Размерность алгебраического разнообразия

редактировать

В математике и особенно в алгебраической геометрии, размерность алгебраической разновидности может быть определена различными эквивалентными способами.

Некоторые из этих определений имеют геометрическую природу, в то время как некоторые другие являются чисто алгебраическими и основаны на коммутативной алгебре. Некоторые из них ограничиваются алгебраическими многообразиями, а другие применимы также к любому алгебраическому множеству. Некоторые из них являются внутренними, поскольку не зависят от любого вложения разнообразия в аффинное или проективное пространство, в то время как другие связаны с таким вложением.

Содержание

1 Размерность аффинного алгебраического множества
2 Размерность проективного алгебраического множества
3 Вычисление размерности
4 Действительное измерение
5 См. Также
6 Ссылки

Размерность аффинного алгебраического множества

Пусть K - поле, а L ⊇ K - алгебраически замкнутое расширение. аффинное алгебраическое множество V - это множество общих нулей в L элементов идеала I в кольце многочленов $R = K [x 1,…, xn ]. {\ displaystyle R = K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}].}$ $R = K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}].$ Пусть $A = R / I {\ displaystyle A = R / I}$ ${\ displaystyle A = R / I}$ - алгебра полиномиальных функций над V. Размерность V равна любому из следующих целых чисел. Он не меняется, если K расширяется, если L заменяется другим алгебраически замкнутым расширением K и если I заменяется другим идеалом с такими же нулями (то есть с тем же радикалом ). Размер также не зависит от выбора координат; другими словами, он не изменится, если x i заменить их линейно независимыми линейными комбинациями. Размер V равен

Максимальная длина $d {\ displaystyle d}$ $d$ цепочек $V 0 ⊂ V 1 ⊂… ⊂ V d {\ displaystyle V_ {0} \ subset V_ {1} \ subset \ ldots \ subset V_ {d}}$ $V_ {0} \ subset V_ {1} \ subset \ ldots \ subset V_ {d}$ различных непустых (неприводимых) подмногообразий в V.

Это определение обобщает свойство размерности евклидова пространства или векторное пространство. Таким образом, вероятно, именно определение дает наиболее простое интуитивное описание понятия.

Размерность Крулля координатного кольца A.

Это транскрипция предыдущего определения на языке коммутативной алгебры, где размерность Крулля является максимальной длиной цепи $p 0 ⊂ p 1 ⊂… ⊂ pd {\ displaystyle p_ {0} \ subset p_ {1} \ subset \ ldots \ subset p_ {d}}$ $p_ {0} \ subset p_ {1 } \ subset \ ldots \ subset p_ {d}$ из простых идеалов из A.

Максимальный размер Крулля локальных колец в точках V.

Это определение показывает, что размер является локальным свойством, если $V {\ displaystyle V}$ $V$ неприводимо. Если $V {\ displaystyle V}$ $V$ неприводимо, оказывается, что все локальные кольца в замкнутых точках имеют одинаковую размерность Крулля (см.).

Если V - многообразие, размерность Крулля локального кольца в любой точке V

Это перефразирует предыдущее определение на более геометрический язык.

Максимальная размерность касательных векторных пространств в не особых точках из V.

Это связывает размерность многообразия с размерностью дифференцируемого многообразия. Точнее, если V определено над вещественными числами, то множество его действительных регулярных точек, если оно не пусто, является дифференцируемым многообразием, имеющим ту же размерность, что и многообразие, и многообразие.

Если V - многообразие, размерность касательного векторного пространства в любой не особой точке множества V.

Это алгебраический аналог того факта, что связное коллектор имеет постоянный размер. Это также можно вывести из результата, сформулированного ниже третьего определения, и того факта, что размерность касательного пространства равна размерности Крулля в любой неособой точке (см. касательное пространство Зарисского ).

Количество гиперплоскостей или гиперповерхностей в общем положении, которые необходимы, чтобы иметь пересечение с V, которое сокращается до ненулевого конечного числа точек.

Это определение не является внутренним, поскольку оно применяется только к алгебраическим множествам, которые явно вложены в аффинное или проективное пространство.

Максимальная длина регулярной последовательности в координатном кольце A.

Это алгебраический перевод предыдущего определения.

Разница между n и максимальной длиной регулярных последовательностей, содержащихся в I.

Это алгебраический перевод того факта, что пересечение n - d общих гиперповерхностей является алгебраическим множеством размерности d.

Степень многочлена Гильберта от A.
Степень знаменателя ряда Гильберта от A.

Это позволяет через Базис Грёбнера вычисление для вычисления размерности алгебраического множества, определенного данной системой полиномиальных уравнений.

Размерность симплициального комплекса, кольцо Стэнли-Рейснера которого равно $R / J {\ displaystyle R / J}$ $R / J$ где $J {\ displaystyle J}$ $J$ - радикал любого исходного идеала I.

Взятие исходных идеалов сохраняет полином / ряд Гильберта, а взятие радикалов сохраняет размерность.

Если I - простой идеал (т.е. V - алгебраическое многообразие), степень трансцендентности над K множества поле дробей множества A.

Это позволяет легко доказать, что размерность инвариантна относительно бирациональной эквивалентности.

Размерность проективного алгебраического множества

Пусть V - проективное алгебраическое множество, определяемое как множество общих нулей однородного идеала I в кольцо многочленов $R = K [x 0, x 1,…, xn] {\ displaystyle R = K [x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ $R = K [x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]$ над полем K, и пусть A = R / I будет градуированной алгеброй многочленов над V.

Применяются все определения предыдущего раздела с тем изменением, что когда A или I явно фигурируют в определении, значение измерения должно быть уменьшено на единицу. Например, размерность V на единицу меньше, чем размерность Крулля A.

Вычисление размерности

Для системы полиномиальных уравнений над алгебраически замкнутым полем $K {\ displaystyle K}$ $K$ , может быть трудно вычислить размерность алгебраического набора, который он определяет.

Без дополнительной информации о системе существует только один практический метод, который состоит из вычисления базиса Грёбнера и вывода степени знаменателя ряда Гильберта идеала, порожденного уравнения.

Второй шаг, который обычно является самым быстрым, можно ускорить следующим образом: во-первых, базис Грёбнера заменяется списком его ведущих мономов (это уже сделано для вычисления ряда Гильберта). Тогда каждый моном, например $x 1 e 1 ⋯ xnen {\ displaystyle {x_ {1}} ^ {e_ {1}} \ cdots {x_ {n}} ^ {e_ {n}}}$ ${x_ {1}} ^ {e_ {1}} \ cdots {x_ {n}} ^ {e_ {n}}$ заменяется произведением переменных в нем: $x 1 min (e 1, 1) ⋯ xn min (en, 1). {\ displaystyle x_ {1} ^ {\ min (e_ {1}, 1)} \ cdots x_ {n} ^ {\ min (e_ {n}, 1)}.}$ $x_ {1} ^ {\ min (e_ {1}, 1)} \ cdots x_ {n} ^ {\ min (e_ {n}, 1)}.$ Затем размер - максимальный размер подмножества S переменных, так что ни одно из этих произведений переменных не зависит только от переменных в S.

Этот алгоритм реализован в нескольких системах компьютерной алгебры. Например, в Maple это функция Groebner [HilbertDimension], а в Macaulay2 - это функция dim.

Реальное измерение

Реальное измерение набора реальных точек, обычно полуалгебраического множества, является размерностью его замыкания Зарисского. Для полуалгебраического множества S действительное измерение - это одно из следующих равных целых чисел:

Действительное измерение $S {\ displaystyle S}$ $S$ - это размерность его замыкания Зарисского.
Реальный размер $S {\ displaystyle S}$ $S$ - это максимальное целое число $d {\ displaystyle d}$ $d$ , при котором существует гомеоморфизм из $[0, 1] d {\ displaystyle [0,1] ^ {d}}$ $[0,1 ]^{d}$ в $S {\ displaystyle S}$ $S$ .
Реальный размер $S {\ displaystyle S}$ $S$ - максимальное целое число $d {\ displaystyle d}$ $d$ такое, что существует проекция из $S {\ displaystyle S}$ $S$ над $d {\ displaystyle d}$ $d$ -мерным подпространством с непустым внутренним.

Для алгебраического множества, определенного над reals (который определяется полиномами с действительными коэффициентами), может случиться так, что реальная размерность множества его реальных точек меньше, чем его размерность как полуалгебраического множества. Например, алгебраическая поверхность уравнения $x 2 + y 2 + z 2 = 0 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 0}$ $х ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 0$ - алгебраическое многообразие размерности два, которое имеет только одну действительную точку (0, 0, 0) и, следовательно, имеет нулевую действительную размерность.

Реальное измерение труднее вычислить, чем алгебраическое. Для случая реальной гиперповерхности (то есть набора реальных решений одного полиномиального уравнения) существует вероятностный алгоритм для вычисления ее реальной размерности.

См. Также

Ссылки