Изоморфизм порядка

В математическом поле в теории порядка изоморфизм порядка - особый вид монотонной функции, который составляет подходящее понятие изоморфизма для частично упорядоченных множеств (посетов). Когда два множества изоморфны по порядку, они могут считаться «по существу одинаковыми» в том смысле, что любой из порядков может быть получен из другого просто путем переименования элементов. Два строго более слабых понятия, относящихся к изоморфизму порядка, - это вложения порядка и связи Галуа.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Типы порядка
• 4 См. Также
• 5 примечаний
• 6 источников

Формально, учитывая две точки $(S,\; \le \; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; (S,\; \backslash \; leq\; \_\; \{\; S\})\}$и $(T,\; \le \; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; (T,\; \backslash \; leq\; \_\; \{T\})\}$, изоморфизм порядка от $(S,\; \le \; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; (S,\; \backslash \; leq\; \_\; \{S\})\}$до $(T,\; \le \; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; (T,\; \backslash \; leq\; \_\; \{\; T\})\}$- биективная функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$из $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$в $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$со свойством, которое для каждого $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, $x\; \le \; S\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; leq\; \_\; \{S\}\; y\}$тогда и только тогда, когда $f\; (x)\; \le \; Т\; е\; (Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (Икс)\; \backslash \; Leq\; \_\; \{T\}\; F\; (Y)\}$. То есть это биективное вложение порядка.

. Также возможно определить изоморфизм порядка как сюръективное вложение порядка. Двух предположений о том, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$покрывает все элементы $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$и что он сохраняет порядок, достаточно, чтобы гарантировать, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$также взаимно однозначно, поскольку if $f\; (x)\; =\; f\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; f\; (y)\}$тогда (исходя из предположения, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$сохраняет порядок), следует, что $x\; \le \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; leq\; y\}$и $y\; \le \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; leq\; x\}$, что подразумевает, согласно определению частичного порядка, что $x\; =\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; y\}$.

Еще одна характеристика изоморфизмов порядка состоит в том, что они являются в точности монотонными биекциями, которые имеют монотонно обратное.

Изоморфизм порядка от частично упорядоченного множества к самому себе называется порядковым автоморфизмом.

Когда на множества налагается дополнительная алгебраическая структура $(S,\; \le \; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; (S,\; \backslash \; leq\; \_\; \{S\})\}$и $(T,\; \le \; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; (T,\; \backslash \; leq\; \_\; \{T\; \})\}$, функция от $(S,\; \le \; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; (S,\; \backslash \; leq\; \_\; \{S\})\}$до $(T,\; \le \; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; (T,\; \backslash \; leq\; \_\; \{T\})\}$должен удовлетворять дополнительным свойствам, чтобы их можно было рассматривать как изоморфизм. Например, для двух частично упорядоченных групп (po-группы) $(G,\; \le \; G)\; \{\backslash \; displaystyle\; (G,\; \backslash \; leq\; \_\; \{G\})\}$и $(H,\; \le \; H)\; \{\backslash \; displaystyle\; (H,\; \backslash \; leq\; \_\; \{H\})\}$, изоморфизм ч.у. -групп из $(G,\; \le \; G)\; \{\backslash \; displaystyle\; (G,\; \backslash \; leq\; \_\; \{G\})\}$до $(H,\; \le \; H)\; \{\backslash \; displaystyle\; (H,\; \backslash \; leq\; \_\; \{H\})\}$- это изоморфизм порядка, который также является изоморфизмом группы , а не просто биекцией, которая является встраиванием порядка.

• Идентификационная функция на любом частично упорядоченном set всегда является автоморфизмом порядка.
• Отрицание - изоморфизм порядка от $(R,\; \le )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{R\},\; \backslash \; leq)\}$до $(R,\; \ge )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{R\},\; \backslash \; geq)\}$(где $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$- множество of вещественных чисел и $\le \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; leq\}$обозначает обычное числовое сравнение), поскольку −x ≥ −y тогда и только тогда, когда x ≤ y.
• открытый интервал $(0,\; 1)\; \{\backslash \; d\; isplaystyle\; (0,1)\}$(опять же, в числовом порядке) не имеет изоморфизма порядка в закрытый интервал $[0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,,\; 1]\}$: закрытый интервал имеет наименьший элемент, а открытый интервал - нет, и изоморфизмы порядка должны сохранять существование наименьшего элемента.

If $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является изоморфизмом порядка, тогда как и его обратная функция . Кроме того, если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является изоморфизмом порядка из $(S,\; \le \; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; (S,\; \backslash \; leq\; \_\; \{S\})\}$до $(T,\; \le \; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; (T,\; \backslash \; leq\; \_\; \{T\})\}$и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$является изоморфизм порядка от $(T,\; \le \; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; (T,\; \backslash \; leq\; \_\; \{T\})\}$до $(U,\; \le \; U)\; \{\backslash \; displaystyle\; (U,\; \backslash \; leq\; \_\; \{U\})\}$, затем композиция функций из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$сам по себе является изоморфизмом порядка, от $(S,\; \le \; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; (S,\; \backslash \; leq\; \_\; \{S\})\}$до $(U,\; \le \; U)\; \{\backslash \; displaystyle\; (U,\; \backslash \; leq\; \_\; \{U\})\}$.

Два частично упорядоченных множества называются изоморфными по порядку, если существует изоморфизм по порядку от одного к другому. Функции идентичности, обратные функции и композиции функций соответствуют, соответственно, трем определяющим характеристикам отношения эквивалентности : рефлексивность, симметрия и транзитивность. Следовательно, изоморфизм порядка является отношением эквивалентности. Класс частично упорядоченных множеств может быть разделен им на классы эквивалентности, семейства частично упорядоченных множеств, которые все изоморфны друг другу. Эти классы эквивалентности называются типами порядка.

• Шаблон перестановки, перестановка, изоморфная по порядку подпоследовательности другой перестановки

• Блох, Итан Д. (2011), Доказательства и основы: первый курс абстрактной математики, Тексты для студентов по математике (2-е изд.), Springer, стр. 276–277, ISBN 9781441971265.
• Цесельски, Кшиштоф (1997), Теория множеств для рабочего математика, Тексты студентов Лондонского математического общества, 39, Кембридж University Press, стр. 38–39, ISBN 9780521594653.
• Шредер, Бернд Зигфрид Вальтер (2003), Упорядоченные множества: введение, Springer, p. 11, ISBN 9780817641283.
• Fuchs, Laszlo (1963), частично упорядоченные алгебраические системы, Dover Publications; Репринтное издание (5 марта 2014 г.), стр. 2–3, ISBN 0486483878.