Индуцированная топология

редактировать

В топологии и связанных областях математика, индуцированная топология на топологическом пространстве - это топология, которая делает данное (индуцирующее ) функция или набор функций непрерывных из этого топологического пространства.

A коиндуцированная топология или конечная топология делает данное (совокупность функций, непрерывных в этом топологическом пространстве.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Случай только одной функции
- 1.2 Общий случай
2 Примеры
3 Ссылки
4 Источники
5 См. Также

Определение

Случай только одной функции

Пусть $X 0, X 1 {\ displaystyle X_ {0}, X_ {1}}$ $X_ {0}, X_ {1}$ быть множествами, $f: X 0 → X 1 {\ displaystyle f: X_ {0} \ to X_ {1}}$ $f: X_ {0} \ to X_ {1}$ .

Если $τ 0 {\ displaystyle \ tau _ {0}}$ $\ tau _ {0}$ - это топология на $X 0 {\ displaystyle X_ {0}}$ $X_ {0}$ , затем топология, созданная на $Икс 1 {\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ by $f {\ displaystyle f}$ $f$ равно ${U 1 ⊆ X 1 | е - 1 (U 1) ∈ τ 0} {\ Displaystyle \ {U_ {1} \ substeq X_ {1} | f ^ {- 1} (U_ {1}) \ in \ tau _ {0} \}}$ $\ {U_ {1} \ substeq X_ {1} | f ^ {- 1} (U_ {1}) \ in \ тау _ {0} \}$ .

Если $τ 1 {\ displaystyle \ tau _ {1}}$ $\ tau _ {1}$ является топологией на $X 1 {\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ , то топология, индуцированная на $X 0 {\ displaystyle X_ {0}}$ $X_ {0}$ by $f {\ displaystyle f}$ $f$ , равна ${f - 1 (U 1) | U 1 ∈ τ 1} {\ displaystyle \ {f ^ {- 1} (U_ {1}) | U_ {1} \ in \ tau _ {1} \}}$ $\ {f ^ {- 1} (U_ {1}) | U_ {1} \ in \ tau _ {1} \}$ .

Простой способ запомнить приведенные выше определения заключается в том, чтобы заметить, что поиск инверсного изображения используется в обоих. Это потому, что инверсное изображение сохраняет объединение и пересечение. Нахождение прямого изображения не сохраняет пересечение в целом. Вот пример, когда это становится препятствием. Рассмотрим набор $X 0 = {- 2, - 1, 1, 2} {\ displaystyle X_ {0} = \ {- 2, -1,1,2 \}}$ $X_ {0} = \ {- 2, -1,1,2 \}$ с топология ${{- 2, - 1}, {1, 2}} {\ displaystyle \ {\ {- 2, -1 \}, \ {1,2 \} \}}$ $\ {\ {- 2, -1 \}, \ {1,2 \ } \}$ , набор $X 1 = {- 1, 0, 1} {\ displaystyle X_ {1} = \ {- 1,0,1 \}}$ $X_ {1 } = \ {- 1,0,1 \}$ и функция $f: Икс 0 → Икс 1 {\ displaystyle f: X_ {0} \ to X_ {1}}$ $f: X_ {0} \ to X_ {1}$ такой, что $f (- 2) = - 1, f (- 1) = 0, f (1) = 0, f (2) = 1 {\ displaystyle f (-2) = - 1, f (-1) = 0, f (1) = 0, f (2) = 1}$ $f (-2) = - 1, f (-1) = 0, f (1) = 0, е (2) = 1$ . Набор подмножеств $τ 1 = {f (U 0) | U 0 ∈ τ 0} {\ displaystyle \ tau _ {1} = \ {f (U_ {0}) | U_ {0} \ in \ tau _ {0} \}}$ $\ tau _ {1} = \ {f (U_ {0}) | U_ {0} \ in \ tau _ {0} \}$ не является топология, потому что ${{- 1, 0}, {0, 1}} ⊆ τ 1 {\ displaystyle \ {\ {- 1,0 \}, \ {0,1 \} \} \ substeq \ tau _ {1}}$ $\ {\ {- 1,0 \}, \ {0,1 \} \} \ substeq \ tau _ {1}$ но ${- 1, 0} ∩ {0, 1} ∉ τ 1 {\ displaystyle \ {- 1,0 \} \ cap \ {0,1 \} \ notin \ tau _ {1}}$ $\ {- 1,0 \} \ cap \ {0,1 \} \ notin \ tau _ {1}$ .

Ниже приведены эквивалентные определения.

Топология $τ 1 {\ displaystyle \ tau _ {1}}$ $\ tau _ {1}$ , созданная на $X 1 {\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ по $f {\ displaystyle f}$ $f$ - это лучшая топология, такая, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ является непрерывным $(Икс 0, τ 0) → (Икс 1, τ 1) {\ displaystyle (X_ {0}, \ tau _ {0}) \ to (X_ {1}, \ tau _ {1}) }$ $(X_ {0}, \ tau _ {0}) \ to (X_ {1}, \ tau _ {1})$ . Это частный случай окончательной топологии на $X 1 {\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ .

Топология $τ 0 {\ displaystyle \ tau _ {0}}$ $\ tau _ {0}$ , индуцированное $X 0 {\ displaystyle X_ {0}}$ $X_ {0}$ посредством $f {\ displaystyle f}$ $f$ , является самой грубой топологией таким, что $f {\ displaystyle f}$ $f$ является непрерывным $(X 0, τ 0) → (X 1, τ 1) {\ displaystyle (X_ {0}, \ tau _ {0}) \ to (X_ {1}, \ tau _ {1})}$ $(X_ {0}, \ tau _ {0}) \ to (X_ {1}, \ tau _ {1})$ . Это частный случай начальной топологии на $X 0 {\ displaystyle X_ {0}}$ $X_ {0}$ .

Общий случай

Учитывая набор X и индексированный семейство (Yi)i∈I из топологических пространств с функциями

fi: X → Y i, {\ displaystyle f_ {i}: X \ to Y_ {i},}

{\ displaystyle f_ {i}: X \ to Y_ {i },}

топология $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ на $X {\ displaystyle X}$ $X$ , индуцированная этими функциями, является самой грубой топологией на X такой, что каждый

fi: (X, τ) → Y i {\ displaystyle f_ {i} :( X, \ tau) \ to Y_ {i}}

f_ {i} :( X, \ tau) \ to Y_ {i}

является непрерывным.

явно индуцированная топология представляет собой набор открытых множеств , сгенерированных всеми множествами вида $fi - 1 (U) {\ displaystyle f_ {i} ^ {- 1} (U)}$ $f_ {i} ^ {{- 1}} (U)$ , где $U {\ displaystyle U}$ $U$ - открытый набор в $Y i {\ displaystyle Y_ {i}}$ $Y_ {i}$ для некоторого i ∈ I при конечных пересечениях и произвольных объединениях. Наборы $f i - 1 (U) {\ displaystyle f_ {i} ^ {- 1} (U)}$ $f_ {i} ^ {{- 1}} (U)$ часто называют наборами цилиндров. Если I содержит ровно один элемент, все открытые наборы $(X, τ) {\ displaystyle (X, \ tau)}$ $(X, \ tau)$ являются наборами цилиндров.

Примеры

факторная топология - это топология, порожденная факторной картой.
Топология продукта - это топология, индуцированная проекциями $proj j: X → X j {\ displaystyle {\ text {proj}} _ {j}: X \ to X_ {j}}$ ${\ displaystyle {\ text {proj}} _ {j}: X \ to X_ {j}}$ .
Если $f: X 0 → X {\ displaystyle f : X_ {0} \ to X}$ ${\ displaystyle f: X_ {0} \ to X}$ - это карта включения, тогда $f {\ displaystyle f}$ $f$ индуцирует на $X 0 { \ displaystyle X_ {0}}$ $X_ {0}$ топология подпространства .
Слабая топология - это топология, вызванная двойственным элементом на топологическом векторе пробел.

Ссылки

Источники

Ху, Сзе-Цен (1969). Элементы общей топологии. Холден-Дэй.

См. Также

Естественная топология
исходная топология и окончательная топология используются как синонимы, хотя обычно только в случае, когда (co) вызывающая коллекция состоит из более чем одной функции.