Ковариация и контравариантность векторов

Способ, которым геометрический объект изменяется при изменении базиса Вектор, v, представленный в терминах

касательного базиса

e1, e2, e3к координатным кривым (слева),

дуального базиса, ковекторного базиса или обратного базиса

e, e, eк координатным поверхностям (справа),

в 3-d общих криволинейных координатах (q, q, q), кортеж чисел для определения точки в пробел. Обратите внимание, что базис и кобазис совпадают только тогда, когда базис ортогонален.

В полилинейной алгебре и тензорном анализе, ковариация и контравариантность описывают, как количественное описание определенных геометрических или физических объектов изменяется с изменением основы.

В физике под базисом иногда понимается набор опорных осей. Изменение масштаба на исходных осяхсоответствует изменению единиц в задаче. Например, при изменении масштаба с метров на сантиметры (то есть деления масштаба опорных осей на 100) компоненты измеренного вектора скорости умножаются на 100. Векторы демонстрируют это поведение изменения масштаба обратно пропорционально изменениям масштаба относительно опорных осей и, следовательно, называются контравариантными. В результате векторы часто имеют единицы расстояния или расстояния с другими единицами (например, скоростьимеет единицы расстояния, деленные на время).

Напротив, ковекторы (также называемые двойными векторами) обычно имеют единицы, обратные расстоянию, или обратные расстоянию с другими единицами. Примером ковектора является градиент, который имеет единицы пространственной производной или расстояния. Компоненты ковекторов изменяются так же, как изменения масштаба опорных осей, и поэтому называются ковариантными.

Третьим понятием, относящимся к ковариациии контравариантности, является инвариантность. Примером физической наблюдаемой, которая не меняется с изменением масштаба на опорных осях, является масса частицы, которая имеет единицы массы (то есть никакие единицы расстояние). Единичное, скалярное значение массы не зависит от изменений масштаба опорных осей и, следовательно, называется инвариантным.

При более общих изменениях в базисе:

• Контравариантный вектор или касательный вектор ( часто сокращенно обозначается просто вектор, например, вектор направления или вектор скорости) имеет компоненты, которые изменяются с изменением основы для компенсации. То есть матрица, преобразующая компоненты вектора, должна быть обратной по отношению к матрице, преобразующей базисные векторы. Компоненты векторов (в отличие от ковекторов) называются контравариантными . Примеры векторов с контравариантными компонентами включают положение объекта относительно наблюдателя илилюбую производную положения по времени, включая скорость, ускорение и рывок. В нотации Эйнштейна контравариантные компоненты обозначаются верхними индексами, как в

  $v\; =\; v\; i\; e\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; v\; ^\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}.\}$

• Ковариантный вектор или котангенсный вектор (часто сокращенно ковектор) имеет компоненты, которые совпадают -вариваются со сменой базы. То есть компоненты должны быть преобразованы той же матрицей, что и изменениебазовой матрицы. Компоненты ковекторов (в отличие от компонентов векторов) называются ковариантными . Примеры ковариантных векторов обычно появляются при взятии градиента функции. В нотации Эйнштейна ковариантные компоненты обозначаются нижними индексами, как в

  $e\; i\; (v)\; =\; v\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; =\; v\_\; \{i\}.\}$

Криволинейные системы координат, такие как цилиндрические или сферические координаты, часто используются в физических игеометрических задачах. С любой системой координат связан естественный выбор базиса координат для векторов, базирующихся в каждой точке пространства, а ковариация и контравариантность особенно важны для понимания того, как описание координат вектора изменяется при переходе от одной системы координат к другой.

Термины ковариантный и контравариантный были введены Джеймсом Джозефом Сильвестром в 1851 году в контексте теории связанных алгебраических форм. Тензоры - этообъекты в полилинейной алгебре, которые могут иметь аспекты как ковариации, так и контравариантности.

В лексиконе теории категорий, ковариация и контравариантность являются свойствами функторов ; К сожалению, именно объекты нижнего индекса (ковекторы) обычно имеют откаты, которые являются контравариантными, тогда как объекты (векторы) верхнего индекса вместо этого имеют pushforwards, которые являются ковариантными. Этоготерминологического конфликта можно избежать, назвав контравариантные функторы «кофункторами» - в соответствии с терминологией «ковекторов» и продолжив традицию трактовки векторов как концепта, а ковекторов как коконцепта.

• 1 Введение
• 2 Определение
  • 2.1 Контравариантное преобразование
  • 2.2 Ковариантное преобразование
• 3 Координаты
• 4 Ковариантные и контравариантные компоненты вектора с метрикой
  • 4.1 Евклидово плоскость
    • 4.1.1 Пример
  • 4.2Трехмерное евклидово пространство
  • 4.3 Общие евклидовы пространства
• 5 Неформальное использование
• 6 Использование в тензорном анализе
• 7 Алгебра и геометрия
• 8 См. также
• 9 Примечания
• 10 Цитаты
• 11 Ссылки
• 12 Внешние ссылки

В физике вектор обычно возникает в результате измерения или серии измерений, и представлен в виде списка (или кортежа ) чисел, таких как

$(v\; 1,\; v\; 2,\; v\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; (v\_\; \{1\},\; v\_\; \{2\},\; v\_\; \{3\}).\}$

Числа в списке зависят от выбора системы координат. Например, если вектор представляет положение относительно наблюдателя (вектор положения ), то система координат может быть получена из системы жестких стержней или опорных осей, вдоль которых компоненты v 1, v 2 и v 3 измеряются. Чтобы вектор представлял геометрический объект, должна быть возможность описать, как он выглядит в любой другой системе координат. То есть компоненты векторовбудут определенным образом преобразовываться при переходе от одной системы координат к другой.

Контравариантный вектор имеет компоненты, которые «преобразуются так же, как и координаты» при изменении координат (и, таким образом, обратно пропорционально преобразованию опорных осей), включая поворот и растяжение. Сам вектор при этих операциях не изменяется ; вместо этого компоненты вектора изменяются таким образом, что отменяет изменение пространственных осей, точно также, как изменяются координаты. Другими словами, если опорные оси были повернуты в одном направлении, компонентное представление вектора повернулось бы точно в противоположном направлении. Точно так же, если опорные оси были растянуты в одном направлении, компоненты вектора, как и координаты, уменьшились бы точно компенсирующим образом. Математически, если система координат претерпевает преобразование, описанное обратимой матрицей M, так что вектор координат xпреобразуется в$x\; \prime \; =\; M\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; x\}\; \text{'}=\; M\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$, то контравариантный вектор v должен быть аналогичным образом преобразован с помощью $v\; \prime \; =\; M\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \text{'}=\; M\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$. Это важное требование - то, что отличает контравариантный вектор от любой другой тройки физически значимых величин. Например, если v состоит из x-, y- и z-компонентов скорости, тогда v - контравариантный вектор: если координаты пространстварастянуты, повернуты или скручены, то компоненты преобразования скорости аналогичным образом. Примеры контравариантных векторов включают смещение, скорость и ускорение. С другой стороны, например, тройка, состоящая из длины, ширины и высоты прямоугольного блока, может составлять три компонента абстрактного вектора , но этот вектор не будет контравариантным, поскольку изменение координат в пространстве не изменяет длину, ширину и высоту блока: вместо этогоэто скаляры.

Напротив, ковариантный вектор имеет компоненты, которые изменяются противоположно координатам или, что то же самое, преобразуются как эталон топоры. Например, компоненты вектора градиента функции

$\nabla \; f\; =\; \partial \; f\; \partial \; x\; 1\; x\; ^\; 1\; +\; \partial \; f\; \partial \; x\; 2\; x\; ^\; 2\; +\; \partial \; f\; \partial \; x\; 3\; x\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{x\}\}\; ^\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{x\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{3\}\}\}\; \{\backslash widehat\; \{x\}\}\; ^\; \{3\}\}$

трансформируются, как сами опорные оси.

Ковариантные и контравариантные компоненты вектора, когда базис не ортогонален.

Общая формулировка ковариации и контравариантности относится к тому, как компоненты координатного вектора преобразуются при изменении базы (пассивное преобразование ). Таким образом, пусть V будет векторным пространством размерности n над полем скаляров S, и пусть каждый из f =(X 1,..., X n) и f ′ = (Y 1,..., Y n) быть базис of V. Кроме того, пусть изменение базиса с f на f ′ определяется как

$f\; \mapsto \; f\; \prime \; =\; (\sum \; ia\; 1\; я\; Икс\; я,\dots ,\; \sum \; iani\; X\; я)\; знак\; равно\; е\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \text{'}=\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\_\; \{1\}\; ^\; \{\; i\}\; X\_\; \{i\},\; \backslash \; dots,\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\_\; \{n\}\; ^\; \{i\}\; X\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; A\}$

(1)

для некоторых обратимая матрица Aразмера n × n с элементами $aji\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{i\}\}$. Здесь каждый вектор Y j базиса f ′ представляет собой линейную комбинацию векторов X i базиса f, поэтому что

$Y\; j\; =\; \sum \; iaji\; X\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{j\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{i\}\; X\_\; \{i\}.\}$

Контравариантное преобразование

Вектор $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$в V выражается однозначно как линейная комбинация элементов базиса f как

$v\; =\sum \; ivi\; [f]\; X\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; v\; ^\; \{i\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; X\_\; \{i\},\}$

(2)

где v [f ] равны скаляры в S, известные как компоненты v в базисе f . Обозначим вектор-столбец компонентов v как v[f]:

$v\; [f]\; =\; [v\; 1\; [f]\; v\; 2\; [f]\; ⋮\; vn\; [f]]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; v\; ^\; \{1\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; \backslash \backslash \; v\; ^\; \{2\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; v\; ^\; \{n\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

, чтобы (2) можнобыло переписать как матричное произведение

$v\; =\; fv\; [f].\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}].\}$

Вектор v также может быть выражен через базис f ′, так что

$v\; =\; f\; \prime \; v\; [f\; \prime ].\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\; \text{'}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\text{'}\}].\}$

Однако, поскольку вектор v сам по себе инвариантен относительно выбора базиса,

$fv\; [f]\; =\; v\; =\; f\; \prime \; v\; [f\; \prime ].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; =\; v\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\; \text{'}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\{v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\text{'}\}].\}$

Инвариантность v в сочетании с соотношением (1) между f и f ′ означает, что

$fv\; [f]\; =\; f\; A\; v\; [f\; A],\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; A\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}\; A],\}$

давая правило преобразования

$v\; [f\; A]\; =\; A\; -\; 1\; v\; [f].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}\; A]\; =\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}].\}$

Что касается компонентов,

$vi\; [\; е\; A]\; =\; \sum \; джа\; ~\; jivj\; [е]\; \{\backslash \; displaystyle\; v^\; \{i\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}\; A]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{\backslash \; tilde\; \{a\}\}\; \_\; \{j\}\; ^\; \{i\}\; v\; ^\; \{j\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\}$

где коэффициенты $a\; ~\; ji\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{a\}\}\; \_\; \{j\}\; ^\; \{i\}\}$равны элементы обратной матрицы матрицы A.

Поскольку компоненты вектора v преобразуются с инверсией матрицы A, эти компоненты, как говорят, преобразуются контравариантно под смену базы.

То, как А связывает две пары, показано на следующей неформальной диаграмме стрелкой. Перевернутаястрелка указывает на контравариантное изменение:

$f\; ⟶\; f\; \prime \; v\; [f]\; ⟵\; v\; [f\; \prime ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \backslash \; longrightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{f\; \text{'}\}\; \backslash \backslash \; v\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; \backslash \; longleftarrow\; v\; [\backslash \; mathbf\; \{f\; \text{'}\}]\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Ковариантное преобразование

A линейный функционал α на V однозначно выражается в терминах его компонентов (скаляров в S) в базисе f как

$\alpha \; (X\; i)\; =\; \alpha \; i\; [f],\; i\; =\; 1,\; 2,\dots ,\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; (X\_\; \{i\})\; =\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; [\backslash \; mathbf\{f\}],\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,2,\; \backslash \; dots,\; n.\}$

Эти компоненты являются действием α на базисных векторах X i базиса f .

При изменении базиса с f на f ′ (1) компоненты преобразуются так, что

$\alpha \; i\; [f\; A]\; =\; \alpha \; (Y\; i)\; =\; \alpha \; (\sum \; jaij\; X\; j)\; =\; \sum \; jaij\; \alpha \; (X\; j)\; =\; \sum \; jaij\; \alpha \; j\; [f].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}\; A]\; =\; \backslash \; alpha\; (Y\_\; \{i\})\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; a\_\; \{\; i\}\; ^\; \{j\}\; X\_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; alph\; a\; (X\_\; \{j\})\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{j\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}].\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

(3)

Обозначим вектор-строку компонентов α на α [f ]:

$\alpha \; [f]\; =\; [\alpha \; 1\; [f],\; \alpha \; 2\; [f],\dots ,\; \alpha \; n\; [f]]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; alpha\; \}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{1\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}],\; \backslash \; alpha\; \_\; \{2\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}],\; \backslash \; dots,\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\; n\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

так, чтобы (3) можно было переписать как матричное произведение

$\alpha \; [f\; A]\; =\; \alpha \; [f]\; A.\{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}\; A]\; =\; \backslash \; alpha\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; A.\}$

Поскольку компоненты линейного функционального α преобразуются с матрицей A, эти компоненты называются ковариантно преобразуйте при изменении базы.

То, как А связывает две пары, показано на следующей неформальной диаграмме стрелкой. Ковариантная связь указывается, поскольку стрелки движутся в одном направлении:

$f\; ⟶\; f\; \prime \; \alpha \; [f]\; ⟶\; \alpha \; [f\; \prime ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \backslash \; longright\; arrow\; \backslash \; mathbf\; \{f\; \text{'}\}\; \backslash \backslash \backslash \; alpha\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; \backslash \; longrightarrow\; \backslash \; alpha\; [\backslash \; mathbf\; \{f\text{'}\}]\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Если бы вместо этого использовалось представление вектора столбца, закон преобразования будет транспонировать

$\alpha \; T\; [f\; A]\; =\; AT\; \alpha \; T\; [f].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}\; A]\; =\; A\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{T\}\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}].\}$

Выбор базиса f на векторном пространстве V однозначно определяет набор координатныхфункций на V посредством

$xi\; [f]\; (v)\; =\; vi\; [f].\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{i\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; (v)\; =\; v\; ^\; \{i\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}].\}$

Следовательно, координаты на V контравариантны в том смысле, что

$xi\; [f\; A]\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; na\; ~\; kixk\; [f].\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{i\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}\; A]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; tilde\; \{a\}\}\; \_\; \{k\}\; ^\; \{i\}\; x\; ^\; \{k\}\; [\; \backslash \; mathbf\; \{f\}].\}$

И наоборот, система из n величин v, которые преобразуются подобно координатам x на V, определяет контравариантный вектор. Тогда система из nвеличин, которые преобразуются противоположно координатам, является ковариантным вектором.

Эта формулировка контравариантности и ковариации часто более естественна в приложениях, в которых есть координатное пространство (многообразие ), в котором векторы существуют как касательные векторы или котангенс векторов. Учитывая локальную систему координат x на многообразии, опорными осями системы координат являются векторные поля

$X\; 1\; =\; \partial \; \partial \; x\; 1,\dots ,\; X\; n\; =\; \partial \partial \; x\; n.\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{1\}\}\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{n\}\}\; \}.\}$

Это дает начало кадру f = (X 1,..., X n) в каждой точке координатного патча..

Если y - другая система координат и

$Y\; 1\; =\; \partial \; \partial \; y\; 1,\dots ,\; Y\; n\; =\; \partial \; \partial \; yn,\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\; \backslash \; partial\; y\; ^\; \{1\}\}\},\; \backslash \; dots,\; Y\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{n\}\}\},\}$

тогда кадр f 'связанос кадром f обратным к матрице Якоби координатного перехода:

$f\; \prime \; =\; f\; J\; -\; 1,\; J\; =\; (\partial \; yi\; \partial \; xj)\; i,\; j\; =\; 1\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; J\; ^\; \{-\; 1\},\; \backslash \; quad\; J\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\; \}\; \backslash \; right)\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}.\}$

Или, в индексах,

$\partial \; \partial \; yi\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; \partial \; xj\; \partial \; yi\; \partial \; \partial \; xj.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{i\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash partial\; x\; ^\; \{j\}\}\}.\}$

Касательный вектор по определению является вектором, который представляет собой линейную комбинацию координатных частей $\partial \; /\; \partial \; xi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; /\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\}$. Таким образом, касательный вектор определяется как

$v\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; v\; i\; [f]\; X\; i\; =\; f\; v\; [f].\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; v\; ^\; \{i\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; X\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\; \}].\}$

Такой вектор контравариантен относительно смены кадра. Приизменении системы координат

$v\; [f\; \prime ]\; =\; v\; [f\; J\; -\; 1]\; =\; J\; v\; [f].\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}\; \text{'}\backslash \; right]\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}\; J\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right]\; =\; J\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{\; v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}].\}$

Следовательно, компоненты касательного вектора преобразуются через

$vi\; [f\; \prime ]\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; \partial \; yi\; \partial \; xjvj\; [f].\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{i\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}\; \text{'}\backslash \; right]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\}\; v\; ^\; \{j\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}].\}$

Соответственно, система из n величин v, зависящих от координат, которые преобразуются таким образом при переходе от одной системы координат к другой, называется контравариантный вектор.

Контравариантные компоненты вектора получаются путем проецирования на оси координат. Ковариантные компоненты получаются путем проецирования на нормальные линии к координатным гиперплоскостям.

В конечномерномвекторном пространстве V над полем K с симметричной билинейной формой g: V × V → K (который можно назвать метрическим тензором ), между ковариантными и контравариантными векторами мало различий, потому что билинейная форма позволяет ковекторам быть отождествляются с векторами. То есть вектор v однозначно определяет ковектор α посредством

$\alpha \; (w)\; =\; g\; (v,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; (w)\; =\; g\; (v,\; w)\}$

для всех векторов w. И наоборот, каждый ковектор αопределяет уникальный вектор v этим уравнением. Из-за такого отождествления векторов с ковекторами можно говорить о ковариантных компонентах или контравариантных компонентах вектора, то есть они просто представления одного и того же вектора с использованием взаимное основание.

Для данного базиса f = (X 1,..., X n) V существует уникальное взаимное основание f = (Y,..., Y) из V определяется требованием, чтобы

$Y\; i\; (X\; j)=\; \delta \; ji,\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; ^\; \{i\}\; (X\_\; \{j\})\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{j\}\; ^\; \{i\},\}$

дельта Кронекера. В терминах этих базисов любой вектор v можно записать двумя способами:

$v\; =\; \sum \; i\; v\; i\; [f]\; X\; i\; =\; f\; v\; [f]\; =\; \sum \; i\; v\; i\; [f]\; Y\; i\; =\; f\; ♯\; v\; ♯\; [f].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; v\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; v\; ^\; \{i\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; X\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{\; f\}]\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; v\_\; \{i\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}]\; Y\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; ^\; \{\backslash \; sharp\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; ^\; \{\backslash \; sharp\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}].\; \backslash \; end\; \{al\; ign\}\}\}$

Компоненты v [f ] - это контравариантные компоненты вектора v в базисе f, а компоненты v i[f] являются ковариантными компонентами v в базисе f . Терминология оправдана, поскольку при изменении базиса

$v\; [f\; A]\; =\; A\; -\; 1\; v\; [f],\; v\; ♯\; [f\; A]\; =\; A\; T\; v\; ♯\; [f].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}\; A]\; =\; A\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}],\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; ^\; \{\backslash \; sharp\}\; [\backslash \; mathbf\; \{f\}\; A]\; =\; A\; ^\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; ^\; \{\backslash \; sharp\}\; [\backslash \; mathbf\{f\}].\}$

Евклидова плоскость

В евклидовой плоскости скалярное произведение позволяет отождествлять векторы с ковекторами. Если $e\; 1,\; e\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\}$является базисом, то двойственный базис $e\; 1,\; e\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{2\}\}$удовлетворяет

$e\; 1\; \cdot \; e\; 1\; =\; 1,\; e\; 1\; \cdot \; e\; 2\; Знак\; равно\; 0\; е\; 2\; \cdot \; е\; 1\; знак\; равно\; 0,\; е\; 2\; \cdot \; е\; 2\; знак\; равно\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}^\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; =\; 1,\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; =\; 1.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Таким образом, e и e2являются перпендикулярны друг другу, как и e и e1, и длины e и e, нормализованные относительно e1и e2соответственно.

Пример

Например, предположим, что нам дан базис e1, e2,состоящий из пары векторов, образующих угол 45 ° друг с другом, так что e1имеет длину 2 и e2имеет длину 1. Тогда двойственные базисные векторы задаются следующим образом:

• e- это результат поворота e1на угол 90 ° (где смысл измеряется, предполагая, что пара e1, e2положительно ориентировано), а затем измените масштаб так, чтобы сохранялось e⋅ e2= 1.
• e- это результат поворота e2на угол 90 ° с последующим изменением масштаба так, чтобы сохранялось e⋅ e1= 1.

Применение этихправил, мы находим

$e\; 1\; =\; 1\; 2\; e\; 1\; -\; 1\; 2\; e\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\; \}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\}$

и

$e\; 2\; =\; -\; 1\; 2\; e\; 1\; +\; 2\; e\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +2\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}.\}$

Таким образом, изменение базовой матрицы при переходе от исходного базиса к обратному базису составляет

$R\; =\; [1\; 2\; -\; 1\; 2\; -\; 1\; 2\; 2],\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; frac\{1\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

, поскольку

$[e\; 1\; e\; 2]\; =\; [e\; 1\; e\; 2]\; [1\; 2\; -\; 1\; 2\; -\; 1\; 2\; 2].\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{2\}]\; =\; [\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}]\; \{\backslash \; begin\; \{\; bmatrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\; \}\}.\}$

Например, вектор

$v\; =\; 3\; 2\; e\; 1\; +\; 2\; e\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +\; 2\; \backslash \; mathbf\{e\}\; \_\; \{2\}\}$

- вектор с контравариантными компонентами

$v\; 1\; =\; 3\; 2,\; v\; 2\; =\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{\; 2\}\},\; \backslash \; quad\; v\; ^\; \{2\}\; =\; 2.\}$

Ковариантные компоненты получаются приравниванием двух выражений для вектора v:

$v\; =\; v\; 1\; e\; 1\; +\; v\; 2\; e\; 2\; =\; v\; 1\; е\; 1\; +\; v\; 2\; е\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; v\; =\; v\_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{1\}\; +\; v\_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{2\}\; =\; v\; ^\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +\; v\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\}$

поэтому

$[v\; 1\; v\; 2]\; =\; R\; -\; 1\; [v\; 1\; v\; 2]\; =\; [4\; 2\; 2\; 1]\; [v\; 1\; v\; 2]\; =\; [6\; +\; 2\; 2\; 2\; +\; 32].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; v\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; v\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; R\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; v\; ^\; \{1\}\; \backslash \backslash \; v\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 4\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; v\; ^\; \{1\}\; \backslash \backslash \; v\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 6\; +\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\; \}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}.\}$

Трехмерное евклидово пространство

В трехмерном евклидовом пространстве, можно также явно определить двойственный базис для данного набора базисных векторов e1, e2, e3из E 3, которые не обязательно считаются ортогональными или единичной нормы. Двойственные базисные векторы:

$e\; 1\; =\; e\; 2\; \times \; e\; 3\; e\; 1\; \cdot \; (e\; 2\; \times \; e\; 3);\; е\; 2\; =\; е\; 3\; \times \; е\; 1\; е\; 2\; \cdot \; (е\; 3\; \times \; е\; 1);\; е\; 3\; знак\; равно\; е\; 1\; \times \; е\; 2\; е\; 3\; \cdot \; (е\; 1\; \times \; е\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\{3\})\}\};\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\})\}\};\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\})\}\}.\}$

Даже если eiи e не являются ортонормированными, они по-прежнему взаимно взаимны:

$ei\; \cdot \; ej\; =\; \delta \; ji,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{i\}\backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{j\}\; ^\; \{i\; \},\}$

Тогда контравариантные компоненты любого вектора v могут быть получены с помощью скалярного произведения из v с двойными базисными векторами:

$q\; 1\; =\; v\; e\; 1;\; q\; 2\; =\; v\; \cdot \; e\; 2;\; q\; 3\; =\; v\; e\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{1\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{1\};\; \backslash \; qquad\; q\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{2\}\; ;\; \backslash \; qquad\; q\; ^\; \{3\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{3\}.\}$

Аналогичным образом ковариантныекомпоненты v могут быть получены из скалярного произведения of v с базисными векторами, а именно.

$q\; 1\; =\; v\; e\; 1;\; q\; 2\; =\; v\; \cdot \; e\; 2;\; q\; 3\; =\; v\; e\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\};\; \backslash \; qquad\; q\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\};\; \backslash \; qquad\; q\_\; \{3\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}.\}$

Тогда v может быть выражено двумя (взаимными) способами, а именно.

$v\; знак\; равно\; q\; i\; e\; i\; знак\; равно\; q\; 1\; e\; 1\; +\; q\; 2\; e\; 2\; +\; q\; 3\; e\; 3.\; \{\backslash \; displ\; aystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; q\; ^\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; q\; ^\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; +\; q\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; +\; q\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}.\}$

или

$v\; =\; qiei\; =\; q\; 1\; e\; 1\; +\; q\; 2\; e\; 2\; +\; q\; 3\; e\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; q\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{i\}\; =\; q\_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{1\}\; +\; q\_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{2\}\; +\; q\_\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{3\}\}$

Объединяя приведенные выше отношения, мы получаем

$v\; =\; (v\; \cdot \; ei)\; ei\; =\; (v\; \cdot \; ei)\; ei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{i\})\; \backslash \; mat\; hbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\})\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{\; i\}\}$

и мы можем преобразовать базис в двойственный базис с помощью

$qi\; =\; v\; \cdot \; ei\; =\; (qjej)\; \cdot \; ei\; =\; (ej\; \cdot \; ei)\; qj\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\; \}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; (q\; ^\; \{j\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\; \}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\})\; q\; ^\; \{j\}\}$

и

$qi\; =\; v\; \cdot \; ei\; =\; (qjej)\; \cdot \; ei\; =\; (ej\; \cdot \; ei)\; qj.\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{i\}\; =\; (q\_\; \{j\}\backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{j\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{\; i\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{i\})\; q\_\; \{j\}.\}$

Если базисные векторы ортонормированы, то они то же, что и двойственные базисные векторы. Таким образом, нет необходимости различать контравариантные компоненты и ковариантные компоненты, которые также равны.

Общие евклидовы пространства

В общем, в n-мерном евклидовом пространстве V, если базис равен

$e\; 1,\dots ,\; en,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; dot\; s,\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{n\},\}$

взаимное основание определяется выражением (двойные индексы суммируются),

$ei\; =\; gijej\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{i\}\; =\; g\; ^\; \{ij\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}\}$

где коэффициенты g являются элементами обратной матрицы

$gij\; =\; ei\; \cdot \; ej.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\}.\}$

Действительно, тогда мы имеем

$ei\; \cdot \; ek\; =\; gijej\; \cdot \; ek\; =\; gijgjk\; =\; \delta \; ki.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\}\; =\; g\; ^\; \{ij\}\; \backslash \; mathbf\{e\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\}\; =\; g\; ^\; \{ij\}\; g\_\; \{jk\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{k\}\; ^\; \{i\}.\}$

Ковариантные и контравариантные компоненты любого вектора

$v\; =\; qiei\; =\; qiei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; q\_\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{i\}\; =\; q\; ^\; \{i\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\}$

связаны, как указано выше, как

$qi\; =\; v\; \cdot \; ei\; =\; (qjej)\; \cdot \; ei\; =\; qjgji\; \{\backslash \; displaystyle\; q\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; (q\; ^\; \{j\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; =\; q\; ^\; \{j\}\; g\_\; \{ji\}\}$

и

$qi\; =\; v\; \cdot \; ei\; =\; (qjej)\cdot \; ei\; =\; qjgji.\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{i\}\; =\; (q\_\; \{j\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{j\})\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{\; i\}\; =\; q\_\; \{j\}\; g\; ^\; \{ji\}.\}$

В области физики прилагательное ковариант часто неформально используется как синоним инварианта. Например, уравнение Шредингера не сохраняет свою письменную форму при преобразованиях координат специальной теории относительности. Таким образом, физик можетсказать, что уравнение Шредингера нековариантно. Напротив, уравнение Клейна – Гордона и уравнение Дирака сохраняют свою записанную форму при этих преобразованиях координат. Таким образом, физик может сказать, что эти уравнения ковариантны.

Несмотря на такое использование термина «ковариантность», точнее будет сказать, что уравнения Клейна – Гордона и Дирака инвариантны, а уравнение Шредингера не инвариантно. Кроме того, чтобы устранить двусмысленность, следует указатьпреобразование, с помощью которого оценивается инвариантность.

Поскольку компоненты векторов контравариантны, а компоненты ковекторов ковариантны, сами векторы часто называют контравариантными, а ковекторы - ковариантными.

Различие между ковариацией и контравариантностью особенно важно для вычислений с тензорами, которые часто имеют смешанную дисперсию . Это означает, что они имеют как ковариантные, так иконтравариантные компоненты или как векторные, так и ковекторные компоненты. Валентность тензора - это количество вариантных и ковариантных членов, и в нотации Эйнштейна ковариантные компоненты имеют более низкие индексы, а контравариантные компоненты - верхние индексы. Двойственность между ковариацией и контравариантностью проявляется всякий раз, когда векторная или тензорная величина представлена ​​ее компонентами, хотя современная дифференциальная геометрия использует болеесложные безиндексные методы для представления тензоров.

В тензоре При анализе ковариантный вектор изменяется более или менее обратно пропорционально соответствующему контравариантному вектору. Тогда выражения для длин, площадей и объемов объектов в векторном пространстве могут быть даны в терминах тензоров с ковариантными и контравариантными индексами. При простых расширениях и сжатиях координат взаимность точна; при аффинных преобразованиях компоненты вектораперемешиваются при переходе между ковариантным и контравариантным выражением.

На многообразии тензорное поле обычно будет иметь несколько верхних и нижних индексов, где широко используется нотация Эйнштейна. Когда коллектор снабжен метрикой , ковариантные и контравариантные индексы становятся очень тесно связаны друг с другом. Контравариантные индексы могут быть превращены в ковариантные индексы путем сжатия с метрическим тензором. Обратное возможно,если сжать (матрицу), обратную метрическому тензору. Отметим, что, вообще говоря, такого отношения не существует в пространствах, не наделенных метрическим тензором. Более того, с более абстрактной точки зрения, тензор просто находится «там», и его компоненты любого типа являются лишь вычислительными артефактами, значения которых зависят от выбранных координат.

Геометрическое объяснение состоит в том, что общий тензор будет иметь как контравариантные, так и ковариантные индексы, потомучто он имеет части, которые находятся в касательном пучке , а также в котангенсе пучок.

Контравариантный вектор - это вектор, который преобразуется как $dx\; \mu \; d\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{d\; \backslash \; tau\}\}\}$, где $x\; \mu \; \{\backslash displaystyle\; x^\{\backslash mu\; \}\backslash !\}$are the coordinates of a particle at its proper time $\tau \; \{\backslash displaystyle\; \backslash tau\; \}$. A covariant vector is one which transforms like $\partial \; \phi \; \partial \; x\; \mu \; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash varphi\}\{\backslash partial\; x^\{\backslash mu\; \}\}\}\}$, where $\phi \; \{\backslash displaystyle\; \backslash varphi\; \}$is a scalar field.

In category theory, there are covariant functors and contravariant functors. The assignment of the dual space to a vector space is a standard example of a contravariant functor. Some constructions of multilinear algebra are of "mixed" variance, which prevents them from being functors.

In differentialgeometry компоненты вектора относительно базиса касательного пучка являются ковариантными, если они изменяются с таким же линейным преобразованием, что и изменение базиса. Они контравариантны, если изменяются обратным преобразованием. Иногда это вызывает путаницу по двум различным, но связанным причинам. Во-первых, векторы, компоненты которых ковариантны (называемые ковекторами или 1-формами ), на самом деле оттягивают под гладкими функциями, что означает, что операция сопоставление пространства ковекторов гладкому многообразию на самом деле является контравариантным функтором. Точно так же векторы, компоненты которых контравариантны , продвигаются вперед при гладких отображениях, поэтому операция сопоставления пространства (контравариантных) векторов гладкому многообразию является ковариантным функтором. Во-вторых, в классическом подходе к дифференциальной геометрии наиболее примитивным объектом являются не основы касательного пучка, а скорее изменения в системе координат. Векторы с cont раввариантные компоненты преобразуются так же, как и изменения координат (потому что они фактически изменяются противоположно индуцированному изменению базиса). Точно так же векторы с ковариантными компонентами трансформируются противоположным образом при изменении координат.

• Активное и пассивное преобразование
• Смешанный тензор
• Двухточечный тензор, обобщение, позволяющее индексам ссылаться на несколько векторных баз

• Арфкен, Джордж Б. ; Weber, Hans J. (2005), Mathematical Methods for Physicists (6th ed.), San Diego: Harcourt, ISBN 0-12-059876-0.
• Dodson, C. T. J.; Poston, T. (1991), Tensor geometry, Graduate Texts in Mathematics, 130(2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52018-4, MR 1223091.
• Greub, Werner Hildbert (1967), Multilinear algebra, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136, Springer-Verlag New York, Inc., New York, MR 0224623.
• Штернберг, Шломо (1983), Лекции по дифференциальной геометрии, Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-0316-0.
• Сильвестр, Дж. Дж. (1853), «Теория сизигетических отношений двух рациональных интегральных функций, включающая приложение к теории функций Штурма и наибольшей общей алгебраической меры» (PDF), Философские труды Лондонское королевское общество, Королевское общество, 143 : 407–548, doi : 10.1098 / rstl. 1853.0018, JSTOR 108572.

• , Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• , Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Covariant Tensor". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Contravariant Tensor". MathWorld.
• Invariance, Contravariance, and Covariance
• Introduction to tensor calculus----Kees Dullemond Kasper Peeters