Нётеровское кольцо

редактировать

Математическое кольцо с хорошими идеалами

В математике, точнее в этой области абстрактной алгебры, известной как теория колец, нётерово кольцо - это кольцо, которое удовлетворяет условию возрастающей цепи слева и справа идеалы ; то есть для любой возрастающей последовательности левых (или правых) идеалов:

I 1 ⊆ ⋯ ⊆ I k - 1 ⊆ I k ⊆ I k + 1 ⊆ ⋯, {\ displaystyle I_ {1} \ substeq \ cdots \ substeq I_ {k-1} \ substeq I_ {k} \ substeq I_ {k + 1} \ substeq \ cdots,}

{\ displaystyle I_ {1} \ substeq \ cdots \ substeq I_ {k-1} \ substeq I_ {k} \ substeq I_ {k + 1} \ substeq \ cdots,}

существует натуральное число n такое, что:

I n = I n + 1 = ⋯. {\ displaystyle I_ {n} = I_ {n + 1} = \ cdots.}

I_ {n} = I_ {n + 1} = \ cdots.

Нётерские кольца названы в честь Эмми Нётер.

Понятие нётерского кольца имеет фундаментальное значение в обоих коммутативная и некоммутативная теория колец из-за той роли, которую она играет в упрощении идеальной структуры кольца. Например, кольцо целых чисел и кольцо многочленов над полем оба являются нётеровыми кольцами, и, следовательно, такие теоремы, как Ласкера – Нётер Для них справедливы теорема, теорема Крулля и базисная теорема Гильберта. Кроме того, если кольцо нётерово, то оно удовлетворяет условию убывающей цепочки на простых идеалах. Это свойство предлагает глубокую теорию размерности нётеровых колец, начиная с понятия размерности Крулля.

Содержание

1 Характеристики
2 Свойства
3 Примеры
4 Ключевые теоремы
- 4.1 Коммутативный регистр
- 4.2 Некоммутативный регистр
5 Значение для инъективных модулей
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Характеристики

Для некоммутативных колец необходимо различать три очень похожих понятия:

Кольцо является левоэтеровым, если оно удовлетворяет условию возрастающей цепи на левых идеалах.
Кольцо является право-нётеровым, если оно удовлетворяет условию восходящей цепочки на правых идеалах.
Кольцо нётерово, если оно одновременно и лево, и Право-нетерово.

Для коммутативных колец все три понятия совпадают, но в целом они разные. Есть кольца, которые нётеровы слева, а не справа, и наоборот.

Существуют другие, эквивалентные определения кольца R, которое должно быть лево-нётеровым:

Каждый левый идеал I в R конечно порожден, т.е. существуют элементы $a 1,…, {\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$ в I такое, что $I = R a 1 + ⋯ + R an {\ displaystyle I = Ra_ {1} + \ cdots + Ra_ {n}}$ ${\ displaystyle I = Ra_ {1} + \ cdots + Ra_ {n}}$ .
Каждый непустой набор левых идеалов R, частично упорядоченный включением, имеет максимальный элемент.

Аналогичные результаты справедливы для право-нётеровых колец.

Следующее условие также является эквивалентным условием для того, чтобы кольцо R было нётеровым слева, и это оригинальная формулировка Гильберта:

Дана последовательность $f 1, f 2,… {\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots}$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots}$ элементов в R, существует целое число $n {\ displaystyle n}$ $n$ такое, что каждый $fi { \ displaystyle f_ {i}}$ $f_ {i}$ - конечная линейная комбинация $fi = ∑ j = 1 nrjfj {\ textstyle f_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} r_ { j} f_ {j}}$ ${\ textstyle f_ {я} = \ сумма _ {j = 1} ^ {n} r_ {j} f_ {j}}$ с коэффициентами $rj {\ displaystyle r_ {j}}$ $r_j$ in R.

Чтобы коммутативное кольцо было нётеровым, достаточно, чтобы каждое простой идеал кольца конечно порожден.

Свойства

Если R - нётерово кольцо, то кольцо полиномов $R [X] {\ displaystyle R [X] }$ $R [X]$ является нётеровым по теореме Гильберта о базисе. По индукции $R [X 1,…, X n] {\ displaystyle R [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ ${\ displaystyle R [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ является нётеровым кольцом. Кроме того, R [[X]], кольцо степенных рядов является нётеровым кольцом.
Если R - нётерово кольцо, а I - двусторонний идеал, то фактор-кольцо R / I также нётерово. Иными словами, образ любого сюръективного кольцевого гомоморфизма нётерова кольца является нётеровым.
Всякая конечно порождённая коммутативная алгебра над коммутативным нётеровым кольцом нётерова. (Это следует из двух предыдущих свойств.)
Кольцо R является нётеровым слева тогда и только тогда, когда каждый конечно порождённый левый R-модуль является нётеровым модулем.
Если коммутативное кольцо допускает точный нётеров модуль над ним, то кольцо является нётеровым кольцом.
(Икин – Нагата ) Если кольцо A является подкольцом коммутативного нётерова кольца B, такое что B - конечно порожденный модуль над A, то A - нётерово кольцо.
Аналогично, если кольцо A является подкольцом коммутативного нётерова кольца B такое, что B точно плоский над A (или, в более общем смысле, показывает A как чистое подкольцо ), тогда A - нётерово кольцо (см. «полностью плоскую» статью для обоснования).
Каждая локализация коммутативного нётерова кольца нётерово.
Следствием теоремы Акизуки-Хопкинса-Левицки является то, что каждое левое артиново кольцо является нётеровым слева. Другое следствие состоит в том, что артиново слева кольцо нётерово справа тогда и только тогда, когда артиново справа. Аналогичные утверждения с заменой «правого» и «левого» также верны.
Левое нётеровское кольцо является левым связным, а левое нётеровское кольцо доменом является левым Область Оре.
(Бас) Кольцо является (левым / правым) нётеровым тогда и только тогда, когда каждая прямая сумма инъективных (левых / правых) модулей инъективна. Каждый левый инъективный модуль над левым нётеровым модулем может быть разложен как прямая сумма неразложимых инъективных модулей.
В коммутативном нётеровом кольце существует только конечное число минимальных первичных идеалов.. Кроме того, условие нисходящей цепочки выполняется для простых идеалов.
В коммутативной нётеровой области R каждый элемент может быть разложен на неприводимые элементы. Таким образом, если, кроме того, неприводимые элементы являются простыми элементами, то R является областью уникальной факторизации.

Примеры

Любое поле, включая поля рациональных чисел, действительные числа и комплексные числа - нётерский. (Поле имеет только два идеала - само себя и (0).)
Любое кольцо главных идеалов, такое как целые числа, является нётеровым, поскольку каждый идеал порожден одним элементом. Сюда входят домены главных идеалов и евклидовы области.
A области Дедекинда (например, кольца целых чисел ) - это нётерова область, в которой каждый идеал генерируется с помощью большинство двух элементов.
Координатное кольцо аффинного многообразия является нётеровым кольцом, как следствие теоремы о базисе Гильберта.
Обертывающая алгебра U конечного -мерная алгебра Ли $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ является нётеровым кольцом как слева, так и справа; это следует из того факта, что ассоциированное градуированное кольцо U является частным от $Sym ⁡ (g) {\ displaystyle \ operatorname {Sym} ({\ mathfrak {g}})}$ $\ operatorname {Sym} ({\ mathfrak {g}})$ , что кольцо многочленов над полем; таким образом, Нётериан. По той же причине алгебра Вейля и более общие кольца дифференциальных операторов являются нётеровыми.
Кольцо многочленов от конечного числа переменных над целыми числами или поле нетерово.

Кольца, которые не являются нётерскими, обычно (в некотором смысле) очень большие. Вот несколько примеров нётеровых колец:

Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных, X 1, X 2, X 3, и т.д. Последовательность идеалов (X 1), (X 1, X 2), (X 1, X 2, X 3) и т. Д. Является восходящим и не заканчивается.
Кольцо всех целых алгебраических чисел не является нётеровым. Например, он содержит бесконечную восходящую цепочку главных идеалов: (2), (2), (2), (2),...
Кольцо непрерывных функций от действительных чисел к действительным числа не является нётеровым: пусть I n - идеал всех непрерывных функций f таких, что f (x) = 0 для всех x ≥ n. Последовательность идеалов I 0, I 1, I 2 и т. Д. Представляет собой восходящую цепочку, которая не заканчивается.
кольцо стабильных гомотопических групп сфер не является нётеровым.

Однако нётерово кольцо может быть подкольцом нётерова кольца. Поскольку любая область целостности является подкольцом поля, любая область целостности, не являющаяся нётеровой, может служить примером. Приведем менее тривиальный пример:

Кольцо рациональных функций, порожденных x и y / x над полем k, является подкольцом поля k (x, y) только с двумя переменными.

Действительно, существуют кольца, которые являются правильными нётерскими, но не левыми нётерскими, поэтому следует быть осторожным при измерении «размера» кольца таким образом. Например, если L - подгруппа в Q, изоморфная Z, пусть R - кольцо гомоморфизмов f из Q в себя, удовлетворяющее f (L) ⊂ L. Выбирая базис, мы можем описать то же кольцо R как

R = {[a β 0 γ] | a ∈ Z, β ∈ Q, γ ∈ Q}. {\ Displaystyle R = \ left \ {\ left. {\ begin {bmatrix} a \ beta \\ 0 \ gamma \ end {bmatrix}} \, \ right \ vert \, a \ in \ mathbb {Z}, \ beta \ in \ mathbb {Q}, \ gamma \ in \ mathbb {Q} \ right \}.}

R = \ left \ {\ left. {\ begin {bmatrix} a \ beta \\ 0 \ gamma \ end { bmatrix}} \, \ right \ vert \, a \ in \ mathbb {Z}, \ beta \ in \ mathbb {Q}, \ gamma \ in \ mathbb {Q} \ right \}.

Это кольцо нётерово справа, но не слева; подмножество I⊂R, состоящее из элементов с a = 0 и γ = 0, является левым идеалом, не конечно порожденным как левый R-модуль.

Если R - коммутативное подкольцо нётерова слева кольца S, и S конечно порождён как левый R-модуль, то R нётерово. (В частном случае, когда S коммутативно, это известно как теорема Икина.) Однако это неверно, если R не коммутативно: кольцо R из предыдущего абзаца является подкольцом левого нётерова кольца S = Hom (Q,Q), и S конечно порожден как левый R-модуль, но R не является нётеровым слева.

A уникальный домен факторизации не обязательно является нётеровым кольцом. Он удовлетворяет более слабому условию: условию возрастающей цепи на главных идеалах. Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных является примером нётеровой уникальной области факторизации.

A кольцо оценки не является нётеровым, если оно не является основной идеальной областью. Он дает пример кольца, которое естественно возникает в алгебраической геометрии, но не является нётеровым.

Ключевые теоремы

Многие важные теоремы в теории колец (особенно теория коммутативных колец ) основываются на предположении, что кольца нётеровы.

Коммутативный случай

Над коммутативным нётеровым кольцом каждый идеал имеет примарное разложение, что означает, что он может быть записан как пересечение конечного числа первичных идеалов (чьи радикалы все разные), где идеал Q называется первичным, если он собственный, и всякий раз, когда xy ∈ Q, либо x ∈ Q, либо y ∈ Q для некоторого натурального числа n. Например, если элемент $f = p 1 n 1 ⋯ prnr {\ displaystyle f = p_ {1} ^ {n_ {1}} \ cdots p_ {r} ^ {n_ {r}}}$ ${\ displaystyle f = p_ {1} ^ {n_ {1}} \ cdots p_ {r} ^ {n_ {r}}}$ - произведение степеней различных простых элементов, тогда $(f) = (p 1 n 1) ∩ ⋯ ∩ (prnr) {\ displaystyle (f) = (p_ {1} ^ {n_ {1) }}) \ cap \ cdots \ cap (p_ {r} ^ {n_ {r}})}$ ${\ displaystyle (f) = (p_ {1} ^ {п_ {1}}) \ cap \ cdots \ cap (p_ {r} ^ {n_ {r}})}$ и, таким образом, первичное разложение является прямым обобщением факторизации на простые множители целых чисел и многочленов.
Нётерово кольцо определяется в терминах восходящих цепочек идеалов. Лемма Артина – Риса, с другой стороны, дает некоторую информацию о нисходящей цепочке идеалов, задаваемой степенями идеалов $I ⊇ I 2 ⊇ I 3 ⊇ ⋯ {\ displaystyle I \ supseteq I ^ {2} \ supseteq I ^ {3} \ supseteq \ cdots}$ ${\ displaystyle I \ supseteq I ^ {2} \ supseteq I ^ {3} \ supseteq \ cdots}$ . Это технический инструмент, который используется для доказательства других ключевых теорем, таких как теорема Крулля о пересечении.
Теория размерности коммутативных колец плохо себя ведет над нётеровыми кольцами; самая фундаментальная теорема, основная теорема Крулля, уже опирается на «нётеровское» предположение. На самом деле здесь «нётерского» предположения часто недостаточно, и вместо него часто используются (нётеровы) универсальные цепные кольца, удовлетворяющие определенному предположению теории размерности. Нётеровы кольца, появляющиеся в приложениях, в большинстве своем являются универсальными цепными.

Некоммутативный случай

Теорема Голди

Последствия для инъективных модулей

Для кольца существует тесная связь между поведением инъективные модули над кольцом и независимо от того, является ли кольцо нётеровым кольцом или нет. А именно, для данного кольца R следующие условия эквивалентны:

R - нётерово левое кольцо.
(Басс) Каждая прямая сумма инъективных левых R-модулей инъективна.
Каждая инъективный левый R-модуль представляет собой прямую сумму неразложимых инъективных модулей.
(Faith – Walker) Существует кардинальное число $c {\ displaystyle { \ mathfrak {c}}}$ ${\ mathfrak {c}}$ такой, что каждый инъективный левый модуль над R представляет собой прямую сумму $c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathfrak {c}}$ -генерированных модулей (модуль генерируется $c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathfrak {c}}$ , если он имеет генераторную установку мощности не более $c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathfrak {c}}$ ).
Существует левый R-модуль H такой, что каждый левый R-модуль вкладывается в прямую сумму копий H.

Кольцо эндоморфизмов неразложимого инъективного модуля локально и таким образом, теорема Адзумая утверждает, что над нётеровым слева кольцом каждое неразложимое разложение инъективного модуля эквивалентно друг друга (вариант теоремы Крулля – Шмидта ).

См. Также

Примечания

Ссылки

Андерсон, Фрэнк У.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей, Graduate Texts in Mathematics, 13(2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
Николас Бурбаки, Коммутативная алгебра
Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии. Тексты для выпускников по математике. 150 . Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
Форманек, Эдвард ; Джатегаонкар, Арун Винаяк (1974). "Подкольца нётеровых колец". Труды Американского математического общества. 46(2): 181–186. doi : 10.2307 / 2039890.
Хотта, Риоши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тошиюки (2008), D-модули, извращенные пучки и теория представлений, Progress in Mathematics, 236, Birkhäuser, doi : 10.1007 / 978-0-8176 -4523-6, ISBN 978-0-8176-4363-8, MR 2357361, Zbl 1292.00026
Лам, Цит Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец. Тексты для выпускников по математике. 131 (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 19. DOI : 10.1007 / 978-1-4419-8616-0. ISBN 0387951830. MR 1838439.
Глава X из Лэнг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон -Уэсли, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец, Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6

Внешние ссылки

, Энциклопедия of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]