Кольцо Горенштейна

редактировать

В коммутативной алгебре локальное кольцо Горенштейна является коммутативным нётеровым локальное кольцо R с конечной инъективной размерностью как R-модуль. Есть много эквивалентных условий, некоторые из них перечислены ниже, часто утверждая, что кольцо Горенштейна в некотором смысле самодуально.

Кольца Горенштейна были представлены Гротендиком на его семинаре 1961 года (опубликовано в (Hartshorne 1967)). Название происходит от свойства двойственности сингулярных плоских кривых, изученного Горенштейном (1952) (который любил утверждать, что не понимает определения кольца Горенштейна). Нульмерный случай изучался Маколеем (1934). Серр (1961) и Басс (1963) опубликовали концепцию колец Горенштейна.

Кольца Фробениуса являются некоммутативными аналогами нульмерных колец Горенштейна. Схемы Горенштейна являются геометрической версией колец Горенштейна.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений.

Универсальные цепные кольца ⊃ кольца Коэна – Маколея ⊃ кольца Горенштейна ⊃ кольца полного пересечения ⊃ регулярные локальные кольца

Содержание

1 Определения
2 Примеры
3 Свойства
4 Примечания
5 Ссылки

Определения

A Кольцо Горенштейна - это коммутативное нётерово кольцо такое, что каждая локализация в первичном идеале является локальным Горенштейном. кольцо, как определено выше. Кольцо Горенштейна - это, в частности, Коэн-Маколей.

. Одна элементарная характеристика: нётерово локальное кольцо R размерности ноль (эквивалентно, с R конечной длины в качестве R-модуль) является горенштейновым тогда и только тогда, когда Hom R (k, R) имеет размерность 1 как k-векторное пространство, где k - поле вычетов R. Эквивалентно, R имеет простой цоколь как R-модуль. В более общем смысле, нетерово локальное кольцо R является горенштейновым тогда и только тогда, когда существует регулярная последовательность a1,..., a n в максимальном идеале R такая, что фактор-кольцо R / (a 1,..., a n) - Горенштейн нулевой размерности.

Например, если R - коммутативная градуированная алгебра над полем k, такая что R имеет конечную размерность как k-векторное пространство, R = k ⊕ R 1 ⊕... ⊕ R m, то R горенштейново тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет двойственности Пуанкаре, что означает, что верхний градуированный кусок R m имеет размерность 1, и произведение R a × R m-a → R m представляет собой идеальную пару для каждого a.

Другая интерпретация свойства Горенштейна как типа двойственности для необязательно градуированных колец: для поля F коммутативная F-алгебра R конечной размерности как F-векторное пространство (следовательно, размерность нуль как кольцо) горенштейново тогда и только тогда, когда существует F-линейное отображение e: R → F такое, что симметричная билинейная форма (x, y): = e (xy) на R (как F-векторное пространство) имеет вид невырожденное.

Для коммутативного нетерова локального кольца (R, m, k) размерности Крулля n следующие условия эквивалентны:

R имеет конечную инъективную размерность как R-модуль;
R имеет инъективную d измерение n как R-модуль;
группа Ext $Ext R i ⁡ (k, R) = 0 {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}$ для i ≠ n, в то время как $Ext R n ⁡ (k, R) ≅ k; {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (k, R) \ cong k;}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (k, R) \ cong k;}$
$Ext R i ⁡ (k, R) = 0 {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ { R} ^ {i} (k, R) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}$ для некоторого i>n;
$Ext R i ⁡ (k, R) = 0 {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ { R} ^ {i} (k, R) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}$ для всех i Ext R n ⁡ (k, R) ≅ k; {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (k, R) \ cong k;} ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (k, R) \ cong k;}$
R - n-мерное кольцо Горенштейна.

Кольцо R (не обязательно коммутативное) является называется Горенштейновым, если R имеет конечную инъективную размерность и как левый R-модуль, и как правый R-модуль. Если R - локальное кольцо, то R называется локальным кольцом Горенштейна.

Примеры

Каждое локальное кольцо полного пересечения, в частности каждое регулярное локальное кольцо, является Горенштейновым.
Кольцо R = k [ x, y, z] / (x, y, xz, yz, z − xy) 0-мерное кольцо Горенштейна, которое не является полным кольцом пересечений. Более подробно: базис для R как k-векторного пространства задается следующим образом: ${1, x, y, z, z 2}. {\ displaystyle \ {1, x, y, z, z ^ {2} \}.}$ ${\ displaystyle \ {1, x, y, z, z ^ {2} \}.}$ R является горенштейновским, потому что цоколь имеет размерность 1 как k-векторное пространство, натянутое на z. В качестве альтернативы можно заметить, что R удовлетворяет двойственности Пуанкаре, если рассматривать его как градуированное кольцо с x, y, z одной степени. В заключение. R не является полным пересечением, потому что оно имеет 3 образующих и минимальный набор из 5 (не 3) отношений.

Кольцо R = k [x, y] / (x, y, xy) является 0-мерным коэновским -Кольцо Маколея, не являющееся кольцом Горенштейна. Более подробно: базис для R как k-векторного пространства задается следующим образом: ${1, x, y}. {\ displaystyle \ {1, x, y \}.}$ ${\ displaystyle \ {1, x, y \}.}$ R не является горенштейновским, потому что цоколь имеет размерность 2 (не 1) как k-векторное пространство, натянутое на x и y.

Свойства

Нётерово локальное кольцо является горенштейновым тогда и только тогда, когда его пополнение горенштейново.

канонический модуль локального горенштейновского кольца R изоморфен R. термины, из этого следует, что стандартный дуализирующий комплекс схемы Горенштейна X над полем - это просто линейное расслоение (рассматриваемое как комплекс в степени −dim (X)); это линейное расслоение называется каноническим расслоением X. Используя каноническое расслоение, двойственность Серра принимает ту же форму для схем Горенштейна, что и в случае гладкого.

В контексте градуированных колец R канонический модуль кольца Горенштейна R изоморфен R с некоторым сдвигом степени.

Для локального кольца Горенштейна (R, m, k) размерности n, Гротендик локальная двойственность принимает следующий вид. Пусть E (k) - инъективная оболочка поля вычетов k как R-модуля. Тогда для любого конечно порожденного R-модуля M и целого числа i группа локальных когомологий $H mi (M) {\ displaystyle H_ {m} ^ {i} (M)}$ ${\ displaystyle H_ {m} ^ {i} (M)}$ является двойным по отношению к $Ext R n - i ⁡ (M, R) {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {ni} (M, R)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {ni} (M, R)}$ в смысл, что:

H mi (M) ≅ Hom R ⁡ (Ext R n - i ⁡ (M, R), E (k)). {\ displaystyle H_ {m} ^ {i} (M) \ cong \ operatorname {Hom} _ {R} (\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {ni} (M, R), E (k)).}

{\ displaystyle H_ {m} ^ {i} (M) \ cong \ operatorname {Hom} _ {R } (\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {ni} (M, R), E (k)).}

Стэнли показал, что для конечно порожденной коммутативной градуированной алгебры R над полем k такой, что R является областью целостности, свойство Горенштейна зависит только от свойства Коэна – Маколея вместе с ряд Гильберта

f (t) = ∑ j dim k ⁡ (R j) tj. {\ displaystyle f (t) = \ sum \ nolimits _ {j} \ dim _ {k} (R_ {j}) t ^ {j}.}

{\ displaystyle f (t) = \ sum \ nolimits _ {j} \ dim _ {k} (R_ {j}) t ^ {j}.}

А именно, градуированная область R является горенштейновской тогда и только тогда, когда это Коэн – Маколей, а ряд Гильберта симметричен в том смысле, что

f (1 t) = (- 1) ntsf (t) {\ displaystyle f \ left ({\ tfrac {1} {t}} \ справа) = (- 1) ^ {n} t ^ {s} f (t)}

{\ displaystyle f \ left ({\ tfrac {1} {t} } \ right) = (- 1) ^ {n} t ^ {s} f (t)}

для некоторого целого числа s, где n - размерность R.

Пусть (R, m, k) - Нетерово локальное кольцо коразмерности вложения c, что означает, что c = dim k (m / m) - dim (R). С геометрической точки зрения это верно для локального кольца подсхемы коразмерности c регулярной схемы. Для c не более 2, Серр показал, что R является Горенштейном тогда и только тогда, когда это полное пересечение. Существует также структурная теорема для колец Горенштейна коразмерности 3 в терминах пфаффианов кососимметричной матрицы по Бухсбауму и Эйзенбуду.

Примечания

Ссылки

Басс, Хайман (1963), «О вездесущности колец Горенштейна», Mathematische Zeitschrift, 82: 8–28, CiteSeerX 10.1.1.152.1137, doi : 10.1007 / BF01112819, ISSN 0025-5874, MR 0153708
Bruns, Winfried; Герцог, Юрген (1993), кольца Коэна – Маколея, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956
Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268 -1, MR 1322960
Горенштейн, Дэниел (1952), «Арифметическая теория сопряженных плоских кривых», Труды Американского математического общества, 72: 414–436, doi : 10.2307 / 1990710, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990710, MR 0049591
Хартсхорн, Робин (1967), Локальные когомологии. Семинар А. Гротендика, Гарвардский университет, осень 1961 г., конспект лекций по математике, 41, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, MR 0224620
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Хунеке, Крейг (1999), «Хайман Басс и повсеместность: кольца Горенштейна», Алгебра, K-теория, группы и образование, Американское математическое общество, стр. 55–78, arXiv : math / 0209199, doi : 10.1090 / conm / 243/03686, MR 1732040
Лам, Цит Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике, 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
Маколей, Фрэнсис Соуэрби (1934), «Современная алгебра и полиномиальные идеалы», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 30 (1): 27–46, Bibcode : 1934PCPS... 30... 27M, doi : 10.1017 / S0305004100012354, ISSN 0305-0041, JFM 60.0096.02
Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец, Кембриджские исследования в Математика (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 0879273
Серр, Жан-Пьер (1961), Sur les modules projectifs, Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, 14, стр. 1–16
Стэнли, Ричард П. (1978), «Функции Гильберта градуированных алгебр», Advances in Mathematics, 28 : 57–83, doi :10.1016/0001-8708(78)90045-2, MR 0485835