Войти
В математике набор строк выражает концепцию линии, которая изменяется от точки к точке пространства. Например, кривая на плоскости, имеющая касательную линию в каждой точке, определяет изменяющуюся линию: касательная связка является способом их организации. Более формально, в алгебраической топологии и дифференциальной топологии линейный пучок определяется как векторный пучок ранга 1.
Указаны линейные пучки. путем выбора одномерного векторного пространства для каждой точки пространства непрерывным образом. В топологических приложениях это векторное пространство обычно реальное или сложное. Эти два случая демонстрируют принципиально разное поведение из-за различных топологических свойств вещественных и комплексных векторных пространств: если начало координат удалено из вещественной линии, то результатом является набор 1 × 1 обратимых вещественных матриц, который гомотопически -эквивалентен дискретному двухточечному пространству за счет сжатия положительных и отрицательных вещественных чисел каждой точки; тогда как удаление начала координат из комплексной плоскости дает обратимые комплексные матрицы 1 × 1, которые имеют гомотопический тип окружности.
С точки зрения теории гомотопии, реальный линейный пучок, следовательно, ведет себя во многом так же, как пучок волокон с двухточечным волокном, то есть как двойная крышка. Частным случаем этого является ориентируемое двойное покрытие дифференцируемого многообразия, где соответствующее линейное расслоение является детерминантным расслоением касательного расслоения (см. Ниже). Полоса Мёбиуса соответствует двойному покрытию круга (отображение θ → 2θ) и, изменяя волокно, также может рассматриваться как имеющая двухточечное волокно, единичный интервал Как волокно, так и настоящая линия.
Сложные линейные связки тесно связаны с круговыми связками. Есть некоторые известные, например, расслоения Хопфа из сфер на сферы.
В алгебраической геометрии обратимый пучок (т. Е. локально свободный пучок ранга один) часто называют линейным пучком . .
Каждое линейное расслоение возникает из дивизора со следующими условиями:
(I) Если X - приведенная и неприводимая схема, то каждое линейное расслоение происходит из дивизора.
(II) Если X - проективная схема, то то же самое утверждение верно.
Одним из наиболее важных линейных расслоений в алгебраической геометрии является тавтологическое линейное расслоение на проективном пространстве. Проективизация P (V) векторного пространства V над полем k определяется как частное от 
Предположим, что X - пространство, а L - линейный пучок на X. A глобальная секция L - это функция s: X → L такая, что если p: L → X - естественная проекция, то ps = id X. В небольшой окрестности U в X, в которой L тривиально, все пространство линейного расслоения является произведением U и основного поля k, а сечение s ограничивается функцией U → k. Однако значения s зависят от выбора тривиализации, и поэтому они определяются только с точностью до умножения на нигде не исчезающую функцию.
Глобальные секции определяют отображения в проективные пространства следующим образом: при выборе r + 1 не все нулевые точки в слое L выбирают слой тавтологического линейного расслоения на P, поэтому выбирая r + 1 не одновременно исчезающие глобальные сечения L определяет отображение X в проективное пространство P . Это отображение переводит слои L в слои двойственного тавтологического расслоения. Более конкретно, предположим, что s 0,..., s r являются глобальными секциями L. В небольшой окрестности U в X эти секции определяют k-значные функции на U, которые значения зависят от выбора тривиализации. Однако они определяются с точностью до одновременного умножения на ненулевую функцию, поэтому их отношения четко определены. То есть над точкой x значения s 0 (x),..., s r (x) не определены четко, потому что изменение тривиализации приведет к их умножению. каждое ненулевой константой λ. Но он умножит их на одну и ту же константу λ, поэтому однородные координаты [s0(x):...: s r (x)] хорошо определены, если разделы s 0,..., s r не обращаются в нуль одновременно в x. Следовательно, если секции никогда не исчезают одновременно, они определяют форму [s 0 :...: s r ], которая дает отображение от X до P, и обратным образом двойственного тавтологического расслоения под этим отображением является L. Таким образом, проективное пространство приобретает универсальное свойство.
Универсальный способ определения отображения в проективное пространство - это отображение в проективизацию векторное пространство всех сечений L. В топологическом случае существует ненулевое сечение в каждой точке, которое может быть построено с помощью выпуклой функции, которая обращается в нуль вне малой окрестности точки. По этой причине результирующая карта определяется везде. Однако кодомен обычно слишком велик, чтобы быть полезным. Обратное верно в алгебраической и голоморфной постановках. Здесь пространство глобальных сечений часто является конечномерным, но в данной точке может не быть никаких отличных от нуля глобальных сечений. (Как и в случае, когда эта процедура строит пучок Лефшеца.) Фактически, для связки может вообще не быть ненулевых глобальных секций; это так для тавтологического линейного расслоения. Когда линейное расслоение достаточно обильно, эта конструкция проверяет теорему вложения Кодаиры.
В общем случае, если V является векторным расслоением в пространстве X с постоянной размерностью слоя n, n- th внешняя мощность V, взятая по волокну, представляет собой линейный пучок, называемый определяющим линейным пучком . Эта конструкция, в частности, применяется к кокасательному расслоению гладкого многообразия. Результирующее детерминантное расслоение отвечает за явление тензорных плотностей в том смысле, что для ориентируемого многообразия оно имеет ненулевое глобальное сечение, а его тензорные степени с любым действительным показателем могут быть определяется и используется для «скручивания» любого векторного расслоения с помощью тензорного произведения.
. Та же конструкция (с учетом максимальной внешней степени) применяется к конечно порожденному проективному модулю M над нётерова область и полученный обратимый модуль называется детерминантным модулем M.
Первый Штифеля – Уитни класс классифицирует пучки гладких вещественных линий; в частности, совокупность (классов эквивалентности) вещественных линейных расслоений соответствует элементам первых когомологий с коэффициентами Z/2Z; это соответствие на самом деле является изоморфизмом абелевых групп (групповые операции являются тензорным произведением линейных расслоений и обычного сложения на когомологиях). Аналогично, первый класс Черна классифицирует гладкие комплексные линейные расслоения на пространстве, а группа линейных расслоений изоморфна второму классу когомологий с целыми коэффициентами. Однако расслоения могут иметь эквивалентные гладкие структуры (и, таким образом, один и тот же первый класс Черна), но разные голоморфные структуры. Утверждения класса Черна легко доказываются с помощью экспоненциальной последовательности из пучков на многообразии.
Можно более широко взглянуть на проблему классификации с теоретико-гомотопической точки зрения. Существует универсальный комплект для реальных линейных комплектов и универсальный комплект для сложных линейных комплектов. Согласно общей теории классифицирующих пространств, эвристика должна искать стягиваемые пространства, на которых есть групповые действия соответствующих групп C 2 и S, то есть свободные действия. Эти пространства могут служить универсальными главными расслоениями, а факторы для действий - классифицирующими пространствами BG. В этих случаях мы можем найти их явно в бесконечномерных аналогах действительного и комплексного проективного пространства.
Следовательно, классифицирующее пространство BC 2 имеет гомотопический тип RP, реальное проективное пространство, заданное бесконечной последовательностью однородных координат. Он несет универсальную связку реальных линий; в терминах теории гомотопии это означает, что любое вещественное линейное расслоение L на CW-комплексе X определяет классифицирующее отображение из X в RP, делая L расслоением, изоморфным обратному образу универсального связка. Эту классификационную карту можно использовать для определения класса Штифеля-Уитни L в первых когомологиях X с коэффициентами Z/2Zиз стандартного класса на RP.
. Аналогичным образом комплексный проективный пробел CP несет универсальный комплексный линейный пучок. В этом случае классифицирующие отображения порождают первый класс Черна X в H (X) (интегральные когомологии).
Существует еще одна аналогичная теория с кватернионными линейными пучками (реальное измерение четыре). Это дает начало одному из классов Понтрягина в реальных четырехмерных когомологиях.
Таким образом, фундаментальные случаи теории характеристических классов зависят только от линейных пучков. Согласно общему принципу расщепления это может определять остальную часть теории (если не явно).
Существуют теории голоморфных линейных расслоений на комплексных многообразиях и обратимых пучков в алгебраической геометрии, которые работают из теории линейных пучков в этих областях.
