Артиново кольцо

редактировать

В абстрактной алгебре, Артиново кольцо (иногда кольцо Артина ) - это кольцо, которое удовлетворяет условию нисходящей цепочки на идеалах ; то есть не существует бесконечной нисходящей последовательности идеалов. Артиновы кольца названы в честь Эмиля Артина, который первым обнаружил, что условие убывающей цепи для идеалов одновременно обобщает конечные кольца и кольца, которые являются конечномерными векторными пространствами над поля. Определение артиновых колец можно переформулировать, заменив условие нисходящей цепи на эквивалентное понятие: условие минимума.

Кольцо лево артиново, если оно удовлетворяет условию нисходящей цепочки на левых идеалах, правый Артиниан, если он удовлетворяет условию нисходящей цепочки на правых идеалах, и Артиниан или двусторонний Артиниан, если он одновременно левый и правый Артиниан. Для коммутативных колец левое и правое определения совпадают, но в целом они отличны друг от друга.

Теорема Артина – Веддерберна характеризует все простые артиновы кольца как кольцо матриц над телом. Отсюда следует, что простое кольцо артиново слева тогда и только тогда, когда оно артиново справа.

То же определение и терминология могут быть применены к модулям, с заменой идеалов на подмодули.

Хотя условие нисходящей цепочки кажется двойственным условию восходящей цепочки, в кольцах это фактически более сильное условие. В частности, следствием теоремы Акизуки – Хопкинса – Левицки является то, что левое (соответственно правое) артиново кольцо автоматически является левым (соответственно правым) нётеровым кольцом. Это не верно для общих модулей; то есть артиновый модуль не обязательно должен быть нётеровым модулем.

Содержание

1 Примеры
2 Модули над артиновыми кольцами
3 Коммутативные артиновые кольца
4 Простые Артиново кольцо
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки

Примеры

область целостности является артиновой тогда и только тогда, когда она является полем.
Кольцо с конечным числом, скажем, левых идеалов остается артиновым слева. В частности, конечное кольцо (например, $Z / n Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}$ ) является левым и правым артиновым.
Пусть k - поле. Тогда $k [t] / (tn) {\ displaystyle k [t] / (t ^ {n})}$ $к [t] / (t ^ {n})$ артиново для любого положительного целого числа n.
Аналогично, $К [Икс, Y] / (Икс 2, Y 3, Икс 2) = К ⊕ К ⋅ Икс ⊕ К ⋅ Y ⊕ К ⋅ ху ⊕ К ⋅ Y 2 {\ Displaystyle к [х, y] / ( x ^ {2}, y ^ {3}, xy ^ {2}) = k \ oplus k \ cdot x \ oplus k \ cdot y \ oplus k \ cdot xy \ oplus k \ cdot y ^ {2}}$ ${\ displaystyle k [x, y] / (x ^ {2}, y ^ {3}, xy ^ {2}) = k \ oplus k \ cdot x \ oplus k \ cdot y \ oplus k \ cdot xy \ oplus k \ cdot y ^ {2}}$ - артиново кольцо с максимальным идеалом $(x, y) {\ displaystyle (x, y)}$ $(x, y)$
Если I - ненулевой идеал дедекиндовской области A, тогда $A / I {\ displaystyle A / I}$ $A / I$ является основным артиновым кольцом.
Для каждого $n ≥ 1 {\ displaystyle n \ geq 1}$ $n \ geq 1$ , полное матричное кольцо $M n (R) {\ displaystyle M_ {n} (R)}$ $M_ {n} (R)$ над левым артинианским (соответственно левым нётерским) кольцо R является артиновым слева (соответственно, нётеровым слева).

Кольцо целых чисел $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ является нётеровым кольцом, но не артиново.

Модули над артиновым кольцом

Пусть M - левый модуль над артиновым слева кольцом. Тогда следующие условия эквивалентны (теорема Хопкинса ): (i) M конечно порождено, (ii) M имеет конечную длину (т. Е. Имеет композиционный ряд ), (iii) M нетерово, (iv) M артиново.

Коммутативные артиновы кольца

Пусть A - коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие эквивалентны.

A артиново.
A - конечное произведение коммутативных артиновых локальных колец.
A / nil (A) - полупростое кольцо, где nil ( A) является нильрадикалом модуля A.
Каждый конечно порожденный модуль над A имеет конечную длину. (см. выше)
A имеет размерность Крулля ноль. (В частности, нильрадикал является радикалом Джекобсона, поскольку простые идеалы максимальны.)
$Spec ⁡ A {\ displaystyle \ operatorname {Spec} A}$ $\ operatorname {Spec} A$ конечен и дискретен.
$Spec ⁡ A {\ displaystyle \ operatorname {Spec} A}$ $\ operatorname {Spec} A$ дискретно.

Пусть k - поле и конечно порожденная k-алгебра. Тогда A артиново тогда и только тогда, когда A конечно порождена как k-модуль.

Артиново локальное кольцо полно. Фактор и локализация артинового кольца артинова.

Простое артиново кольцо

Простое артиново кольцо A является матричным кольцом над телом. В самом деле, пусть I - минимальный (ненулевой) правый идеал A. Тогда, поскольку $AI {\ displaystyle AI}$ $AI$ - двусторонний идеал, $AI = A {\ displaystyle AI = A}$ $AI = A$ , поскольку A прост. Таким образом, мы можем выбрать $ai ∈ A {\ displaystyle a_ {i} \ in A}$ $a_ {i} \ in A$ так, чтобы $1 ∈ a 1 I + ⋯ + ak I {\ displaystyle 1 \ in a_ {1} I + \ cdots + a_ {k} I}$ $1 \ дюйм a_ {1} I + \ cdots + a_ {k} I$ . Предположим, что k минимально относительно этого свойства. Рассмотрим карту правых A-модулей:

{I ⊕ k → A, (y 1,…, yk) ↦ a 1 y 1 + ⋯ + akyk {\ displaystyle {\ begin {cases} I ^ {\ oplus k} \ to A, \\ (y_ {1}, \ dots, y_ {k}) \ mapsto a_ {1} y_ {1} + \ cdots + a_ {k} y_ {k} \ end {cases}} }

{\ displaystyle {\ begin {cases} I ^ {\ oplus k} \ to A, \\ (y_ {1}, \ dots, y_ {k}) \ mapsto a_ {1} y_ {1} + \ cdots + a_ {k} y_ {k} \ end {cases}}}

Это сюръективно. Если это не инъективно, то, скажем, $a 1 y 1 = a 2 y 2 + ⋯ + akyk {\ displaystyle a_ {1} y_ {1} = a_ {2} y_ {2} + \ cdots + a_ {k} y_ {k}}$ $a_ {1} y_ {1} = a_ {2} y_ {2} + \ cdots + a_ {k} y_ {k}$ с отличным от нуля $y 1 {\ displaystyle y_ {1}}$ $y_ {1}$ . Тогда, в силу минимальности I, мы имеем: $y 1 A = I {\ displaystyle y_ {1} A = I}$ $y_ {1} A = I$ . Отсюда следует:

a 1 I = a 1 y 1 A ⊂ a 2 I + ⋯ + ak I {\ displaystyle a_ {1} I = a_ {1} y_ {1} A \ subset a_ {2} I + \ cdots + a_ {k} I}

a_ {1} I = a_ {1} y_ {1} A \ subset a_ {2} I + \ cdots + a_ {k} I

, что противоречит минимальности k. Следовательно, $I ⊕ K ≃ A {\ displaystyle I ^ {\ oplus k} \ simeq A}$ $I ^ {\ oplus k} \ simeq A$ и, следовательно, $A ≃ End A ⁡ (A) ≃ M k (End A ⁡ (I)) {\ displaystyle A \ simeq \ operatorname {End} _ {A} (A) \ simeq M_ {k} (\ operatorname {End} _ {A} (I))}$ $A \ simeq \ operatorname {End} _ {A} (A) \ simeq M_ {k} ( \ operatorname {End} _ {A} (I))$ .

См. Также

Примечания

^Теорема 20.11. из http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf
^Cohn 2003, 5.2 Упражнение 11
^Bourbaki, VIII, стр. 7 ошибка harvnb: нет цели: СИТЕРЕФ Бурбаки (справка )
^Атия и Макдональд 1969, теоремы 8.7
^Атия и Макдональд 1969, теоремы 8.5
^Атия и Макдональд 1969, Глава 8, Упражнение 2.
^Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию, Annals of Mathematics Studies, 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 144, MR 0349811, Zbl 0237.18005

Ссылки

Auslander, Maurice; Reiten, Idun; Smalø, Sverre O. (1995), Теория представлений алгебр Артина, Кембриджские исследования по высшей математике, 36, Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511623608, ISBN 978-0-521-41134-9, MR 1314422
Bourbaki, Algèbre
Charles Hopkins. Кольца с минимальным условием для левых идеалов. Ann. Of Math. (2) 40, (1939). 712–730.
Атия, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Кон, Пол Мориц (2003). Базовая алгебра: группы, кольца и поля. Springer. ISBN 978-1-85233-587-8.