Кольцо Коэна – Маколея

редактировать

В математике кольцо Коэна – Маколея является коммутативное кольцо с некоторыми из алгебро-геометрических свойств гладкого многообразия, таких как локальная равноразмерность. При мягких предположениях локальное кольцо является кольцом Коэна – Маколея именно тогда, когда оно является конечно порожденным свободным модулем над регулярным локальным подкольцом. Кольца Коэна – Маколея играют центральную роль в коммутативной алгебре : они образуют очень широкий класс, и тем не менее во многих отношениях они хорошо изучены.

Они названы в честь Фрэнсиса Сауерби Маколея (1916), который доказал теорему о несмешанности для полиномиальных колец, и для Ирвина Коэн (1946), который доказал теорему о несмешиваемости для колец формальных степенных рядов. Все кольца Коэна – Маколея обладают свойством несмешанности.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений.

Универсальные цепные кольца ⊃ Кольца Коэна – Маколея ⊃ Кольца Горенштейна ⊃ кольца полного пересечения ⊃ регулярные локальные кольца

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Коэн- Схемы Маколея
- 3.1 Кривые Коэна-Маколея
  - 3.1.1 Непримеры
- 3.2 Теория пересечений
  - 3.2.1 Пример
4 Чудо-плоскостность или критерий Хиронаки
5 Свойства
6 Теорема о несмешанности
7 Контрпримеры
8 Двойственность Гротендика
9 Примечания
10 Ссылки
11 Внешние ссылки

Определение

Для коммутативного Нётеро локальное кольцо R, глубина кольца R (максимальная длина регулярной последовательности в максимальном идеале кольца R) не более размерность Крулля кольца R. Кольцо R называется Коэна – Маколея, если его глубина равна его размерности.

В более общем смысле коммутативное кольцо называется Коэном – Маколеем, если оно нётерово и все его локализации в простых идеалах Коэн– Маколей. В геометрических терминах схема называется схемой Коэна-Маколея, если она локально нётерова и ее локальное кольцо в каждой точке - Коэна-Маколея.

Примеры

Нётеровы кольца следующих типов - это кольца Коэна – Маколея.

Любое обычное локальное кольцо. Это приводит к различным примерам колец Коэна – Маколея, таким как целые числа $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ или кольцо полиномов $K [ x 1,…, xn] {\ displaystyle K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ над полем K или степенным рядом кольцо $K [[x 1,…, xn]] {\ displaystyle K [[x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]]}$ ${\ displaystyle K [[x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]]}$ . С геометрической точки зрения, любая регулярная схема, например гладкое многообразие над полем, является Коэном – Маколеем.
Любое 0-мерное кольцо (или, что эквивалентно, любое артиново кольцо ).
Любое одномерное редуцированное кольцо, например, любой одномерный домен.
Любое двумерное нормальное кольцо.
Любое кольцо Горенштейна. В частности, любое полное кольцо пересечений.
Кольцо инвариантов $RG {\ displaystyle R ^ {G}}$ $R ^ {G}$ , когда R - алгебра Коэна – Маколея над полем характеристики ноль, и G - конечная группа (или, в более общем смысле, линейная алгебраическая группа, компонент идентичности которой редуктивен ). Это Теорема Хохстера – Робертса.
Любое детерминантное кольцо. То есть, пусть R будет фактором регулярного локального кольца S по идеалу I, порожденному r × r минорами некоторого p × q матрица элементов S. Если коразмерность (или высота ) матрицы I равна «ожидаемой» коразмерности (p − r + 1) (q − r + 1), R называется детерминантным кольцом . В этом случае R - Коэн-Маколей. Точно так же координатные кольца детерминантных многообразий являются Коэна-Маколея.

Еще несколько примеров:

Кольцо K [x] / (x²) имеет размерность 0 и, следовательно, Коэна-Маколея, но оно не редуцируется и, следовательно, не является регулярным.
Подкольцо K [t, t] кольца многочленов K [t], или его локализация, или завершение в t = 0, является 1 -мерная область, которая является горенштейновской, а значит, и Коэна – Маколея, но не регулярной. Это кольцо также можно описать как координатное кольцо каспидальной кубической кривой y = x над K.
Подкольцо K [t, t, t] кольца многочленов K [t ], или его локализация или пополнение при t = 0, является одномерной областью, которая является областью Коэна – Маколея, но не Горенштейна.

Рациональные особенности над полем нулевой характеристики - это Коэна – Маколея. Торические многообразия над любым полем - это Коэн – Маколея. В программе минимальных моделей широко используются разновидности с особенностями klt (лог-терминал Каваматы); в нулевой характеристике это рациональные особенности и, следовательно, они принадлежат Коэну – Маколею. Одним из успешных аналогов рациональных особенностей в положительной характеристике является понятие F-рациональных особенностей ; опять же, такими особенностями являются Коэна – Маколея.

Пусть X - проективное многообразие размерности n ≥ 1 над полем, и пусть L - обильное линейное расслоение на X. Тогда кольцо сечения L

R = ⨁ j ≥ 0 H 0 (X, L j) {\ displaystyle R = \ bigoplus _ {j \ geq 0} H ^ {0} (X, L ^ {j})}

{\ displaystyle R = \ bigoplus _ {j \ geq 0} ЧАС ^ {0} (X, L ^ {j})}

является Коэном – Маколеем тогда и только тогда, когда группа когомологий H (X, L) равна нулю для всех 1 ≤ i ≤ n − 1 и всех целых j. Отсюда, например, следует, что аффинный конус Spec R над абелевым многообразием X является Коэном – Маколеем, когда X имеет размерность 1, но не когда X имеет размерность не менее 2 (потому что H (X, O) не равно нулю). См. Также Обобщенное кольцо Коэна – Маколея.

схемы Коэна-Маколея

Мы говорим, что локально нётерова схема $X {\ displaystyle X}$ $X$ является Коэном – Маколеем, если в каждой точке $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ локальное кольцо $OX, x {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ { X, x}}$ ${\ mathcal {O}} _ {{X, x}}$ - код Коэна – Маколея.

Кривые Коэна-Маколея

Кривые Коэна-Маколея являются частным случаем схем Коэна-Маколея, но полезны для компактификации пространств модулей кривых, где граница гладкого геометрического множества $M g {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$ ${\ mathcal {M} } _ {g}$ имеет кривые Коэна-Маколея. Есть полезный критерий для определения того, являются ли кривые Коэна-Маколея. Схемы размерности $≤ 1 {\ displaystyle \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ leq 1}$ являются схемами Коэна-Маколея тогда и только тогда, когда они не имеют встроенных простых чисел. Сингулярности, присутствующие в кривых Коэна-Маколея, могут быть полностью классифицированы, рассматривая случай плоской кривой.

Непримеры

Используя критерий, есть простые примеры кривых, отличных от Коэна-Маколея. от построения кривых с вложенными точками. Например, схема

$X = Spec (C [x, y] (x 2, xy)) {\ displaystyle X = {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [ x, y]} {(x ^ {2}, xy)}} \ right)}$ ${\ displaystyle X = {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {2}, xy)} } \ right)}$

имеет разложение на простые идеалы $(x) ⋅ (x, y) {\ displaystyle (x) \ cdot (х, у)}$ ${\ displaystyle (x) \ cdot (x, y)}$ . Геометрически это ось $y {\ displaystyle y}$ $y$ со встроенной точкой в начале координат, которую можно рассматривать как жирную точку. Для гладкой проективной плоской кривой $C ⊂ P 2 {\ displaystyle C \ subset \ mathbb {P} ^ {2}}$ ${\ displaystyle C \ subset \ mathbb {P} ^ {2}}$ кривая со вложенной точкой может быть построена с использованием той же техники: найти идеал $I x {\ displaystyle I_ {x}}$ $I_ {x}$ точки в $x ∈ C {\ displaystyle x \ in C}$ $x \ in C$ и умножить его на идеальный $IC {\ displaystyle I_ {C}}$ $I_ {C}$ из $C {\ displaystyle C}$ $C$ . Тогда

$X = Proj (C [x, y, z] IC ⋅ I x) {\ displaystyle X = {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {I_ {C} \ cdot I_ {x}}} \ right)}$ ${\ displaystyle X = {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C } [x, y, z]} {I_ {C} \ cdot I_ {x}}} \ right)}$

- кривая со встроенной точкой в $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

Теория пересечений

Схемы Коэна-Маколея имеют особую связь с теорией пересечений. А именно, пусть X - гладкое многообразие, а V, W - замкнутые подсхемы чистой размерности. Пусть Z будет собственным компонентом теоретико-схемного пересечения $V × XW {\ displaystyle V \ times _ {X} W}$ ${\ displaystyle V \ times _ {X} W}$ , то есть неприводимым компонентом ожидаемый размер. Если локальное кольцо A в $V × XW {\ displaystyle V \ times _ {X} W}$ ${\ displaystyle V \ times _ {X} W}$ в общей точке Z есть Коэна-Маколея, то кратность пересечения V и W вдоль Z задается как длина A:

i (Z, V ⋅ W, X) = длина ⁡ (A) {\ displaystyle i (Z, V \ cdot W, X) = \ operatorname {length} (A)}

{\ displaystyle i (Z, V \ cdot W, X) = \ operatorname {length} (A)}

В общем, эта кратность задается как длина, по существу, характеризует кольцо Коэна – Маколея; см. #Properties. Один критерий кратности, с другой стороны, грубо характеризует регулярное локальное кольцо как локальное кольцо с кратностью единица.

Пример

В качестве простого примера, если мы возьмем пересечение параболы с касательной к ней прямой, локальное кольцо в точке пересечения изоморфно

С [Икс, Y] (Y - Икс 2) ⊗ С [Икс, Y] С [Икс, Y] (Y) ≅ С [Икс] (Икс 2) {\ Displaystyle {\ frac {\ mathbb {C } [x, y]} {(yx ^ {2})}} \ otimes _ {\ mathbb {C} [x, y]} {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(y)}} \ cong {\ frac {\ mathbb {C} [x]} {(x ^ {2})}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(yx ^ {2})}} \ otimes _ {\ mathbb {C} [x, y]} {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} { (y)}} \ cong {\ frac {\ mathbb {C} [x]} {(x ^ {2})}}}

который является Коэном – Маколием длины два, следовательно, кратность пересечения равна двум, как и ожидалось..

Чудо-плоскостность или критерий Хиронаки

Существует замечательная характеристика колец Коэна – Маколея, иногда называемая чудо-плоскостность или Критерий Хиронаки. Пусть R - локальное кольцо, конечно порожденное как модуль над некоторым регулярным локальным кольцом A, содержащимся в R. Такое подкольцо существует для любой локализации R в первичном идеале кольца конечно порожденная алгебра над полем по лемме Нётер о нормализации ; он также существует, когда R является полным и содержит поле, или когда R является полной областью. Тогда R является Коэном – Маколеем тогда и только тогда, когда он плоский как A-модуль; это также эквивалентно тому, что R свободен как A-модуль.

Геометрическая формулировка выглядит следующим образом. Пусть X будет связной аффинной схемой конечного типа над полем K (например, аффинным многообразием ). Пусть n - размерность X. По нормировке Нётер существует конечный морфизм f из X в аффинное пространство A над K. Тогда X является Коэном – Маколеем тогда и только тогда, когда все слои f имеют одинаковую степень. Поразительно, что это свойство не зависит от выбора f.

Наконец, есть версия Miracle Flatness для градуированных колец. Пусть R - конечно порожденная коммутативная градуированная алгебра над полем K,

R = K ⊕ R 1 ⊕ R 2 ⊕ ⋯. {\ displaystyle R = K \ oplus R_ {1} \ oplus R_ {2} \ oplus \ cdots.}

{\ displaystyle R = K \ oplus R_ {1} \ oplus R_ {2} \ oplus \ cdots.}

Всегда существует градуированное полиномиальное подкольцо A ⊂ R (с порождающими в различной степени) такое, что R конечно порождено как A-модуль. Тогда R является Коэном – Маколеем тогда и только тогда, когда R свободен как градуированный A-модуль. Опять же, отсюда следует, что эта свобода не зависит от выбора полиномиального подкольца A.

Свойства

Нётерово локальное кольцо называется Коэном-Маколеем тогда и только тогда, когда его пополнение - Коэна-Маколея.
Если R - кольцо Коэна – Маколея, то кольцо многочленов R [x] и кольцо степенных рядов R [[x]] являются Коэна – Маколея.
Для ненулевого -дивизор u в максимальном идеале нётерова локального кольца R, R является Коэном – Маколеем тогда и только тогда, когда R / (u) является Коэном – Маколеем.
Фактор кольца Коэна – Маколея. по любому идеалу является универсально цепным.
Если R - фактор кольца Коэна – Маколея, то геометрическое место {p ∈ Spec R | R p is Cohen – Macaulay} - открытое подмножество Spec R.
Пусть (R, m, k) - нётерово локальное кольцо коразмерности вложения c, что означает, что c = dim k (м / м) - тусклый (R). С геометрической точки зрения это верно для локального кольца подсхемы коразмерности c регулярной схемы. При c = 1, R является кольцом Коэна – Маколея тогда и только тогда, когда оно является кольцом гиперповерхностей. Существует также структурная теорема для колец Коэна – Маколея коразмерности 2, теорема Гильберта – Берча : все они детерминантные кольца, определяемые минорами r × r матрицы (r + 1) × r для некоторого r.
Для нётерового локального кольца (R, m) следующие условия эквивалентны:
1. R - это Коэна-Маколея.
2. Для каждого параметра идеал Q (идеал, порожденный системой параметров ),
  $длина ⁡ (R / Q) = e (Q) {\ displaystyle \ operatorname {length} (R / Q) = e (Q)}$ ${\ displaystyle \ operatorname { длина} (R / Q) = е (Q)}$ : = кратность Гильберта – Самуэля Q.
3. Для некоторого идеального параметра Q $длина ⁡ (R / Q) = e ( Q) {\ displaystyle \ operatorname {length} (R / Q) = e (Q)}$ ${\ displaystyle \ operatorname { длина} (R / Q) = е (Q)}$ .

(См. Обобщенное кольцо Коэна – Маколея, а также кольцо Бухсбаума для колец которые обобщают эту характеристику.)

Теорема о несмешанности

Идеал I нётерова кольца A называется несмешанным по высоте, если высота I равна высоте каждого ассоциированное простое число P А / Я. (Это сильнее, чем утверждать, что A / I равноразмерно ; см. Ниже.)

Говорят, что теорема о несмешанности верна для кольца A, если любой идеал I генерируется количеством элементов, равным его высоте, не смешивается. Нётерово кольцо является кольцом Коэна – Маколея тогда и только тогда, когда для него выполняется теорема о несмешиваемости.

Теорема о несмешивании применима, в частности, к нулевому идеалу (идеалу, порожденному нулевыми элементами) и, таким образом, утверждает, что оно является кольцо является равноразмерным кольцом ; фактически, в строгом смысле: нет встроенного компонента, и каждый компонент имеет одинаковую коразмерность.

См. Также: квази-несмешанное кольцо (кольцо, в котором несмешанная теорема верна для целого замыкания идеала ).

Контрпримеры

Если K - поле, то кольцо R = K [x, y] / (x, xy) (координатное кольцо прямой с вложенной точкой) не является Коэном – Маколеем.. Это следует, например, из Miracle Flatness : R конечно над кольцом многочленов A = K [y] со степенью 1 над точками аффинной прямой Spec A с y ≠ 0, но со степенью 2 над точкой y = 0 (поскольку K-векторное пространство K [x] / (x) имеет размерность 2).
Если K - поле, то кольцо K [x, y, z] / (xy, xz) (координатное кольцо объединения прямой и плоскости) редуцировано, но не равноразмерно, и, следовательно, не Коэна – Маколея. Факторизация по ненулевому делителю x − z дает предыдущий пример.
Если K - поле, то кольцо R = K [w, x, y, z] / (wy, wz, xy, xz) (координатное кольцо объединения двух плоскостей, пересекающихся в точке) редуцированное и равноразмерное, но не Коэна – Маколея. Чтобы доказать это, можно использовать теорему о связности Хартшорна : если R - локальное кольцо Коэна – Маколея размерности не менее 2, то Spec R без его замкнутой точки связно.

Из двух колец Коэна-Маколея не обязательно быть Коэна-Маколея.

Двойственность Гротендика

Одно значение условия Коэна-Маколея можно увидеть в когерентная двойственность теория. Разнообразие или схема X называется Коэном-Маколея, если «дуализирующий комплекс», который априори принадлежит производной категории от пучков на X, представлен одним пучком. Более сильное свойство быть Горенштейном означает, что этот пучок является линейным пучком. В частности, каждая регулярная схема является горенштейновской. Таким образом, утверждения теорем двойственности, такие как двойственность Серра или локальная двойственность Гротендика для схем Горенштейна или Коэна – Маколея, сохраняют некоторую простоту того, что происходит для регулярных схем или гладких многообразий.

Примечания

Ссылки

Брунс, Винфрид; Херцог, Юрген (1993), Коэн – Маколей Рингс, Кембриджские исследования в области высшей математики, 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956
Коэн, И.С. (1946), «О структуре и идеальной теории полных локальных колец», Труды Американского математического общества, 59: 54–106, doi : 10.2307 / 1990313, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990313, MR 0016094 Статья Коэна была написано, когда «местное кольцо» означало то, что сейчас называется «местным нётерским кольцом».
VI Данилов (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350- 1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
Фултон, Уильям (1993), Введение в торические разновидности, Принстон University Press, doi : 10.1515 / 9781400882526, ISBN 978-0-691-00049-7, MR 1234037
Уильям Фултон. (1998), Теория пересечений, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046 -4, MR 1644323
Коллар, Янош ; Мори, Шигефуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий, Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511662560, ISBN 0-521-63277-3, MR 1658959
Коллар, Янош (2013), Особенности программы минимальных моделей, Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9781139547895, ISBN 978-1-107-03534-8, MR 3057950
Macaulay, FS (1994) [1916], Алгебраическая теория модульных систем, Cambridge University Press, ISBN 1-4297-0441-1, MR 1281612
Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец, Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521- 36764-6, MR 0879273
Schwede, Karl; Такер, Кевин (2012), «Обзор тестовых идеалов», Progress in Commutative Algebra 2, Berlin: Walter de Gruyter, pp. 39–99, arXiv : 1104.2000, Bibcode : 2011arXiv1104.2000S, MR 2932591

Внешние ссылки