Теория колец

редактировать

Раздел алгебры

В алгебре теория колец изучение колец - алгебраических структур, в которых определены сложение и умножение и которые имеют свойства, аналогичные тем операциям, которые определены для целых чисел. Теория колец изучает структуру колец, их представления, или, на другом языке, модули, специальные классы колец (групповые кольца, тела, универсальные обертывающие алгебры ), а также ряд свойств, которые оказались интересными как внутри самой теории, так и для ее приложений, таких как гомологические свойства и полиномиальные тождества.

Коммутативные кольца гораздо лучше поняты, чем некоммутативные. Алгебраическая геометрия и теория алгебраических чисел, которые предоставляют множество естественных примеров коммутативных колец, во многом определили развитие теории коммутативных колец, которая сейчас носит название коммутативная алгебра, основная область современной математики. Поскольку эти три области (алгебраическая геометрия, алгебраическая теория чисел и коммутативная алгебра) так тесно связаны, обычно трудно и бессмысленно решить, к какой области принадлежит конкретный результат. Например, Nullstellensatz Гильберта - это теорема, которая является фундаментальной для алгебраической геометрии, и сформулирована и доказана в терминах коммутативной алгебры. Аналогично, последняя теорема Ферма сформулирована в терминах элементарной арифметики, которая является частью коммутативной алгебры, но ее доказательство включает глубокие результаты как алгебраической теории чисел, так и алгебраической геометрии.

Некоммутативные кольца сильно отличаются по своему вкусу, поскольку могут возникнуть более необычное поведение. Хотя теория развивалась сама по себе, относительно недавняя тенденция была направлена на параллельное развитие коммутативности путем построения теории некоторых классов некоммутативных колец геометрическим способом, как если бы они были кольцами функций на ( несуществующие) 'некоммутативные пространства'. Эта тенденция началась в 1980-х годах с развития некоммутативной геометрии и открытия квантовых групп. Это привело к лучшему пониманию некоммутативных колец, особенно некоммутативных нётеровых колец.

Для определения кольца, основных понятий и их свойств см. кольцо (математика). Определения терминов, используемых в теории колец, можно найти в глоссарии теории колец.

Содержание

1 Коммутативные кольца
- 1.1 Алгебраическая геометрия
2 Некоммутативные кольца
- 2.1 Теория представлений
3 Некоторые релевантные теоремы
4 Структуры и инварианты колец
- 4.1 Размерность коммутативного кольца
- 4.2 Эквивалентность Морита
- 4.3 Конечно порожденный проективный модуль над кольцом и группа Пикара
- 4.4 Структура некоммутативного кольца кольца
5 Приложения
- 5.1 Кольцо целых чисел числового поля
- 5.2 Координатное кольцо алгебраического многообразия
- 5.3 Кольцо инвариантов
6 История
7 Примечания
8 Ссылки

Коммутативные кольца

Кольцо называется коммутативным, если его умножение коммутативно. Коммутативные кольца напоминают знакомые системы счисления, и различные определения коммутативных колец предназначены для формализации свойств целых чисел. Коммутативные кольца также важны в алгебраической геометрии. В теории коммутативных колец числа часто заменяются идеалами , а определение простого идеала пытается уловить суть простых чисел. Целочисленные области, нетривиальные коммутативные кольца, в которых никакие два ненулевых элемента не умножаются, чтобы дать ноль, обобщают другое свойство целых чисел и служат надлежащей областью для изучения делимости. Области главных идеалов - это целостные области, в которых каждый идеал может быть создан одним элементом, а другое свойство разделяется целыми числами. Евклидовы области - это целостные области, в которых может выполняться алгоритм Евклида. Важные примеры коммутативных колец могут быть построены как кольца из многочленов и их фактор-колец. Резюме: Евклидова область =>главная идеальная область =>уникальная область факторизации =>целостная область =>коммутативное кольцо.

Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия во многих отношениях является зеркальным отражением коммутативной алгебры. Это соответствие началось с Nullstellensatz Гильберта, который устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками алгебраического многообразия и максимальными идеалами его координатное кольцо. Это соответствие было расширено и систематизировано для перевода (и доказательства) большинства геометрических свойств алгебраических многообразий в алгебраические свойства ассоциированных коммутативных колец. Александр Гротендик завершил это, введя схемы, обобщение алгебраических многообразий, которые могут быть построены из любого коммутативного кольца. Точнее, спектр коммутативного кольца - это пространство его первичных идеалов, снабженное топологией Зарисского и дополненное пучком колец. Эти объекты представляют собой «аффинные схемы» (обобщение аффинных многообразий ), и общая схема затем получается путем «склеивания вместе» (чисто алгебраическими методами) нескольких таких аффинных схем по аналогии со способом построение многообразия путем склейки диаграмм атласа .

Некоммутативные кольца

Некоммутативные кольца напоминают кольца матриц в во многом. Следуя модели алгебраической геометрии, недавно были предприняты попытки определить некоммутативную геометрию на основе некоммутативных колец. Некоммутативные кольца и ассоциативные алгебры (кольца, которые также являются векторными пространствами ) часто изучаются с помощью их категорий модулей. Модуль над кольцом - это абелева группа, на которой кольцо действует как кольцо эндоморфизмов, что очень похоже на то, как поля (области целостности, в которых каждый ненулевой элемент обратим) действуют на векторные пространства. Примеры некоммутативных колец представлены кольцами квадратных матриц или, в более общем смысле, кольцами эндоморфизмов абелевых групп или модулей, а также моноидными кольцами.

Теория представлений

Теория представлений это раздел математики, который в значительной степени опирается на некоммутативные кольца. Он изучает абстрактные алгебраические структуры, представляя их элементы как линейные преобразования векторных пространств , и изучает модули над этими абстрактными алгебраическими структурами. По сути, представление делает абстрактный алгебраический объект более конкретным, описывая его элементы с помощью матриц и алгебраических операций в терминах сложения матриц и матрицы. умножение, которое некоммутативно. Алгебраические объекты, поддающиеся такому описанию, включают группы, ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Наиболее известной из них (и исторически первой) является теория представления групп , в которой элементы группы представлены обратимыми матрицами таким образом, что групповая операция представляет собой матричное умножение.

Некоторые релевантные теоремы

Общие

Структурные теоремы

Теорема Артина – Веддерберна определяет структуру полупростых колец
Теорема плотности Джекобсона определяет структуру примитивных колец
Теорема Голди определяет структуру полупростого Кольца Голди
Теорема Зариски – Самуэля определяет структуру коммутативного кольца главных идеалов
Теорема Хопкинса – Левицки дает необходимые и достаточные условия для Нётерово кольцо должно быть артиновым кольцом
Теория Мориты состоит из теорем, определяющих, когда два кольца имеют «эквивалентные» категории модулей
Теорема Картана – Брауэра – Хуа дает понимание о структуре тел
Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что конечные домены являются полями

Другое

Теорема Сколема – Нётер характеризует автоморфизмы простых колец

Структуры и инварианты колец

Размерность коммутативного кольца

Размерность Крулля коммутативного кольцо R является супремумом длин n всех возрастающих цепочек простых идеалов $p 0 ⊊ p 1 ⊊ ⋯ ⊊ pn {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq {\ mathfrak {p }} _ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {n}}$ ${\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {n}$ . Например, кольцо многочленов $k [t 1, ⋯, tn] {\ displaystyle k [t_ {1}, \ cdots, t_ {n}]}$ $k [t_ {1}, \ cdots, t_ {n}]$ над полем k имеет размерность n. Фундаментальная теорема теории размерности утверждает, что следующие числа совпадают для нетерова локального кольца $(R, m) {\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}})}$ $(R, {\ mathfrak { m}})$ :

Размерность Крулля кольца R.
Минимальное количество образующих $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ -первичных идеалов.
Размер градуированного кольца $гр м ⁡ (R) знак равно ⊕ К ≥ 0 mk / mk + 1 {\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {\ mathfrak {m}} (R) = \ oplus _ {k \ geq 0} {\ mathfrak {m}} ^ {k} / {{\ mathfrak {m}} ^ {k + 1}}}$ $\ operatorname { gr} _ {\ mathfrak {m}} (R) = \ oplus _ {k \ geq 0} {\ mathfrak {m}} ^ {k} / {{\ mathfrak {m}} ^ {k + 1}}$ (эквивалентно, единица плюс степень его многочлена Гильберта ).

A коммутативное кольцо R называется цепной связью, если любая пара простых идеалов $p ⊂ p ′ {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ subset {\ mathfrak {p}} '}$ ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'$ может быть расширен до цепочки простых идеалов $p = p 0 ⊊ ⋯ ⊊ pn = p ′ {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {n} = {\ mathfrak {p}} '}$ ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'$ такой же конечной длины, что не существует простого идеала at строго содержится в двух последовательных сроках. Практически все нётеровые кольца, которые появляются в приложении, являются цепными. Если $(R, m) {\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}})}$ $(R, {\ mathfrak { m}})$ является цепной локальной областью целостности, то по определению

dim ⁡ R = ht ⁡ п + dim ⁡ R / p {\ displaystyle \ operatorname {dim} R = \ operatorname {ht} {\ mathfrak {p}} + \ operatorname {dim} R / {\ mathfrak {p}}}

\ operatorname {dim } R = \ operatorname {ht} {\ mathfrak {p}} + \ operatorname {dim} R / {\ mathfrak {p}}

где $ht ⁡ p = dim ⁡ R p {\ displaystyle \ operatorname {ht} {\ mathfrak {p}} = \ operatorname {dim} R _ {\ mathfrak {p}}}$ $\ OperatorName {ht} {\ mathf rak {p}} = \ operatorname {dim} R _ {\ mathfrak {p}}$ - это высота из $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ . Глубоко верно и обратное.

Если R - область целостности, которая является конечно порожденной k-алгеброй, то ее размерность равна степени трансцендентности ее поля дробей. над k. Если S является интегральным расширением коммутативного кольца R, то S и R имеют одинаковую размерность.

Тесно связанные понятия - глубина и глобальное измерение. В общем, если R - нетерово локальное кольцо, то глубина R меньше или равна размерности R. Когда выполняется равенство, R называется кольцом Коэна – Маколея. регулярное локальное кольцо является примером кольца Коэна – Маколея. Теорема Серра гласит, что R является регулярным локальным кольцом тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность, и в этом случае глобальная размерность является размерностью Крулля для R. Значение этого состоит в том, что глобальная размерность - это гомологическое понятие.

Эквивалентность Мориты

Два кольца R, S называются эквивалентными по Морите, если категория левых модулей над R эквивалентна категории левых модулей над S. Фактически, два коммутативных кольца, эквивалентных Морите, должны быть изоморфны, так что это понятие не добавляет ничего нового в категорию коммутативных колец. Однако коммутативные кольца могут быть эквивалентны по Морите некоммутативным кольцам, поэтому эквивалентность по Морите более грубая, чем изоморфизм. Эквивалентность Морита особенно важна в алгебраической топологии и функциональном анализе.

Конечно порожденный проективный модуль над кольцом и группой Пикара

Пусть R коммутативное кольцо и $P (R) {\ displaystyle \ mathbf {P} (R)}$ $\ mathbf {P} (R)$ множество классов изоморфизма конечно порожденных проективных модулей над R; пусть также $P n (R) {\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} (R)}$ $\ mathbf {P} _ {n} (R)$ подмножества, состоящие из подмножеств с постоянным рангом n. (Ранг модуля M - это непрерывная функция $Spec ⁡ R → Z, p ↦ dim ⁡ M ⊗ R k (p) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} R \ to \ mathbb {Z}, \, {\ mathfrak {p}} \ mapsto \ dim M \ otimes _ {R} k ({\ mathfrak {p}})}$ $\ operatorname {Spec} R \ to \ mathbb {Z}, \, {\ mathfrak {p}} \ mapsto \ dim M \ otimes _ {R} k ({\ mathfrak {p}})$ .) $P 1 (R) {\ displaystyle \ mathbf {P} _ {1} (R)}$ $\ mathbf {P} _ {1} (R)$ обычно обозначается Pic (R). Это абелева группа, называемая группой Пикара группы R. Если R является областью целостности с полем частных F группы R, то существует точная последовательность групп:

1 → R ∗ → F * → е ↦ е R тележка ⁡ (R) → Pic ⁡ (R) → 1 {\ displaystyle 1 \ to R ^ {*} \ to F ^ {*} {\ overset {f \ mapsto fR} {\ to }} \ operatorname {Cart} (R) \ to \ operatorname {Pic} (R) \ to 1}

1 \ to R ^ {*} \ to F ^ {*} {\ переустановить {f \ mapsto fR} {\ to}} \ operatorname {Cart} (R) \ to \ operatorname {Pic} (R) \ to 1

, где $Cart ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Cart} (R)}$ $\ operatorname {Cart} (R)$ - это набор дробных идеалов кольца R. Если R - регулярная область (т. Е. Регулярная в любом простом идеале), то Pic (R) в точности является группа классов дивизоров группы R.

Например, если R является областью главных идеалов, то Pic (R) обращается в нуль. В алгебраической теории чисел R будет считаться кольцом целых чисел, которое является дедекиндовым и, следовательно, правильным. Отсюда следует, что Pic (R) - это конечная группа (конечность класса ), которая измеряет отклонение кольца целых чисел от PID.

Можно также рассмотреть завершение группы из $P (R) {\ displaystyle \ mathbf {P} (R)}$ $\ mathbf {P} (R)$ ; это приводит к коммутативному кольцу K 0 (R). Обратите внимание, что K 0 (R) = K 0 (S), если два коммутативных кольца R, S эквивалентны по Морите.

Структура некоммутативных колец

Структура некоммутативного кольца сложнее, чем у коммутативного кольца. Например, существуют простые кольца, не содержащие нетривиальных собственных (двусторонних) идеалов, которые содержат нетривиальные собственные левые или правые идеалы. Для коммутативных колец существуют различные инварианты, в то время как инварианты некоммутативных колец найти сложно. Например, нильрадикал кольца, набор всех нильпотентных элементов, не обязательно должен быть идеалом, если кольцо не коммутативно. В частности, набор всех нильпотентных элементов в кольце всех матриц размера n x n над телом никогда не образует идеала, независимо от выбранного тела. Однако существуют аналоги нильрадикала, определенного для некоммутативных колец, которые совпадают с нильрадикалом, когда предполагается коммутативность.

Понятие радикала Джекобсона кольца; то есть пересечение всех правых / левых аннигиляторов простых правых / левых модулей над кольцом является одним из примеров. Тот факт, что радикал Джекобсона можно рассматривать как пересечение всех максимальных правых / левых идеалов в кольце, показывает, как внутренняя структура кольца отражается его модулями. Также факт, что пересечение всех максимальных правых идеалов в кольце совпадает с пересечением всех максимальных левых идеалов в кольце в контексте всех колец; будь то коммутативные или некоммутативные.

Некоммутативные кольца служат активной областью исследований из-за их повсеместного распространения в математике. Например, кольцо матриц размером n на n над полем является некоммутативным, несмотря на его естественное появление в геометрии, физике и во многих частях математики. В более общем смысле кольца эндоморфизмов абелевых групп редко бывают коммутативными, простейшим примером является кольцо эндоморфизмов четырехгруппы Клейна.

Одним из наиболее известных некоммутативных колец является тело кватернионы.

Приложения

Кольцо целых чисел числового поля

Координатное кольцо алгебраического многообразия

Если X - аффинное алгебраическое многообразие, то множество всех регулярных функций на X образует кольцо, называемое координатным кольцом X. Для проективного многообразия существует аналогичное кольцо, называемое однородное координатное кольцо. Эти кольца, по сути, то же самое, что и разновидности: они соответствуют уникальным образом. Это можно увидеть либо с помощью Nullstellensatz Гильберта, либо с помощью теоретико-схемных конструкций (например, Spec и Proj).

Кольцо инвариантов

Основной (и, возможно, самый фундаментальный) вопрос классической теории инвариантов состоит в том, чтобы найти и изучить многочлены в кольце многочленов $k [V] {\ displaystyle k [V]}$ $k [V]$ , которые инвариантны относительно действия конечной группы (или, в более общем смысле, редуктивной) G на V. Основным примером является кольцо симметричных многочленов : симметричные многочлены - это многочлены, которые инвариантны относительно перестановки переменной. фундаментальная теорема симметричных многочленов гласит, что это кольцо $R [σ 1,…, σ n] {\ displaystyle R [\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n }]}$ $R [\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n}]$ где $σ i {\ displaystyle \ sigma _ {i}}$ $\ sigma _ { i}$ - элементарные симметричные многочлены.

История

Коммутативная теория колец возникла из теории алгебраических чисел, алгебраической геометрии и теории инвариантов. Центральное место в развитии этих предметов занимали кольца целых чисел в полях алгебраических чисел и полях алгебраических функций, а также кольца полиномов от двух или более переменных. Некоммутативная теория колец началась с попыток распространить комплексные числа на различные системы гиперкомплексных чисел. Возникновение теорий коммутативных и некоммутативных колец восходит к началу XIX века, а их зрелость наступила только в третьем десятилетии XX века.

Точнее, Уильям Роуэн Гамильтон выдвинул кватернионы и бикватернионы ; Джеймс Кокл представил тессарины и кокватернионы ; и Уильям Кингдон Клиффорд был энтузиастом сплит-бикватернионов, которые он назвал алгебраическими двигателями. Эти некоммутативные алгебры и неассоциативные алгебры Ли изучались в рамках универсальной алгебры до того, как предмет был разделен на конкретные математические структуры типов. Одним из признаков реорганизации было использование прямых сумм для описания алгебраической структуры.

Различные гиперкомплексные числа были идентифицированы с помощью матричных колец Джозефом Веддерберном (1908) и Эмилем Артином (1928). Структурные теоремы Веддерберна были сформулированы для конечномерных алгебр над полем, в то время как Артин обобщил их на артиновы кольца.

. В 1920 г. Эмми Нётер в сотрудничестве с У. Шмайдлером, опубликовал статью о теории идеалов, в которой они определили левый и правый идеалы в кольце. В следующем году она опубликовала знаменательную статью под названием Idealtheorie in Ringbereichen, в которой проанализировала условия восходящей цепи в отношении (математических) идеалов. Известный алгебраист Ирвинг Каплански назвал эту работу «революционной»; публикация дала начало термину «нётерианское кольцо », а несколько других математических объектов были названы нётерановым.

Примечания

Ссылки

Allenby, RBJT (1991), Кольца, поля и группы (Второе изд.), Эдвард Арнольд, Лондон, стр. xxvi + 383, ISBN 0-7131-3476-3, MR 1144518
Blyth, T.S.; Робертсон, EF (1985), Группы, кольца и поля: Алгебра через практику, Книга 3, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27288-2
Вера, Карл (1999), Кольца и вещи и прекрасный массив ассоциативной алгебры двадцатого века, Математические обзоры и монографии, 65, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0993-8, MR 1657671
Гударл, КР; Warfield, RB, Jr. (1989), An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, London Mathematical Society Student Texts, 16, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-36086-2, MR 1020298
Джадсон, Томас У. (1997), Абстрактная алгебра: теория и приложения
Кимберлинг, Кларк (1981), «Эмми Нётер и ее влияние», Брюэр, Джеймс В. Смит, Марта К. (ред.), Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе, Марсель Деккер, стр. 3–61
Лам, Т.Й. (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике, 189, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8, ISBN 0-387-98428-3, MR 1653294
Лам, TY (2001), Первый курс некоммутативных колец, Тексты для выпускников по математике, 131 (Второе изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439
Лам, Т.Й. (2003), Упражнения по классической теории колец, Проблемные книги по математике (второе издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-00500-5, MR 2003255
Мацумура, Хидеюки (1980), Коммутативная алгебра, Серия лекций по математике, 56 (Второе изд.), Рединг, Массачусетс: Бенджамин Каммингс, ISBN 0-8053-7026-9, MR 0575344
McConnell, JC; Робсон, Дж. К. (2001), Некоммутативные нётеровские кольца, Исследования в области математики, 30, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, doi : 10,1090 / г / м2 / 030, ISBN 0-8218-2169-5, MR 1811901
О'Коннор, JJ; Робертсон, EF (сентябрь 2004 г.), «Развитие теории колец», MacTutor History of Mathematics Archive
Пирс, Ричард С. (1982), Ассоциативные алгебры, Тексты для выпускников по математике, 88, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90693-2, MR 0674652
Роуэн, Луи Х. (1988), Теория колец, т. I, Чистая и прикладная математика, 127, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 0-12-599841-4, MR 0940245. Vol. II, Чистая и прикладная математика 128, ISBN 0-12-599842-2.
Вейбел, Чарльз А. (2013), K-book: Введение в алгебраическую K-теорию, аспирантуру по математике, 145, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-9132-2, MR 3076731