Магма (алгебра)

редактировать
Эта статья об алгебраической структуре. О группоидах в теории категорий см. Groupoid. Для использования в других целях, см Магма (значения).
Алгебраические структуры между магмами и группами.

В абстрактной алгебре, в магме, БИНАР или, редко, группоидом является основным видом алгебраической структуры. В частности, магма состоит из набора, оснащенного одной бинарной операцией, которая должна быть закрыта по определению. Никаких других свойств не налагается.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 История и терминология
  • 2 Определение
  • 3 Морфизм магм
  • 4 Обозначения и комбинаторика
  • 5 Свободная магма
  • 6 типов магмы
  • 7 Классификация по свойствам
  • 8 Категория магм
  • 9 Обобщения
  • 10 См. Также
  • 11 Источники
  • 12 Дальнейшее чтение

История и терминология

Термин группоид был введен в 1927 году Генрихом Брандтом при описании своего группоида Брандта (в переводе с немецкого Gruppoid ). Затем этот термин был присвоен Б. А. Хаусманном и Ойстейном Оре (1937) в смысле (множества с бинарной операцией), используемом в этой статье. В нескольких обзорах последующих статей в Zentralblatt Брандт категорически не согласился с такой перегруженностью терминологией. Группоид Брандта является группоидом в том смысле, который используется в теории категорий, но не в смысле, используемом Хаусманном и Оре. Тем не менее, влиятельные книги по теории полугрупп, включая Клиффорда и Престона (1961) и Хоуи (1995), используют группоид в том смысле Хаусманна и Оре. Холлингса (2014) пишут, что термин группоид «возможно, наиболее часто используется в современной математике» в том смысле, который ему дан в теории категорий.

Согласно Бергману и Хаускнехту (1996): «Не существует общепринятого слова для обозначения множества с необязательно ассоциативной бинарной операцией. Слово группоид используется многими универсальными алгебраистами, но специалисты в области теории категорий и смежных областях категорически возражают против этого использования. потому что они используют одно и то же слово для обозначения «категории, в которой все морфизмы обратимы». Термин « магма» использовал Серр [Алгебры Ли и группы Ли, 1965] ». Он также появляется в Бурбаки «s ЭЛЕМЕНТОВ де Mathematique, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.

Определение

Магма - это множество M, согласованное с операцией •, которая отправляет любые два элемента a, b ∈ M другому элементу a • b. Символ • является общим заполнителем для правильно определенной операции. Чтобы считаться магмой, набор и операция ( M, •) должны удовлетворять следующему требованию (известному как аксиома магмы или замыкания ):

Для всех а, Ь в М, результат операции с • Ь также находится в М.

И в математической записи:

а , б M а б M {\ displaystyle a, b \ in M ​​\ подразумевает a \ cdot b \ in M}.

Если • вместо этого является частичной операцией, то ( M, •) называется частичной магмой или чаще частичным группоидом.

Морфизм магм

Морфизм магм является функция, F  : М → Н, отображение магмы М в магматической N, который сохраняет бинарную операцию:

f ( x • M y ) = f ( x ) • N f ( y )

где • M и • N обозначают двоичную операцию над M и N соответственно.

Обозначения и комбинаторика

Операция с магмой может применяться многократно, и в общем, неассоциативном случае имеет значение порядок, который обозначен круглыми скобками. Кроме того, операция • часто опускается и обозначается противопоставлением:

( a • ( b • c )) • d = ( a ( bc )) d

Сокращение часто используется для уменьшения количества скобок, в которых самые внутренние операции и пары скобок опускаются, заменяются просто сопоставлением, xy • z = ( x • y ) • z. Например, приведенное выше сокращено до следующего выражения, все еще содержащего круглые скобки:

( a • bc ) d.

Способом полностью избежать использования круглых скобок является префиксная запись, в которой одно и то же выражение будет записано •• a • bcd. Другой способ, знакомый программистам, - это постфиксная нотация ( обратная польская нотация ), в которой одно и то же выражение будет записано abc •• d •, в котором порядок выполнения просто слева направо (без каррирования ).

Набор всевозможных цепочек, состоящий из символов, обозначающих элементы магмы, и наборов сбалансированных скобок называется языком Дайка. Общее количество различных способов написания п применений оператора магмы определяется числом каталонского, C н. Таким образом, например, C 2 = 2, что является просто утверждением, что ( ab ) c и a ( bc ) - единственные два способа соединения трех элементов магмы с двумя операциями. Менее тривиально C 3 = 5 : (( ab ) c ) d, ( a ( bc )) d, ( ab ) ( cd ), a (( bc ) d ) и a ( b ( cd )).

Существует n n 2 магм с n элементами, поэтому есть 1, 1, 16, 19683, 4294967296,... (последовательность A002489 в OEIS ) магмы с 0, 1, 2, 3, 4,... элементами. Соответствующее количество неизоморфных магм составляет 1, 1, 10, 3330, 178981952,... (последовательность A001329 в OEIS ), а количество одновременно неизоморфных и неантиизоморфных магм составляет 1, 1, 7, 1734., 89521056,... (последовательность A001424 в OEIS ).

Свободная магма

Бесплатно магма, M X на множестве, X, является «наиболее общей возможной» магмой, порожденной X (то есть, не существуют никаких отношений или аксиом, налагаемые на генераторах, см свободного объекта ). Бинарная операция над M X формируется путем заключения каждого из двух операндов в круглые скобки и их сопоставления в одном и том же порядке. Например:

a • b = ( a ) ( b )
a • ( a • b ) = ( a ) (( a ) ( b ))
( a • a ) • b = (( a ) ( a )) ( b )

M X можно описать как набор неассоциативных слов на X с сохранением круглых скобок.

Это также можно рассматривать в терминах, знакомых в информатике, как магма бинарных деревьев с листьями, помеченных элементами X. Операция заключается в соединении деревьев в корне. Следовательно, он играет основополагающую роль в синтаксисе.

Свободная магма обладает универсальным свойством : если f  : X → N является функцией от X до любой магмы, N, то существует уникальное расширение f до морфизма магм, f  ′

е  ': М Х → Н.
См. Также: свободная полугруппа, свободная группа, множество Холла и число Веддерберна – Этерингтона.

Типы магмы

Магмы не часто изучаются как таковые; вместо этого существует несколько различных видов магмы, в зависимости от того, для удовлетворения каких аксиом требуется операция. Обычно изучаемые типы магмы включают:

Квазигруппа
Магма, где всегда возможно разделение
Петля
Квазигруппа с элементом идентичности
Полугруппа
Магма, где операция ассоциативна
Обратная полугруппа
Полугруппа с инверсией.
Полурешетка
Полугруппа, в которой операция коммутативна и идемпотентна
Моноид
Полугруппа с элементом идентичности
Группа
Моноид с инверсными элементами, или, что то же самое, ассоциативная петля или непустая ассоциативная квазигруппа
Абелева группа
Группа, в которой операция коммутативна

Обратите внимание, что каждое из делимости и обратимости подразумевает свойство отмены.

Классификация по свойствам

Групповые структуры
Тотальность Ассоциативность Личность Обратимость Коммутативность
Полугрупоидный Ненужный Обязательный Ненужный Ненужный Ненужный
Малая категория Ненужный Обязательный Обязательный Ненужный Ненужный
Группоид Ненужный Обязательный Обязательный Обязательный Ненужный
Магма Обязательный Ненужный Ненужный Ненужный Ненужный
Квазигруппа Обязательный Ненужный Ненужный Обязательный Ненужный
Единичная магма Обязательный Ненужный Обязательный Ненужный Ненужный
Петля Обязательный Ненужный Обязательный Обязательный Ненужный
Полугруппа Обязательный Обязательный Ненужный Ненужный Ненужный
Обратная полугруппа Обязательный Обязательный Ненужный Обязательный Ненужный
Моноид Обязательный Обязательный Обязательный Ненужный Ненужный
Коммутативный моноид Обязательный Обязательный Обязательный Ненужный Обязательный
Группа Обязательный Обязательный Обязательный Обязательный Ненужный
Абелева группа Обязательный Обязательный Обязательный Обязательный Обязательный
^ α Замыкание, которое используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной тотальности, хотя и определяется по-другому.

Магма ( S, •) с x, y, u, z ∈ S называется

Медиальный
Если он удовлетворяет тождеству, xy • uz ≡ xu • yz
Левый полусредний
Если он удовлетворяет тождеству, xx • yz ≡ xy • xz
Правый полусредний
Если он удовлетворяет тождеству, yz • xx ≡ yx • zx
Полумедиальный
Если он и левый, и правый полумедиальный
Левый распределительный
Если он удовлетворяет тождеству, x • yz ≡ xy • xz
Правый дистрибутив
Если он удовлетворяет тождеству, yz • x ≡ yx • zx
Автораспределение
Если он и левый, и правый распределительный
Коммутативный
Если он удовлетворяет тождеству, xy ≡ yx
Идемпотент
Если он удовлетворяет тождеству, xx ≡ x
Унипотентный
Если он удовлетворяет тождеству, xx ≡ yy
Нулевой потенциал
Если он удовлетворяет тождествам, xx • y ≡ xx ≡ y • xx
Альтернатива
Если он удовлетворяет тождествам xx • y ≡ x • xy и x • yy ≡ xy • y
Властно-ассоциативный
Если подмагма, порожденная каким-либо элементом, ассоциативна
Гибкий
если xy • x ≡ x • yx
Полугруппа, или ассоциативный
Если он удовлетворяет тождеству, x • yz ≡ xy • z
Левый унар
Если он удовлетворяет тождеству, xy ≡ xz
Правильный унар
Если он удовлетворяет тождеству, yx ≡ zx
Полугруппа с нулевым умножением или нулевая полугруппа
Если он удовлетворяет тождеству, xy ≡ uv
Unital
Если в нем есть элемент идентичности
Лево- сокращения
Если для всех х, у, и, г, х = хг влечет у = г
Право-отменяющий
Если для всех х, у, и, г, уй = ге означают у = г
Отменяющий
Если это одновременно право-отменяющее и левое-отменяющее
Полугруппа с левыми нулями
Если это полугруппа и для всех х, тождества, х ≡ х, имеет место
Полугруппа правых нулей
Если это полугруппа и для всех х, тождество, х ≡ уг, имеет место
Тримедиал
Если любая тройка (не обязательно различных) элементов порождает медиальную подмагму
Энтропийный
Если это гомоморфное медиальной отмена магмы.

Категория магм

Категория магм, обозначаемая Mag, - это категория, объектами которой являются магмы, а морфизмы - гомоморфизмами магм. Категория Mag имеет прямые продукты, и есть функтор включения : Set → Med ↪ Mag как тривиальные магмы с операциями, заданными проекцией : x  T  y = y  .

Важным свойством является то, что инъективный эндоморфизм может быть расширен до автоморфизма расширения магмы, просто копредела ( постоянной последовательности) эндоморфизма.

Поскольку одноточечный ({*}, *) является нулевым объектом из Mag, и потому, что Mag является алгебраическим, Mag заострен и полный.

Обобщения

См. N -арную группу.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

Последняя правка сделана 2023-12-31 01:21:14
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте