Подмножество

"Суперсет" перенаправляется сюда. Для использования в других целях, см Надмножество (значения). «⊃» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о логическом символе, см. Подкову (символ). Для использования в других целях, см подкова (значения). Эйлера схема, показывающая A является подмножеством B,   A ⊆ B, и наоборот В является подмножеством А.

В математике, А множество является подмножеством из множества B, если все элементы из A также являются элементами B ; В это тогда надмножество из A. Возможно, что A и B равны; если они не равны, то является собственное подмножество из B. Отношения одного набора быть подмножеством другого, называется включение (или иногда защитной оболочки). Представляет собой подмножество B также может быть выражено как B включает в себя (или содержит) или включен (или содержаться) в B.

Отношение подмножества определяет частичный порядок на множествах. Фактически, подмножества данного множества образуют булеву алгебру с отношением подмножества, в котором соединение и встреча задаются пересечением и объединением, а само отношение подмножества является отношением булевого включения.

• 1 Определения
• 2 свойства
• 3 символа ⊂ и ⊃
• 4 Примеры подмножеств
• 5 Другие свойства включения
• 6 См. Также
• 7 ссылки
• 8 Библиография
• 9 Внешние ссылки

Если и B являются множествами, и каждый элемент из A также является элементом B, то:

• Является подмножеством из B, обозначается или, что эквивалентно${\ displaystyle A \ substeq B,}$
• Б является подмножеством из А, обозначается${\ Displaystyle B \ supseteq A.}$

Если является подмножеством B, но не равна к B (т.е. существует, по меньшей мере, один элемент из В, который не является элементом А), то:

• Является собственно (или строгое) подмножество из B, обозначается или, что эквивалентно,${\ Displaystyle A \ subsetneq B}$
• В это собственно (или строгое) надмножество из А, обозначим через.${\ Displaystyle B \ supsetneq A}$
• Пустое множество, написанные или является подмножеством любого множества X и собственное подмножество любого множества, кроме самой себя.${\ Displaystyle \ {\}}$${\ displaystyle \ varnothing,}$

Для любого множества S, включение отношение является частичным порядком на множестве (The множество мощности из S -The множество всех подмножеств S), определенное. Мы также можем частично упорядочить включение обратного множества, определив${\ displaystyle \ substeq}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$ ${\ Displaystyle A \ Leq B \ если и только если A \ substeq B}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$${\ displaystyle A \ leq B {\ text {тогда и только тогда, когда}} B \ substeq A.}$

При количественной оценке представляется как${\ displaystyle A \ substeq B}$${\ displaystyle \ forall x \ left (x \ in A \ подразумевает x \ in B \ right).}$

Мы можем доказать утверждение, применив технику доказательства, известную как элементный аргумент:${\ displaystyle A \ substeq B}$

Пусть даны множества A и B. Чтобы доказать, что${\ displaystyle A \ substeq B,}$

1. предположим, что a - частный, но произвольно выбранный элемент из A,
2. показывают, что является элементом B.

Справедливость этого метода можно рассматривать как следствие универсального обобщения : метод показывает для произвольно выбранного элемента c. Универсальное обобщение тогда подразумевает, что эквивалентно тому, что указано выше. ${\ displaystyle c \ in A \ подразумевает c \ in B}$${\ displaystyle \ forall x \ left (x \ in A \ подразумевает x \ in B \ right),}$${\ displaystyle A \ substeq B,}$

• Набор является подмножеством из B, если и только если их пересечение равно А.

Формально:

${\ displaystyle A \ substeq B {\ text {тогда и только тогда, когда}} A \ cap B = A.}$

• Набор является подмножеством из B, если и только если их объединение равно B.

Формально:

${\ displaystyle A \ substeq B {\ text {тогда и только тогда, когда}} A \ cup B = B.}$

• Конечное множество является подмножеством из B, тогда и только тогда, когда мощность их пересечения равна мощности А.

Формально:

${\ displaystyle A \ substeq B {\ text {тогда и только тогда, когда}} | A \ cap B | = | A |.}$

Некоторые авторы используют символы и для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть, с тем же значением и вместо символов, и Например, для этих авторов верно для каждого набора A, что${\ displaystyle \ subset}$${\ displaystyle \ supset}$${\ displaystyle \ substeq}$${\ displaystyle \ supseteq.}$${\ Displaystyle A \ подмножество A.}$

Другие авторы предпочитают использовать символы и для обозначения правильного (также называемого строгим) подмножества и надлежащего надмножества соответственно; то есть, с тем же значением и вместо символов, и это использование марки и аналогично к неравенству символов и Например, если тогда х может или не равно у, но если тогда х определенно не равна у, а это меньше, чем у. Аналогичным образом, с помощью конвенции, которая является подмножеством, если затем может быть или может не быть равным B, но если затем определенно не равно Б. ${\ displaystyle \ subset}$${\ displaystyle \ supset}$${\ displaystyle \ subsetneq}$${\ Displaystyle \ supsetneq.}$${\ displaystyle \ substeq}$${\ displaystyle \ subset}$ ${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle lt;.}$${\ displaystyle x \ leq y,}$${\ Displaystyle х lt;у,}$${\ displaystyle \ subset}$${\ displaystyle A \ substeq B,}$${\ Displaystyle A \ подмножество B,}$

Правильные многоугольники образуют подмножество многоугольников

• Множество A = {1, 2} является правильным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения и верны.${\ displaystyle A \ substeq B}$${\ Displaystyle A \ subsetneq B}$
• Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, поэтому истинно, а не истинно (ложно).${\ displaystyle D \ substeq E}$${\ Displaystyle D \ subsetneq E}$
• Любой набор - это подмножество самого себя, но не собственное подмножество. ( верно и неверно для любого набора X.)${\ Displaystyle X \ substeq X}$${\ Displaystyle X \ subsetneq X}$
• Набор { x: x - простое число больше 10} является правильным подмножеством { x: x - нечетное число больше 10}
• Набор натуральных чисел - это собственное подмножество набора рациональных чисел ; аналогично, набор точек в линейном сегменте является надлежащим подмножеством набора точек в линии. Это два примера, в которых и подмножество, и все множество бесконечно, а подмножество имеет такую ​​же мощность (понятие, которое соответствует размеру, то есть количеству элементов конечного набора), как и все; такие случаи могут противоречить первоначальной интуиции.
• Набор рациональных чисел - это собственное подмножество набора действительных чисел. В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность), чем первый набор.

Другой пример на диаграмме Эйлера :

• 

  A - собственное подмножество B

• 

  C является подмножеством, но не является собственным подмножеством B

${\ displaystyle A \ substeq B}$и подразумевает${\ Displaystyle B \ substeq C}$${\ displaystyle A \ substeq C.}$

Включение канонического частичный порядок, в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество является изоморфно некоторой совокупностью множеств упорядоченных по включению. Эти порядковые номера представляют собой простой пример: если каждый порядковый п идентифицируются с множеством всех порядковых меньше или равно п, то тогда и только тогда,${\ Displaystyle (Х, \ prevq)}$ ${\ Displaystyle [п]}$${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle [a] \ substeq [b].}$

Для набора мощности из множества S, включение частичный порядок- с точностью до изоморфизма порядка -The декартово произведение из ( мощность из S) копий частичного порядка на, для которых Это можно проиллюстрировать путем перечисления, и ассоциирование с каждым подмножество (т.е. каждый элемент) в K -кратного из которых я й координаты 1 тогда и только тогда, когда является членом T. ${\ displaystyle \ wp {P} (S)}$ ${\ Displaystyle к = | S |}$ ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$${\ displaystyle 0 lt;1.}$${\ Displaystyle S = \ left \ {s_ {1}, s_ {2}, \ ldots, s_ {k} \ right \},}$${\ displaystyle T \ substeq S}$${\ displaystyle 2 ^ {S}}$${\ Displaystyle \ {0,1 \} ^ {к},}$${\ displaystyle s_ {i}}$

• Порядок включения
• Область
• Проблема суммы подмножества
• Субсумптивное сдерживание
• Всего подмножество

• Jech, Томас (2002). Теория множеств. Springer-Verlag. ISBN   3-540-44085-2.

• СМИ, связанные с подмножествами на Викискладе?
• Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество». MathWorld.