Войти
Сильная десингуляризация из Заметит, что разрешение не останавливается после первого раздутия, когда прообраз гладкого, но когда это просто нормальные пересечения с исключительными делителями. В алгебраической геометрии, проблема разрешения особенностей спрашивает, может ли каждый алгебраическое многообразие V имеет разрешение, а несингулярное многообразие W с правильной бирациональной картой W → V. Для многообразий над полями характеристики 0 это было доказано в Хиронаке (1964), в то время как для многообразий над полями характеристики p это открытая проблема в размерностях не менее 4.
Первоначально проблема разрешения особенностей заключалась в том, чтобы найти неособую модель для функционального поля многообразия X, другими словами, полного неособого многообразия X ′ с тем же функциональным полем. На практике удобнее попросить другое состояние следующим образом: множество X имеет разрешение особенностей, если мы сможем найти несингулярное многообразие X ' и правильное бирациональное отображение из X' в X. Условие, что карта собственно необходимо исключить тривиальные решения, например, с X ', чтобы быть подмногообразие без особых точек X.
В более общем плане, часто бывает полезно разрешить особенности многообразия X внедренные в большее разнообразие W. Предположим, что мы имеем замкнутое вложение X в регулярном многообразии W. Сильная десингуляризация из X задаются надлежащим бирациональном морфизмом из обычного многообразия W 'на W с учетом некоторых из следующих условий (точный выбор условий зависит от автора):
Хиронака показал, что существует сильная десингуляризация, удовлетворяющая первым трем условиям, указанным выше, всякий раз, когда X определено над полем характеристики 0, и его конструкция была улучшена несколькими авторами (см. Ниже), так что она удовлетворяет всем указанным выше условиям.
Каждая алгебраическая кривая имеет уникальную неособую проективную модель, что означает, что все методы разрешения по существу одинаковы, поскольку все они строят эту модель. В более высоких измерениях это уже неверно: разновидности могут иметь много разных неособых проективных моделей.
Коллар (2007) перечисляет около 20 способов доказательства разрешения особенностей кривых.
Разрешение особенностей кривых было по существу впервые доказано Ньютоном ( 1676 г.), который показал существование ряда Пюизо для кривой, из которой легко следует разрешение.
Риман построил гладкую риманову поверхность из функционального поля комплексной алгебраической кривой, которая дает разрешение ее особенностей. Это можно сделать с более общими полями, используя набор дискретных колец оценки поля в качестве замены римановой поверхности.
Метод Альбанезе состоит в том, чтобы взять кривую, которая охватывает проективное пространство достаточно большой размерности (более чем в два раза превышает степень кривой), и многократно проецировать ее вниз из особых точек в проективные пространства меньшей размерности. Этот метод распространяется на многомерные многообразия и показывает, что любое n -мерное многообразие имеет проективную модель с особенностями кратности не более n !. Для кривой n = 1, поэтому особых точек нет.
Мухли и Зариски (1939) предложили одношаговый метод разрешения сингулярностей кривой путем нормализации кривой. Нормализация удаляет все особенности коразмерности 1, поэтому она работает для кривых, но не для более высоких измерений.
Другой одношаговый метод разрешения особенностей кривой состоит в том, чтобы взять пространство колец нормирования функционального поля кривой. Это пространство можно превратить в неособую проективную кривую, бирациональную исходной кривой.
Неоднократное вздутие особых точек кривой в конечном итоге устранит сингулярности. Основная задача этого метода - найти способ измерить сложность особенности и показать, что разрушение улучшает эту меру. Есть много способов сделать это. Например, можно использовать арифметический род кривой.
Метод Нётер берет плоскую кривую и многократно применяет квадратичные преобразования (определяемые особой точкой и двумя точками общего положения). В конечном итоге это дает плоскую кривую, единственными особенностями которой являются обычные кратные точки (все касательные имеют кратность два).
Метод Бертини похож на метод Нётер. Он начинается с плоской кривой и многократно применяет бирациональные преобразования к плоскости для улучшения кривой. Бирациональные преобразования сложнее квадратичных преобразований, используемых в методе Нётер, но дают лучший результат, заключающийся в том, что единственными особенностями являются обычные двойные точки.
Поверхности имеют много различных неособых проективных моделей (в отличие от случая кривых, где неособая проективная модель уникальна). Однако поверхность по-прежнему имеет уникальное минимальное разрешение, которое учитывается всеми остальными (все остальные являются ее разрешениями). В более высоких измерениях не требуется минимального разрешения.
Было несколько попыток доказать разрешение поверхностей над комплексными числами Дель Пеццо (1892), Леви (1899), Севери (1914), Кизини (1921) и Альбанезе (1924), но Зариски (1935, глава I, раздел 6)) указывает, что ни одна из этих ранних попыток не завершена, и все они расплывчаты (или даже ошибочны) в какой-то критический момент аргументации. Первое строгое доказательство было дано Уокером (1935), а алгебраическое доказательство для всех полей характеристики 0 было дано Зариским (1939). Абхьянкар (1956) дал доказательство для поверхностей с ненулевой характеристикой. Разрешение особенностей было также показано Липманом (1978) для всех превосходных двумерных схем (включая все арифметические поверхности). Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFDel_Pezzo1892 ( справка )Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFSeveri1914 ( справка )
Метод Зарисского разрешения особенностей поверхностей состоит в том, чтобы многократно чередовать нормализацию поверхности (которая убивает особенности коразмерности 1) с раздутыми точками (что улучшает особенности коразмерности 2, но может вводить новые особенности коразмерности 1). Хотя это разрешит особенности поверхностей само по себе, Зариский использовал более обходной метод: сначала он доказал локальную теорему униформизации, показывающую, что любое нормирование поверхности может быть разрешено, затем использовал компактность поверхности Зарисского – Римана, чтобы показать, что она можно найти конечный набор поверхностей, такой, что центр каждой оценки прост по крайней мере на одной из этих поверхностей, и, наконец, изучение бирациональных отображений между поверхностями показало, что этот конечный набор поверхностей может быть заменен одним неособым поверхность.
Применяя сильную вложенную резольвенту для кривых, Юнг (1908) сводится к поверхности только с довольно специальными особенностями (абелевыми факторособенностями), которые затем рассматриваются явно. Более многомерная версия этого метода - метод де Йонга.
В целом аналог метода Албанезе для кривых показывает, что для любого многообразия можно свести к особенностям порядка не выше n !, где n - размерность. Для поверхностей это сводится к случаю особенностей порядка 2, что достаточно легко сделать явно.
Абхьянкар (1956) доказал разрешение особенностей поверхностей над полем любой характеристики, доказав локальную теорему униформизации для колец нормирования. Самый сложный случай - это оценочные кольца ранга 1, оценочная группа которых является недискретной подгруппой рациональных чисел. Дальнейшее доказательство следует методу Зарисского.
Метод Хиронаки для произвольных характеристических многообразий дает метод разрешения поверхностей, который включает многократное раздутие точек или гладких кривых в особом множестве.
Липман (1978) показал, что поверхность Y (двумерная редуцированная нётерова схема) имеет десингуляризацию тогда и только тогда, когда ее нормализация конечна над Y и аналитически нормальна (дополнения ее особых точек нормальны) и имеет лишь конечное число особых точек. точки. В частности, если Y является отличным, то он имеет десингуляризацию.
Его метод состоял в том, чтобы рассмотреть нормальные поверхности Z с бирациональным собственным отображением в Y и показать, что существует минимальная поверхность с минимально возможным арифметическим родом. Затем он показывает, что все особенности этого минимального Z являются псевдорациональными, и показывает, что псевдорациональные особенности могут быть разрешены путем многократного взрыва точек.
Проблема разрешения сингулярностей в высших измерениях печально известна множеством неверных опубликованных доказательств и анонсов доказательств, которые так и не появились.
Для трехмерных многообразий разрешение особенностей в характеристике 0 было доказано Зариским (1944). Сначала он доказал теорему о локальной униформизации колец нормирования, справедливую для многообразий любой размерности над любым полем характеристики 0. Затем он показал, что пространство нормирований Зарисского – Римана квазикомпактно (для любого многообразия любой размерности над любым полем), подразумевая, что существует конечное семейство моделей любого проективного многообразия, такое, что любое нормирование имеет гладкий центр по крайней мере над одной из этих моделей. Последняя и самая сложная часть доказательства, в котором используется тот факт, что разнообразие имеет размерность 3, но которое работает для всех характеристик, состоит в том, чтобы показать, что с учетом 2 моделей можно найти третью, которая разрешает особенности, которые каждая из двух данных моделей решать.
Абхьянкар (1966) доказал разрешение сингулярностей для 3-кратной характеристики больше 6. Ограничение на характеристику возникает потому, что Абхьянкар показывает, что можно разрешить любую сингулярность 3-кратной кратности меньше характеристики, а затем использует Метод Альбанезе, показывающий, что сингулярности могут быть сведены к сингулярностям не более чем с кратностью (размерностью)! = 3! = 6. Каткоски (2009) дал упрощенную версию доказательства Абхьянкара.
Коссарт и Пильтант ( 2008, 2009) доказали разрешение сингулярностей трехмерных многообразий по всем характеристикам, доказав локальную униформизацию в размерности не более 3, а затем проверив, что доказательство Зарисского, что из этого следует разрешение трехмерных многообразий, все еще работает в положительной характеристике. кейс.
Разрешение особенностей характеристики 0 во всех измерениях было впервые доказано Хиронакой (1964). Он доказал, что можно разрешить особенности многообразий над полями характеристики 0, многократно раздувая по неособым подмногообразиям, используя очень сложный аргумент индукцией по размерности. Упрощенные версии его грозного доказательства были предоставлены несколькими людьми, в том числе Bierstone, Milman amp; 1991-97, Villamayor (1992), Encinas amp; Villamayor (1998), Encinas amp; Hauser (2002), Wlodarczyk (2005), Kollár (2007). Некоторые из недавних доказательств составляют примерно десятую часть первоначального доказательства Хиронаки, и их достаточно легко представить на вводном курсе для аспирантов. Подробное описание теоремы см. ( Hauser 2003), а историческое обсуждение см. ( Hauser 2000). Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFBierstoneMilman1991-97 ( справка )Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFVillamayor1992 ( справка )
де Йонг (1996) нашел другой подход к разрешению сингулярностей, обобщая метод Юнга для поверхностей, который был использован Богомоловым и Пантевым (1996) и Абрамовичем и де Йонгом (1997) для доказательства разрешения особенностей в характеристике 0. Де Йонг. Метод дал более слабый результат для многообразий всех размерностей в характеристике p, которая была достаточно сильной, чтобы служить заменой разрешения для многих целей. Де Йонг доказал, что для любого многообразия X над полем есть доминантный собственный морфизм, который сохраняет размерность от обычного многообразия на X. Это не должны быть бирациональной картой, поэтому не разрешение особенностей, как это может быть, в родовом конечной к одному и так включает в себя конечное расширение поля функций X. Идея Де Йонга состояла в том, чтобы попытаться представить X как расслоение над меньшим пространством Y со слоями, которые являются кривыми (это может включать изменение X), затем устранить особенности Y с помощью индукции по размерности, а затем устранить особенности в слоях.
Определение разрешения легко распространить на все схемы. Не все схемы имеют разрешение своих особенностей: Гротендик (1965, раздел 7.9) показал, что если локально нётерова схема X обладает тем свойством, что можно разрешить особенности любой конечной интегральной схемы над X, то X должно быть квази-превосходным. Гротендик также предположил, что может иметь место и обратное: другими словами, если локально нётерова схема X редуцирована и квази превосходна, то можно разрешить ее особенности. Когда X определено над полем характеристики 0 и является нетеровым, это следует из теоремы Хиронаки, а когда X имеет размерность не более 2, это было доказано Липманом. Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFGrothendieck1965 ( справка )
Хаузер (2010) дал обзор работ по нерешенной проблеме разрешения характеристического p.
Давнее мнение о том, что доказательство решимости очень сложно, постепенно расходилось с реальностью.... возможно доказать разрешение за последние две недели начального курса алгебраической геометрии.
( Коллар 2007, Лекции о разрешении сингулярностей)
Существует множество конструкций сильной десингуляризации, но все они дают, по сути, один и тот же результат. В каждом случае глобальный объект (разнообразие, подлежащее исключению из особенностей) заменяется локальными данными ( идеальный пучок многообразия, а также пучки исключительных делителей и некоторые порядки, которые представляют, насколько идеал должен быть разрешен на этом этапе). С помощью этих локальных данных определяются очаги взрыва. Центры будут определены локально, и поэтому проблема заключается в том, чтобы гарантировать, что они будут соответствовать глобальному центру. Это можно сделать, определив, какие взрывы позволят разрешить каждый идеал. Если все сделано правильно, центры будут совпадать автоматически. Другой способ - определить локальный инвариант в зависимости от разнообразия и истории разрешения (предыдущие локальные центры) так, чтобы центры состояли из максимального локуса инварианта. Определение этого сделано так, что этот выбор имеет смысл, давая гладкие центры, трансверсальные исключительным дивизорам.
В любом случае проблема сводится к разрешению особенностей кортежа, образованного пучком идеалов и дополнительными данными (исключительные делители и порядок d, к которому должно идти разрешение для этого идеала). Этот набор называется помеченным идеалом, а множество точек, в которых порядок идеала больше d, называется его ко-носителем. Доказательство существования резольвенты для отмеченных идеалов проводится индукцией по размерности. Индукция прерывается в два этапа:
Здесь мы говорим, что отмеченный идеал имеет максимальный порядок, если в какой-то точке его соподителя порядок идеала равен d. Ключевым элементом сильного разрешения является использование функции Гильберта – Самуэля локальных колец точек в многообразии. Это одна из составляющих инварианта разрешения.
Самый очевидный инвариант особенности - это ее кратность. Однако это не обязательно должно уменьшаться при разрушении, поэтому необходимо использовать более тонкие инварианты для измерения улучшения.
Например, куспид ромфа y 2 = x 5 имеет особенность порядка 2 в начале координат. После взрыва в особой точке он становится обычным куспидом y 2 = x 3, который все еще имеет кратность 2.
Понятно, что особенность улучшилась, так как степень определяющего полинома уменьшилась. Такого не бывает вообще. Пример, когда это не так, дается изолированной особенностью x 2 + y 3z + z 3 = 0 в начале координат. Раздутие дает особенность x 2 + y 2z + yz 3 = 0. Не сразу очевидно, что эта новая особенность лучше, поскольку обе особенности имеют кратность 2 и задаются суммой одночленов степеней 2, 3, и 4.
Зонтик Whitney Естественная идея для улучшения особенностей - взорвать геометрическое место «наихудших» особых точек. Зонтик Уитня х 2 = у 2г имеет особое множество в г ось, большинство из которых точек являются обычными двойными точками, но есть более сложная пинч точка сингулярность в нуле, так взрывать наихудшие особые точки предполагает, что следует начать взорвав источник. Однако вздутие начала координат воспроизводит ту же особенность на одной из координатных карт. Таким образом, разрушение (по-видимому) "худших" особых точек не улучшает особенность. Вместо этого сингулярность может быть разрешена путем взрыва по оси z.
Существуют алгоритмы, которые в некотором смысле работают, взрывая «наихудшие» особые точки, например ( Bierstone amp; Milman 1997), но этот пример показывает, что определение «наихудших» точек должно быть довольно тонким.
Для более сложных особенностей, таких как x 2 = y m z n, которая является сингулярной вдоль x = yz = 0, разрушение наихудшей особенности в начале координат приводит к сингулярностям x 2 = y m + n −2z n и x 2 = y m z m + n −2, которые хуже исходной особенности, если m и n оба не меньше 3.
После разрешения полное преобразование (объединение собственного преобразования и исключительных дивизоров) представляет собой многообразие с особенностями типа простых нормальных перекрестков. Естественно рассмотреть возможность разрешения особенностей без разрешения этого типа особенностей, это нахождение разрешения, которое является изоморфизмом над множеством гладких и простых нормальных точек пересечения. Когда строгое преобразование является дивизором (т. Е. Может быть вложено как подмногообразие коразмерности один в гладкое многообразие), известно, что существует сильная резольвента, избегающая простых нормальных точек пересечения. Зонтик Уитни показывает, что невозможно разрешить сингулярности, избегая разрушения сингулярностей нормальных пересечений.
Естественный способ разрешить особенности - многократно взорвать некоторое канонически выбранное гладкое подмногообразие. Это приводит к следующей проблеме. Особый набор x 2 = y 2z 2 - это пара прямых, заданных осями y и z. Единственные разумные разновидности, которые можно взорвать, - это начало координат, одна из этих двух осей или все сингулярное множество (обе оси). Однако весь сингулярный набор нельзя использовать, поскольку он не является гладким, и выбор одной из двух осей нарушает симметрию между ними, поэтому не является каноническим. Это означает, что мы должны начать с взрыва начала координат, но это воспроизводит исходную сингулярность, поэтому мы, кажется, ходим по кругу.
Решение этой проблемы состоит в том, что, хотя разрушение начала координат не меняет тип сингулярности, оно дает небольшое улучшение: оно нарушает симметрию между двумя сингулярными осями, потому что одна из них является исключительным делителем для предыдущего разрушения, так что теперь можно взорвать только один из них. Однако, чтобы воспользоваться этим, процедура разрешения должна обрабатывать эти две особенности по-разному, даже если они локально одинаковы. Иногда это делается, предоставляя процедуре разрешения некоторую память, поэтому центр взрыва на каждом шаге зависит не только от сингулярности, но и от предыдущих увеличений, использованных для его создания.
Коническая особенность x 2 + y 2 = z 2 Некоторые методы разрешения (в характеристике 0) функториальны для всех гладких морфизмов. Однако невозможно найти функториал сильного разрешения для всех (возможно негладких) морфизмов. Примером может служить отображение аффинной плоскости A 2 в коническую особенность x 2 + y 2 = z 2, переводящую ( X, Y) в (2 XY, X 2 - Y 2, X 2 + Y 2). XY -плоскость уже неособа так не должна быть изменена в соответствии с резолюцией, и любое разрешение конической сингулярности дофакторизовывается через минимальное разрешение данного раздутия особой точки. Однако рациональное отображение из плоскости XY в это раздутие не распространяется на регулярное отображение.
Минимальные разрешения (разрешения, при которых каждое разрешение зависит от них) существуют в измерениях 1 и 2, но не всегда в более высоких измерениях. Флоп Атия дает пример в 3 -х измерениях сингулярности с не минимальным разрешением. Пусть Y - нули xy = zw в A 4, и пусть V - раздутие Y в начале координат. Исключительный локус этого раздутия изоморфен P 1 × P 1, и может быть взорван вниз к P 1 2 различных способов, что дает две небольших разрешений Х 1 и Х 2 из Y, ни один из которых может быть взорваны вниз дальше.
Коллар (2007, пример 3.4.4, стр. 121) приводит следующий пример, показывающий, что нельзя ожидать достаточно хорошей процедуры разрешения для переключения с продуктами. Если f: A → B является раздутием начала координат квадратичного конуса B в аффинном 3-пространстве, то f × f: A × A → B × B не может быть получено с помощью процедуры этального локального разрешения, по сути, потому что исключительное множество имеет 2 пересекающихся компонента.
Особенности торических многообразий дают примеры многомерных особенностей, которые легко разрешить явно. Торическое многообразие определяется веером, набором конусов в решетке. Сингулярности можно разрешить, разделив каждый конус на объединение конусов, каждый из которых порожден базисом решетки, и взяв соответствующее торическое многообразие.
Строительство десингуляризации многообразия X не может производить центры раздутий, которые являются гладкими подмногообразиями X. Многие конструкции десингуляризации абстрактного многообразия X основаны на локальном вложении X в гладкое многообразие W, рассмотрении его идеала в W и вычислении канонической десингуляризации этого идеала. При десингуляризации идеалов порядок идеала используется как мера того, насколько он сингулярен. Десингуляризация идеала может быть сделана так, чтобы можно было обосновать, что локальные центры соединяются вместе, образуя глобальные центры. Этот метод приводит к доказательству, которое относительно проще представить по сравнению с оригинальным доказательством Хиронаки, в котором функция Гильберта-Самуэля используется как мера того, насколько плохи особенности. Например, доказательства в Villamayor (1992), Encinas amp; Villamayor (1998), Encinas amp; Hauser (2002) и Kollár (2007) используют эту идею. Однако этот метод обеспечивает только регулярные по W центры раздутий. Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFVillamayor1992 ( справка )
В следующем примере ( Bierstone amp; Мильман 2007) показывает, что этот метод может производить центры, которые имеют негладкие пересечения с (собственным прообразом) X. Таким образом, в результате чего десингуляризации, при ограничении на абстрактное многообразии X, не получается раздувание регулярных подмногообразий X.
Пусть X - подмногообразие четырехмерной аффинной плоскости с координатами x, y, z, w, порожденное элементами y 2 - x 3 и x 4 + xz 2 - w 3. Каноническая десингуляризация идеала с помощью этих генераторов взорвала бы центр C 0, задаваемый формулой x = y = z = w = 0. Преобразование идеала в x- диаграмме, если порождено x - y 2 и y 2 ( y 2 + z 2 - w 3). Следующий центр раздува C 1 задается соотношением x = y = 0. Однако собственное преобразование X - это X 1, которое порождается x - y 2 и y 2 + z 2 - w 3. Это означает, что пересечение C 1 и X 1 задается формулами x = y = 0 и z 2 - w 3 = 0, что не является регулярным.
Для того, чтобы произвести центры раздутий, которые являются регулярными подмногообразиями X сильных доказательств ( Bierstone, Мильман amp; 1991-97) использовать функцию Гильберта-Samuel из локальных колец X, а не порядок его идеала в локальном вложении в W. Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFBierstoneMilman1991-97 ( справка )
После разрешения полное преобразование, объединение строгого преобразования X и исключительного дивизора представляет собой многообразие, которое в лучшем случае может иметь простые нормальные пересекающиеся особенности. Тогда естественно рассмотреть возможность разрешения особенностей без разрешения особенностей этого типа. Проблема состоит в том, чтобы найти разрешение, которое является изоморфизмом над множеством гладких и простых нормальных точек пересечения. Когда X является дивизором, т. Е. Может быть вложено как подмногообразие коразмерности один в гладкое многообразие, известно, что существует сильная резольвента, избегающая простых нормальных точек пересечения. Общий случай или обобщения, позволяющие избежать различных типов особенностей, до сих пор не известны. ( Бирстон и Милман, 2012 г.).
Избежать определенных особенностей невозможно. Например, невозможно разрешить сингулярности, избегая разрушения сингулярностей нормальных пересечений. Фактически, чтобы разрешить особенность точки защемления, необходимо взорвать все сингулярное множество, включая точки, где присутствуют особенности нормального пересечения.
