Измерьте пространство

редактировать

Измеримое пространство является основным объектом теории меры филиала математики, которая изучает обобщенные понятия объемов. Он содержит базовый набор, подмножества этого набора, которые можно измерить ( σ- алгебра ), и метод, который используется для измерения ( мера ). Одним из важных примеров пространства мер является вероятностное пространство.

Измеримое пространство состоит из первых двух компонентов без определенной меры.

Содержание

1 Определение
2 пример
3 Важные классы пространств с мерой
4 Ссылки

Определение

Пространство меры - это тройка, где ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu),}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu),}$

${\ displaystyle X}$ $Икс$ это набор
${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ является σ -алгеброй на множестве ${\ displaystyle X}$ $Икс$
${\ displaystyle \ mu}$ $\ му$ это мера на ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$

пример

Установить. Алгебра на конечных множествах, такие, как один выше, как правило, набор мощности, который является множеством всех подмножеств (из заданного набора) и обозначается. Придерживаясь этого соглашения, мы устанавливаем ${\ Displaystyle X = \ {0,1 \}}$ ${\ Displaystyle X = \ {0,1 \}}$ ${\ textstyle \ sigma}$ ${\ textstyle \ sigma}$ ${\ textstyle {\ mathcal {P}} (\ cdot)}$ ${\ textstyle {\ mathcal {P}} (\ cdot)}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (X)}

{\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (X)}

В этом простом случае набор мощности можно записать явно:

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X) = \ {\ emptyset, \ {0 \}, \ {1 \}, X \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X) = \ {\ emptyset, \ {0 \}, \ {1 \}, X \}.}

В качестве меры, определяют по ${\ textstyle \ mu}$ ${\ textstyle \ mu}$

{\ Displaystyle \ му (\ {0 \}) = \ му (\ {1 \}) = {\ гидроразрыва {1} {2}},}

{\ Displaystyle \ му (\ {0 \}) = \ му (\ {1 \}) = {\ гидроразрыва {1} {2}},}

так (по аддитивности мер) и (по определению мер). ${\ textstyle \ mu (X) = 1}$ ${\ textstyle \ mu (X) = 1}$ ${\ textstyle \ му (\ emptyset) = 0}$ ${\ textstyle \ му (\ emptyset) = 0}$

Это приводит к измерению пространства. Это вероятностное пространство, поскольку. Эта мера соответствует распределению Бернулли с, которое, например, используется для моделирования справедливого подбрасывания монеты. ${\ textstyle (Х, {\ mathcal {P}} (X), \ mu)}$ ${\ textstyle (Х, {\ mathcal {P}} (X), \ mu)}$ ${\ textstyle \ mu (X) = 1}$ ${\ textstyle \ mu (X) = 1}$ ${\ textstyle \ mu}$ ${\ textstyle \ mu}$ ${\ textstyle p = {\ frac {1} {2}}}$ ${\ textstyle p = {\ frac {1} {2}}}$

Важные классы пространств с мерой

Наиболее важные классы пространств мер определяются свойствами связанных с ними мер. Это включает

Пространства вероятностей, пространство меры, где мера является вероятностной мерой
Пространства с конечной мерой, где мера является конечной мерой
${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$ -конечная мера, где -конечная мера ${\ displaystyle \ sigma}$ $\сигма$

Другой класс пространств с мерой - это полные пространства с мерой.

Ссылки

^ ^a ^b Косорок, Майкл Р. (2008). Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод. Нью-Йорк: Спрингер. п. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.
^ Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей. Берлин: Springer. п. 18. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
^ ^a ^b Аносов, Д.В. (2001) [1994], "Измерение пространства", Энциклопедия математики, EMS Press
^ Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей. Берлин: Springer. п. 33. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.