Алгебраические структуры |
---|
Группа -как Теория групп |
Кольцо -как
|
Lattice -как |
Модуль- подобный |
Алгебра- подобный |
|
В абстрактной алгебре, в магме, БИНАР или, редко, группоидом является основным видом алгебраической структуры. В частности, магма состоит из набора, оснащенного одной бинарной операцией, которая должна быть закрыта по определению. Никаких других свойств не налагается.
Термин группоид был введен в 1927 году Генрихом Брандтом при описании своего группоида Брандта (в переводе с немецкого Gruppoid ). Затем этот термин был присвоен Б. А. Хаусманном и Ойстейном Оре (1937) в смысле (множества с бинарной операцией), используемом в этой статье. В нескольких обзорах последующих статей в Zentralblatt Брандт категорически не согласился с такой перегруженностью терминологией. Группоид Брандта является группоидом в том смысле, который используется в теории категорий, но не в смысле, используемом Хаусманном и Оре. Тем не менее, влиятельные книги по теории полугрупп, включая Клиффорда и Престона (1961) и Хоуи (1995), используют группоид в том смысле Хаусманна и Оре. Холлингса (2014) пишут, что термин группоид «возможно, наиболее часто используется в современной математике» в том смысле, который ему дан в теории категорий.
Согласно Бергману и Хаускнехту (1996): «Не существует общепринятого слова для обозначения множества с необязательно ассоциативной бинарной операцией. Слово группоид используется многими универсальными алгебраистами, но специалисты в области теории категорий и смежных областях категорически возражают против этого использования. потому что они используют одно и то же слово для обозначения «категории, в которой все морфизмы обратимы». Термин « магма» использовал Серр [Алгебры Ли и группы Ли, 1965] ». Он также появляется в Бурбаки «s ЭЛЕМЕНТОВ де Mathematique, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.
Магма - это множество M, согласованное с операцией •, которая отправляет любые два элемента a, b ∈ M другому элементу a • b. Символ • является общим заполнителем для правильно определенной операции. Чтобы считаться магмой, набор и операция ( M, •) должны удовлетворять следующему требованию (известному как аксиома магмы или замыкания ):
И в математической записи:
Если • вместо этого является частичной операцией, то ( M, •) называется частичной магмой или чаще частичным группоидом.
Морфизм магм является функция, F : М → Н, отображение магмы М в магматической N, который сохраняет бинарную операцию:
где • M и • N обозначают двоичную операцию над M и N соответственно.
Операция с магмой может применяться многократно, и в общем, неассоциативном случае имеет значение порядок, который обозначен круглыми скобками. Кроме того, операция • часто опускается и обозначается противопоставлением:
Сокращение часто используется для уменьшения количества скобок, в которых самые внутренние операции и пары скобок опускаются, заменяются просто сопоставлением, xy • z = ( x • y ) • z. Например, приведенное выше сокращено до следующего выражения, все еще содержащего круглые скобки:
Способом полностью избежать использования круглых скобок является префиксная запись, в которой одно и то же выражение будет записано •• a • bcd. Другой способ, знакомый программистам, - это постфиксная нотация ( обратная польская нотация ), в которой одно и то же выражение будет записано abc •• d •, в котором порядок выполнения просто слева направо (без каррирования ).
Набор всевозможных цепочек, состоящий из символов, обозначающих элементы магмы, и наборов сбалансированных скобок называется языком Дайка. Общее количество различных способов написания п применений оператора магмы определяется числом каталонского, C н. Таким образом, например, C 2 = 2, что является просто утверждением, что ( ab ) c и a ( bc ) - единственные два способа соединения трех элементов магмы с двумя операциями. Менее тривиально C 3 = 5 : (( ab ) c ) d, ( a ( bc )) d, ( ab ) ( cd ), a (( bc ) d ) и a ( b ( cd )).
Существует n n 2 магм с n элементами, поэтому есть 1, 1, 16, 19683, 4294967296,... (последовательность A002489 в OEIS ) магмы с 0, 1, 2, 3, 4,... элементами. Соответствующее количество неизоморфных магм составляет 1, 1, 10, 3330, 178981952,... (последовательность A001329 в OEIS ), а количество одновременно неизоморфных и неантиизоморфных магм составляет 1, 1, 7, 1734., 89521056,... (последовательность A001424 в OEIS ).
Бесплатно магма, M X на множестве, X, является «наиболее общей возможной» магмой, порожденной X (то есть, не существуют никаких отношений или аксиом, налагаемые на генераторах, см свободного объекта ). Бинарная операция над M X формируется путем заключения каждого из двух операндов в круглые скобки и их сопоставления в одном и том же порядке. Например:
M X можно описать как набор неассоциативных слов на X с сохранением круглых скобок.
Это также можно рассматривать в терминах, знакомых в информатике, как магма бинарных деревьев с листьями, помеченных элементами X. Операция заключается в соединении деревьев в корне. Следовательно, он играет основополагающую роль в синтаксисе.
Свободная магма обладает универсальным свойством : если f : X → N является функцией от X до любой магмы, N, то существует уникальное расширение f до морфизма магм, f ′
Магмы не часто изучаются как таковые; вместо этого существует несколько различных видов магмы, в зависимости от того, для удовлетворения каких аксиом требуется операция. Обычно изучаемые типы магмы включают:
Обратите внимание, что каждое из делимости и обратимости подразумевает свойство отмены.
Групповые структуры | |||||
---|---|---|---|---|---|
Тотальность | Ассоциативность | Личность | Обратимость | Коммутативность | |
Полугрупоидный | Ненужный | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Малая категория | Ненужный | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Ненужный |
Группоид | Ненужный | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный |
Магма | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Квазигруппа | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Обязательный | Ненужный |
Единичная магма | Обязательный | Ненужный | Обязательный | Ненужный | Ненужный |
Петля | Обязательный | Ненужный | Обязательный | Обязательный | Ненужный |
Полугруппа | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Обратная полугруппа | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Обязательный | Ненужный |
Моноид | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Ненужный |
Коммутативный моноид | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Обязательный |
Группа | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный |
Абелева группа | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Обязательный |
^ α Замыкание, которое используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной тотальности, хотя и определяется по-другому. |
Магма ( S, •) с x, y, u, z ∈ S называется
Категория магм, обозначаемая Mag, - это категория, объектами которой являются магмы, а морфизмы - гомоморфизмами магм. Категория Mag имеет прямые продукты, и есть функтор включения : Set → Med ↪ Mag как тривиальные магмы с операциями, заданными проекцией : x T y = y .
Важным свойством является то, что инъективный эндоморфизм может быть расширен до автоморфизма расширения магмы, просто копредела ( постоянной последовательности) эндоморфизма.
Поскольку одноточечный ({*}, *) является нулевым объектом из Mag, и потому, что Mag является алгебраическим, Mag заострен и полный.
См. N -арную группу.