Конечный морфизм

В алгебраической геометрии, морфизм f: X → Y схем является конечным морфизмом, если Y имеет открытое покрытие с помощью аффинных схем

$V\; i\; =\; Spec\; B\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Spec\}\}\; \backslash ;\; B\_\; \{i\}\}$

так, что для каждого i,

$f\; -\; 1\; (V\; i)\; =\; U\; i\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (V\_\; \{i\})\; =\; U\_\; \{i\}\}$

- открытая аффинная подсхема Spec A i, а ограничение f на U i, что индуцирует гомоморфизм колец

$B\; i\; \to \; A\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{i\}\; \backslash \; rightarrow\; A\_\; \{i\},\}$

создает A ia конечно сгенерированный модуль над B i. Также говорят, что X конечно над Y.

Фактически, f конечно тогда и только тогда, когда для каждой открытой аффинной открытой подсхемы V = Spec B в Y, прообраз V в X является аффинным, имеет форму Spec A, где A - конечно порожденный B-модуль.

Например, для любого поля k, $Spec\; (k\; [t,\; x\; ]\; /\; (xn\; -\; t))\; \to \; Spec\; (k\; [t])\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Spec\}\}\; (k\; [t,\; x]\; /\; (x\; ^\; \{n\}\; -t))\; \backslash \; к\; \{\backslash \; text\; \{\; Spec\}\}\; (k\; [t])\}$- конечный морфизм, поскольку $k\; [t,\; x]\; /\; (xn\; -\; t)\; \cong \; k\; [t]\; \oplus \; k\; [t]\; \cdot \; x\; \oplus \; \cdots \; \oplus \; К\; [T]\; \cdot \; Иксn\; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; к\; [т,\; х]\; /\; (х\; ^\; \{n\}\; -t)\; \backslash \; cong\; k\; [t]\; \backslash \; oplus\; k\; [t]\; \backslash \; cdot\; x\; \backslash \; oplus\; \backslash \; cdots\; \backslash \; oplus\; k\; [t]\; \backslash \; cdot\; x\; ^\; \{n-1\}\}$as $k\; [t]\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; [t]\}$-modules. Геометрически это очевидно конечно, так как это разветвленное n-листное покрытие аффинной прямой, которое вырождается в нуле. Напротив, включение A - 0 в A не конечно. (Действительно, кольцо многочленов Лорана k [y, y] не конечно порождено как модуль над k [y].) Это ограничивает нашу геометрическую интуицию сюръективными семействами с конечными слоями.

• 1 Свойства конечных морфизмов
• 2 Морфизмы конечного типа
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

• Композиция двух конечных морфизмов конечна.
• Любая замена базы конечного морфизма f: X → Y конечна. То есть, если g: Z → Y - любой морфизм схем, то полученный морфизм X × Y Z → Z конечен. Это соответствует следующему алгебраическому утверждению: если A и C являются (коммутативными) B-алгебрами и A конечно порождена как B-модуль, то тензорное произведение A ⊗ B C конечно порожден как C-модуль. В самом деле, в качестве генераторов можно взять элементы a i ⊗ 1, где a i - заданные генераторы A как B-модуля.
• Закрытые погружения конечны, поскольку они локально задаются формулой A → A / I, где I - идеал, соответствующий замкнутой подсхеме.
• Конечные морфизмы замкнуты, следовательно (из-за их устойчивости при изменении базы) собственно. Это следует из восходящей теоремы Коэна-Зайденберга в коммутативной алгебре.
• Конечные морфизмы имеют конечные слои (т. Е. Они квазиконечные ). Это следует из того факта, что для поля k любая конечная k-алгебра является артиновым кольцом. Связанное с этим утверждение состоит в том, что для конечного сюръективного морфизма f: X → Y, X и Y имеют одинаковую размерность.
• По Делиню морфизм схем конечен тогда и только тогда, когда он собственное и квазиконечное. Это было показано Гротендиком, если морфизм f: X → Y локально конечного представления, что следует из других предположений, если Y нётеров.
• Конечные морфизмы являются проективными и аффинными.

Для гомоморфизма A → B коммутативных колец B называется A-алгеброй конечного типа, если B является конечно порожденная как A-алгебра. Гораздо сильнее, чтобы B была конечной A-алгеброй, а это означает, что B конечно порождена как A-модуль. Например, для любого коммутативного кольца A и натурального числа n кольцо многочленов A [x 1,..., x n ] является A-алгеброй конечного типа, но это не конечная A-алгебра, если A = 0 или n = 0. Другой пример морфизма конечного типа, который не является конечным, - это $C\; [t]\; \to \; C\; [t]\; [x,\; y]\; /\; (y\; 2\; -\; x\; 3\; -\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [t]\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [t]\; [x,\; y]\; /\; (y\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{3\}\; -t)\}$.

Аналогичное понятие в терминах схем: морфизм f: X → Y схем имеет конечный тип, если Y имеет покрытие аффинными открытыми подсхемами V i = Spec A i такое, что f (V i) имеет конечное покрытие аффинными открытыми подсхемами U ij = Spec B ij с B ij A i -алгебра конечного типа. Также говорят, что X имеет конечный тип над Y.

Например, для любого натурального числа n и поля k аффинное n-пространство и проективное n-пространство над k конечны. типа над k (то есть над Spec k), в то время как они не конечны над k, если n = 0. В общем, любая квазипроективная схема над k имеет конечный тип над k.

Лемма о нормализации Нётер говорит в геометрических терминах, что каждая аффинная схема X конечного типа над полем k имеет конечный сюръективный морфизм в аффинное пространство A над k, где n - размерность X. Аналогично, каждая проективная схема X над полем имеет конечный сюръективный морфизм в проективное пространство P, где n - размерность X.

• Глоссарий алгебраической геометрии
• Конечная алгебра

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). "Элементы альгебриковой геометрии: IV. Локальный этюд схемов и морфизмов схемов, Troisième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 28: 5–255. doi : 10.1007 / bf02684343. MR 0217086.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32: 5–361. doi : 10.1007 / bf02732123. MR 0238860.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

• Авторы проекта Stacks, Проект Stacks