Непересекающееся объединение

редактировать

В математика, непересекающееся объединение (или размеченное объединение ) семейства $(A i: i ∈ I) {\ displaystyle (A_ {i} \ двоеточие i \ in I)}$ ${ \ displaystyle (A_ {i} \ двоеточие i \ in I)}$ наборов - это набор $A = ⨆ i ∈ IA i, {\ displaystyle A = \ bigsqcup _ {i \ in I} A_ {i},}$ ${\ displaystyle A = \ bigsqcup _ {i \ in I} A_ {i},}$ с инъективной функцией каждого $A i {\ displaystyle A_ {i}}$ $A_ {i}$ в A, так что union изображений этих инъекций образуют раздел A (то есть каждый элемент A принадлежит ровно одному из этих изображений).

Непересекающееся объединение семейства попарно непересекающихся множеств является их объединением множеств.

В терминах теории категорий непересекающееся объединение - это копроизведение из категории множеств.

Таким образом, непересекающееся объединение определяется до биекция.

Стандартный способ построения непересекающегося объединения - определить A как набор упорядоченных пар (x, i) таких, что $x ∈ A i, {\ displaystyle x \ в A_ {i},}$ ${\ displaystyle x \ in A_ {i},}$ и инъективных функциях $A i → A {\ displaystyle A_ {i} \ to A}$ ${\ displaystyle A_ {i} \ в A}$ на $x ↦ (x, я). {\ displaystyle x \ mapsto (x, i).}$ ${\ displaystyle x \ mapsto (x, i).}$

Содержание

1 Пример
2 Определение теории множеств
3 Точка зрения теории категорий
4 См. также
5 Ссылки

Пример

Рассмотрим наборы $A 0 = {5, 6, 7} {\ displaystyle A_ {0} = \ {5,6,7 \}}$ ${\ displaystyle A_ {0} = \ {5,6,7 \}}$ и $A 1 = {5, 6} {\ displaystyle A_ {1} = \ {5,6 \}}$ ${\ displaystyle A_ {1} = \ {5,6 \}}$ . Мы можем проиндексировать элементы множества в соответствии с их началом, образуя ассоциированные множества

A 0 ∗ = {(5, 0), (6, 0), (7, 0)} A 1 ∗ = {(5, 1), (6, 1)}, {\ displaystyle {\ begin {align} A_ {0} ^ {*} = \ {(5,0), (6,0), (7,0) \} \ \ A_ {1} ^ {*} = \ {(5,1), (6,1) \}, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A_ {0} ^ {*} = \ {(5,0), (6,0), (7, 0) \} \\ A_ {1} ^ {*} = \ {(5,1), (6,1) \}, \ end {align}}}

где второй элемент в каждой паре соответствует нижнему индексу начала координат набор (например, $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ в $(5, 0) {\ displaystyle (5,0)}$ ${\ displaystyle (5,0)}$ соответствует нижнему индексу в $A 0 {\ displaystyle A_ {0}}$ $A_ {0}$ и т. Д.). Непересекающееся объединение $A 0 ⊔ A 1 {\ displaystyle A_ {0} \ sqcup A_ {1}}$ ${\ displaystyle A_ {0} \ sqcup A_ {1}}$ может быть вычислено следующим образом:

A 0 ⊔ A 1 = A 0 ∗ ∪ A 1 ∗ = {(5, 0), (6, 0), (7, 0), (5, 1), (6, 1)}. {\ displaystyle A_ {0} \ sqcup A_ {1} = A_ {0} ^ {*} \ cup A_ {1} ^ {*} = \ {(5,0), (6,0), (7, 0), (5,1), (6,1) \}.}

{\ displaystyle A_ {0} \ sqcup A_ {1} = A_ {0} ^ {*} \ cup A_ {1} ^ {* } = \ {(5,0), (6,0), (7,0), (5,1), (6,1) \}.}

Определение теории множеств

Формально, пусть {A i : i ∈ I} будет семейство множеств, пронумерованных I. Непересекающееся объединение этого семейства - это множество

⨆ i ∈ IA i = ⋃ i ∈ I {(x, i): x ∈ A i}. {\ displaystyle \ bigsqcup _ {i \ in I} A_ {i} = \ bigcup _ {i \ in I} \ {(x, i): x \ in A_ {i} \}.}

\ bigsqcup_ {i \ in I} A_i = \ bigcup_ {i \ in I} \ {(x, i): x \ in A_i \}.

Элементы непересекающегося объединения - это упорядоченные пары (x, i). Здесь i служит вспомогательным индексом, который указывает, из какого A i пришел элемент x.

Каждое из множеств A i канонически изоморфно множеству

A i ∗ = {(x, i): x ∈ A i}. {\ displaystyle A_ {i} ^ {*} = \ {(x, i): x \ in A_ {i} \}.}

A_i ^ * = \ {(x, i): x \ in A_i \}.

Благодаря этому изоморфизму можно считать, что A i канонически вложено в несвязное объединение. Для i ≠ j наборы A i * и A j * не пересекаются, даже если наборы A i и A j являются не.

В крайнем случае, когда каждое из A i равно некоторому фиксированному множеству A для каждого i ∈ I, несвязное объединение является декартовым произведением числа A и I:

⨆ i ∈ IA i = A × I. {\ displaystyle \ bigsqcup _ {i \ in I} A_ {i} = A \ times I.}

\ bigsqcup_ {i \ in I} A_i = A \ times I.

Иногда можно увидеть запись

∑ i ∈ IA i {\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} A_ {i}}

\ sum_ {i \ in I} A_i

для несвязного объединения семейства множеств или обозначение A + B для несвязного объединения двух множеств. Эта запись предназначена для того, чтобы наводить на мысль о том, что мощность непересекающегося объединения является суммой мощностей элементов в семействе. Сравните это с обозначением для декартова произведения семейства множеств.

Непересекающиеся союзы также иногда записываются $⨄ i ∈ IA i {\ displaystyle \ biguplus _ {i \ in I} A_ {i}}$ $\ biguplus _ {{i \ in I}} A_ {i}$ или $⋅ ⋃ i ∈ IA i {\ displaystyle \ \ cdot \! \! \! \! \! \ Bigcup _ {i \ in I} A_ {i}}$ ${\ displaystyle \ \ cdot \! \! \! \! \! \ bigcup _ {i \ in I} A_ {i}}$ .

На языке теории категорий непересекающееся объединение - это копроизведение в категории наборов. Следовательно, он удовлетворяет ассоциированному универсальному свойству. Это также означает, что непересекающееся объединение является категориальным двойственным элементом конструкции декартово произведение. Подробнее см. сопродукт.

Для многих целей конкретный выбор вспомогательного индекса не важен, и в упрощенном злоупотреблении нотацией индексированное семейство можно рассматривать просто как набор наборов. В этом случае $A i ∗ {\ displaystyle A_ {i} ^ {*}}$ $A_ {i} ^ {*}$ упоминается как копия $A i {\ displaystyle A_ {i}}$ $A_ {i}$ и обозначение $⋃ ∗ A ∈ CA {\ displaystyle {\ underset {A \ in C} {\, \, \ bigcup \ nolimits ^ {*} \!}} A}$ ${\ underset {A \ in C} {\, \, \ bigcup \ nolimits ^ {{*}} \!}} A$ иногда используется.

Точка зрения теории категорий

В теории категорий непересекающееся объединение определяется как копродукт в категории множеств.

Таким образом, дизъюнктное объединение определяется с точностью до изоморфизма, и приведенное выше определение является лишь одной реализацией копроизведения среди других. Когда множества попарно не пересекаются, обычное объединение является другой реализацией копроизведения. Это оправдывает второе определение.

Этот категориальный аспект несвязанного объединения объясняет, почему часто используется $∐ {\ displaystyle \ coprod}$ $\ coprod$ вместо $⨆ {\ displaystyle \ bigsqcup}$ $\ bigsqcup$ для обозначения побочного продукта.

См. Также

Литература

Лэнг, Серж (2004), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (исправленное четвертое издание, исправленное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
Вайсштейн, Эрик У. "Disjoint Union". MathWorld.