Каноническая особенность

В математике канонические особенности появляются как особенности канонической модели проективное многообразие и терминальные особенности являются частными случаями, которые появляются как особенности минимальных моделей. Их ввел Рид (1980). Терминальные особенности важны в программе минимальных моделей, потому что гладкие минимальные модели не всегда существуют, и, следовательно, нужно допускать определенные особенности, а именно терминальные особенности.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Классификация в малых размерах
• 4 Пары
• 5 Ссылки

Предположим, что Y - обычное разнообразие, такое что его канонический класс K Y - это Q -Картье, и пусть f: X → Y - разрешение особенностей Y. Тогда

$KX\; =\; f\; \ast \; (KY)\; +\; \sum \; iai\; E\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; K\_\; \{X\}\; =\; f\; ^\; \{*\}\; (K\_\; \{Y\})\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\_\; \{i\}\; E\_\; \{i\}\}$

, где сумма больше неприводимые исключительные делители и a i - рациональные числа, называемые.

Затем называются особенности Y:

терминал, если i>0 для всех i

канонический, если i ≥ 0 для всех i

лог-терминал, если i>-1 для всех i

лог-канонический, если i ≥ -1 для все i.

Особенности проективного многообразия V являются каноническими, если многообразие нормальное, некоторая степень канонического линейного расслоения не -особая часть V продолжается до линейного расслоения на V, и V имеет то же plurigenera, что и любое разрешение его особенностей. V имеет канонические особенности тогда и только тогда, когда это относительная каноническая модель.

Особенности проективного многообразия V являются терминальными, если многообразие нормальное, некоторая степень канонической линии расслоение неособой части V продолжается до линейного расслоения на V, и V обратный вызов любого сечения V обращается в нуль вдоль любой компоненты коразмерности 1 исключительного множества элемента разрешение его особенностей.

Двумерные концевые особенности гладкие. Если многообразие имеет терминальные особенности, то его особые точки имеют коразмерность не менее 3, в частности, в размерностях 1 и 2 все терминальные особенности гладкие. В трех измерениях они изолированы и классифицированы Мори (1985).

Двумерные канонические сингулярности такие же, как сингулярности дю Валя, и аналитически изоморфны частным C конечными подгруппами SL 2(C).

Двумерные логтерминальные особенности аналитически изоморфны факторам C по конечным подгруппам GL 2(C).

Двумерные лог-канонические сингулярности были классифицированы Каваматой (1988).

В более общем плане можно определить эти концепции для пары $(X,\; \Delta )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \backslash \; Delta)\}$где $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$- формальная линейная комбинация простых делителей с рациональными коэффициентами, такая что $KX\; +\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{X\}\; +\; \backslash \; Delta\}$равно $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$-Cartier. Пара называется

• терминал, если Discrep $(X,\; \Delta )>0\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \backslash \; Delta)>0\}$
• канонический if Discrep <Δ75>(X, Δ75) (X, ≥ 0 {\ displaystyle (X, \ Delta) \ geq 0}
• klt (логический терминал Каваматы), если Discrep $(X,\; \Delta )>-\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \backslash \; Delta)>-1\}$и $\lfloor \; \Delta \; \rfloor \; \le \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lfloor\; \backslash \; Delta\; \backslash \; rfloor\; \backslash \; leq\; 0\}$
• plt (чисто лог-терминал), если Discrep $(X,\; \Delta )>-\; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; (X,\; \backslash \; Delta)>-\; 1\}$
• lc(log canonical), если Discrep $(X,\; \Delta )\; \ge \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \backslash \; Delta)\; \backslash \; geq\; -1\}$.

• Ко Ллар, Янош (1989), «Минимальные модели трехмерных алгебраических многообразий: программа Мори», Astérisque (177): 303–326, ISSN 0303-1179, MR 1040578
• Кавамата, Юджиро (1988), «Крепированное разрушение трехмерных канонических особенностей и его применение к вырождению поверхностей», Ann. of Math., 2, 127 (1): 93–163, doi : 10.2307 / 1971417, ISSN 0003 -486X, JSTOR 1971417, MR 0924674
• Мори, Шигефуми (1985), «О трехмерных терминальных особенностях», Нагоя Mathematical Journal, 98 : 43–66, doi : 10.1017 / s0027763000021358, ISSN 0027-7630, MR 0792770
• Рейд, Майлз (1980), «Канонические трехмерности», Journées de Géometrie Algébrique d'Angers, Juillet 1979 / Algebraic Geometry, Angers, 1979, Alphen aan den Rijn: Sijthoff Noordhoff, стр. 273 –310, MR 0605348
• Рейд, Майлз (1987), «Руководство для молодых людей по каноническим сингулярностям», Алгебраическая геометрия, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985), Proc. Симпозиумы. Pure Math., 46, Providence, RI: Американское математическое общество, стр. 345–414, MR 0927963