Дельта Кронекера

В математике, Дельта Кронекера (названа в честь Леопольда Кронекера ) - это функция двух переменных, обычно просто неотрицательных целых чисел. Функция равна 1, если переменные равны, и 0 в противном случае:

$\delta \; i\; j\; =\; \{0,\; если\; i\; \ne \; j,\; 1,\; если\; i\; =\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 0\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; i\; \backslash \; neq\; j,\; \backslash \backslash \; 1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; i\; =\; j.\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

или с использованием скобок Айверсона :

$\delta \; ij\; =\; [i\; =\; j]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; =\; [i\; =\; j]\; \backslash ,\}$

где дельта Кронекера δ ij - это кусочно функция переменных i и j. Например, δ 1 2 = 0, тогда как δ 3 3 = 1.

Дельта Кронекера естественным образом появляется во многих областях математики, физики и техники, как средство компактного выражения его определения, приведенного выше.

В линейной алгебре единичная матрица Iразмера n × n имеет элементы, равные дельте Кронекера:

$I\; ij\; =\; \delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{ij\; \}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$

где i и j принимают значения 1, 2,..., n, и может быть записано внутреннее произведение из векторов как

$a\; \cdot \; b\; =\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; nai\; \delta \; ijbj.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; b\_\; \{j\}.\}$

ограничение на положительные целые числа является обычным явлением, но нет причин, по которым оно не может иметь отрицательных целых, а также положительных или любых дискретных рациональных чисел. Если указанные выше i и j принимают рациональные значения, то, например,

$\delta \; (-\; 1)\; (-\; 3)\; =\; 0\; \delta \; (-\; 2)\; (-\; 2)\; =\; 1\; \delta \; (1\; 2)\; (-\; 3\; 2)\; =\; 0\; \delta \; (5\; 3)\; (5\; 3)\; =\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{(-\; 1)\; (-\; 3)\}\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; delta\; \_\; \{(-\; 2)\; (-\; 2)\; \}\; =\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\}\; =\; 1.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Последний случай предназначен для удобства. Однако дельта Кронекера не определена для комплексных чисел.

• 1 Свойства
• 2 Альтернативная нотация
• 3 Цифровая обработка сигналов
• 4 Свойства дельта-функции
• 5 Связь с дельта-функцией Дирака
• 6 Обобщения
  • 6.1 Определения обобщенной дельты Кронекера
  • 6.2 Свойства обобщенной дельты Кронекера
• 7 Интегральные представления
• 8 Гребень Кронекера
• 9 Интеграл Кронекера
• 10 См. Также
• 11 Ссылки

Удовлетворяются следующие уравнения:

$j\; \delta \; ijaj\; =\; ai,\; \sum \; iai\; \delta \; ij\; =\; aj,\; \sum \; k\; \delta \; ik\; \delta \; kj\; =\; \delta \; ij.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; a\_\; \{j\}\; =\; a\_\; \{i\},\; \backslash \backslash \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; =\; a\_\; \{j\},\; \backslash \backslash \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{ik\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{kj\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно, матрица δ можно рассматривать как единичную матрицу.

Еще одно полезное представление - это следующая форма:

$\delta \; нм\; =\; 1\; N\; \sum \; k\; =\; 1\; N\; e\; 2\; \pi \; ik\; N\; (n\; -\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{nm\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{N\}\}\; (nm)\}\}$

Это можно вывести с помощью формула для конечного геометрического ряда.

Использование скобки Айверсона :

$\delta \; ij\; =\; [i\; =\; j].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; =\; [i\; =\; j].\}$

Часто используется запись с одним аргументом δ i, что эквивалентно установке j = 0:

$\delta \; я\; знак\; равно\; \{0,\; если\; я\; \ne \; 0\; 1,\; если\; я\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 0,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; i\; \backslash \; neq\; 0\; \backslash \backslash \; 1,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; i\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

В линейной алгебре это можно представить как тензор и записывается как δ. j. Иногда дельту Кронекера называют тензором замещения.

При исследовании цифровой обработки сигналов (DSP) $\delta \; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; [n]\}$представляет собой частный случай двумерной дельта-функции Кронекера $\delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$где индексы кронекера включают число ноль, а один из индексов равен нулю. В этом случае:

Или, в более общем смысле, где:

Однако это только очень частный случай. В тензорном исчислении базисные векторы в конкретном измерении чаще нумеруются, начиная с индекса 1, а не с индекса 0. В этом случае отношение $\delta \; [n]\; \equiv \; \delta \; n\; 0\; \equiv \; \delta \; 0\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; [n]\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; delta\; \_\; \{n0\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; delta\; \_\; \{0n\}\}$не существует, и на самом деле дельта-функция Кронекера и функция единичной выборки действительно разные функции которые случайно перекрываются в одном конкретном случае, когда индексы включают число 0, количество индексов равно 2, а один из индексов имеет значение ноль.

Хотя функция дискретной единичной выборки и дельта-функция Кронекера используют одну и ту же букву, они различаются следующим образом. Для функции дискретной единичной выборки более условно помещать один целочисленный индекс в квадратные скобки, в отличие от дельты Кронекера, которая может иметь любое количество индексов. Кроме того, цель дискретной единичной выборочной функции отличается от дельта-функции Кронекера. В DSP функция дискретной единичной выборки обычно используется в качестве входной функции для дискретной системы для обнаружения системной функции системы, которая будет производиться как выход системы. Напротив, типичная цель дельта-функции Кронекера - фильтрация членов из суммирования Эйнштейна.

Функция дискретной единичной выборки проще определяется как:

$\delta \; [n]\; =\; \{1\; n\; =\; 0\; 0\; в\; противном\; случае\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; [n]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 1\; n\; =\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{else\}\}\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Кроме того, DSP имеет функцию, называемую Дельта-функция Дирака, которую часто путают как с дельта-функцией Кронекера, так и с функцией единичной выборки. Дельта Дирака определяется как:

$\delta \; (t)\; =\; \{\infty \; t\; =\; 0\; 0\; иначе\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \backslash \; infty\; t\; =\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{иначе\; \}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

В отличие от дельта-функции Кронекера $\delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$и функции единичной выборки $\delta \; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; [n]\}$, дельта-функция Дирака $\delta \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (t)\}$не имеет целочисленного индекса, он имеет единственное непрерывное нецелое значение t.

Чтобы еще больше запутать ситуацию, функция иногда используется для обозначения либо дельта-функции Дирака $\delta \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (t)\}$, или $\delta \; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; [n]\}$.

Дельта Кронекера имеет так называемое свойство просеивания, которое для j ∈ ℤ:

$\sum \; i\; =\; -\; \infty \; \infty \; ai\; \delta \; ij\; =\; aj.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; =\; a\_\; \{j\}.\}$

и если целые числа рассматриваются как мера пространство, наделенное счетной мерой , то это свойство совпадает с определяющим свойством дельта-функции Дирака

$\int \; -\; \infty \; \infty \; \delta \; (x\; -\; y)\; f\; (x)\; dx\; =\; f\; (y),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; delta\; (xy)\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; f\; (y),\}$

и на самом деле дельта Дирака был назван в честь дельты Кронекера из-за аналогичного свойства. В обработке сигналов обычно контекст (дискретное или непрерывное время) отличает «функции» Кронекера и Дирака. По соглашению, δ (t) обычно обозначает непрерывное время (Дирак), тогда как такие аргументы, как i, j, k, l, m и n, обычно зарезервированы для дискретного времени (Кронекер). Другой распространенной практикой является представление дискретных последовательностей в квадратных скобках; таким образом: δ [n]. Дельта Кронекера не является результатом прямой выборки дельта-функции Дирака.

Дельта Кронекера образует мультипликативный элемент идентичности в алгебре инцидентности.

В теории вероятностей и статистика, дельта Кронекера и дельта-функция Дирака могут использоваться для представления дискретного распределения. Если поддержка распределения состоит из точек x = {x 1,..., x n } с соответствующими вероятностями p 1,..., p n, тогда функция массы вероятности p (x) распределения по x может быть записывается с использованием дельты Кронекера как

$p\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; npi\; \delta \; xxi.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; p\_\; \{i\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{xx\_\; \{i\}\}.\}$

Аналогично, функция плотности вероятности f (x) распределения можно записать с использованием дельта-функции Дирака как

$f\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; npi\; \delta \; (x\; -\; xi).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; p\_\; \{i\}\; \backslash \; delta\; (x-x\_\; \{i\}).\}$

При определенных условиях дельта Кронекера может возникнуть из выборки дельта-функция Дирака. Например, если дельта-импульс Дирака возникает точно в точке дискретизации и в идеале проходит фильтрацию нижних частот (с отсечкой на критической частоте) согласно теореме выборки Найквиста – Шеннона, результирующий сигнал в дискретном времени будет дельта-функция Кронекера.

Если он рассматривается как тензор типа (1,1) , тензор Кронекера может быть записан δ. jс ковариантом индекс j и контравариантный индекс i:

$\delta \; ji\; =\; \{0\; (i\; \ne \; j),\; 1\; (i\; =\; j).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{j\}\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 0\; (i\; \backslash \; neq\; j),\; \backslash \backslash \; 1\; (i\; =\; j).\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Этот тензор представляет :

• Идентификационное отображение (или единичная матрица), рассматриваемое как линейное отображение V → V или V → V
• Тензор trace или сжатие, рассматриваемое как отображение V ⊗ V → K
• Отображение K → V ⊗ V, представляющее скалярное умножение как сумму внешних произведений.

обобщенная дельта Кронекера или многоиндексная дельта Кронекера порядка 2p - это тензор типа (p, p), который является полностью антисимметричным по своим p верхним индексам, а также по p нижним индексы.

Два определения, различающиеся в p раз! уже используются. Ниже представлена ​​версия с ненулевыми компонентами, масштабируемыми до ± 1. Вторая версия имеет ненулевые компоненты, которые равны ± 1 / p !, с последующими изменениями коэффициентов масштабирования в формулах, таких как коэффициенты масштабирования 1 / p! в § Свойства обобщенной дельты Кронекера ниже исчезают.

Определения обобщенной дельты Кронекера

В терминах индексов обобщенная дельта Кронекера определяется как:

$\delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; =\; \{+\; 1,\; если\; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; -\; различные\; целые\; числа\; и\; являются\; четной\; перестановкой\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; -\; 1,\; если\; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; -\; различные\; целые\; числа\; и\; равны\; нечетная\; перестановка\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; 0\; во\; всех\; остальных\; случаях.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; +\; 1\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; \backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\; \{\backslash \; text\; \{-\; разные\; целые\; числа\; и\; представляют\; собой\; четную\; перестановку\}\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\; \backslash \backslash \; -\; 1\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; \backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\; \{\backslash \; text\; \{-\; разные\; целые\; числа\; и\; представляют\; собой\; нечетную\; перестановку\}\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\; \backslash \backslash \backslash ;\; \backslash ;\; 0\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{во\; всех\; остальных\; случаях\}\}.\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Пусть S p будет симметрическая группа степени p, то:

$\delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; =\; \sum \; \sigma \; \in \; S\; p\; sgn\; \; (\sigma )\; \delta \; \nu \; \sigma \; (1)\; \mu \; 1\; \cdots \; \delta \; \nu \; \sigma \; (p)\; \mu \; p\; =\; \sum \; \sigma \; \in \; S\; p\; sign\; \; (\sigma )\; \delta \; \nu \; 1\; \mu \; \sigma \; (1)\; \cdots \; \delta \; \nu \; p\; \mu \; \sigma \; (p).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{S\}\; \_\; \{p\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (\backslash \; sigma)\; \backslash ,\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (1)\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (p)\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; in\; \backslash \; mathrm\; \{S\}\; \_\; \{p\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (\backslash \; sigma)\; \backslash ,\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (1)\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{\backslash \; sigma\; (p)\}\}.\; \}$

Использование антисимметризации :

$\delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; =\; p!\; \delta \; [\nu \; 1\; \mu \; 1\dots \; \delta \; \nu \; p]\; \mu \; p\; =\; p!\; \delta \; \nu \; 1\; [\mu \; 1\dots \; \delta \; \nu \; p\; \mu \; p].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; =\; p!\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; lbrack\; \backslash \; nu\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{p\}\; \backslash \; rbrack\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; =\; p!\; \backslash \; Delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\; \}\}\; ^\; \{\backslash \; lbrack\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{p\}\; \backslash \; rbrack\}.\}$

В терминах ap × p определитель :

$\delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; =\; |\; \delta \; \nu \; 1\; \mu \; 1\; \cdots \; \delta \; \nu \; p\; \mu \; 1\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; \delta \; \nu \; 1\; \mu \; p\; \cdots \; \delta \; \nu \; p\; \mu \; p\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\; \backslash \; nu\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; \backslash \; end\; \{vmatrix\; \}\}.\}$

Используя разложение Лапласа (формула Лапласа ) определителя, его можно определить рекурсивно :

$\delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; p\; (-\; 1)\; p\; +\; k\; \delta \; \nu \; k\; \mu \; p\; \delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; ˇ\; k\dots \; \nu \; p\; \mu \; 1\dots \; \mu \; k\dots \; \mu \; ˇ\; p\; =\; \delta \; \nu \; p\; \mu \; p\; \delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; -\; 1\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; -\; 1\; -\; \sum \; k\; =\; 1\; p\; -\; 1\; \delta \; \nu \; k\; \mu \; p\; \delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; k\; -\; 1\; \nu \; p\; \nu \; k\; +\; 1\dots \; \nu \; p\; -\; 1\; \mu \; 1\dots \; \mu \; k\; -\; 1\; \mu \; к\; \mu \; К\; +\; 1\dots \; \mu \; п\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{p\}\; (-\; 1)\; ^\; \{p\; +\; k\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{k\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \{\backslash \; check\; \{\backslash \; nu\}\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{k\}\; \backslash \; точки\; \{\backslash \; check\; \{\backslash \; mu\}\}\; \_\; \{p\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p-1\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p-1\}\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{p-1\}\; \backslash \; delt\; a\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{k\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{k-1\}\; \backslash ,\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\; \backslash ,\; \backslash \; nu\; \_\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p-1\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{k-1\}\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; \_\; \{k\}\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; \_\; \{\; k\; +\; 1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p-1\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где символ ˇ указывает индекс, который опущен в последовательности.

Когда p = n (размерность векторного пространства), в терминах символа Леви-Чивиты :

$\delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; n\; \mu \; 1\dots \; \mu \; n\; =\; \epsilon \; \mu \; 1\dots \; \mu \; n\; \epsilon \; \nu \; 1\dots \; \nu \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{n\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{n\}\}.\}$

Свойства обобщенной дельты Кронекера

Обобщенная дельта Кронекера может использоваться для антисимметризации :

$1\; п!\; \delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; a\; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; =\; a\; [\mu \; 1\dots \; \mu \; p],\; 1\; p!\; \delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; a\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; =\; a\; [\nu \; 1\dots \; \nu \; p].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p!\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; a\; ^\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; =\; a\; ^\; \{\backslash \; lbrack\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\; \backslash \; rbrack\},\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p!\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; a\_\; \{\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; =\; a\; \_\; \{\backslash \; lbrack\; \backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\; \backslash \; rbrack\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Из Из приведенных выше уравнений и свойств антисимметричных тензоров мы можем вывести свойства обобщенной дельты Кронекера:

$1\; p!\; \delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; a\; [\nu \; 1\dots \; \nu \; p]\; =\; a\; [\mu \; 1\dots \; \mu \; p],\; 1\; p!\; \delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; a\; [\mu \; 1\dots \; \mu \; p]\; =\; a\; [\nu \; 1\dots \; \nu \; p],\; 1\; p!\; \delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p\; \delta \; \rho \; 1\dots \; \rho \; p\; \nu \; 1\dots \; \nu \; p\; =\; \delta \; \rho \; 1\dots \; \rho \; p\; \mu \; 1\dots \; \mu \; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p!\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; a\; ^\; \{\backslash \; lbrack\; \backslash \; nu\; \_\; \{\; 1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\; \backslash \; rbrack\}\; =\; a\; ^\; \{\backslash \; lbrack\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\; \backslash \; rbrack\},\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p!\}\; \}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; a\; \_\; \{\backslash \; lbrack\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\; \backslash \; rbrack\}\; =\; a\; \_\; \{\backslash \; lbrack\; \backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\; \backslash \; rbrack\},\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p!\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; rho\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{p\}\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; rho\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, которые являются обобщенной версией формул, записанных в § Свойства. Последняя формула эквивалентна формуле Коши – Бине.

Уменьшение порядка путем суммирования индексов может быть выражено тождеством

$\delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; s\; \mu \; s\; +\; 1\dots \; \mu \; p\; \mu \; 1\dots \; \mu \; s\; \mu \; s\; +\; 1\dots \; \mu \; p\; =\; (n\; -\; s)!\; (п\; -\; р)!\; \delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; s\; \mu \; 1\dots \; \mu \; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{s\}\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; \_\; \{s\; +\; 1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{s\}\; \backslash ,\; \backslash \; mu\; \_\; \{s\; +\; 1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{p\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(ns)!\}\; \{(np)!\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{\; 1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{s\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{s\}\}.\}$

Использование как правила суммирования для случая p = n, так и отношения с Леви -Символ Чивита, выводится правило суммирования символа Леви-Чивита :

$\delta \; \nu \; 1\dots \; \nu \; s\; \mu \; 1\dots \; \mu \; s\; =\; 1\; (n\; -\; s)!\; \epsilon \; \mu \; 1\dots \; \mu \; s\; \rho \; s\; +\; 1\dots \; \rho \; n\; \epsilon \; \nu \; 1\dots \; \nu \; s\; \rho \; s\; +\; 1\dots \; \rho \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{s\}\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{s\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(ns)\; !\}\}\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{s\}\; \backslash ,\; \backslash \; rho\; \_\; \{s\; +\; 1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; rho\; \_\; \{n\}\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; nu\; \_\; \{s\}\; \backslash ,\; \backslash \; rho\; \_\; \{s\; +\; 1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; rho\; \_\; \{n\}\}.\}$

Четырехмерная версия последнего соотношения появляется в спинорном подходе Пенроуза к общей теории относительности, который он позже обобщил, когда он разрабатывал диаграммы Эйткена, чтобы стать частью техники графической записи Пенроуза. Кроме того, это отношение широко используется в теориях S-двойственности, особенно когда они написаны на языке дифференциальных форм и дуальных по Ходжу.

Для любого целого числа n, используя стандартное вычисление остатка, мы можем записать интегральное представление для дельты Кронекера в виде интеграла ниже, где контур интеграла идет против часовой стрелки вокруг нуля. Это представление также эквивалентно определенному интегралу поворотом в комплексной плоскости.

$\delta \; x,\; n\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; |\; z\; |\; Знак\; равно\; 1\; \; zx\; -\; n\; -\; 1\; dz\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; 0\; 2\; \pi \; ei\; (x\; -\; n)\; \phi \; d\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{x,\; n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \}\; \backslash \; oint\; \_\; \{|\; z\; |\; =\; 1\}\; z\; ^\; \{xn-1\}\; \backslash ,\; dz\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; e\; ^\; \{i\; (xn)\; \backslash \; varphi\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; varphi\}$

Функция гребенки Кронекера с периодом N определяется (с использованием записи DSP ) как:

$\Delta \; N\; [n]\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; -\; \infty \; \infty \; \delta \; [N\; -\; К\; N],\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{N\}\; [n]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; delta\; [\; n-kN],\}$

где N и n - целые числа. Таким образом, гребенка Кронекера состоит из бесконечной серии единичных импульсов, разделенных на N единиц, и включает единичный импульс в нуле. Его можно рассматривать как дискретный аналог гребенки Дирака.

Дельта Кронекера также называется степенью отображения одной поверхности в другую. Предположим, что отображение происходит с поверхности S uvw на S xyz, которые являются границами областей, R uvw и R xyz, что просто связанных с индивидуальной перепиской. В этой структуре, если s и t являются параметрами для S uvw и от S uvw до S uvw, каждый ориентирован по внешней нормали n:

$u\; =\; U\; (s,\; T),\; v\; знак\; равно\; v\; (s,\; t),\; вес\; знак\; равно\; вес\; (s,\; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; u\; (s,\; t),\; \backslash \; quad\; v\; =\; v\; (s,\; t),\; \backslash \; quad\; w\; =\; w\; (s,\; t),\}$

, тогда как нормаль имеет направление

$(usi\; +\; vsj\; +\; wsk)\; \times \; (uti\; +\; vtj\; +\; wtk).\; \{\backslash \; displaystyle\; (u\_\; \{s\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; v\_\; \{s\}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; w\_\; \{s\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\})\; \backslash \; times\; (u\_\; \{t\}\; \backslash \; mathbf\; \{i\}\; +\; v\_\; \{t\; \}\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; +\; w\_\; \{t\}\; \backslash \; mathbf\; \{k\}).\}$

Пусть x = x (u, v, w), y = y (u, v, w), z = z (u, v, w) быть определенными и гладкими в области, содержащей S uvw, и пусть эти уравнения определяют отображение S uvw на S xyz. Тогда степень отображения δ в 1 / 4π раз больше телесного угла изображения S на S uvw относительно внутренней точки S xyz, O. Если O - начало координат области R xyz, то степень δ определяется интегралом:

$\delta \; =\; 1\; 4\; \pi \; \iint \; R\; st\; (x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2)\; -\; 3\; 2\; |\; x\; y\; z\; \partial \; x\; \partial \; s\; \partial \; y\; \partial \; s\; \partial \; z\; \partial \; s\; \partial \; x\; \partial \; t\; \partial \; y\; \partial \; t\; \partial \; z\; \partial \; t\; |\; д\; с\; д\; т.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; iint\; \_\; \{R\_\; \{st\}\}\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; x\; y\; z\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; s\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; s\; \}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; s\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; z\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\; \backslash ,\; ds\; \backslash ,\; dt.\}$

• Мера Дирака
• Индикаторная функция
• Символ Леви-Чивиты
• Функция единицы
• XNOR gate

1. ^Trowbridge, JH (1998). «О методике измерения турбулентных касательных напряжений при наличии поверхностных волн». Журнал атмосферных и океанических технологий. 15(1): 291. Bibcode : 1998JAtOT..15..290T. doi : 10.1175 / 1520-0426 (1998) 015 <0290:OATFMO>2.0.CO; 2.
2. ^Spiegel, Eugene; О'Доннелл, Кристофер Дж. (1997), Алгебры инцидентности, Чистая и прикладная математика, 206, Марсель Деккер, ISBN 0-8247- 0036-8.
3. ^Папа, Кристофер (2008). «Геометрия и теория групп» (PDF).
4. ^Франкель, Теодор (2012). Геометрия физики: введение (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107602601.
5. ^Агарвал, Д. К. (2007). Тензорное исчисление и риманова геометрия (22-е изд.). Кришна Пракашан Медиа.
6. ^Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65840-6.
7. ^Рекурсивное определение требует первого случая, который может быть принят как δ = 1 для p = 0 или, альтернативно, δ. ν= δ. νдля p = 1 (обобщенная дельта в терминах стандартной дельты).
8. ^Хассани, Садри (2008). Математические методы: для студентов, изучающих физику и смежные специальности (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5.
9. ^Пенроуз, Роджер (июнь 1960 г.). «Спинорный подход к общей теории относительности». Анналы физики. 10 (2): 171–201. doi : 10.1016 / 0003-4916 (60) 90021-X.
10. ^Эйткен, Александр Крейг (1958). Детерминанты и матрицы. Великобритания: Оливер и Бойд.
11. ^Роджер Пенроуз, «Приложения тензоров отрицательной размерности», в Комбинаторной математике и ее приложениях, Academic Press (1971).
12. ^Каплан, Уилфред (2003). Расширенное исчисление. Pearson Education. п. 364. ISBN 0-201-79937-5.