Радикал Джекобсона

В математике, более конкретно теории колец, радикал Джекобсона кольца R - это идеал, состоящий из тех элементов в R, которые аннигилируют все простые правые R- модули.. Бывает, что замена «левого» на «правый» в определении дает тот же идеал, и поэтому это понятие симметрично влево-вправо. Радикал Джекобсона кольца часто обозначают J (R) или rad (R); в этой статье будет предпочтительнее первое обозначение, так как оно позволяет избежать путаницы с другими радикалами кольца. Радикал Джейкобсона назван в честь Натана Якобсона, который первым изучил его для произвольных колец в (Jacobson 1945).

Радикал Джекобсона кольца имеет множество внутренних характеристик, включая несколько определений, которые успешно распространяют это понятие на кольца без единства. Радикал модуля расширяет определение радикала Джекобсона, добавляя модули. Радикал Джекобсона играет важную роль во многих результатах теории колец и модулей, таких как лемма Накаямы.

• 1 Интуитивное обсуждение
• 2 Эквивалентные характеристики
• 3 Примеры
• 4 Свойства
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Как и в случае других радикалов колец, радикал Джекобсона может быть рассмотрен как набор «плохих» элементов. В этом случае «плохим» свойством является то, что эти элементы уничтожают все простые левый и правый модули кольца. Для сравнения рассмотрим нильрадикал в коммутативном кольце, которое состоит из всех элементов, нильпотентных. Фактически для любого кольца нильпотентные элементы в центре кольца также находятся в радикале Джекобсона. Итак, для коммутативных колец нильрадикал содержится в радикале Джекобсона.

Радикал Джекобсона очень похож на нильрадикал в интуитивном смысле. Более слабое представление о том, что быть плохим, более слабым, чем быть делителем нуля, - это быть неединичным (не обратимым при умножении). Радикал Джекобсона кольца состоит из элементов, которые удовлетворяют более сильному свойству, чем просто неединичность - в некотором смысле член радикала Джекобсона не должен «действовать как единое целое» в любом модуле » внутри кольца ". Точнее, член радикала Джекобсона должен проецироваться в соответствии с каноническим гомоморфизмом в ноль каждого «правого тела» (каждый ненулевой элемент которого имеет правый обратный ) внутри рассматриваемого кольца. Короче говоря, он должен принадлежать каждому максимальному правому идеалу кольца. Эти понятия, конечно, неточны, но по крайней мере объясняют, почему нильрадикал коммутативного кольца содержится в радикале Джекобсона кольца.

Еще более простым способом, мы можем рассматривать радикал Джекобсона кольца как метод «исправления плохих элементов кольца» - то есть члены радикала Джекобсона действуют как 0 в кольцо частных, R / J (R). Если N - нильрадикал коммутативного кольца R, то фактор-кольцо R / N не имеет нильпотентных элементов. Аналогично для любого кольца R факторкольцо имеет J (R / J (R)) = {0}, и поэтому все «плохие» элементы в радикале Джекобсона были удалены путем модификации J (R). Элементы радикала Джекобсона и нильрадикала могут поэтому рассматриваться как обобщения 0.

Радикал Джекобсона кольца имеет различные внутренние и внешние характеристики. Следующие эквиваленты встречаются во многих текстах по некоммутативной алгебре, например (Anderson 1992, §15) harv error: no target: CITEREFAnderson1992 (help ), (Isaacs 1994, §13B) ошибка harv: нет цели: CITEREFIsaacs1994 (help ) и (Lam 2001, Ch 2).

Ниже приведены эквивалентные характеризации радикала Джекобсона в кольцах с единицей (характеристики для колец без единицы приводятся сразу после):

• J (R) равно пересечению всех максимальных правых идеалов кольца. Эквивалентность вытекает из того факта, что для всех максимальных правых идеалов M, R / M является простым правым R-модулем и что фактически все простые правые R-модули изоморфны одному из этих типов посредством отображения из R в S, заданного на r ↦xr для любой образующей x кольца S. Также верно, что J (R) равно пересечению всех максимальных левых идеалов внутри кольца. Эти характеризации являются внутренними по отношению к кольцу, так как нужно только найти максимальные правые идеалы кольца. Например, если кольцо локально и имеет единственный максимальный правый идеал, то этот единственный максимальный правый идеал - это в точности J (R). Максимальные идеалы в определенном смысле искать легче, чем аннигиляторы модулей. Однако эта характеристика недостаточна, потому что она не оказывается полезной при вычислительной работе с J (R). Лево-правая симметрия этих двух определений примечательна и имеет различные интересные следствия. Эта симметрия контрастирует с отсутствием симметрии в цоколях кольца R, поскольку может случиться так, что soc (R R) не равно soc (R R). Если R - некоммутативное кольцо, J (R) не обязательно равно пересечению всех максимальных двусторонних идеалов кольца R. Например, если V - счетная прямая сумма копий поля k и R = End (V) (кольцо эндоморфизмов V как k-модуля), тогда J (R) = 0, поскольку R, как известно, регулярный по фон Нейману, но существует ровно один максимальный двусторонний идеал в R, состоящий из эндоморфизмов с конечномерным образом. (Lam 2001, p. 46, Ex. 3.15)
• J (R) равно сумме всех лишних правых идеалов (или симметрично, сумме всех избыточные левые идеалы) кольца R. Сравнивая это с предыдущим определением, сумма лишних правых идеалов равна пересечению максимальных правых идеалов. Это явление отражается двояко для правого цоколя R; soc (R R) - это сумма минимальных правых идеалов и пересечение существенных правых идеалов. Фактически, эти два соотношения справедливы для радикалов и цоколей модулей в целом.
• Как определено во введении, J (R) равно пересечению всех аннигиляторов из простых правые R-модули, однако также верно, что это пересечение аннигиляторов простых левых модулей. Идеал, который является аннулятором простого модуля, известен как примитивный идеал, и поэтому переформулировка этого утверждения утверждает, что радикал Джекобсона является пересечением всех примитивных идеалов. Эта характеризация полезна при изучении модулей над кольцами. Например, если U - правый R-модуль, а V - максимальный подмодуль в U, U · J (R) содержится в V, где U · J (R) обозначает все произведения элементов из J (R) («скаляров») с элементами из U, справа. Это следует из того факта, что фактормодуль U / V прост и, следовательно, аннигилируется с помощью J (R).
• J (R) - единственный правый идеал R, максимальный, со свойством что каждый элемент правый квазирегулярный (или эквивалентно левый квазирегулярный). Эта характеристика радикала Джекобсона полезна как с точки зрения вычислений, так и с точки зрения интуиции. Кроме того, эта характеризация полезна при изучении модулей над кольцом. Лемма Накаямы, пожалуй, самый известный пример этого. Хотя каждый элемент J (R) обязательно квазирегулярный, не каждый квазирегулярный элемент обязательно является членом J (R).
• Хотя не каждый квазирегулярный элемент находится в J (R), можно показать, что y находится в J (R) тогда и только тогда, когда xy остается квазирегулярным для всех x в R. (Lam 2001, p. 50)
• J (R) - это набор элементов x∈R таких, что каждый элемент 1 + RxR является единицей: $J\; \; (R)\; =\; \{x\; \in \; R\; \mid \; 1\; +\; R\; x\; R\; \subset \; R\; \times \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{\; J\}\; (R)\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; R\; \backslash \; mid\; 1\; +\; RxR\; \backslash \; subset\; R\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \}\}$.

Для колец без единицы это возможно для R = J (R); однако равенство J (R / J (R)) = {0} все еще выполняется. Ниже приведены эквивалентные характеристики J (R) для колец без единицы (Lam 2001, стр. 63):

• Понятие левой квазирегулярности можно обобщить следующим образом. Назовем элемент a в R левым обобщенным квазирегулярным, если существует c в R такое, что c + a-ca = 0. Тогда J (R) состоит из каждого элемента a, для которого ra является левым обобщенным квазирегулярным для всех r в R. необходимо проверить, что это определение совпадает с предыдущим квазирегулярным определением для колец с единицей.
• Для кольца без единицы определение левого простого модуля M изменяется путем добавления условия, что R • M ≠ 0. При таком понимании J (R) можно определить как пересечение всех аннуляторов простых левых R-модулей или просто R, если простых левых R-модулей нет. Кольца без единицы без простых модулей действительно существуют, и в этом случае R = J (R), и кольцо называется радикальным кольцом . Используя обобщенную квазирегулярную характеристику радикала, становится ясно, что если найти кольцо с ненулевым J (R), то J (R) будет радикальным кольцом, если рассматривать его как кольцо без единицы.

• Кольца, для которых J (R) равно {0}, называются полупримитивными кольцами или иногда «полупростыми кольцами Джекобсона». Радикал Джекобсона любого поля, любого регулярного кольца фон Неймана и любого левого или правого примитивного кольца равен {0}. Радикал Джекобсона целых чисел равен {0}.
• Радикал Джекобсона кольца Z / 12 Z равен 6 Z / 12 Z, который является пересечением максимальных идеалов 2 Z / 12 Z и 3 Z / 12 Z.
• Если K - поле, а R - кольцо всех верхнетреугольных матриц размера n на n с элементами в K, то J (R) состоит из всех верхнетреугольных матриц с нулями на главной диагонали.
• Если K - поле и R = K [[X 1,..., X n ]] - кольцо формальных степенных рядов, тогда J (R) состоит из тех степенных рядов, постоянный член которых равен нулю. В более общем смысле радикал Джекобсона каждого локального кольца является единственным максимальным идеалом кольца.
• Начнем с конечного ациклического колчана Γ и поля K и рассмотрим алгебру колчана K Γ (как описано в статье Колчан ). Радикал Джекобсона этого кольца порождается всеми путями в Γ длины ≥ 1.
• Радикал Джекобсона C * -алгебры равен {0}. Это следует из теоремы Гельфанда – Наймарка и того факта, что для C * -алгебры топологически неприводимое * -представление на гильбертовом пространстве алгебраически неприводимо, так что его ядро примитивный идеал в чисто алгебраическом смысле (см. спектр C * -алгебры ).

• Если R является единицей и не является тривиальным кольцом {0}, радикал Джекобсона всегда отличен от R, поскольку кольца с единицей всегда имеют максимальные правые идеалы. Однако некоторые важные теоремы и гипотезы теории колец рассматривают случай, когда J (R) = R - «Если R - ниль-кольцо (то есть каждое из его элементов нильпотентно), равно ли кольцо многочленов R [x] своему радикалу Джекобсона? "эквивалентно открытой гипотезе Кете. (Smoktunowicz 2006, с. 260, §5)
• Для любого идеала I, содержащегося в J (R),

J (R / I) = J (R) / I.

• В частности, радикал Джекобсона кольца R / J (R) равно нулю. Кольца с нулевым радикалом Джекобсона называются полупримыми Иные кольца.
• Кольцо полупростое тогда и только тогда, когда оно артиново и его радикал Джекобсона равен нулю.
• Если f: R → S является сюръективный гомоморфизм колец, то f (J (R)) ⊆ J (S).
• Если R - кольцо с единицей, а M - конечно сгенерировал левый R- модуль с J (R) M = M, тогда M = 0 (лемма Накаямы ).
• J (R) содержит все центральные нильпотентные элементы, но не содержит идемпотентных элементов, кроме 0.
• J (R) содержит каждый ниль-идеал из R. Если R левый или правый артинианский, то J (R) - нильпотентный идеал.

Его можно усилить: Если

$\{0\}\; =\; T\; 0\; \subseteq \; T\; 1\; \subseteq \; \cdots \; \subseteq \; T\; k\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{0\; \backslash \; right\; \backslash \}\; =\; T\_\; \{0\}\; \backslash \; substeq\; T\_\; \{1\}\; \backslash \; substeq\; \backslash \; dotsb\; \backslash \; substeq\; T\_\; \{k\}\; =\; R\}$

- композиционный ряд для правого R-модуля R (такой ряд обязательно существует, если R является артиновым справа, и существует подобный левый композиционный ряд, если R является артиновым слева), тогда

$(J\; (R))\; k\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\; J\; \backslash \; left\; (R\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; =\; 0\}$.

(Доказательство: поскольку множители $T\; u\; /\; T\; u\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{u\}\; /\; T\_\; \{u-1\; \}\}$- простые правые R-модули, правое умножение на любой элемент J (R) аннулирует эти множители.

Иными словами,

$(T\; u\; /\; T\; u\; -\; 1)\; \cdot \; J\; (R)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (T\_\; \{u\}\; /\; T\_\; \{u-1\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; J\; \backslash \; left\; (R\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$,

откуда

$T\; u\; \cdot \; J\; (\; R)\; \subseteq \; T\; u\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; J\; \backslash \; left\; (R\; \backslash \; right)\; \backslash \; substeq\; T\_\; \{u-1\}\}$.

Следовательно, индукция по i показывает, что все неотрицательные целые числа i и u ( для которого следующее имеет смысл) удовлетворяют

$T\; u\; \cdot \; (J\; \; (R))\; i\; \subseteq \; T\; u\; -\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; operatorname\; \{J\}\; \backslash \; left\; (R\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; ^\; \{i\}\; \backslash \; substeq\; T\_\; \{ui\}\}$.

Применение этого к u = i = k дает результат.)

Обратите внимание, однако, что в целом радикал Джекобсона не обязательно должен состоять только из нильпотентные элементы кольца.

• Если R коммутативен и конечно порожден как алгебра над полем или Z, то J (R) равно нильрадикал из R.
• Радикал Джекобсона (унитального) кольца является его наибольшим лишним правым (то есть левым) идеалом.

• подгруппа Фраттини
• Нильрадикал
• Радикал модуля
• Радикал идеала

• Андерсон, Фрэнк У.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей, Graduate Texts in Mathematics, 13(2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
• Атья, штат Миннесота; Макдональд И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Addison-Wesley Publishing Co., стр. Ix + 128, MR 0242802
• Бурбаки, Н. Математические элементы.
• Херштейн, IN (1994) [1968], Некоммутативные кольца, Математические монографии Каруса, 15, Вашингтон, округ Колумбия: Mathematical Association of America, стр. Xii + 202, ISBN 0-88385-015-X, MR 1449137 Перепечатка оригинала 1968 года; С послесловием Лэнса В. Смолла
• Айзекс И.М. (1994), Алгебра: курс для выпускников (1-е изд.), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Джейкобсон, Натан (1945), «Радикальная и полупростая для произвольных колец», American Journal of Mathematics, 67: 300–320, doi : 10.2307 / 2371731, ISSN 0002-9327, MR 0012271
• Лам, TY (2001), Первый курс в Некоммутативные кольца, Тексты для выпускников по математике, 131 (2 изд.), Springer-Verlag, стр. Xx + 385, doi : 10.1007 / 978-1-4419- 8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439
• Пирс, Ричард С. (1982), Ассоциативные алгебры, выпускник Тексты по математике, 88, Springer-Verlag, стр. xii + 436, ISBN 0-387-90693-2, MR 0674652 Исследования по истории современной науки, 9
• Смоктунович, Агата (2006), «Некоторые результаты в некоммутативной теории колец», Международный конгресс математиков, Том. II (PDF), Европейское математическое общество, стр. 259–269, ISBN 978-3-03719-022-7, MR 2275597