В алгебре, которая представляет собой широкий раздел математики, абстрактной алгебры( иногда называемый современной алгеброй) - это изучение алгебраических структур. Алгебраические структуры включают группы, кольца, поля, модули, векторные пространства, решетки и алгебры. Термин абстрактная алгебра был введен в обращение в начале 20 века, чтобы отличать эту область исследования от других частей алгебры.
Алгебраические структуры и связанные с ними гомоморфизмы образуют математические категории. Теория категорий - это формализм, позволяющий унифицированным способом выражать свойства и конструкции, схожие для различных структур.
Универсальная алгебра - смежный предмет, изучающий типы алгебраических структур как отдельные объекты. Например, структура групп - это единый объект универсальной алгебры, который называется множеством групп.
Как и в других разделах математики, конкретные задачи и примеры сыграли важную роль в развитии абстрактной алгебры. В конце девятнадцатого века многие - возможно, большинство - из этих проблем были так или иначе связаны с теорией алгебраических уравнений. Основные темы включают:
Многочисленные учебники по абстрактной алгебре начинаются с аксиоматических определений различных алгебраических структур, а затем переходят к установлению их свойств. Это создает ложное впечатление, будто в алгебре сначала появились аксиомы, а затем они послужили мотивацией и основой для дальнейшего изучения. Истинный порядок исторического развития был почти прямо противоположным. Например, гиперкомплексные числа девятнадцатого века имели кинематическую и физическую мотивацию, но затрудняли понимание. Большинство теорий, которые сейчас признаны частями алгебры, начинались как сборники разрозненных фактов из различных разделов математики, приобрели общую тему, которая служила ядром, вокруг которого были сгруппированы различные результаты, и, наконец, стали объединены на основе общего набора концепции. Архетипический пример этого прогрессивного синтеза можно увидеть в истории теории групп.
На раннем этапе развития теории групп было несколько нитей, которые, говоря современным языком, приблизительно соответствуют числу теория, теория уравнений и геометрия.
Леонард Эйлер рассмотрел алгебраические операции над числами по модулю целого числа - модульную арифметику - в своем обобщении маленькой теоремы Ферма. Эти исследования были значительно продвинуты Карлом Фридрихом Гауссом, который рассмотрел структуру мультипликативных групп вычетов по модулю n и установил многие свойства циклических и более общих абелевых группы, которые возникают таким образом. В своих исследованиях композиции бинарных квадратичных форм Гаусс явно сформулировал ассоциативный закон для композиции форм, но, как и Эйлер до него, он, похоже, больше интересовался конкретными результатами чем в общей теории. В 1870 г. Леопольд Кронекер дал определение абелевой группы в контексте групп идеальных классов числового поля, обобщив работу Гаусса; но похоже, что он не связывал свое определение с предыдущими работами над группами, особенно с группами перестановок. В 1882 г., рассматривая тот же вопрос, Генрих М. Вебер осознал связь и дал аналогичное определение, которое включало свойство отмены , но опускало существование обратного элемента , которого было достаточно в его контексте (конечные группы).
Перестановки были изучены Жозефом-Луи Лагранжем в его статье 1770 года Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Мысли об алгебраическом решении уравнений), посвященный решениям алгебраических уравнений, в которые он ввел резольвенты Лагранжа. Целью Лагранжа было понять, почему уравнения третьей и четвертой степени допускают формулы для решений, и он определил в качестве ключевых объектов перестановки корней. Важным новым шагом, предпринятым Лагранжем в этой статье, был абстрактный взгляд на корни, то есть как символы, а не как числа. Однако он не учел состав перестановок. По счастливой случайности, первое издание книги Эдварда Уоринга Meditationes Algebraicae («Размышления об алгебре») появилось в том же году, а расширенная версия была опубликована в 1782 году. Варинг доказал фундаментальную теорему о симметричных многочленах, и специально рассмотрела связь между корнями уравнения четвертой степени и его резольвентной кубикой. Mémoire sur la résolution des équations (Меморандум о решении уравнений) Александра Вандермонда (1771) развил теорию симметрических функций под несколько другим углом, но, как и Лагранж, с целью понимания разрешимости алгебраических функций. уравнения.
Кронекер утверждал в 1888 году, что изучение современной алгебры началось с этой первой работы Вандермонда. Коши совершенно ясно заявляет, что Вандермонд имел приоритет перед Лагранжем в этой замечательной идее, которая в конечном итоге привела к изучению теории групп.
Паоло Руффини был первым человеком, разработавшим теорию групп перестановок, и, как и его предшественники, также в контексте решения алгебраических уравнений. Его целью было установить невозможность алгебраического решения общего алгебраического уравнения степени больше четырех. На пути к этой цели он ввел понятие порядка элемента группы, сопряженности, циклического разложения элементов групп перестановок, а также понятия примитивного и импримитивного и доказал некоторые важные теоремы, связывающие эти понятия, такие как
если G является подгруппой в S 5 , порядок которой делится на 5, то G содержит элемент порядка 5.
Однако он обошелся без формализации концепции группы или даже перестановки группа. Следующий шаг был сделан Эваристом Галуа в 1832 году, хотя его работа оставалась неопубликованной до 1846 года, когда он впервые рассмотрел то, что теперь называется свойством замыкания группы перестановок, которое он выразил как
если в такой группе есть замены S и T, то есть замена ST.
Теория групп перестановок получила дальнейшее далеко идущее развитие в руках Огюстена Коши и Камилла Джордана, как за счет введения новых понятий, так и, прежде всего, огромного количества результатов о специальных классах групп подстановок и даже некоторых общих теорем. Среди прочего, Джордан определил понятие изоморфизма, все еще в контексте групп перестановок, и, кстати, именно он широко использовал термин группа.
Абстрактное понятие группы впервые появилось в работах Артура Кэли в 1854 году. Кэли понял, что группа не обязательно должна быть группой перестановок (или даже конечной), и вместо этого может состоять из матриц, алгебраические свойства которых, такие как умножение и обратное, он систематически исследовал в последующие годы. Намного позже Кэли вернется к вопросу о том, были ли абстрактные группы более общими, чем группы перестановок, и установит, что на самом деле любая группа изоморфна группе перестановок.
Современная алгебра
В конце XIX - начале XX века произошел сдвиг в методологии математики. Абстрактная алгебра возникла примерно в начале 20 века под названием современная алгебра. Его изучение было частью стремления к большей интеллектуальной строгости в математике. Первоначально предположения в классической алгебре, от которой зависит вся математика (и основные части естественных наук ), приняли форму аксиоматических систем. Не довольствуясь установлением свойств конкретных объектов, математики начали обращать внимание на общую теорию. Формальные определения некоторых алгебраических структур начали появляться в 19 веке. Например, результаты о различных группах перестановок стали рассматриваться как примеры общих теорем, касающихся общего понятия абстрактной группы. На первый план вышли вопросы структуры и классификации различных математических объектов.
Эти процессы происходили во всей математике, но особенно ярко проявились в алгебре. Формальное определение посредством примитивных операций и аксиом было предложено для многих базовых алгебраических структур, таких как группы, кольца и поля. Таким образом, такие вещи, как теория групп и теория колец заняли свое место в чистой математике. Алгебраические исследования общих полей Эрнста Стейница и коммутативных, а затем и общих колец Дэвида Гильберта, Эмиля Артина и Эмми Нётер, опираясь на работы Эрнста Куммера, Леопольда Кронекера и Ричарда Дедекинда, которые рассматривали идеалы в коммутативных кольцах, и Георга Фробениуса и Иссай Шур, касающиеся теории представлений групп, пришли к определению абстрактной алгебры. Эти достижения последней четверти 19 века и первой четверти 20 века систематически раскрывались в Бартель ван дер Варден алгебре Модерна, двухтомной монографии, опубликованной в 1930 году. –1931 г., навсегда изменивший для математического мира значение слова «алгебра» от теории уравнений к теории алгебраических структур.
Основные понятияАбстрагируясь от различных деталей, математики определили различные алгебраические структуры, которые используются во многих областях математики. Например, почти все изучаемые системы - это множества, к которым применимы теоремы теории множеств. Те множества, для которых определена определенная бинарная операция, образуют магмы, к которым применяются концепции, касающиеся магм, а также концепции, касающиеся множеств. Мы можем добавить дополнительные ограничения на алгебраическую структуру, такие как ассоциативность (для формирования полугрупп ); тождество и обратное (для формирования групп ); и другие более сложные конструкции. С дополнительной структурой можно было бы доказать больше теорем, но общность уменьшилась. «Иерархия» алгебраических объектов (в смысле общности) создает иерархию соответствующих теорий: например, теоремы теории групп могут быть использованы при изучении колец (алгебраических объектов которые имеют две бинарные операции с некоторыми аксиомами), поскольку кольцо - это группа над одной из своих операций. В целом существует баланс между степенью общности и богатством теории: более общие структуры обычно имеют меньше нетривиальных теорем и меньше приложений.
Примеры алгебраических структур с единственной двоичной операцией :
Примеры, включающие несколько операций включают:
- Кольцо
- Поле
- Модуль
- Векторное пространство
- Алгебра над полем
- Ассоциативная алгебра
- Алгебра Ли
- Решетка
- Булева алгебра
ПриложенияИз-за своей общности абстрактная алгебра используется во многих областях математики и естествознания. Например, алгебраическая топология использует алгебраические объекты для изучения топологий. Гипотеза Пуанкаре, доказанная в 2003 году, утверждает, что фундаментальная группа многообразия, которая кодирует информацию о связности, может использоваться для определения того, является ли многообразие сферой или нет. Алгебраическая теория чисел изучает различные кольца чисел, которые обобщают множество целых чисел. Используя инструменты алгебраической теории чисел, Эндрю Уайлс доказал Великую теорему Ферма.
В физике группы используются для представления операций симметрии, а использование теории групп может упростить дифференциальные уравнения. В калибровочной теории требование локальной симметрии может использоваться для вывода уравнений, описывающих систему. Группы, описывающие эти симметрии, - это группы Ли, и изучение групп Ли и алгебр Ли многое раскрывает о физической системе; например, количество носителей силы в теории равно размерности алгебры Ли, и эти бозоны взаимодействуют с силой, которую они опосредуют, если алгебра Ли неабелева.
См. Также
- Математический портал
Литература
- ^О'Коннор, Джон Дж. ; Робертсон, Эдмунд Ф., «Александр-Теофиль Вандермонд», Архив истории математики Мактьютора, Университет Сент-Эндрюс.
- ^Шумм, Брюс (2004), Deep Down Things, Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-7971-X
Sources
- Allenby, RBJT (1991). ), Кольца, поля и группы, Баттерворт-Хайнеманн, ISBN 978-0-340-54440-2
- Артин, Майкл (1991), Алгебра, Прентис Холл, ISBN 978-0-89871-510-1
- Burris, Stanley N.; Санкаппанавар, Х. П. (1999) [1981], Курс универсальной алгебры
- Гилберт, Джимми; Гилберт, Линда (2005), Элементы современной алгебры, Томсон Брукс / Коул, ISBN 978-0-534-40264-8
- Лэнг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике, 211(пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385 -4, MR 1878556
- Сетураман, BA (1996), Кольца, поля, векторные пространства и теория групп: введение в абстрактную алгебру через геометрическую конструктивность, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94848-5
- Whitehead, C. (2002), Guide to Abstract Algebra (2-е изд.), Houndmills: Palgrave , ISBN 978-0-333-79447-0
- W. Кейт Николсон (2012) Введение в абстрактную алгебру, 4-е издание, John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8.
- Джон Р. Дурбин (1992) Modern Алгебра: введение, John Wiley & Sons
Внешние ссылки
В Викиучебнике есть дополнительная информация по теме: Абстрактная алгебра