Карта включения

В математике, если A - подмножество из B, то карта включения (также функция включения, вставка или каноническая инъекция ) - это функция ι, которая отправляет каждый элемент x из A в x, рассматриваемый как элемент B:

$\iota :\; A\; \to \; B,\; \iota \; (x)\; =\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iota:\; A\; \backslash \; rightarrow\; B,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; iota\; (x)\; =\; x.\}$

"стрелка с крючком" (U + 21AA ↪ СТРЕЛКА ВПРАВО С КРЮЧКОМ) иногда используется вместо стрелки функции вверху для обозначения карты включения; таким образом:

$\iota :\; A\; \hookrightarrow \; B.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iota:\; A\; \backslash \; hookrightarrow\; B.\}$

(С другой стороны, это обозначение иногда зарезервировано для вложений.)

Это и другие аналогичные инъективные функции из подструктур иногда называют естественными инъекциями .

При любом морфизме f между объектами X и Y, если есть включение отображение в область ι: A → X, то можно сформировать ограничение f ι для f. Во многих случаях можно также построить каноническое включение в кодомен R → Y, известное как диапазон f.

Карты включения обычно являются гомоморфизмами алгебраических структур ; таким образом, такие карты включения являются вложениями. Более точно, если подструктура замкнута относительно некоторых операций, отображение включения будет вложением по тавтологическим причинам. Например, для некоторой бинарной операции ⋆, чтобы потребовать, чтобы

$\iota \; (x\; \star \; y)\; =\; \iota \; (x)\; \iota \; \iota \; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iota\; (x\; \backslash \; star\; y)\; =\; \backslash \; iota\; (x)\; \backslash \; star\; \backslash \; iota\; (y)\}$

просто означает, что последовательно вычисляется в подструктуре и большой структуре. Случай с унарной операцией аналогичен; но следует также посмотреть на операции nullary, которые выбирают постоянный элемент. Дело в том, что закрытие означает, что такие константы уже должны быть указаны в подструктуре.

Карты включения видны в алгебраической топологии, где, если A является ретрактом с сильной деформацией X, карта включения дает изоморфизм между всеми гомотопические группы (то есть это гомотопическая эквивалентность ).

Карты включения в геометрии бывают разных видов: например, вложения из подмногообразий. Контравариантные объекты (то есть объекты с откатами ; они называются ковариантными в старой и не связанной терминологии), такие как дифференциальные формы ограничиваются подмногообразиями, давая отображение в обратном направлении. Другой пример, более сложный, - это пример аффинных схем, для которых включения

$Spec\; \; (R\; /\; I)\; \to \; Spec\; \; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; \backslash \; left\; (R\; /\; I\; \backslash \; right)\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; (R)\}$

и

$Spec\; \; (R\; /\; I\; 2)\; \to \; Spec\; \; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; \backslash \; left\; (R\; /\; I\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; to\; \backslash \; operatorname\; \{Spec\}\; (R)\}$

могут быть разными морфизмами, где R - коммутативное кольцо, а I - perfect of R.

• Cofibration
• Identity function