В линейной алгебре два вектора во внутреннем пространстве продукта являются ортонормированными, если они ортогональны или перпендикулярны вдоль линии, и единичные векторы. Набор векторов образует ортонормированный набор, если все векторы в наборе взаимно ортогональны и все имеют единичную длину. Ортонормированный набор, образующий базис, называется ортонормированным базисом.
Построение ортогональности векторов мотивировано желанием расширить интуитивное понятие перпендикулярных векторов на многомерные пространства. В декартовой плоскости два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними составляет 90 ° (то есть если они образуют прямой угол ). Это определение можно формализовать в декартовом пространстве, определив скалярное произведение и указав, что два вектора в плоскости ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.
Точно так же построение нормы вектора мотивировано желанием расширить интуитивное понятие длины вектора на пространства более высокой размерности. В декартовом пространстве норма вектора - это квадратный корень из вектора, пунктирного над самим собой. То есть
Многие важные приводит к линейной алгебре, имеющей дело с наборами двух или более ортогональных векторов. Но часто бывает проще иметь дело с векторами единичной длины. То есть часто упрощается рассмотрение только векторов, норма которых равна 1. Понятие ограничения ортогональных пар векторов только теми, которые имеют единичную длину, достаточно важно, чтобы дать ему особое имя. Два ортогональных вектора длины 1 называются ортонормированными.
Как выглядит пара ортонормированных векторов в двумерном евклидовом пространстве?
Пусть u = (x 1, y 1) и v = (x 2, y 2). Рассмотрим ограничения на x 1, x 2, y 1, y 2, необходимые для создания u и v образуют ортонормированную пару.
Расширение этих членов дает 3 уравнения:
Преобразование декартовой системы в полярные координаты, и учитывая уравнение и уравнение немедленно дает результат r 1 = r 2 = 1. Другими словами, требование, чтобы векторы были единичной длины, ограничивает их расположение на единичной окружности .
После замены уравнение становится . Перестановка дает . Использование тригонометрического тождества для преобразования члена котангенса дает
Ясно, что на плоскости ортонормированные векторы - это просто радиусы единичной окружности, разность углов которой равна до 90 °.
Пусть будет внутренним пространством продукта. Набор векторов
называется ортонормальнымтогда и только тогда, когда
где - дельта Кронекера, а - внутренний продукт, определенный на основе .
Ортонормированные наборы сами по себе не имеют особого значения. Однако они демонстрируют определенные особенности, которые делают их фундаментальными при изучении понятия диагонализуемости некоторых операторов в векторных пространствах.
Ортонормированные наборы обладают определенными очень привлекательными свойствами, благодаря которым с ними особенно легко работать.
Доказательство теоремы Грама-Шмидта является конструктивным, а подробно обсуждается в другом месте. Теорема Грама-Шмидта вместе с выбранной аксиомой гарантирует, что каждое векторное пространство допускает ортонормированный базис. Это, возможно, наиболее важное применение ортонормированности, поскольку этот факт допускает использование операторов на пространствах внутреннего продукта, которые будут обсуждаться с точки зрения их действия на ортонормированные базисные векторы пространства. В результате возникает глубокая взаимосвязь между диагонализуемостью оператора и тем, как он действует на ортонормированные базисные векторы. Эта взаимосвязь характеризуется соотношением Спектральная теорема.
стандартный базис для координатного пространства Fравен
{e1, e2,..., en}, где | e1= (1, 0,..., 0) |
e2= (0, 1,..., 0) | |
en= (0, 0,..., 1) |
Любые два вектора ei, ej, где i ≠ j ортогональны, и все векторы явно имеют единичную длину. Итак, {e1, e2,..., en} образует ортонормированный базис.
При обращении к вещественным -значным функциям обычно используется внутренний продукт L², если в противном случае указано. Две функции и ортонормированы над интервал , если
Ряд Фурье - это метод выражения периодической функции в терминах синусоидальных базисных функций. Взяв C [−π, π] как пространство всех действительных функций, непрерывных на интервале [−π, π], и взяв скалярное произведение как
можно показать, что
образует ортонормированный набор.
Однако это не имеет большого значения, потому что C [−π, π] бесконечномерно, и конечный набор векторов не может его охватить. Но снятие ограничения на конечность n делает набор плотным в C [−π, π] и, следовательно, ортонормированным базисом C [−π, π].