть не так; например, компоненты связности набора рациональных чисел являются одноточечными наборами (одиночными числами ), которые не являются открытыми.

Пусть Γ x {\ displaystyle \ Gamma _ {x}}\ Gamma _ {x} будет компонентом связности x в топологическом пространстве X, а Γ x ′ {\ displaystyle \ Gamma _ {x} '}\Gamma _{x}'быть пересечением всех clopen множеств, содержащих x (называемых квазикомпонент x.) Тогда Γ x ⊂ Γ x ′ {\ displaystyle \ Gamma _ {x} \ subset \ Gamma '_ {x}}\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}где равенство выполняется, если X компактно по Хаусдорфу или локально связно.

Отсоединенные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными наборами, называется полностью отключенным. В связи с этим свойством пространство X называется полностью разделенным, если для любых двух отдельных элементов x и y X существуют непересекающиеся открытые множества U, содержащие x и V, содержащие y, такие что X является объединением U и V. Ясно, что любое полностью разделенное пространство полностью несвязно, но обратное неверно. Например, возьмите две копии рациональных чисел Q и идентифицируйте их в каждой точке, кроме нуля. Результирующее пространство с фактор-топологией полностью отключено. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не разделено полностью. Фактически, это даже не Хаусдорф, и условие полного разделения строго сильнее, чем условие быть Хаусдорфом.

Примеры
  • Замкнутый интервал [0, 2] в стандартной топологии подпространства связан; хотя его можно, например, записать как объединение [0, 1) и [1, 2], второй набор не открыт в выбранной топологии [0, 2].
  • Объединение отрезков [0, 1) и (1, 2] несвязно; оба этих интервала открыты в стандартном топологическом пространстве [0, 1) ∪ (1, 2].
  • (0, 1) ∪ {3} отключен.
  • A выпуклое подмножество из R связано; это фактически односвязная.
  • A евклидова плоскость, исключая начало координат, (0, 0), связано, но не односвязно. Трехмерное евклидово пространство без начала координат связано и даже односвязно. Напротив, одномерное евклидово пространство без начала координат не связано.
  • A Евклидова плоскость с удаленной прямой линией не соединена, так как состоит из двух полуплоскостей.
  • ℝ, Пространство действительных чисел с обычной топологией связано.
  • Если даже одна точка удалена из ℝ, остаток разъединяется. Однако, если даже счетная бесконечность точек удаляется из R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} , где n ≥ 2, остаток связан. Если n ≥ 3, то R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} остается односвязным после удаления счетного числа точек.
  • Любое топологическое векторное пространство, например любое гильбертово пространство или банахово пространство над связанным полем (например, R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} или C {\ displaystyle \ mathbb {C}}\ mathbb {C} ), является односвязным.
  • Каждое дискретное топологическое пространство по крайней мере с двумя элементами разъединено, фактически такое пространство полностью отключен. Простейшим примером является дискретное двухточечное пространство.
  • С другой стороны, конечное множество может быть связным. Например, спектр кольца дискретной оценки состоит из двух точек и связан. Это пример пространства Серпинского.
  • Канторовский набор полностью отключен; поскольку набор содержит несчетное количество точек, у него несчетное количество компонентов.
  • Если пространство X гомотопически эквивалентно связному пространству, то X сам связан.
  • Синусоидальная кривая тополога является примером связного множества, но не связанного по путям или локально.
  • общая линейная группа GL ⁡ ( n, R) {\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbf {R})}\ operatorname {GL} (n, \ mathbf {R }) (то есть группа действительных обратимых матриц размером n на n) состоит из двух связанных компонентов : один с матрицами положительного определителя, а другой - отрицательного определителя. В частности, это не связано. Напротив, GL ⁡ (n, C) {\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbf {C})}\ operatorname {GL} (n, \ mathbf {C}) подключен. В более общем смысле, набор обратимых ограниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве связан.
  • Спектры коммутативного локального кольца и областей целостности связаны. В более общем смысле следующие эквиваленты:
    1. Спектр коммутативного кольца R связен
    2. Каждый конечно порожденный проективный модуль над R имеет постоянный ранг.
    3. R не имеет идемпотента ≠ 0, 1 {\ displaystyle \ neq 0,1}\ ne 0, 1 (то есть R не является произведением двух колец нетривиальным образом).

Пример несвязанного пространства - это плоскость с удаленной бесконечной линией. Другие примеры несвязных пространств (то есть несвязных пространств) включают плоскость с удаленным кольцом , а также объединение двух непересекающихся замкнутых дисков , где все примеры этот абзац несет в себе топологию подпространства, индуцированную двумерным евклидовым пространством.

Связность путей
Это подпространство R ² связано с путями, потому что путь может быть проведен между любыми двумя точками в пространстве.

A Пространство, связанное по путям - более сильное понятие связности, требующее структуры пути. путь от точки x до точки y в топологическом пространстве X является непрерывной функцией ƒ из единичного интервала [0, 1] в X с ƒ (0) = x и ƒ (1) = y. Компонент пути X является классом эквивалентности X в соответствии с отношением эквивалентности , которое делает x эквивалентным y, если существует путь от x к y. Пространство X называется линейно связным (или линейно связанным или 0-связанным ), если существует ровно одна компонента пути, т. Е. Если существует путь, соединяющий любые две точки в X. Опять же, многие авторы исключают пустое пространство (обратите внимание, однако, что по этому определению пустое пространство не линейно связано, потому что оно не имеет компонентов пути; существует уникальное отношение эквивалентности на пустом множество, имеющее нулевые классы эквивалентности).

Каждое пространство с линейной связью связано. Обратное не всегда верно: примеры связанных пространств, которые не связаны по пути, включают расширенную длинную линию L * и синусоидальную кривую тополога.

Подмножества реальной линии Rсоединены тогда и только тогда, когда соединены по путям; эти подмножества являются интервалами из R . Кроме того, открытые подмножества R или C соединяются тогда и только тогда, когда они соединены по путям. Кроме того, связность и линейная связность одинаковы для конечных топологических пространств.

Дуговая связность

Пространство X называется дуговым соединением или дуговым соединением., если любые две различные точки могут быть соединены дугой, то есть путь ƒ, который является гомеоморфизмом между единичным интервалом [0, 1] и его изображением ƒ ( [0, 1]). Можно показать, что каждое хаусдорфово пространство, линейно связанное, также связано с дугой. Пример пространства, связанного по путям, но не связного по дуге, предоставляется путем добавления второй копии 0 '0 к неотрицательным действительным числам [0, ∞). Один наделяет этот набор частичным порядком, указывая топологию порядка 0 '< a for any positive number a, but leaving 0 and 0' incomparable. One then endows this set with the . То есть берем открытые интервалы (a, b) = {x | < x < b} and the half-open intervals [0, a) = {x | 0 ≤ x < a}, [0', a) = {x | 0' ≤ x < a} as a база для топологии. В результате получается пространство T1, но не пространство Хаусдорфа. Ясно, что 0 и 0 'могут быть соединены путем, но не дугой в этом пространстве.

Локальная связность

Топологическое пространство называется локально связным в точке x, если каждая окрестность x содержит связную открытую окрестность. Это локально подключенный, если он имеет базу связанных наборов. Можно показать, что пространство X локально связно тогда и только тогда, когда каждая компонента каждого открытого множества X открыта.

Аналогично, топологическое пространство называется локально линейно связным, если оно имеет базу линейно связанных множеств. Открытое подмножество локально линейно связанного пространства связано тогда и только тогда, когда оно линейно связано. Это обобщает более раннее утверждение о R и C, каждый из которых связан локально по пути. В более общем плане любое топологическое многообразие локально линейно связно.

Синусоидальная кривая тополога связана, но не связана локально.

Локально связанная не подразумевает связность, а локально связанная линия не подразумевает связность пути. Простым примером локально связанного (и локально линейно связанного) пространства, которое не связано (или линейно связано), является объединение двух разделенных интервалов в R {\ displaystyle \ mathbb {R }}\ mathbb {R} , например (0, 1) ∪ (2, 3) {\ displaystyle (0,1) \ cup (2,3)}{\ displaystyle (0,1) \ cup (2,3)} .

Классический пример связного Пространство, которое не является локально связным, является так называемой синусоидальной кривой тополога, определяемой как T = {(0, 0)} ∪ {(x, sin ⁡ (1 x)): x ∈ ( 0, 1]} {\ displaystyle T = \ {(0,0) \} \ cup \ {(x, \ sin \ left ({\ tfrac {1} {x}} \ right)): x \ in ( 0,1] \}}{ \ Displaystyle T = \ {(0,0) \} \ чашка \ {(x, \ sin \ left ({\ tfrac {1} {x}} \ right)): x \ in (0,1] \} } с евклидовой топологией , индуцированной включением в R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2 }}\ R ^ 2 .

Операции с множествами
Примеры объединений и пересечений связанных множеств

пересечение связанных множеств не обязательно связано.

union связных множеств не обязательно является связным, как можно увидеть, рассматривая X = (0, 1) ∪ (1, 2) {\ displa ystyle X = (0,1) \ cup (1,2)}{\ displaystyle X = (0,1) \ чашка (1,2)} .

Каждый эллипс является связным множеством, но объединение не связано, так как оно может быть разделено на два непересекающихся открытых набора U {\ displaystyle U}U и V {\ displaystyle V}V.

Это означает, что если объединение X {\ displaystyle X}X отключено, то коллекция {X i} {\ displaystyle \ {X_ {i} \}}\ {X_ {i} \} можно разделить на две подколлекции, так что объединения подколлекций не пересекаются и открываются в X {\ displaystyle X}X (см. Рисунок). Это означает, что в некоторых случаях объединение связных множеств обязательно связано. В частности:

  1. Если общее пересечение всех множеств не пусто (⋂ X i ≠ ∅ {\ textstyle \ bigcap X_ {i} \ neq \ emptyset}{\ textstyle \ bigcap X_ {i} \ neq \ emptyset} ), то, очевидно, они не может быть разделен на коллекции с помощью непересекающихся объединений. Следовательно, объединение связанных множеств с непустым пересечением является связным.
  2. Если пересечение каждой пары множеств непусто (∀ i, j: X i ∩ X j ≠ ∅ {\ displaystyle \ forall i, j: X_ {i} \ cap X_ {j} \ neq \ emptyset}\ forall i, j: X_ {i} \ cap X_ {j} \ neq \ emptyset ), то опять же они не могут быть разделены на коллекции с непересекающимися объединениями, поэтому их объединение должно быть связано.
  3. Если наборы могут быть упорядочены как «связанная цепочка», т. Е. Индексированы целыми индексами и ∀ i: X i ∩ X i + 1 ≠ ∅ {\ displaystyle \ forall i: X_ {i} \ cap X_ {i + 1} \ neq \ emptyset}\ forall i: X_ {i} \ cap X _ {{i + 1}} \ neq \ emptyset , то снова их объединение должно быть связным.
  4. Если множества попарно не пересекаются и факторпространство X / {X i} {\ displaystyle X / \ {X_ {i} \}}X/\{X_{i}\}подключен, то X должен быть подключен. В противном случае, если U ∪ V {\ displaystyle U \ cup V}U \ cup V является разделением X, тогда q (U) ∪ q (V) {\ displaystyle q (U) \ cup q (V)}q (U) \ cup q (V) - это разделение частного пространства (поскольку q (U), q (V) {\ displaystyle q (U), q (V)}q (U), q (V) не пересекаются и открыты в фактор-пространстве).
Два связанных набора, разность которых не связана

Разность наборов связанных наборов не обязательно связаны. Однако, если Икс ⊇ Y {\ displaystyle X \ supseteq Y}{\ displaystyle X \ supseteq Y} и их разность X ∖ Y {\ displaystyle X \ setminus Y}{\ disp Laystyle X \ setminus Y} отключается (и таким образом, может быть записано как объединение двух открытых множеств X 1 {\ displaystyle X_ {1}}X_ {1} и X 2 {\ displaystyle X_ {2}}X_ {2} ), то объединение Y {\ displaystyle Y}Y с каждым таким компонентом связано (т.е. Y ∪ X i {\ displaystyle Y \ cup X_ {i}}{\ displaystyle Y \ cup X_ {i}} подключен для всех i {\ displaystyle i}i ).

Доказательство : от противного предположим, что Y ∪ X 1 {\ displaystyle Y \ cup X_ {1}}{\ displaystyle Y \ cup X_ {1}} не подключен. Таким образом, его можно записать как объединение двух непересекающихся открытых множеств, например Y ∪ X 1 = Z 1 ∪ Z 2 {\ displaystyle Y \ cup X_ {1} = Z_ {1} \ cup Z_ {2}}{\ displaystyle Y \ cup X_ {1} = Z_ {1} \ cup Z_ {2}} . Поскольку Y {\ displaystyle Y}Y подключен, он должен полностью содержаться в одном из этих компонентов, скажем, Z 1 {\ displaystyle Z_ {1}}Z_ {1} , и таким образом Z 2 {\ displaystyle Z_ {2}}Z_ {2} содержится в X 1 {\ displaystyle X_ {1}}X_ {1} . Теперь мы знаем, что:

Икс = (Y ∪ Икс 1) ∪ Икс 2 = (Z 1 ∪ Z 2) ∪ Икс 2 = (Z 1 ∪ X 2) ∪ (Z 2 ∩ X 1) {\ Displaystyle X = \ left (Y \ cup X_ {1} \ right) \ cup X_ {2} = \ left (Z_ {1} \ cup Z_ {2} \ right) \ cup X_ {2} = \ left (Z_ {1 } \ cup X_ {2} \ right) \ cup \ left (Z_ {2} \ cap X_ {1} \ right)}{\ displaystyle X = \ left (Y \ cup X_ {1} \ справа) \ cup X_ {2} = \ left (Z_ {1} \ cup Z_ {2} \ right) \ cup X_ {2} = \ left (Z_ {1} \ cup X_ {2} \ right) \ cup \ left (Z_ {2} \ cap X_ {1} \ right)}

Два набора в последнем объединении не пересекаются и открываются в X {\ displaystyle X}X , поэтому существует разделение X {\ displaystyle X}X , что противоречит тому факту, что X {\ displaystyle X}X связано.

Теоремы
  • Основная теорема связности : Пусть X и Y - топологические пространства, а ƒ: X → Y - непрерывная функция. Если X (линейно) связно, то образ ƒ (X) (линейно) связан. Этот результат можно рассматривать как обобщение теоремы о промежуточном значении.
  • Каждое пространство с линейной связью связано.
  • Каждое пространство с локальной линейной связью локально связано.
  • A локально пространство, связанное по пути, является связным по пути тогда и только тогда, когда оно связано.
  • замыкание связанного подмножества связано. Кроме того, любое подмножество между подключенным подмножеством и его замыканием связано.
  • Связанные компоненты всегда закрыты (но, как правило, не открыты)
  • Связанные компоненты локально связные пространства также открыты.
  • Связные компоненты пространства являются непересекающимися объединениями компонентов линейной связности (которые в общем случае не являются ни открытыми, ни замкнутыми).
  • Каждое частное связного (соответственно, локально связанного, линейно связанного, локально линейно связанного) пространства связано (соответственно, локально связного, линейно связанного, локально линейно связанного).
  • Каждые произведение семейства связных (соответственно линейно связных) пространств связно (соответственно линейно связно).
  • Каждое открытое подмножество локально связного (соответственно локально линейно связного) пространства является локально связное (или локально линейно связное).
  • Каждое многообразие локально линейно связно.
  • Дугово-связное пространство соединено по пути, но по пути связанное пространство ма y не быть соединенными по дуге
  • Непрерывный образ связанного по дуге множества соединен по дуге.
Графы

Графы имеют подмножества, соединенные по пути, а именно те подмножества, для которых каждая пара точек имеет путь соединяющих их ребер. Но не всегда можно найти топологию на множестве точек, которая индуцирует одни и те же связные множества. Граф с 5 циклами (и любой n-цикл с нечетным n>3) является одним из таких примеров.

Как следствие, понятие связности может быть сформулировано независимо от топологии пространства. А именно, существует категория связных пространств, состоящая из множеств с наборами связных подмножеств, удовлетворяющих аксиомам связности; их морфизмы - это те функции, которые отображают связанные множества в связанные множества (Muscat Buhagiar 2006). Топологические пространства и графы - частные случаи связных пространств; действительно, конечные связные пространства - это в точности конечные графы.

Однако любой граф можно канонически превратить в топологическое пространство, рассматривая вершины как точки и ребра как копии единичного интервала (см. теория топологических графов # Графы как топологические пространства ). Тогда можно показать, что граф связен (в теоретическом смысле графа) тогда и только тогда, когда он связан как топологическое пространство.

Более сильные формы связности

Существуют более сильные формы связности для топологических пространств, например:

  • Если не существует двух непересекающихся непустых открытых множеств в топологическое пространство, X, X должны быть соединены, и, следовательно, гиперсвязные пространства также связаны.
  • Поскольку односвязное пространство, по определению, также требуется для быть связным путем, любое односвязное пространство также связано. Однако обратите внимание, что если требование "связности пути" исключено из определения простой связности, односвязное пространство не нужно подключать.
  • Еще более сильные версии связности включают понятие сжимаемое пространство. Каждое сжимаемое пространство связано по путям и, следовательно, также связано.

В общем, обратите внимание, что любое пространство, связанное по пути, должно быть связано, но существуют связанные пространства, которые не связаны по пути. удаленное пространство гребенки представляет такой пример, как и упомянутая выше синусоидальная кривая тополога .

См. Также
  • icon Портал математики
Ссылки
Дополнительная литература
Последняя правка сделана 2021-05-15 09:42:42
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте