Войти
В алгебраической геометрии алгебраическое разнообразие или схема X является нормальной, если она нормальна в каждой точке, что означает, что локальное кольцо в этой точке является интегрально замкнутой областью. аффинное многообразие X (понимаемое как неприводимое) нормально тогда и только тогда, когда кольцо O (X) регулярных функций на X является целозамкнутой областью. Многообразие X над полем нормально тогда и только тогда, когда каждый конечный бирациональный морфизм любого многообразия Y в X является изоморфизмом.
Нормальные разновидности были введены Зарисским (1939, раздел III).
Морфизм многообразий конечен, если прообраз каждая точка конечна, а морфизм правильный. Морфизм многообразий является бирациональным, если он ограничивается изоморфизмом между плотными открытыми подмножествами. Так, например, куспидальная кубическая кривая X в аффинной плоскости A, заданная формулой x = y, не является нормальной, потому что существует конечный бирациональный морфизм A → X (а именно, t отображается в (t, t)), который не является изоморфизм. Напротив, аффинная прямая A нормальна: она не может быть далее упрощена конечными бирациональными морфизмами.
Нормальное комплексное многообразие X имеет свойство, если рассматривать его как стратифицированное пространство с использованием классической топологии, что каждое звено связано. Эквивалентно, каждая комплексная точка x имеет сколь угодно малые окрестности U такие, что U минус особое множество X связно. Например, отсюда следует, что узловая кубическая кривая X на рисунке, определяемая как x = y (y + 1), не является нормальной. Это также следует из определения нормальности, поскольку существует конечный бирациональный морфизм из A в X, который не является изоморфизмом; он отправляет две точки A в одну и ту же точку в X.
Кривая y = x (x + 1) В общем, схема X является нормальной, если каждая из его локальных колец
является интегрально замкнутой областью. То есть каждое из этих колец является областью целостности R, и каждое кольцо S с R ⊆ S ⊆ Frac (R) такое, что S конечно порождено как R-модуль, равно R. (Здесь Frac (R) обозначает поле дробей кольца R.) Это прямой перевод в терминах локальных колец геометрического условия, что каждый конечный бирациональный морфизм в X является изоморфизмом.
Старое понятие состоит в том, что подмногообразие X проективного пространства является линейно нормальным, если линейная система, дающая вложение, является полной. Эквивалентно, X ⊆ P не является линейной проекцией вложения X ⊆ P (если X не содержится в гиперплоскости P ). Это означает «нормальный» в фразах рациональная нормальная кривая и рациональная нормальная прокрутка.
Каждая обычная схема является нормальной. Напротив, Зариский (1939, теорема 11) показал, что каждое нормальное многообразие регулярно вне подмножества коразмерности не менее 2, и аналогичный результат верен для схем. Так, например, каждая нормальная кривая является правильной.
Любая редуцированная схема X имеет единственную нормализацию : нормальную схему Y с интегральным бирациональным морфизмом Y → X. (Для X - многообразие над полем, морфизм Y → X конечен, что сильнее «интегрального».) Нормализация схемы размерности 1 регулярна, а нормализация схемы размерности 2 имеет только изолированные особенности. Нормализация обычно не используется для разрешения особенностей для схем более высокой размерности.
Чтобы определить нормализацию, сначала предположим, что X является неприводимой редуцированной схемой X. Каждое аффинное открытое подмножество X имеет форму Spec R с R областью целостности. Запишите X как объединение аффинных открытых подмножеств Spec A i. Пусть B i будет интегральным замыканием для A i в его поле дроби. Тогда нормализация X определяется путем склеивания аффинных схем Spec B i.
Если исходная схема не является неприводимой, нормализация определяется как несвязное объединение нормализаций неприводимых компонентов.
Рассмотрим аффинную кривую
с точкой возврата в начале координат. Его нормализация может быть задана картой
, индуцированной из карты алгебры
Например,
равно не неприводимая схема, поскольку она состоит из двух компонентов. Его нормализация задается морфизмом схемы
, индуцированное из двух факторных отображений
Аналогично, для однородных неприводимых многочленов 
определяется выражением морфизм
![{\ displaystyle C = {\ text {Spec} } \ left ({\ frac {k [x, y]} {y ^ {2} -x ^ {5}}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911a5814713125113003a841c21d5db37e3e058c)
![{\ displaystyle {\ text {Spec}} ( k [t]) \ к C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eded942983b505e5335234195d66151f5d439206)
![{\ displaystyle X = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x, y] / (xy))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d237b10494d0c4f6e27c5cf076d49147557900)
![{\ displaystyle {\ text {Spec}} ( \ mathbb {C} [x, y] / (x) \ times \ mathbb {C} [x, y] / (y)) \ to {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x, y ] / (ху))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888da3a9b24086f646224774dbf14ba6c4c6e644)
![{\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (xy) \ к \ mathbb {C} [x, y] / (x, xy) = \ mathbb {C} [x, y] / (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ffe6d0c0c59c546c502a64abee433741e46cbb)
![{\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (xy) \ to \ mathbb {C} [x, y] / (y, xy) = \ mathbb {C} [x, y] / (y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389c0fcd9a81de6f13b44e088a834573217d26ac)
![{\ displaystyle {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]} {( f_ {1} \ cdots f_ {k}, g)}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e722fff2f8e78abf0854bda871835d738620b52)
![{\ displaystyle {\ text {Proj}} \ left (\ prod {\ frac {k [x_ {0}] \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {i}, g)}} \ right) \ to {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {k [x_ {0}, \ ldots, x_ {п}]} {(е_ {1} \ cdots f_ {k}, g)}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e4c0469a45a6ebd2c9105760c52028cf8cfd29)