Глоссарий алгебраической геометрии

редактировать

Глоссарий Википедии

Это глоссарий алгебраической геометрии .

См. Также глоссарий коммутативной алгебры, глоссарий классической алгебраической геометрии и глоссарий теории колец. Для теоретико-числовых приложений см. глоссарий арифметики и диофантовой геометрии.

. Для простоты ссылка на базовую схему часто опускается; т.е. схема будет схемой над некоторой фиксированной базовой схемой S, а морфизм - это S-морфизм.

Содержание:

! $ @
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
XYZ
См. Также
Ссылки

! $ @

$η {\ displaystyle \ eta}$ $\ eta$

A общая точка. Например, точка, связанная с нулевым идеалом для любой интегральной аффинной схемы.

F (n), F (D)

1. Если X - проективная схема с скручивающим пучком Серра

OX (1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (1)}

{\ mathcal {O}} _ {X} (1)

и если F является модулем

OX {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}

{\ mathcal {O}} _ {X}

, тогда

F (n) = F ⊗ OXOX (n). {\ displaystyle F (n) = F \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} {\ mathcal {O}} _ {X} (n).}

F (n) = F \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} {\ mathcal {O}} _ {X} (n).

2. Если D - делитель Картье, а F -

OX {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}

{\ mathcal {O}} _ {X}

-модуль (X произвольно), то

F (D) = F ⊗ OXOX (D). {\ displaystyle F (D) = F \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} {\ mathcal {O}} _ {X} (D).}

F (D) = F \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X }} {\ mathcal {O}} _ {X} (D).

Если D равно дивизор Вейля и F рефлексивно, тогда заменяют F (D) его рефлексивной оболочкой (и назовем результат по-прежнему F (D).)

| D |

Полная линейная система дивизора Вейля D на нормальном полном многообразии X над алгебраически замкнутым полем k; то есть

| D | Знак равно п (Γ (X, OX (D))) {\ displaystyle | D | = \ mathbf {P} (\ Gamma (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (D)))}

| D | = \ mathbf {P} (\ Гамма (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (D)))

. Между множеством k-рациональных точек | D | существует биекция. и множество эффективных дивизоров Вейля на X, которые линейно эквивалентны D. То же определение используется, если D является дивизором Картье на полном многообразии над k.

[X / G]

Фактор-стек, скажем, алгебраического пространства X по действию групповой схемы G.

$X / / G {\ displaystyle X / \! / G}$ $X / \! / G$

Отношение GIT схемы X к действию групповой схемы G.

L

Неоднозначное обозначение. Обычно это означает n-ю тензорную степень L, но также может означать число самопересечения L. Если

L = OX {\ displaystyle L = {\ mathcal {O}} _ {X}}

L = {\ mathcal {O}} _ {X}

, структурный пучок на X, тогда это означает прямую сумму n копий

OX {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}

{\ mathcal {O}} _ {X}

$OX (- 1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (- 1)}$ ${\ mathcal {O}} _ {X} (- 1)$

Тавтологический линейный пучок . Это двойник скручивающейся связки Серра

OX (1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (1)}

{\ mathcal {O}} _ {X} (1)

$OX (1) {\ displaystyle { \ mathcal {O}} _ {X} (1)}$ ${\ mathcal {O}} _ {X} (1)$

Скручивающаяся связка Серра. Он является двойником тавтологического линейного пучка

O X (- 1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (- 1)}

{\ mathcal {O}} _ {X} (- 1)

. Его также называют связкой гиперплоскостей.

$O X (D) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (D)}$ ${\ mathcal {O}} _ {X} (D)$

1. Если D является эффективным делителем Картье на X, то он является обратным пучку идеалов D.

2. В большинстве случаев

OX (D) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (D)}

{\ mathcal {O}} _ {X} (D)

является образом D при естественном гомоморфизме группы из группы Дивизоры Картье группы Пикара

Pic ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X)}

\ operatorname {Pic} (X)

группы X, группы классов изоморфизма линейных расслоений на X.

3. В общем,

OX (D) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (D)}

{\ mathcal {O}} _ {X} (D)

- это связка, соответствующая делителю Вейля D ( по стандартной схеме ). Он не обязательно должен быть локально свободным, только рефлексивным.

4. Если D является ℚ-делителем, то

OX (D) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (D)}

{\ mathcal {O}} _ {X} (D)

равно

OX {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}

{\ mathcal {O}} _ {X}

неотъемлемой части D.

$Ω X p {\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p}}$ $\ Omega _ {X} ^ {p}$

Ω X 1 {\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {1}}

\ Omega _ { X} ^ {1}

- это связка дифференциалов Кэлера на X.

Ω Икс p {\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p}}

\ Omega _ {X} ^ {p}

- это p-я внешняя мощность

Ω X 1 {\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {1}}

\ Omega _ { X} ^ {1}

$Ом Икс п (журнал ⁡ D) {\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D)}$ $\ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D)$

1. Если p равно 1, это пучок логарифмических кэлеровых дифференциалов на X вдоль D (грубо говоря, дифференциальные формы с простыми полюсами вдоль дивизора D.)

Ом Икс p (log ⁡ D) {\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D)}

\ Omega _ {X} ^ {p} (\ log D)

- это p-я внешняя мощность

Ω X 1 (журнал ⁡ D) {\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {1} (\ log D)}

\ Omega _ {X} ^ {1} (\ log D)

P(V)

Обозначения неоднозначны. Его традиционное значение - проективизация конечномерного k-векторного пространства V; т.е.

P (V) = Proj ⁡ (k [V]) = Proj ⁡ (Sym ⁡ (V ∗)) {\ displaystyle \ mathbf {P} (V) = \ operatorname {Proj} (k [V ]) = \ operatorname {Proj} (\ operatorname {Sym} (V ^ {*}))}

\ mathbf { P} (V) = \ operatorname {Proj} (k [V]) = \ operatorname {Proj} (\ operatorname {Sym} (V ^ {*}))

(Proj кольца полиномиальных функций k [V ]) и его k-точки соответствуют линиям в V. Напротив, Хартшорн и EGA пишут P (V) для Proj симметрической алгебры V.

Q-факториал

A нормальное разнообразие - это

Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}

\ mathbb {Q}

-factorial, если каждые

Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}

\ mathbb {Q}

-делитель Вейля равен

Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}

\ mathbb {Q}

-Cartier.

Spec (R)

Множество всех простых идеалов в кольце R с топологией Зарисского; он называется простым спектром R.

Spec X (F)

относительным Spec O X -алгебра F. Она также обозначается Spec (F) или просто Spec (F).

Spec (R)

Множество всех оценок для кольца R с некоторым слабым топология; он называется спектром Берковича R.

абелева

1. абелево многообразие является полным групповым многообразием. Например, рассмотрим сложное многообразие

C n / Z 2 n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} / \ mathbb {Z} ^ {2n}}

\ mathbb {C} ^ {n } / \ mathbb {Z} ^ {2n}

или эллиптическую кривую

E {\ displaystyle E}

E

над конечным полем

F q {\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}

\ mathbb {F} _ {q}

2. абелева схема - это (плоское) семейство абелевых многообразий.

формула присоединения

1. Если D - эффективный дивизор Картье на алгебраическом многообразии X, оба допускающие дуализирующие пучки

ω D, ω X {\ displaystyle \ omega _ {D}, \ omega _ {X}}

\ omega _ {D}, \ omega _ {X}

, тогда формула присоединения говорит:

ω D = (ω X ⊗ OX (D)) | D {\ displaystyle \ omega _ {D} = (\ omega _ {X} \ otimes {\ mathcal {O}} _ {X} (D)) | _ {D}}

\ omega _ {D} = (\ omega _ {X} \ otimes {\ mathcal {O}} _ {X} (D)) | _ {D}

2. Если, кроме того, X и D гладкие, то формула эквивалентна высказыванию:

K D = (K X + D) | D {\ displaystyle K_ {D} = (K_ {X} + D) | _ {D}}

K_ {D} = (K_ {X} + D) | _ {D}

где

KD, KX {\ displaystyle K_ {D}, K_ {X}}

K_{D},K_{X}

- это канонические делители на D и X.

аффинный

1. Аффинное пространство - это примерно векторное пространство, где забыли, какая точка является началом координат

2. аффинное многообразие - это многообразие в аффинном пространстве

3. Аффинная схема - это схема, которая является простым спектром некоторого коммутативного кольца.

4. Морфизм называется аффинным, если прообраз любого открытого аффинного подмножества снова является аффинным. В более изысканных терминах аффинные морфизмы определяются конструкцией global Spec для пучков O X -алгебр, определяемой по аналогии со спектром кольцо. Важными аффинными морфизмами являются векторные расслоения и конечные морфизмы.

5. Аффинный конус над замкнутым подмногообразием X проективного пространства - это Spec однородного координатного кольца X.

Алгебраическая геометрия занимала центральное место в математике прошлого века. К этой области относятся наиболее глубокие результаты Абеля, Римана, Вейерштрасса, многие важнейшие работы Клейна и Пуанкаре. В конце прошлого и начале нынешнего столетия отношение к алгебраической геометрии резко изменилось.... Стиль мышления, который в то время был полностью развит в алгебраической геометрии, был слишком далек от теоретико-множественного и аксиоматического духа, который в то время определял развитие математики.... Примерно в середине нынешнего столетия алгебраическая геометрия претерпела в значительной степени такой процесс преобразования. В результате он снова может претендовать на позицию, которую когда-то занимал в математике.

Из предисловия к I.R. Шафаревич, Базовая алгебраическая геометрия.

алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия - это раздел математики, изучающий решения алгебраических уравнений.

алгебраическая геометрия над полем с одним элементом

Одна цель - доказать гипотеза Римана. См. Также поле с одним элементом и Пенья, Хавьер Лопес; Лоршеид, Оливер (31 августа 2009 г.). «Картографирование F_1-земли: обзор геометрии поля с одним элементом». arXiv : 0909.0069. а также.

алгебраическая группа

алгебраическая группа - это алгебраическое разнообразие, которое также является группа таким образом, групповые операции являются морфизмами многообразий.

алгебраическая схема

Разделенная схема конечного типа над полем. Например, алгебраическое многообразие - это приведенная неприводимая алгебраическая схема.

алгебраическое множество

алгебраическое множество над полем k - это сокращенная разделенная схема конечного типа над

Spec ⁡ (k) {\ Displaystyle \ OperatorName {Spec} (k)}

\ имя оператора {Spec} (k)

. Неприводимое алгебраическое множество называется алгебраическим многообразием.

алгебраическое пространство

Алгебраическое пространство является фактором схемы по отношению этальной эквивалентности.

алгебраическому многообразию

алгебраическое многообразие над полем k - это целая разделенная схема конечного типа над

Spec ⁡ (k) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (k)}

\ имя оператора {Spec} (k)

. Обратите внимание, что не предполагая, что k алгебраически замкнуто, вызывает некоторую патологию; например,

Spec ⁡ C × R Spec ⁡ C {\ displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbb {C} \ times _ {\ mathbb {R}} \ operatorname {Spec} \ mathbb {C}}

{\ displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbb {C} \ раз _ {\ mathbb {R}} \ OperatorName {Spec} \ mathbb {C}}

не является разновидностью, поскольку координатное кольцо

C ⊗ RC {\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}

\ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}

не является область целостности.

алгебраическое векторное расслоение

A локально свободный пучок конечного ранга.

обильное

линейное расслоение на проективном многообразии обильное, если тензорная сила этого очень обширна.

геометрия Аракелова

Алгебраическая геометрия над компактификацией Spec кольца целых рациональных чисел ℤ.. См. геометрия Аракелова.

арифметический род

арифметический род проективного многообразия X размерности r равен

(- 1) r (χ (OX) - 1) {\ displaystyle (-1) ^ {r} (\ chi ({\ mathcal {O}} _ {X}) - 1)}

(-1) ^ {r} ( \ chi ({\ mathcal {O}} _ {X}) - 1)

Стек Артина

Другой термин для алгебраического стека.

Артинизма

0-мерного и нётерского. Определение применяется как к схеме, так и к кольцу.

Функция Беренда: взвешенная характеристика Эйлера (хорошего) стека X по отношению к функции Беренда - это степень виртуального фундаментального класса X.
Формула следа Беренда: Формула следа Беренда обобщает формулу следа Гротендика ; обе формулы вычисляют след Фробениуса на l-адических когомологиях.
big: A big line bundle L on X размерности n - это линейный набор, такой что $lim sup л → ∞ тусклый ⁡ Γ (Икс, L l) / пер>0 {\ displaystyle \ displaystyle \ limsup _ {l \ to \ infty} \ operatorname {dim} \ Gamma (X, L ^ {l}) / l ^ {n}>0}$ $\displaystyle \limsup _{l\to \infty }\operatorname {dim} \Gamma (X,L^{l})/l^{n}>0$ .
бирациональный морфизм: A бирациональный морфизм между схемами - это морфизм, который становится изоморфизмом после ограничения некоторым открытым плотным подмножеством. Одним из наиболее распространенных примеров бирациональной карты является карта, индуцированная раздутие.
раздутие: A раздутие - это бирациональное преобразование, заменяющее замкнутую подсхему эффективным дивизором Картье. А именно, для нётеровой схемы X и замкнутой подсхемы $Z ⊂ X {\ displaystyle Z \ subset X}$ $Z \ подмножество X$ , раздутие X вдоль Z является правильным морфизмом $π : Икс ~ → Икс {\ Displaystyle \ pi: {\ widetilde {X}} \ к X}$ ${\ displaystyle \ pi: {\ widetilde {X} } \ to X}$ так, что (1) $π - 1 (Z) ↪ X ~ {\ displaystyle \ pi ^ {- 1} (Z) \ hookrightarrow {\ widetilde {X}}}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {- 1} (Z) \ hookrightarrow {\ widetilde {X}}}$ - эффективный делитель Картье, называемый исключительным делителем и (2) $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ универсален по отношению к (1). Конкретно, он построен как относительный Proj алгебры Риса $OX {\ displaystyle O_ {X}}$ $O_ {X}$ относительно идеального пучка, определяющего Z.

Калаби – Яу

1. Метрика Калаби – Яу - это кэлерова метрика, кривизна Риччи которой равна нулю.

каноническая

1. канонический пучок на нормальном многообразии X размерности n равен

ω X = i ∗ Ω U n {\ displaystyle \ omega _ {X} = i _ {*} \ Omega _ {U} ^ {n}}

\ omega _ {X} = i _ {*} \ Omega _ {U} ^ {n}

, где i - включение сглаженного геометрического места U и

Ω U n {\ displaystyle \ Omega _ {U} ^ {n}}

\ Omega _ {U} ^ {n}

- пучок дифференциальных форм на U степени n. Если базовое поле имеет нулевую характеристику вместо нормальности, то можно заменить i разрешением сингулярностей.

2. канонический класс

KX {\ displaystyle K_ {X}}

K_ {X}

на нормальном многообразии X - это класс делителей, такой что

OX (KX) = ω X {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (K_ {X}) = \ omega _ {X}}

{\ mathcal {O}} _ {X} (K_ {X}) = \ omega _ {X}

3. канонический делитель является представителем канонического класса

KX {\ displaystyle K_ {X}}

K_ {X}

, обозначенного тем же символом (и не вполне определенного).

4. каноническое кольцо нормального многообразия X является секционным кольцом канонического пучка.

канонической модели

1. каноническая модель - это Proj канонического кольца (при условии, что кольцо конечно порождено.)

Cartier

1. Эффективный дивизор Картье D на схеме X над S является плоской над S замкнутой подсхемой в X, пучок идеалов которой обратим (локально не имеет ранга один).

Регулярность Кастельнуово – Мамфорда

Регулярность Кастельнуово – Мамфорда когерентного пучка F на проективном пространстве

f: PS n → S {\ displaystyle f: \ mathbf {P} _ {S} ^ {n} \ to S}

f: \ mathbf {P} _ {S} ^ {n} \ to S

по схеме S - наименьшее целое число r такое, что

R, если ∗ F (r - i) = 0 {\ displaystyle R ^ {i} f _ {*} F (ri) = 0}

R ^ {i } f _ {*} F (ri) = 0

для всех i>0.

цепная связь

Схема является цепной цепью, если все цепочки между двумя неприводимыми замкнутыми подсхемами имеют одинаковую длину. Примеры включают практически все, например многообразий над полем, и трудно построить примеры, которые не были бы цепными.

центральное волокно

1. Специальное волокно.

Группа Чоу

k-я группа Чоу

A k (X) {\ displaystyle A_ {k} (X)}

A_ {k} (X)

из гладкое многообразие X - это свободная абелева группа, порожденная замкнутыми подмногообразиями размерности k (группа k- циклов ) по модулю рациональных эквивалентностей.

классифицирующий стек

Аналог классифицирующее пространство для торсоров в алгебраической геометрии; см. классифицирующий стек.

закрытый

Закрытые подсхемы схемы X определяются как те, которые встречаются в следующей конструкции. Пусть J будет квазикогерентным пучком

O X {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}

{\ mathcal {O}} _ {X}

-идеалов. Частное пучок

OX / J {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} / J}

{\ mathcal {O}} _ {X} / J

является замкнутым подмножеством Z X и

(Z, (OX / J) | Z) {\ displaystyle (Z, ({\ mathcal {O}} _ {X} / J) | _ {Z})}

(Z, ({\ mathcal {O}} _ {X} / J) | _ {Z})

- это схема, называемая замкнутая подсхема, определяемая квазикогерентным пучком идеалов J . Причина, по которой определение замкнутых подсхем опирается на такую конструкцию, заключается в том, что, в отличие от открытых подмножеств, замкнутое подмножество схемы не имеет уникальной структуры в качестве подсхемы.

Коэн – Маколей

Схема называется Cohen- Маколея, если все локальные кольца - Коэн-Маколей. Например, регулярные схемы и Spec k [x, y] / (xy) - это Коэна – Маколея, а

- нет.

когерентный пучок

A когерентный пучок на нётеровой схеме X является квазикогерентный пучок, который конечно порождается как O X -модуль.

коническая

алгебраическая кривая степени два.

связная

Схема соединил как топологическое пространство. Поскольку компоненты связности уточняют неприводимые компоненты, любая неприводимая схема является связной, но не наоборот. аффинная схема Spec (R) подключена , если кольцо R не имеет идемпотентов, кроме 0 и 1; такое кольцо также называется связным кольцом . Примеры связанных схем включают аффинное пространство, проективное пространство, а примером несвязной схемы является Spec (k [x] × k [x])

компактификация.

См., Например, теорему Нагаты о компактификации.

Кольцо Кокса

Обобщение однородного координатного кольца. См. кольцо Кокса.

крепант

A морфизм крепанта

f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}

f: X \ to Y

между нормальными разновидностями - это такой морфизм, что

f ∗ ω Y = ω X {\ displaystyle f ^ {*} \ omega _ {Y} = \ omega _ {X}}

f ^ {*} \ omega _ {Y} = \ omega _ {X}

curve

Алгебраическое многообразие размерности один.

деформация

Пусть

S → S '{\ displaystyle S \ to S'}

S\to S'

- морфизм схем, а X - S-схема. Тогда деформация X 'X представляет собой S'-схему вместе с квадратом отката, в котором X является откатом X' (обычно X 'считается плоским ).

локусом вырождения

Учитывая вектор -расслоение

f: E → F {\ displaystyle f: E \ to F}

f: E \ to F

над многообразием X (то есть схемным X-морфизмом между полными пространствами расслоений), локус вырождения является (теоретико-схемным) локусом

X k (f) = {x ∈ X | rk ⁡ (f (x)) ≤ k} {\ displaystyle X_ {k} (f) = \ {x \ in X | \ operatorname {rk} (f (x)) \ leq k \}}

{ \ Displaystyle X_ {к} (е) = \ {х \ в Х | \ operatorname {rk} (f (x)) \ leq k \}}

вырождение

1. Говорят, что схема X вырождается в схема

Икс 0 {\ displaystyle X_ {0}}

X_ {0}

(называется пределом X), если существует схема

π: Y → A 1 {\ displaystyle \ pi: Y \ to \ mathbf {A} ^ {1}}

\ pi: Y \ to \ mathbf {A} ^ {1}

с стандартным волокном X и специальным волокном

X 0 {\ displaystyle X_ {0}}

X_ {0}

2. плоское вырождение - это вырождение, такое что

π {\ displaystyle \ pi}

\ pi

является плоским.

измерение

sizesio n, по определению, максимальная длина цепочки неприводимых замкнутых подсхем является глобальным свойством. Это можно увидеть локально, если схема неприводима. Это зависит только от топологии, а не от структурного пучка. См. Также Глобальное измерение. Примеры: равноразмерные схемы в размерности 0: Артиновы схемы, 1: алгебраические кривые, 2: алгебраические поверхности.

степень

1. Степень линейного расслоения L на полном многообразии - это такое целое число d, что

χ (L ⊗ m) = d n! mn + O (mn - 1) {\ displaystyle \ chi (L ^ {\ otimes m}) = {d \ over n!} m ^ {n} + O (m ^ {n-1})}

\ chi (L ^ {\ otimes m}) = {d \ over n!} m ^ {n} + O (m ^ {n-1})

2. Если x - цикл на полном многообразии

f: X → Spec ⁡ k {\ displaystyle f: X \ to \ operatorname {Spec} k}

f: X \ to \ operatorname {Spec} k

над полем k, то его степень равна

е * (х) ∈ A 0 (Spec ⁡ k) = Z {\ displaystyle f _ {*} (x) \ in A_ {0} (\ operatorname {Spec} k) = \ mathbb {Z}}

f _ {*} (x) \ in A_ {0} (\ operatorname {Spec} k) = \ mathbb {Z}

2. Для получения информации о степени конечного морфизма см. морфизм многообразий # Степень конечного морфизма.

производная алгебраическая геометрия

Подход к алгебраической геометрии с использованием (коммутативного ) кольцевых спектров вместо коммутативных колец ; см. производная алгебраическая геометрия.

дивизориальная

1. Дивизориальный пучок на нормальном многообразии - это рефлексивный пучок вида O X (D) для некоторого дивизора Вейля D.

2. Дивизорная схема - это схема, допускающая обильное семейство обратимых пучков. Схема, допускающая обильный обратимый пучок, является основным примером.

доминантный

Морфизм f: X → Y называется доминантным, если изображение f (X) плотно. Морфизм аффинных схем Spec A → Spec B плотен тогда и только тогда, когда ядро соответствующего отображения B → A содержится в нильрадикале B.

дуализирующий комплекс

См. Когерентная двойственность.

дуализирующий пучок

На проективной схеме Коэна – Маколея чистой размерности n дуализирующий пучок представляет собой когерентный пучок

ω {\ displaystyle \ omega}

\ omega

на X такой, что

ЧАС N - Я (ИКС, F ∨ ⊗ ω) ≃ ЧАС я (X, F) ∗ {\ Displaystyle Н ^ {ni} (X, F ^ {\ vee} \ otimes \ omega) \ simeq H ^ {i} (X, F) ^ {*}}

H ^ {ni} (X, F ^ {\ vee} \ otimes \ omega) \ simeq H ^ {i} (X, F) ^ {*}

выполняется для любого локально свободного пучка F на X; например, если X - гладкое проективное многообразие, то это канонический пучок.

Algébrique Éléments de géométrie algébrique

EGA был неполной попыткой заложить фундамент алгебраической геометрии, основанной на о понятии схемы, обобщении алгебраического многообразия. Seminaire de géométrie algébrique продолжается с того места, где остановилась EGA. Сегодня это одна из стандартных ссылок в алгебраической геометрии.

эллиптическая кривая

эллиптическая кривая - это гладкая проективная кривая первого рода.

по существу конечного type

Локализация схемы конечного типа.

étale

Морфизм f: Y → X является этальным, если он плоский и неразветвленный. Есть несколько других эквивалентных определений. В случае гладких разновидностей

X {\ displaystyle X}

X

Y {\ displaystyle Y}

Y

над алгебраически замкнутым полем, etale морфизмы - это в точности те, которые индуцируют изоморфизм касательных пространств

df: T y Y → T f (y) X {\ displaystyle df: T_ {y} Y \ rightarrow T_ {f (y)} X}

df: T_ {y} Y \ rightarrow T_ {f (y)} X

,что совпадает с обычным понятием этального изображения в дифференциальной геометрии. Этальные морфизмы составляют очень важный класс морфизмов; они используются для построения так называемой этальной топологии и, следовательно, этальной когомологии, которая является настоящим временем одним из краеугольных камней алгебраической геометрии.

последовательность Эйлера

Точная последовательность пучков:

0 → OP n → OP n (1) ⊕ (n + 1) → TP n → 0, {\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {P} ^ {n}} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {P} ^ {n}} (1) ^ {\ oplus (n + 1)} \ to T \ mathbf {P} ^ {n} \ to 0,}

0 \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {P} ^ {n}} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathbf {P} ^ { n}} (1) ^ {\ oplus (n + 1)} \ to T \ mathbf {P} ^ {n} \ to 0,

, где P - проективное пространство над полем, последний ненулевой член - касательный пучок, называется последовательностью Эйлера.

эквивариантная теория пересечений

См. главу II в http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf

F-регулярный: Относится к морфизму Фробениуса.
Фано: A Многообразие Фано - это гладкое проективное разнообразие X, антиканонический пучок которого $ω X - 1 {\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {- 1}}$ $\ omega _ {X} ^ {- 1}$ достаточно.
волокно: При условии $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ между схемами, волокно функции f над y есть как набор прообраз $f - 1 (y) = {x ∈ X | е (х) = y} {\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = \ {x \ in X | f (x) = y \}}$ $f ^ {- 1} (y) = \ {x \ in X | f (x) = y \}$ ; он имеет естественные схемы развития над полем вычетов y как волокнистый продукт $X × Y {y} {\ displaystyle X \ times _ {Y} \ {y \}}$ $X \ times _ {Y} \ {y \}$ , где ${y} {\ displaystyle \ {y \}}$ $\ {y \}$ имеет естественную измененную схему над Y как Спецификация поля вычетов y.
волокно продукт: 1. Еще один термин для «отката » в теории категорий.; 2. Стек $F × GH {\ displaystyle F \ times _ {G} H}$ $F \ times _ {G} H$ , заданный для $f: F → G, g: H → G {\ displaystyle f: F \ to G, g: H \ to G}$ $f: F \ to G, g: H \ to G$ : объект над B является тройкой (x, y, ψ), x в F (B), y в H (B), ψ изоморфизм $е ( х) → ∼ g (y) {\ displaystyle f (x) {\ overset {\ sim} {\ to}} g (y)}$ ${\ displaystyle f (x) {\ overset {\ sim} {\ to}} г (y)}$ в G (B); стрелка от (x, y, ψ) к (x ', y', ψ ') представляет собой пару морфизмов $α: x → x ′, β: y → y ′ {\ displaystyle \ alpha: x \ к x ', \ beta: y \ to y'}$ $\alpha :x\to x',\beta :y\to y'$ так, что $ψ ′ ∘ е (α) = g (β) ∘ ψ {\ displaystyle \ psi '\ circ f (\ alpha) = g (\ beta) \ circ \ psi}$ $\psi '\circ f(\alpha)=g(\beta)\circ \psi$ . Полученный квадрат с очевидными проекциями не коммутирует; скорее, он коммутирует до естественного изоморфизма; т.е. это.
final: Одна из фундаментальных идей Гротендика состоит в том, чтобы подчеркнуть относительные понятия, то есть условия на морфизмы, а не условия на сами схемы. Категория имеет конечный объект , спектр схем $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ целых чисел; так что любая схема $S {\ displaystyle S}$ $S$ завершается $Spec (Z) {\ displaystyle {\ textrm {Spec}} (\ mathbb {Z})}$ ${\ textrm {Spec}} (\ mathbb {Z})$ , и уникальным образом.
конечный: Морфизм f: Y → X конечный, если $X {\ displaystyle X}$ $X$ может быть покрыт по аффинным открытым наборам $Spec B { \ displaystyle {\ text {Spec}} B}$ ${\ text {Spec}} B$ таким образом, что каждый $f - 1 (Spec B) {\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ text {Spec}} B)}$ $f ^ {- 1} ({\ text {Spec}} B)$ аффинно - скажем, имеет форму $Spec A {\ displaystyle {\ text {Spec}} A}$ ${\ text {Spec}} A$ - и более того $A {\ displaystyle A}$ $A$ конечно генерируется как $B {\ displaystyle B}$ $B$ -модуль. См. конечный морфизм. Конечные морфизмы квазиконечны, но не все морфизмы, имеющие конечные слои, квазиконечные, а морфизмы конечного типа обычно не квазиконечные.
конечный тип (локально): Морфизм f: Y → X локально конечного типа, если $X {\ displaystyle X}$ $X$ может быть покрыт аффинными открытыми наборами $Spec B {\ displaystyle {\ text {Spec}} B}$ ${\ text {Spec}} B$ таким образом, что каждое обратное изображение $f - 1 (Spec B) {\ displaystyle f ^ {- 1} ( {\ text {Spec}} B)}$ $f ^ {- 1} ({\ text {Spec}} B)$ покрывается аффинные открытые наборы $Spec A {\ displaystyle {\ text {Spec}} A}$ ${\ text {Spec}} A$ , где каждый $A {\ displaystyle A}$ $A$ конечным образом генерируется как $В {\ displaystyle B}$ $B$ -алгебра. Морфизм f: Y → X является конечного типа, если $X {\ displaystyle X}$ $X$ может быть покрыт аффинными открытыми числами $Spec B {\ displaystyle {\ текст { Spec}} B}$ ${\ text {Spec}} B$ такой, что каждое обратное изображение $f - 1 (Spec B) {\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ text {Spec}} B)}$ $f ^ {- 1} ({\ text {Spec}} B)$ покрывается конечным числом аффинных открытых множеств $Spec A {\ displaystyle {\ text {Spec}} A}$ ${\ text {Spec}} A$ , где каждый $A {\ displaystyle A}$ $A$ конечно порождается как $Б {\ displaystyle B}$ $B$ -алгебра.
конечные слои: Морфизм f: Y → X имеет конечных слоев, если слой над каждой точкой $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ конечным множеством. Морфизм называется квазифинитным, если он имеет конечный тип и имеет конечные слои.
конечное представление: Если y является точкой Y, то морфизм является f конечного представления в y (или, конечно представленного в y ), если существуют открытая аффинная добавленная точка U точки f (y) и открытая аффинная имя V точки y такие, что f (V) ⊆ U и $OY (V) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y} (V)}$ ${\ mathcal {O}} _ {Y} (V)$ - это конечно представленная алгебра над $ОХ (U) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}$ ${\ mathcal {O}} _ {X} (U)$ . Морфизм f является локально конечным представлением, если он представлен во всех точках Y. Если X локально нетерово, то локально имеет конечное представление тогда и только тогда, когда он локально имеет конечный тип. Морфизм f: Y → X является конечным представлением (или Y конечно представим над X ), если он локально конечного представления, квазикомпактный и квазиотделяемый. Если X является локально нётеровым, то оно имеет конечное тогда и только тогда, когда оно имеет конечный тип.
множество флагов: разнообразие флагов параметризует флаг векторных пространств.
плоский: Морфизм $f {\ displaystyle f}$ $f$ Плата, если он приводит к плоской карте на стеблях. Если рассматривать морфизм f: Y → X как семейство схем, параметризованных точками $X {\ displaystyle X}$ $X$ , геометрический смысл плоскостности можно грубо описать, сказав, волокна $f - 1 (x) {\ displaystyle f ^ {- 1} (x)}$ $f ^ {- 1} (x)$ не меняются слишком сильно.
формальный: См. формальная схема.

gd.

Учитывая кривая C, делитель D на ней и новое подпространство

V ⊂ H 0 (C, O (D)) {\ displaystyle V \ subset H ^ {0} (C, {\ mathcal {O}} (D))}

{\ displaystyle V \ subset H ^ {0} (C, {\ mathcal {O}} (D))}

, говорят, что линейная система

P (V) {\ displaystyle \ mathbb {P} (V)}

\ mathbb {P} (V)

- это ag d если V имеет размерность r + 1, а D имеет степень d. Говорят, что C имеет ag d, если существует такая линейная система.

Теорема восстановления Габриэля - Розенберга

Теорема восстановления Габриэля - Розенберга утверждает, что схема X может быть восстановлена из категории квазикогерентных пучков на X. Теорема является отправной точкой для некоммутной алгебраической геометрии, поскольку, как теорему в аксиомы, определяя некоммутативную схему сводится к определению на нем категории квазикогерентных пучков. См. Также https://mathoverflow.net/q/16257

G-bundle

Основной G-комплект.

общая точка

плотная точка.

род

См. # арифметический род, # геометрический род.

формула рода

Формула рода для узловой кривой на проективной плоскости говорит о том, что дан род кривой как

g = (d - 1) (d - 2) / 2 - δ {\ displaystyle g = (d-1) (d-2) / 2- \ delta}

g = (d-1) (d-2) / 2- \ delta

где d - степень кривая, а δ - количество узлов (которое равно нулю, если кривая гладкая).

геометрический род

геометрический род гладкого проективного разнообразия X размерности n равен

тусклый ⁡ Γ (Икс, Ω Икс N) = тусклый ⁡ ЧАС N ⁡ (X, OX) {\ displaystyle \ dim \ Gamma (X, \ Omega _ {X} ^ {n}) = \ dim \ operatorname {H} ^ {n} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}

\ dim \ Gamma (X, \ Omega _ {X} ^ {n}) = \ dim \ operatorname {H} ^ {n} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})

( где равенство - теорема двойственности Серра.)

свойство геометрическая

Простая точка алгебраически замкнутого поля.

геометрическое

Свойством схемы X над полем k является "geometri c ", если он выполнен для

XE = X × Spec ⁡ k Spec ⁡ E {\ displaystyle X_ {E} = X \ times _ {\ operatorname {Spec} k} {\ operatorname {Spec} E}}

X_ {E} = X \ times _ {\ operatorname {Spec} k} {\ operatorname {Spec} E}

для любого расширения поля

E / k {\ displaystyle E / k}

E / k

геометрическое частное

геометрическое частное схемы X с групповой схемой G является хорошим фактором, так что это является орбитами.

герб

A герб (грубо говоря) стек, который локально непуст и в котором два объекта локально изоморфны.

Частное GIT

Частное GIT

X / / G {\ displaystyle X / \! / G}

X / \! / G

равно

Spec ⁡ (AG) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (A ^ {G})}

\ operatorname {Spec} (A ^ {G})

когда

X = Spec ⁡ A { \ displaystyle X = \ operatorname {Spec} A}

X = \ operatorname {Spec} A

Proj ⁡ (AG) {\ displaystyle \ operatorname {Proj} (A ^ {G})}

\ operatorname {Proj} (A ^ {G})

когда

X = Proj ⁡ A {\ displaystyle X = \ operatorname {Proj} A}

X = \ operatorname {Proj} A

хорошее отношение

хорошее частное схемы X с действием групповой схемы G является инвариантный морфизм

f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}

f: X \ to Y

такой, что

(f ∗ OX) G = OY. {\ displaystyle (f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}) ^ {G} = {\ mathcal {O}} _ {Y}.}

(f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X }) ^ {G} = {\ mathcal {O}} _ {Y}.

Горенштейн

1. Схема Горенштейна - это локально нетерова схема, локальные кольца которой являются кольцами Горенштейна.

2. Нормальное многообразие называется ℚ-горенштейновым, если каноническим делителем на нем является ℚ-Картье (и не обязательно Коэна – Маколея).

3. Некоторые авторы называют нормальное многообразие Горенштейном, если каноническим делителем является Картье; обратите внимание, это использование несовместимо со значением 1.

Теорема об исчезновении Грауэрта – Рименшнайдера

Теорема об исчезновении Грауэрта – Рименшнайдера расширяет теорему об исчезновении Кодаиры на более высокие пучки прямых изображений; см. также https://arxiv.org/abs/1404.1827

кольцо многообразий Гротендика

Это свободная абелева группа, порожденная классами изоморфизма многообразий с соотношением:

[X] = [ Z] + [X - Z] {\ displaystyle [X] = [Z] + [XZ]}

{\ displaystyle [X] = [Z] + [XZ]}

где Z - замкнутое подмногообразие многообразия X, снабженное умножением

[X] ⋅ [Y ] = [X × Y]. {\ displaystyle [X] \ cdot [Y] = [X \ times Y].}

{\ displaystyle [X] \ cdot [Y] = [X \ times Y].}

Теорема об исчезновении Гротендика

касается локальной когомологии.

схемы группы

A схемы группы. схема, множества точек которой имеют структуру группы .

многообразие групп

Старый термин для "гладкой" алгебраической группы.

многочлен Гильберта: многочлен Гильберта проективной схемы X над полем является эйлеровой характеристикой $χ (OX (s)) {\ displaystyle \ chi ({\ mathcal {O}} _ {X} (s))}$ $\ чи ({\ mathcal {O}} _ {X} (s))$ .
расслоение Ходжа: Расслоение Ходжа на пространстве модулей кривых (фиксированного рода) примерно представляет собой векторное расслоение, слой которого над кривой C является векторным пространством $Γ (C, ω C) {\ displaystyle \ Gamma (C, \ omega _ {C})}$ $\ Gamma (C, \ omega _ {C})$ .
гиперэллиптическая: Кривая гиперэллиптическая, если у нее есть ag 2 (т. е. существует линейная система размерности 1 и степени 2.)
пучок гиперплоскостей: Другой термин для скручивающейся связки Серра $OX (1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (1)}$ ${\ mathcal {O}} _ {X} (1)$ . Он является двойником тавтологического линейного расслоения (отсюда и термин).

image

Если f: Y → X - любой морфизм схем, теоретико-схемное изображение f является единственной замкнутой подсхемой i: Z → X, которая удовлетворяет следующему универсальному свойству :

f, пропускаемому через i,
, если j: Z ′ → X - любая замкнутая подсхема X, что f пропускается через j, тогда i также пропускается через j.

Это понятие отличается от обычного теоретико-множественного образа f, f (Y). Например, основное пространство Z всегда содержит (но не обязательно равно) замыкание Зарисского f (Y) в X, поэтому, если Y - любая открытая (а не замкнутая) подсхема X и f - отображение включения, тогда Z отличен от f (Y). Когда Y редуцируется, то Z является замыканием Зарисского f (Y), наделенным структурой редуцированной замкнутой подсхемы. Но в общем случае, если f не является квазикомпактным, конструкция Z не является локальной на X.

погружение

Погружения f: Y → X - это отображения, которые факторируются через изоморфизмы с подсхемами. В частности, открытое погружение учитывается через изоморфизм с открытой подсхемой, а закрытое погружение учитывается через изоморфизм с закрытой подсхемой. Эквивалентно, f является замкнутым погружением тогда и только тогда, когда оно индуцирует гомеоморфизм из основного топологического пространства Y в замкнутое подмножество основного топологического пространства X, и если морфизм

f ♯: OX → f ∗ OY {\ displaystyle f ^ {\ sharp}: {\ mathcal {O}} _ {X} \ to f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {Y}}

f ^ {\ sharp}: {\ mathcal {O}} _ {X} \ to f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {Y}

сюръективно. Композиция погружений - это снова погружение. Некоторые авторы, такие как Хартсхорн в его книге «Алгебраическая геометрия» и К. Лю в его книге «Алгебраическая геометрия и арифметические кривые», определяют иммерсию как композицию открытого погружения с последующим закрытым погружением. Эти погружения являются погружениями в указанном выше смысле, но обратное неверно. Кроме того, согласно этому определению, сочетание двух иммерсий не обязательно является иммерсией. Однако эти два определения эквивалентны, когда f квазикомпактна. Обратите внимание, что открытое погружение полностью описывается своим образом в смысле топологических пространств, в то время как закрытое погружение - нет:

Spec ⁡ A / I {\ displaystyle \ operatorname {Spec} A / I}

\ operatorname {Spec} A / I

Spec ⁡ A / J {\ displaystyle \ operatorname {Spec} A / J}

\ operatorname {Spec} A / J

может быть гомеоморфным, но не изоморфным. Это происходит, например, если я - радикал J, но J - не радикальный идеал. При указании замкнутого подмножества схемы без упоминания структуры схемы обычно имеется в виду так называемая редуцированная структура схемы, то есть структура схемы, соответствующая единому радикальному идеалу, состоящему из всех функций, исчезающих на этом замкнутом подмножестве.

ind-scheme

ind-scheme - это индуктивный предел замкнутых погружений.

обратимый пучок

Локально свободный пучок ранга один. Эквивалентно, это торсор для мультипликативной группы

G m {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}

\ mathbb {G} _ {m}

(т. Е. Линейный пучок).

интегральная

Схема, которая одновременно является редуцированной и неприводимой, называется интегральной. Для локально нётеровых схем быть интегральным равносильно, которая покрывается спектром областью целостности. (Строго говоря, это не локальное свойство, поскольку дизъюнктное объединение двух интегральных не является целостным. Однако для неприводимых схем это локальное свойство.) Например, схема Spec k [t] / f, f неприводимый многочлен является целым, а Spec A × B. (A, B ≠ 0) не является.

Схема неприводимой

Схема X называется неприводимой, если (как топологическое пространство) она не является объединением двух замкнутых подмножеств, за исключением одного равно X. Использование соответствия простых идеалов и точек в аффинной схеме означает, что X неприводимо тогда и только тогда, когда X связно и все кольца A i имеют ровно один минимальный простой идеал. (Кольца, обладающие ровно одним минимальным первичным идеалом, поэтому также называются неприводимыми.) Любую нётерову схему можно однозначно записать как объединение конечного числа максимальных неприводимых непустых замкнутых подмножеств, называемых его неприводимыми компонентами. Аффинное пространство и проективное пространство неприводимы, в то время как Spec k [x, y] / (xy) =

- нет.

Якобиево разнообразие: Якобиево разнообразие проективной кривой X является частью нулевой степени разнообразие Пикара $Pic ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X) }$ $\ operatorname {Pic} (X)$ .

Кемпф Теорема об исчезновении: Теорема Кемпфа об исчезновении касается исчезновения высших когомологий группия флагов.
klt: Сокращение для «лог-терминал каваматы "
измерение Кодаира: 1. Измерение Кодаира (также называемое измерением Иитаки ) полуобильного линейного расслоения L - это размерность Proj кольца сечений L.; 2. Размерность Кодаира нормального разнообразия X - это размерность Кодаира его канонического пучка.
Теорема об исчезновении Кодаира: См. теорему об исчезновении Кодаиры.
Карта Кураниши: См. Структура Кураниши.

Число Лелонга: См. Число Лелонга.
структура уровня: см. ht tp: //math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf
линеаризация: Другой термин для структуры эквивариантного пучка / вектор.
локальный: Наиболее важные свойства схем являются локальными по своей природе, т.е. схема X обладает определенным свойством P тогда и только тогда, когда для любого покрытия X открытыми подсхемами X i, т.е. X = $∪ {\ displaystyle \ cup}$ $\ cup$ Xi, каждый X i имеет свойство P. Обычно бывает достаточно, чтобы проверить одну обложку, а не все возможные. Также говорят, что определенное свойство является локальным по Зарискому, если нужно различать топологию Зарисского и другие возможные топологии, такие как этальная топология. Рассмотрим схему X и покрытие аффинными открытыми подсхемами Spec A i. Использование словаря между (коммутативными) кольцами и аффинными схемами, таким образом, локальные свойства являются свойствами колец A i. Свойство P является локальным в указанном выше смысле, если и только если соответствующее колец устойчиво при локализации. Например, мы можем говорить о локально нётерских схемах, а именно тех, которые покрываются спектрами нётерских колец. Тот факт, что локализации нётерового кольца все еще нётеровы, означает, что свойство схемы быть локально нётеровым является локальным в указанном выше смысле (отсюда и название). Другой пример: если кольцо редуцировано (т.е. не имеет ненулевых нильпотентных элементов), то его локализации тоже. Примером нелокального свойства является разделенность (определение см. Ниже). Любая аффинная схема отделена, поэтому любая схема отделена локально. Однако аффинные части могут патологически склеиваться, давая неразрывную схему. Ниже представлен (не исчерпывающий) список локальных свойств колец, которые применяются к схемам. Пусть X = $∪ {\ displaystyle \ cup}$ $\ cup$ Spec A i будет покрытием схемы открытыми аффинными подсхемами. Для определенности, пусть k в дальнейшем обозначает поле . Большинство примеров также работают с целыми числами Z в качестве основы, хотя или с более общими основаниями. Связное, неприводимое, приведенное, целое, нормальное, регулярное, Коэна-Маколея, локально нётерово, размерность, цепная связь,
локальное полное пересечение: Локальные кольца - это полные кольца пересечений. См. Также: регулярное встраивание.
локальная униформизация: локальная униформизация - это метод построения более слабой формы разрешение сингуляр посредством оценки кольца.
локально факториал: Локальные кольца - это уникальные области факторизации.
локально конечного типа: Морфизм f: Y → X локально конечного типа, если $X {\ displaystyle X}$ $X$ может быть охвачен аффинными открытыми наборами $Spec B {\ displaystyle {\ text {Spec}} B}$ ${\ text {Spec}} B$ , так что каждое обратное изображение $f - 1 (Spec B) {\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ text {Spec}} B)}$ $f ^ {- 1} ({\ text {Spec}} B)$ покрывается аффинными открытыми наборами $Spec A {\ displaystyle {\ текст {Spec}} A}$ ${\ text {Spec}} A$ , где каждый $A {\ displaystyle A}$ $A$ конечным образом генерируется как $B {\ displaystyle B}$ $B$ -алгебра.
локально нётерианский: A i - это нётерские кольца. Если к тому же X покрывает конечное число таких аффинных спектров, схема называется нётеровой. Хотя, что спектр нётерова кольца является нётеровым топологическим пространством, обратное неверно. Например, большинство схем в конечномерной алгебраической геометрии локально нетеровы, но $GL ∞ = ∪ GL n {\ displaystyle GL _ {\ infty} = \ cup GL_ {n}}$ $GL _ {\ infty} = \ cup GL_ {n}$ нет.
логарифмическая геометрия
структура журнала: См. структура журнала. Это понятие принадлежит Фонтен-Иллюзи и Като.
группа петель: См. группа петель (в статье не обсуждается группа петель в алгебраической геометрии; пока см. Также ind -scheme ).

модули: См., Например, пространство модулей.В то время как большая часть ранних работ по модулям, особенно после [Mum65], делала акцент на построении точных или грубых пространств модулей, недавно акцент сместился в сторону изучения семейств многообразий, то есть в сторону функторов модулей и стеков модулей. Основная задача состоит в том, чтобы понять, какие объекты образуют «хорошие» семейства. После того, как установлена хорошая концепция «хороших семейств», существование грубого пространства модулей должно быть почти автоматическим.Грубое пространство модулей больше не является фундаментальным объектом, скорее это всего лишь удобный способ отслеживать определенную информацию, которая скрыта только в функторе модулей или стеке модулей.
Коллар, Янош, Глава 1, «Книга о модулях поверхностей».
Миниатюрное произ ведение Мори Программа малых моделей: Программа минимальных моделей - это исследовательская программа, направленная на бирациональную классификацию алгебраических разновидностей размерности больше 2.
морфизм: 1. Морфизм алгебраических многообразий задается локально полиномами.; 2. морфизм схем - это морфизм локально окольцованных пространств.; 3. Морфизм $f: F → G {\ displaystyle f: F \ to G}$ $f: F \ to G$ стеков (скажем, над категорией S-схем) - это функтор такой, что $PG ∘ е = PF {\ displaystyle P_ {G} \ circ f = P_ {F}}$ $P_ {G} \ circ f = P_ {F}$ где $PF, PG {\ displaystyle P_ {F}, P_ {G}}$ $P_ {F}, P_ {G}$ - это структуры, отображаемые в базовую категорию.

nef: См. линейный пакет nef.
несингулярный: архаичный термин для «гладкого», как в гладком разнообразии.
нормальном: 1. Интегральная схема называется нормальной, если локальные кольца являются интегрально замкнутыми областями. Например, все обычные схемы являются нормальными, а особые кривые - нет.; 2. Гладкая кривая $C ⊂ P r {\ displaystyle C \ subset \ mathbf {P} ^ {r}}$ ${\ displaystyle C \ subset \ mathbf {P} ^ {r}}$ называется k-нормальной, если гиперповерхности степени k вырезают полную линейную серия $| O C (k) | {\ displaystyle | {\ mathcal {O}} _ {C} (k) |}$ ${\ displaystyle | {\ mathcal {O}} _ {C} (k) |}$ . Он проективно нормален, если он k-нормален для всех k>0. Таким образом, говорят, что «кривая является проективно нормальной, если линейная система, которая ее вкладывает, является полной». Термин «линейно нормальный» является синонимом «1-нормальный».; 3. Замкнутое подмногообразие $X ⊂ P r {\ displaystyle X \ subset \ mathbf {P} ^ {r}}$ ${\ displaystyle X \ subset \ mathbf {P} ^ {r}}$ называется проективно нормальным, если аффинное покрытие над X это нормальная схема ; т.е. однородное координатное кольцо X является целозамкнутой областью. Это значение соответствует значению 2.
нормальный: 1. Если X - замкнутая подсхема схемы Y с идеальным пучком I, то нормальный пучок к X равен $(I / I 2) ∗ = H om OY (I / I 2, OY) {\ displaystyle (I / I ^ {2}) ^ {*} = {\ mathcal {H}} om _ {{\ mathcal {O}} _ {Y}} (I / I ^ {2}, {\ mathcal {O}} _ {Y})}$ ${\ displaystyle (I / I ^ {2}) ^ {*} = {\ mathcal {H}} ом_ {{\ mathcal {O}} _ {Y}} (I / I ^ {2}, {\ mathcal {O}} _ {Y})}$ . Если X в Y вложен в обычный, он локально свободен и называется нормальным пакетом.; 2. нормальный конус к X равен $Spec X ⁡ (⊕ 0 ∞ I n / I n + 1) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X} (\ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X} (\ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1})}$ . если X правильно вложен в Y, то нормальный конус изоморфен $Spec X ⁡ (S ym (I / I 2)) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X} ({\ mathcal {S} } ym (I / I ^ {2}))}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spec} _ {X} ({\ mathcal {S}} гм (I / I ^ {2}))}$ , общее пространство нормального пакета до X.
нормальные пересечения: См. нормальные пересечения.
нормально генерируемые: Линейное расслоение L на многообразии X называется нормально порожденным, если для каждого целого n>0 естественное отображение $Γ (X, L) ⊗ n → Γ (X, L ⊗ n) {\ displaystyle \ Gamma (X, L) ^ {\ otimes n} \ to \ Gamma (X, L ^ {\ otimes n})}$ ${\ displaystyle \ Gamma (X, L) ^ {\ otimes n} \ to \ Gamma (X, L ^ {\ otimes n})}$ сюръективно.

открыто: 1. Морфизм f: Y → X схем называется открытым (замкнутым), если основная карта топологических пространств открыта (соответственно замкнута), т.е. если открытые подсхемы Y отображаются в открытые подсхемы X (и аналогично для закрытых). Например, конечно определенные плоские морфизмы открыты, а собственные отображения закрыты.; 2. открытая подсхема схемы X - это открытое подмножество U со структурным пучком $O X | U {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} | _ {U}}$ ${\ mathcal {O}} _ {X} | _ {U}$ .
орбифолд: В настоящее время орбифолд часто определяется как стек Делиня – Мамфорда над категорией дифференцируемых многообразий.

p-делимая группа

См. p-делимая группа (примерно аналог точек кручения абелевого многообразия).

пучок

Линейная система размерности один.

Группа Пикара

Группа Пикара пространства X - это группа классов изоморфизма линейных расслоений на X, умножение которых представляет собой тензорное произведение .

Вложение Плюккера

Вложение Плюккера - это замкнутое вложение грассманова многообразия в проективное пространство.

plurigenus

n- th plurigenus гладкого проективного многообразия есть

dim ⁡ Γ (X, ω X ⊗ n) {\ displaystyle \ dim \ Gamma (X, \ omega _ {X} ^ {\ otimes n})}

\ dim \ Gamma (X, \ omega _ {X} ^ {\ otimes n})

. См. Также число Ходжа.

карта остатков Пуанкаре

См. остаток Пуанкаре.

точка

Схема

S {\ displaystyle S}

S

- это локально окольцованное пространство, поэтому a fortiori a топологическое пространство, но значения точки

S {\ displaystyle S}

S

тройные:

точка $P {\ displaystyle P}$ $P$ нижележащего топологического пространства;
a $T {\ displaystyle T}$ $T$ -значная точка $S {\ displaystyle S}$ $S$ - это морфизм от $T {\ displaystyle T}$ $T$ до $S {\ displaystyle S}$ $S$ для любой схемы $T {\ displaystyle T}$ $T$ ;
геометрическая точка, где $S {\ displaystyle S}$ $S$ определяется поверх (имеет морфизм) $Spec (K) {\ displaystyle {\ textrm {Spec}} (K)}$ ${\ textrm {Spec}} (K)$ , где $K {\ displaystyle K}$ $K$ - это поле, является морфизмом из $Spec (K ¯) {\ displaystyle {\ textrm {Spec}} ({\ overline {K}})}$ ${\ textrm {Spec}} ({\ overline {K}})$ до $S {\ displaystyle S}$ $S$ где $K ¯ {\ displaystyle {\ overline {K}}}$ ${\ overline {K}}$ - это алгебраическое замыкание из $K {\ displaystyle K}$ $K$ .

Геометрические точки - это то, что в наиболее классические случаи, например алгебраические многообразия, которые являются комплексными многообразиями, будут точками в обычном смысле. Точки

P {\ displaystyle P}

P

нижележащего пространства включают аналоги общих точек (в смысле Зарисского, а не Андре Вейль ), которые специализируются на точках обычного восприятия.

T {\ displaystyle T}

T

-значные точки рассматриваются с помощью леммы Йонеды как способ идентификации

S {\ displaystyle S}

S

с представимым функтором

h S {\ displaystyle h_ {S}}

h_ {S}

, который он устанавливает. Исторически существовал процесс, с помощью которого проективная геометрия добавляла дополнительные точки (например, сложные точки, линия на бесконечности ) для упрощения геометрии путем уточнения основных объектов. Точки со значением

T {\ displaystyle T}

T

стали большим шагом вперед. В рамках преобладающего подхода Гротендика существуют три соответствующих понятия волокна морфизма: первое - это простой инверсный образ точки. Два других образуются путем создания волоконных продуктов двух морфизмов. Например, геометрическое волокно морфизма

S ′ → S {\ displaystyle S ^ {\ prime} \ to S}

S ^ {\ prime} \ to S

рассматривается как

S ′ × S Spec (K ¯) {\ displaystyle S ^ {\ prime} \ times _ {S} {\ textrm {Spec}} ({\ overline {K}})}

S ^ {\ prime} \ times _ {S} {\ textrm {Spec}} ({\ overline {K}})

Это делает расширение из аффинные схемы, где это просто тензорное произведение R-алгебр, для всех схем работы волоконного продукта значительный (если технически анодный) результат.

поляризация

вложение в проективное пространство

Proj

См. Proj construction.

формула проекции

Формула проекции говорит, что для морфизма

f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}

f: X \ to Y

схем,

OX {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}

{\ displaysty le {\ mathcal {O}} _ {X}}

-module

F { \ displaystyle {\ mathcal {F}}}

{\ mathcal {F}}

и локально бесплатно

OY {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}

{\ mathcal {O}} _ {Y}

-модуль

E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}

{\ mathcal {E}}

конечного ранга, существует естественный изоморфизм

f ∗ (F ⊗ е * E) знак равно (f * F) ⊗ E {\ displaystyle f _ {*} (F \ otimes f ^ {*} E) = (f _ {*} F) \ otimes E}

{\ displaystyle f _ {*} (F \ otimes f ^ {*} E) = (f _ {* } F) \ otimes E}

(в Короче говоря,

f ∗ {\ displaystyle f _ {*}}

f _ {*}

линейно относительно действия локально свободных пучков.)

проективный

1. Проективное многообразие - это замкнутое подмногообразие проективного пространства.

2. проективная схема над схемой S - это S-схема, которая пропускается через некоторое проективное пространство

PSN → S {\ displaystyle \ mathbf {P} _ {S} ^ {N} \ to S}

\ mathbf {P} _ {S} ^ {N} \ to S

как закрытая подсхема.

3. Проективные морфизмы определяются аналогично аффинным морфизмам: f: Y → X называется проективным, если он факторизуется как закрытое погружение с последующей проекцией проективного пространства

PX n: = P n × S pec ZX {\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} ^ {n}: = \ mathbb {P} ^ {n} \ times _ {\ mathrm {Spec} \ mathbb {Z}} X} от

{\ mathbb {P}} _ {X} ^ {{n}}: = {\ mathbb {P}} ^ {n} \ times _ {{{\ mathrm {Spec}} {\ mathbb Z}}} X

до

X {\ displaystyle X}

X

. Обратите внимание, что это определение является более строгим, чем определение EGA, II.5.5.2. Последний определяет

f {\ displaystyle f}

f

как проективный, если он задан global Proj квазикогерентного градуированного O X -Алгебра

S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}

{\ mathcal {S}}

такая, что

S 1 {\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1}}

{\ mathcal {S}} _ {1}

конечно генерируется и генерирует алгебру

S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}

{\ mathcal {S}}

. Оба определения совпадают, когда

X {\ displaystyle X}

X

является аффинным, или, в более общем смысле, если он квазикомпактен, разделен и допускает обширную связку, например если

X {\ displaystyle X}

X

- открытая подсхема проективного пространства

PA n {\ displaystyle \ mathbb {P} _ {A} ^ {n}}

{\ mathbb P} _ {A} ^ {n}

над кольцом

A {\ displaystyle A}

A

проективное расслоение

Если E - локально свободный пучок на схеме X, проективное расслоение P(E) E является глобальный Proj симметрической алгебры двойственного к E:

P (E) = P roj (Sym OX ⁡ (E ∨)). {\ displaystyle \ mathbf {P} (E) = \ mathbf {Proj} (\ operatorname {Sym} _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} (E ^ {\ vee})).}

\ mathbf {P} (E) = \ mathbf {Proj} (\ operatorname {Sym} _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} (E ^ {\ vee})).

Обратите внимание, что это определение является стандартным в настоящее время (например, теория пересечения Фултона), но отличается от EGA и Хартшорна (они не принимают двойного).

проективно нормально

См. #normal.

собственно

Морфизм является надлежащим, если он разделен, универсально замкнут (т. Е. Такой, что продукты его волокон являются замкнутыми отображениями) и имеет конечный тип. Проективные морфизмы собственные; но обратное в целом неверно. См. Также полное разнообразие. Глубоким свойством собственных морфизмов является наличие факторизации Стейна, а именно наличие промежуточной схемы, такой, что морфизм может быть выражен как один со связными слоями, за которыми следует конечный морфизм.

свойство. P

Пусть P - свойство схемы, устойчивое при замене базы (конечного типа, собственное, гладкое, эталонное и т. Д.). Тогда говорят, что представимый морфизм

f: F → G {\ displaystyle f: F \ to G}

f: F \ to G

обладает свойством P, если для любого

B → G {\ displaystyle B \ to G}

B \ to G

со схемой B a, изменение базы

F × GB → B {\ displaystyle F \ times _ {G} B \ to B}

F \ times _ {G} B \ to B

имеет свойство P.

чистая размерность

Схема имеет чистую размерность d, если каждый неприводимый компонент имеет размерность d.

квазикогерентный: Квазикогерентный пучок на схеме Нётейрана X является пучком O X -модулей, который локально задается модулями.
квазикомпактный: Морфизм f: Y → X называется квазикомпактным, если для некоторого (эквивалентно: каждого) открытого аффинного покрытия X некоторым U i = Spec B i, прообразы f (U i) равны квазикомпактный.
квазиконечный: Морфизм f: Y → X имеет конечные слои, если слой над каждой точкой $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ - конечное множество. Морфизм является квазифинитным, если он имеет конечный тип и имеет конечные слои.
квазипроективное: A квазипроективное многообразие является локально замкнутым подмногообразием проективного пространства.
квазиотделенный: Морфизм f: Y → X называется квазиотделенным или (Y квазиотделен над X ), если диагональный морфизм Y → Y × X Y квазикомпактен. Схема Y называется квази-разделенной, если Y квази-разделена по Spec (Z).
Схема квот: A Схема квот параметризует частные локально свободных пучков по проективной схеме.
стек частных: Обычно обозначаемый [X / G], стек частных обобщает фактор схемы или многообразия.

рациональное

1. Над алгебраически замкнутым полем многообразие рациональное, если оно бирационально для проективного пространства. Например, рациональные кривые и рациональные поверхности являются бирациональными по отношению к

P 1, P 2 {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}, \ mathbb {P} ^ {2}}

{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}, \ mathbb {P} ^ {2}}

2. Учитывая поле k и относительную схему X → S, k-рациональная точка X является S-морфизмом

Spec ⁡ (k) → X {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (k) \ to X}

{\ displaystyle \ operatorname {Spec} (k) \ to X}

рациональная функция

Элемент в поле функции

k (X) = lim → ⁡ k [U] {\ displaystyle k (X) = \ varinjlim k [U]}

k (X) = \ varinjlim k [U]

где предел проходит по всем кольцам координат открытых подмножеств U an (ir приводимое) алгебраическое многообразие X. См. также функциональное поле (теория схем).

рациональная нормальная кривая

A рациональная нормальная кривая - это образ

P 1 → P d, (s: t) ↦ (sd: sd - 1 t: t: td) {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} \ to \ mathbf {P} ^ {d}, \, (s: t) \ mapsto (s ^ { d}: s ^ {d-1} t: \ cdots: t ^ {d})}

\ mathbf {P} ^ {1} \ to \ mathbf {P} ^ {d}, \, (s: t) \ mapsto (s ^ {d}: s ^ {d-1} t: \ cdots: t ^ {d})

Если d = 3, это также называется скрученной кубикой.

рациональными особенностями

Разнообразие X над полем нулевой характеристики имеет рациональные особенности, если существует разрешение сингулярностей

f: X ′ → X {\ displaystyle f: X '\ to X}

f:X'\to X

таких что

f ∗ (OX ′) = OX {\ displaystyle f _ {*} ({\ mathcal {O}} _ {X '}) = {\ mathcal {O}} _ {X}}

f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})={\mathcal {O}}_{X}

R, если ∗ (OX ′) = 0, я ≥ 1 {\ displaystyle R ^ {i} f _ {*} ({\ mathcal {O}} _ {X '}) = 0, \, i \ geq 1}

R^{i}f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})=0,\,i\geq 1

уменьшено

1. Коммутативное кольцо

R {\ displaystyle R}

R

является редуцированным, если оно не имеет ненулевых нильпотентных элементов, т. Е. Его нильрадикал является нулевым идеалом,

(0) = (0) {\ displaystyle {\ sqrt {(0)}} = (0)}

{\ displaystyle {\ sqrt {(0)}} = ( 0)}

. Аналогично,

R {\ displaystyle R}

R

уменьшается, если

Spec ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}

\ operatorname {Spec} (R)

является сокращенной схемой.

2. Схема X сокращается, если ее стебли

O X, x {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, x}}

{\ mathcal {O}} _ {{X, x}}

являются сокращенными кольцами. Эквивалентно X уменьшается, если для каждого открытого подмножества

U ⊂ X {\ displaystyle U \ subset X}

U \ подмножество X

OX (U) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (U)}

{\ mathcal {O}} _ {X} (U)

является сокращенным кольцом, т.е.

X {\ displaystyle X}

X

не имеет ненулевых нильпотентных участков.

рефлексивная связка

когерентная связка рефлексивная, если каноническое отображение во второе двойственное является изоморфизмом.

регулярная

A регулярная схема - это схема, в которой локальные кольца являются регулярными локальными кольцами. Например, гладкие разновидности над полем являются регулярными, а Spec k [x, y] / (x + xy) =

- нет.

регулярное вложение

A закрытое погружение

i: X ↪ Y {\ displaystyle i: X \ hookrightarrow Y}

i: X \ hookrightarrow Y

является регулярным вложением, если каждая точка X имеет аффинную окрестность в Y, так что идеал X генерируется регулярной последовательностью . Если i - обычное вложение, то конормальный пучок из i, то есть

I / I 2 {\ displaystyle {\ mathcal {I}} / {\ mathcal {I}} ^ { 2}}

{\ mathcal {I}} / {\ mathcal {I}} ^ {2}

когда

I {\ displaystyle {\ mathcal {I}}}

{\ mathcal {I}}

является идеальным пучком X, локально свободен.

обычная функция

A морфизм из алгебраического многообразия в аффинную линию.

представимый морфизм

Морфизм

F → G {\ displaystyle F \ to G}

F \ to G

стеков такой, что, для любого морфизма

B → G {\ displaystyle B \ to G}

B \ to G

из схемы B, изменение базы

F × GB {\ displaystyle F \ times _ {G} B}

F \ times _ {G} B

- алгебраическое пространство. Если «алгебраическое пространство» заменить на «схему», то оно называется сильно представимым.

разрешение особенностей

A разрешение особенностей схемы X является собственным бирациональным морфизмом

π: Z → X {\ displaystyle \ pi: Z \ to X}

\ pi: Z \ к X

такой, что Z гладкий.

формула Римана – Гурвица

Дан конечный разделимый морфизм

π: X → Y {\ displaystyle \ pi: X \ to Y}

\ pi: X \ to Y

между гладкими проективными кривыми, если

π {\ displaystyle \ pi}

\ pi

равно ручно разветвленный (без дикого ветвления); например, для поля с нулевой характеристикой, тогда формула Римана – Гурвица связывает степень π, роды X, Y и индексы ветвления :

2 g (X) - 2 знак равно град ⁡ (π) (2 г (Y) - 2) + ∑ Y ∈ Y (ey - 1) {\ Displaystyle 2g (X) -2 = \ operatorname {deg} (\ pi) (2g (Y) -2) + \ sum _ {y \ in Y} (e_ {y} -1)}

2g (X) -2 = \ operatorname {deg} (\ pi) (2g (Y) -2) + \ sum _ {y \ in Y} (e_ {y} -1)

В настоящее время формула рассматривается как следствие более общей формулы (которая действительна, даже если π не является ручным) :

KX ∼ π ∗ KY + R {\ displaystyle K_ {X} \ sim \ pi ^ {*} K_ {Y} + R}

K_ {X} \ sim \ pi ^ {*} K_ {Y} + R

где

∼ {\ displaystyle \ sim}

\ sim

означает линейную эквивалентность и

R = ∑ P ∈ X длина OP ⁡ (Ω X / Y) P {\ displaystyle R = \ sum _ {P \ in X} \ operatorname { length} _ {{\ mathcal {O}} _ {P}} (\ Omega _ {X / Y}) P}

R = \ sum _ {P \ in X} \ operatorname {length} _ {{\ mathcal {O}} _ {P}} (\ Omega _ {X / Y}) P

- делитель относительного котангенциального пучка

Ω X / Y { \ displaystyle \ Omega _ {X / Y}}

\ Omega _ {X / Y}

(называемый).

формула Римана – Роха

1. Если L - линейное расслоение степени d на гладкой проективной кривой рода g, то формула Римана – Роха вычисляет эйлерову характеристику L:

χ (L) = d - g + 1 {\ displaystyle \ chi (L) = d-g + 1}

\ chi (L) = dg + 1

Например, формула подразумевает, что степень канонического делителя K равна 2g - 2.

2. Общая версия принадлежит Гротендику и называется формулой Гротендика – Римана – Роха. Он говорит: если

π: X → S {\ displaystyle \ pi: X \ to S}

\ pi: X \ to S

- это собственный морфизм с гладкими X, S и если E - векторное расслоение на X, то как равенство в рациональном группе Чоу

ch ⁡ (π! E) ⋅ td ⁡ (S) = π ∗ (ch ⁡ (E) ⋅ td ⁡ (X)) {\ displaystyle \ operatorname {ch} ( \ pi _ {!} E) \ cdot \ operatorname {td} (S) = \ pi _ {*} (\ operatorname {ch} (E) \ cdot \ operatorname {td} (X))}

\ operatorname { ch} (\ pi _ {!} E) \ cdot \ operatorname {td} (S) = \ pi _ {*} (\ operatorname {ch} (E) \ cdot \ operatorname {td} (X))

где

π! Знак равно ∑ я (- 1) я р я π ∗ {\ displaystyle \ pi _ {!} = \ Sum _ {i} (- 1) ^ {i} R ^ {i} \ pi _ {*}}

\ pi _ {!} = \ Sum _ {i} (- 1) ^ {i} R ^ {i } \ pi _ {*}

ch {\ displaystyle \ operatorname {ch}}

\ operatorname {ch}

означает символ Черна и

td {\ displaystyle \ operatorname {td}}

\ operatorname {td}

a класс Тодда из касательный пучок пространства, а по комплексным числам

π ∗ {\ displaystyle \ pi _ {*}}

\ pi _ { *}

представляет собой интегрирование по слоям. Например, если база S - точка, X - гладкая кривая рода g, а E - линейное расслоение L, то левая часть сводится к эйлеровой характеристике, а правая часть равна

π ∗ (ec 1 (L) (1 - c 1 (T ∗ X) / 2)) = deg ⁡ (L) - g + 1. {\ displaystyle \ pi _ {*} (e ^ {c_ {1} (L)} (1-c_ {1} (T ^ {*} X) / 2)) = \ operatorname {deg} (L) -g + 1.}

\ pi _ {*} (e ^ {c_ {1} (L)} (1-c_ {1} (T ^ {*} X) / 2)) = \ operatorname {deg} (L) -g + 1.

жесткий

Каждая бесконечно малая деформация банально. Например, проективное пространство жесткое, так как

H 1 ⁡ (P n, TP n) = 0 {\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {1} (\ mathbf {P} ^ { n}, T _ {\ mathbf {P} ^ {n}}) = 0}

\ operatorname {H} ^ {1} (\ mathbf {P} ^ {n}, T _ { \ mathbf {P} ^ {n}}) = 0

(и с использованием карты Кодаира – Спенсера ).

жесткости

Эвристический термин, примерно эквивалентный «убивающие автоморфизмы». Например, можно сказать «мы вводим структуры уровней, чтобы сделать геометрическую ситуацию жесткой».

Éléments de géométrie algébrique

[1]

scheme

A scheme - это пространство с локальным кольцом, которое локально простой спектр коммутативного кольца.

Шуберт

1. A ячейка Шуберта - это B-орбита на грассманиане

Gr ⁡ (d, n) {\ displaystyle \ operatorname {Gr} (d, n)}

\ operatorname {Gr} (d, n)

, где B - стандартный Борель; т.е. группа верхнетреугольных матриц.

2. Многообразие Шуберта - это замыкание ячейки Шуберта.

секущее многообразие

секущее многообразие до проективного многообразия

V ⊂ P r {\ displaystyle V \ subset \ mathbb {P} ^ {r}}

{\ displaystyle V \ subset \ mathbb {P} ^ {r}}

- это замыкание объединения всех секущих прямых на V в

P r {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {r}}

{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {r}}

кольцо сечений

Кольцо сечений или кольцо сечений линейного пучка L на схеме X является градуированным кольцом

⊕ 0 ∞ Γ (X, L n) {\ displaystyle \ oplus _ {0} ^ {\ infty} \ Gamma (X, L ^ {n})}

\ oplus _ {0} ^ {\ infty} \ Gamma (X, L ^ {n})

Условия Серра S n

См. Условия Серра о нормальности. См. Также https://mathoverflow.net/q/22228

Двойственность Серра

См. #dualizing связка

разделенный

A разделенный морфизм - это морфизм

f {\ displaystyle f}

f

таким образом, что продукт волокна из

f {\ displaystyle f}

f

с самим собой вдоль

f {\ displaystyle f}

f

имеет свою диагональ как замкнутую подсхему - другими словами, диагональный морфизм - это закрытая иммерсия.

связка, созданная глобальными секциями

Связка с набором глобальных секций, охватывающих стержень связки в каждой точке. См. Пучок, генерируемый глобальными секциями.

простой

Термин «простая точка» - это старый термин для «гладкой точки».

гладкая

Многомерный аналог этальных морфизмов - гладкие морфизмы. Есть много разных характеристик плавности. Ниже приведены эквивалентные определения гладкости морфизма f: Y → X:

1) для любого y ∈ Y существуют открытые аффинные окрестности V и U точки y, x = f (y) соответственно, такие, что ограничение f на V факторов как этальный морфизм с последующей проекцией аффинного n-пространства на U.

2) f плоский, локально конечного представления и для каждой геометрической точки

y ¯ {\ displaystyle {\ bar {y}}}

{\ bar {y}}

of Y (морфизм из спектра алгебраически замкнутого поля

k (y ¯) {\ displaystyle k ({\ bar {y}})}

к ({\ бар {y}})

to Y), геометрическое волокно

X y ¯: = X × YS pec (k (y ¯)) {\ displaystyle X _ {\ bar {y}} : = X \ times _ {Y} \ mathrm {Spec} (k ({\ bar {y}}))}

X _ {\ bar {y}}: = X \ times _ {Y} \ mathrm {Spec} (k ({\ bar {y}}))

- гладкое n-мерное многообразие над

k (y ¯) { \ displaystyle k ({\ bar {y}})}

к ({\ бар {y}})

в смысле классической алгебраической геометрии.

2. Гладкая схема над совершенным полем k - это схема X, которая имеет локально конечный тип и регулярную над k.

3. Гладкая схема над полем k - это схема X, которая является геометрически гладкой:

X × kk ¯ {\ displaystyle X \ times _ {k} {\ overline {k}}}

X \ times _ {k} {\ overline {k}}

гладкая.

специальный

Делитель D на гладкой кривой C равенство, если

h 0 (O (K - D)) {\ displaystyle h ^ {0} ({\ mathcal {O}} (KD))}

{\ displaystyle h ^ {0} ({\ mathcal { O}} (KD))}

, который называется индексом специальности, является положительным.

сферическое множество

A сферическое множество - это нормальное G-многообразие (связное редуктивное G) с открытой плотной орбитой Подгруппа Бореля группы G.

стабильная

1. Стабильная кривая - это кривая с некоторой «мягкой» особенностью, используемая для построения хорошего поведения пространства модулей кривых.

2. стабильное векторное расслоение используется для создания стека.

стек

A стек параметризует наборы точек вместе с автоморфизмами.

строгое преобразование

Учитывая раздутие

π: X ~ → X {\ displaystyle \ pi: {\ widetilde {X}} \ to X}

{\ displaystyle \ pi: {\ widetilde {X} } \ to X}

вдоль замкнутой подсхемы Z и морфизма

f: Y → X {\ displaystyle f : Y \ to X}

f: Y \ to X

, Y (также называемое правильным преобразованием) - это раздутие

Y ~ → Y {\ displaystyle {\ widetilde {Y}} \ to Y}

{\ displaystyle { \ widetilde {Y}} \ to Y}

Y вдоль замкнутой подсхемы

f - 1 Z {\ displaystyle f ^ {- 1} Z}

{\ displaystyle f ^ {- 1} Z}

. Если f - закрытое погружение, то индуцированное отображение

Y ~ ↪ X ~ {\ displaystyle {\ widetilde {Y}} \ hookrightarrow {\ widetilde {X}}}

{\ displaystyle {\ widetilde {Y}} \ hookrightarrow {\ widetilde {X}}}

также является закрытым погружением.

подсхема

A подсхема без квалификатора X является замкнутой подсхемой открытой подсхемы X.

поверхность

Алгебраическое многообразие размерности два.

симметричное многообразие

Аналог симметричного пространства . См. симметричное многообразие.

касательное пространство: См. касательное пространство Зарисского.
тавтологическое линейное расслоение: тавтологическое линейное расслоение проективной схемы X является двойственным к Скручивающаяся связка Серра $OX (1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (1)}$ ${\ mathcal {O}} _ {X} (1)$ ; то есть $OX (- 1) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (- 1)}$ ${\ mathcal {O}} _ {X} (- 1)$ .
теорема: См. основную теорему Зарисского, теорема о формальных функциях, теорема об изменении базы когомологий, Категория: Теоремы в алгебраической геометрии.
вложение тора: Старый термин для торического многообразия
торическое многообразие: A торическое многообразие - это нормальное многообразие с действием тора, у которого есть открытая плотная орбита.
тропическая геометрия: Разновидность кусочно-линейной алгебраической геометрии. См. тропическая геометрия.
тор: A расщепленный тор является произведением конечного числа мультипликативных групп $G m {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m}}$ $\ mathbb {G} _ {m}$ .

универсальный

1. Если функтор модулей F представлен некоторой схемой или алгебраическим пространством M, то универсальный объект является элементом F (M), который соответствует тождественному морфизму M → M (который является M-точкой M). Если значения F являются, например, классами изоморфизма кривых с дополнительной структурой, то универсальный объект называется универсальной кривой. тавтологическая связка может быть другим примером универсального объекта.

2. Пусть

M g {\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}

{\ mathcal {M}} _ {g}

- модули гладких проективных кривых рода g и

C g = M g, 1 {\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{g} = {\ mathcal {M}} _ {g, 1}}

{\ mathcal {C}} _ ​​{g} = {\ mathcal {M}} _ {g, 1}

для гладких проективных кривых рода g с одиночными отмеченными точками. В литературе забывчивое отображение

π: C g → M g {\ displaystyle \ pi: {\ mathcal {C}} _ ​​{g} \ to {\ mathcal {M}} _ {g}}

\ pi: {\ mathcal {C}} _ {G} \ to {\ mathcal {M}} _ {g}

часто называют универсальной кривой.

универсально

Морфизм обладает некоторым свойством универсально, если все базовые изменения морфизма обладают этим свойством. Примеры включают универсально цепную, универсально инъективную.

неразветвленную

Для точки

y {\ displaystyle y}

y

Y {\ displaystyle Y }

Y

, рассмотрим соответствующий морфизм локальных колец

f #: OX, f (y) → OY, y {\ displaystyle f ^ {\ #} \ двоеточие {\ mathcal {O}} _ {X, f (y)} \ to {\ mathcal {O}} _ {Y, y}}

f ^ {\ #} \ двоеточие {\ mathcal {O}} _ {X, f (y)} \ to {\ mathcal {O}} _ {Y, y}

Пусть

m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}

{\ mathfrak {m}}

будет максимальный идеал

OX, f (y) {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, f (y)}}

{\ mathcal {O}} _ { X, f (y)}

, и пусть

n = f # ( m) OY, y {\ displaystyle {\ mathfrak {n}} = f ^ {\ #} ({\ mathfrak {m}}) {\ mathcal {O}} _ {Y, y}}

{\ mathfrak {n}} = f ^ { \ #} ({\ mathfrak {m}}) {\ mathcal {O}} _ {Y, y}

быть идеал, созданный изображением

m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}

{\ mathfrak {m}}

OY, y {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y, y} }

{\ mathcal {O}} _ {Y, y}

. Морфизм

f {\ displaystyle f}

f

является неразветвленным (соответственно G-неразветвленным ), если он локально конечен тип (соответственно локально конечного представления), и если для всех

y {\ displaystyle y}

y

Y {\ displaystyle Y}

Y

n {\ displaystyle {\ mathfrak {n }}}

{\ mathfrak {n}}

- максимальный идеал

OY, y {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y, y}}

{\ mathcal {O}} _ {Y, y}

и индуцированной карты

OX, f (y) / m → OY, y / n {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X, f (y)} / {\ mathfrak {m}} \ to {\ mathcal {O}} _ {Y, y} / {\ m athfrak {n}}}

{\ mathcal {O}} _ {X, f (y)} / {\ mathfrak {m}} \ to {\ mathcal {O} } _ {Y, y} / {\ mathfrak {n}}

- это finite разделимое расширение поля. Это геометрическая версия (и обобщение) неразветвленное расширение поля в теоретических алгебраических чисел.

разнообразие: синоним «алгебраического разнообразия».
очень обширный: Линейное расслоение L на множестве X очень обильным, если X может быть вложено в проективное пространство так, L ограничивает скручивающего пучка O (1) Серра на проективном пространстве.

слабо нормально: схема является слабо нормальной, если любой ее конечный бирациональный морфизм является изоморфизмом.
Дивизор Вейля: Другой, но более стандартный термин для «цикла коразмерности один»; см. дивизор.
взаимность Вейля: См. взаимность Вейля.

пространство Зарисского - Римана: A пространство Зарисского - Римана - это локально окольцованное пространство, точки которого самыми оценочными кольцами. Примечания

Ссылки

Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений, Ergebnisse der Mathematik и ихреория Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612 -1700-8, ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi : 10.1007 / bf02684778. MR 0217083.
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы геометрической модели: II. Глобальный эксперимент по классам морфизма ». Publications Mathématiques de l'IHÉS. 8. doi : 10.1007 / bf02699291. MR 0217084.
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 11. doi : 10.1007 / bf02684274. MR 0217085.
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1963). "Элементы альгебриковой геометрии: III. Этюд когомологии когомологий faisceaux cohérents, Seconde partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 17. doi : 10.1007 / bf02684890. MR 0163911.
Grothendieck, Alexandre ; Дьедонне, Жан (1964). «Элементы альгебриковой геометрии: IV. Локальный этюдов и морфизмов схемов, Première partie ». Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi : 10.1007 / bf02684747. MR 0173675.
Grothendieck, Alexandre ; Дьедонне, Жан (1965). "Элементы альгебриков: IV. Локальный этюдов и морфизмов, вторая партия". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 24. doi : 10.1007 / bf02684322. MR 0199181.
Grothendieck, Alexandre ; Дьедонне, Жан (1966). "Элементы геометрической модели: IV. Локальный этюд схемов и морфизмов схем, Troisième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 28. doi : 10.1007 / bf02684343. MR 0217086.
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы альгебриковой геометрии: IV. Локальный этюдов и морфизмов схемов, Quatrième partie ». Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi : 10.1007 / bf02732123. MR 0238860.
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Коллар, Янош, «Книга о модулях поверхностей» доступна на его веб-сайте [2]
Курс Мартина Олссона, написанный Антоном, https://web.archive.org/web/20121108104319/http:/ / math.berkeley.edu / ~ anton / письменно / Stacks / Stacks.pdf
A книга широко распространена авторами.

См. также