Автоморфизм

В математике, автоморфизм - это изоморфизм из математический объект самому себе. В некотором смысле это симметрия объекта и способ сопоставления объекта с самим собой с сохранением всей его структуры. Набор всех автоморфизмов объекта образует группу, называемую группой автоморфизмов. Это, грубо говоря, группа симметрии объекта. (читайте: Симметричная группа )

• 1 Определение
• 2 Группа автоморфизмов
• 3 Примеры
• 4 История
• 5 Внутренний и внешний автоморфизмы
• 6 См. также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

В контексте абстрактной алгебры математический объект - это алгебраическая структура, например группа, кольцо или векторное пространство. автоморфизм - это просто биективный гомоморфизм объект с самим собой. (Определение гомоморфизма зависит от типа алгебраической структуры; см., например, гомоморфизм групп, гомоморфизм колец и линейный оператор

тождественный морфизм (тождественное отображение ) в некоторых контекстах называется тривиальным автоморфизмом . Соответственно, в других (неидентификационных) автоморфизмы называются нетривиальными автоморфизмами .

Точное определение автоморфизма зависит от типа «математического объекта» в questio n и что именно составляет «изоморфизм» этого объекта. Наиболее общий контекст, в котором эти слова имеют значение, - это абстрактный раздел математики, называемый теорией категорий. Теория категорий имеет дело с абстрактными объектами и морфизмами между этими объектами.

В теории категорий автоморфизм - это эндоморфизм (т. Е. морфизм от объекта к самому себе), который также является изоморфизм (в категорическом смысле слова).

Это очень абстрактное определение, поскольку в теории категорий морфизмы не обязательно функции, а объекты не обязательно наборы. Однако в большинстве конкретных настроек объекты будут иметь некоторую дополнительную структуру, а морфизмы будут функциями, сохраняющими эту структуру.

Если автоморфизмы объекта Xобразуют набор (вместо собственного класса ), то они образуют группа в состав из морфизмов. Эта группа называется группой автоморфизмов из X.

Замыкания

Композиция двух автоморфизмов является другим автоморфизмом.

Ассоциативность

Это часть определения категория, что композиция морфизмов ассоциативна.

Идентичность

Идентичность - это морфизм идентичности от объекта к самому себе, который является автоморфизмом.

Обратные

По определению каждый изоморфизм имеет обратный, который также является изоморфизмом, и поскольку обратный также является эндоморфизмом того же объекта, он является автоморфизмом.

Группа автоморфизмов объекта X в категории C обозначается Aut C ( X) или просто Aut (X), если категория понятна из контекста.

• В теории множеств произвольная перестановка элементов множества X является автоморфизмом. Группа автоморфизмов X также называется симметрической группой на X.
• В элементарной арифметике набор целых чисел, Z, рассматриваемых как добавляемая группа, имеет единственный нетривиальный автоморфизм: отрицание. Однако, рассматриваемое как кольцо, оно имеет только тривиальный автоморфизм. Вообще говоря, отрицание - это автоморфизм любой абелевой группы, но не кольца или поля.
• Групповой автоморфизм - это групповой изоморфизм группы в себя. Неформально это перестановка элементов группы таким образом, чтобы структура оставалась неизменной. Для каждой группы G существует естественный групповой гомоморфизм G → Aut (G), образ которого является группой Inn (G) внутренних автоморфизмов, а ядром является центр группы G. Таким образом, если G имеет тривиальный центр, он может быть вложен в свою собственную группу автоморфизмов.
• В линейной алгебре, эндоморфизм векторного пространства V является линейным оператором V → V. Автоморфизм - это обратимый линейный оператор на V. Когда векторное пространство конечномерно, группа автоморфизмов V совпадает с общей линейной группой, GL (V). (Алгебраическая структура всех эндоморфизмов V сама является алгеброй над тем же базовым полем, что и V, чьи обратимые элементы в точности состоят из GL (V).)
• Полевой автоморфизм - это биективный кольцевой гомоморфизм из поля в себя. В случаях рациональных чисел (Q) и вещественных чисел (R) нет нетривиальных полевых автоморфизмов. Некоторые подполя R имеют нетривиальные полевые автоморфизмы, которые, однако, не распространяются на все R (потому что они не могут сохранить свойство числа, имеющего квадратный корень в R ). В случае комплексных чисел, Cсуществует уникальный нетривиальный автоморфизм, который переводит R в R: комплексное сопряжение, но их бесконечно (несчетно ) много «диких» автоморфизмов (в предположении аксиомы выбора ). Автоморфизмы поля важны для теории расширений поля, в частности расширений Галуа. В случае расширения Галуа L / K подгруппа всех автоморфизмов L, фиксирующих K поточечно, называется группой Галуа расширения.
• Группа автоморфизмов кватернионов (H) в виде кольца являются внутренними автоморфизмами по теореме Сколема – Нётер : отображения вида a ↦ bab. Эта группа изоморфна SO (3), группе вращений в трехмерном пространстве.
• Группа автоморфизмов октонионов (O) является исключительной группой Ли G2.
• . В теории графов автоморфизм графа - это перестановка узлов, которая сохраняет ребра и не ребра. В частности, если два узла соединены ребром, то же самое происходит и с их изображениями при перестановке.
• В геометрии автоморфизм можно назвать движением Космос. Также используется специальная терминология:
  • В метрической геометрии автоморфизм - это само изометрия. Группа автоморфизмов также называется группой изометрий.
  • В категории римановых поверхностей автоморфизм - это биголоморфное отображение (также называемое конформным отображением ), с поверхности на себя. Например, автоморфизмы сферы Римана являются преобразованиями Мёбиуса.
  • Автоморфизм дифференцируемого многообразия M является диффеоморфизмом из M в себя. Группа автоморфизмов иногда обозначается Diff (M).
  • В топологии морфизмы между топологическими пространствами называются непрерывными отображениями, а автоморфизм топологического пространства - это гомеоморфизм пространства на себя, или самогомеоморфизм (см. группа гомеоморфизмов ). В этом примере биективности морфизма недостаточно, чтобы быть изоморфизмом.

Одним из самых ранних групповых автоморфизмов (автоморфизм группы, а не просто группы автоморфизмов точек) был данное ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его икозиевом исчислении, где он открыл автоморфизм второго порядка, написав:

так что $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- новый корень пятой степени из единства, связанный с прежним корнем пятой степени $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$отношениями совершенной взаимности.

В некоторых категориях - в частности, группы, кольца и алгебры Ли - можно разделить автоморфизмы на два типа, называемые «внутренний» и «внешний» автоморфизмы.

В случае групп внутренние автоморфизмы представляют собой сопряжения элементами самой группы. Для каждого элемента a группы G сопряжение с помощью a - это операция φ a : G → G, заданная формулой φ a (g) = aga (или aga; использование меняется). Легко проверить, что сопряжение с помощью a является групповым автоморфизмом. Внутренние автоморфизмы образуют нормальную подгруппу группы Aut (G), обозначаемую Inn (G); это называется леммой Гурса.

. Остальные автоморфизмы называются внешними автоморфизмами. Фактор-группа Aut (G) / Inn (G) обычно обозначается Out (G); нетривиальные элементы - это классы классов, которые содержат внешние автоморфизмы.

То же определение имеет место в любом unital кольце или алгебре, где a - любой обратимый элемент. Для алгебр Ли определение несколько иное.

• Антиавтоморфизм
• Автоморфизм (в головоломках Судоку)
• Характеристическая подгруппа
• Кольцо эндоморфизмов
• Автоморфизм Фробениуса
• Морфизм
• Порядковый автоморфизм (в теории порядка ).
• сохраняющий отношения автоморфизм
• дробное преобразование Фурье

1. ^П.Дж. Пал, Р. Дамрат (2001). «§7.5.5 Автоморфизмы». Математические основы вычислительной инженерии (перевод под ред. Феликса Пала). Springer. P. 376. ISBN 3-540-67995-2.
2. ^Йель, Пол Б. (май 1966). «Автоморфизмы комплексных чисел» (PDF). Mathematics Magazine. 39 (3): 135–141. doi : 10.2307 / 2689301. JSTOR 2689301.
3. ^Lounesto, Pertti (2001), Clifford Algebras and Spinors (2-е изд.), Cambridge University Press, стр. 22–23, ISBN 0-521-00551-5
4. ^Справочник по алгебре, 3, Elsevier, 2003, стр. 453
5. ^Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856 г.). «Меморандум» уважая новую Систему Корней Единства " (PDF). Philosophical Magazine. 12: 446.

• Автоморфизм в энциклопедии математики
• Вайсштейн, Эрик У. «Автоморфизм». MathWorld.