Теория измерений (алгебра)

редактировать

В математике, теория размерностей - это исследование с точки зрения 243>коммутативная алгебра понятия размерности алгебраического многообразия (и, как следствие, размерности схемы ). Потребность в теории для такого, казалось бы, простого понятия проистекает из существования множества определений размерности, которые эквивалентны только в наиболее регулярных случаях (см. Размерность алгебраического многообразия ). Большая часть теории размерности состоит в изучении условий, при которых несколько измерений равны, и многие важные классы коммутативных колец могут быть определены как кольца, в которых два измерения равны; например, правильное кольцо - это коммутативное кольцо, такое что гомологическая размерность равна размерности Крулля.

Теория проще для коммутативных колец, которые являются конечно порожденными алгебрами над полем, которые также являются факторкольцами кольцами многочленов от конечного числа неопределенных над полем. В этом случае, который является алгебраическим аналогом случая аффинных алгебраических множеств, большинство определений размерности эквивалентны. Для общих коммутативных колец отсутствие геометрической интерпретации является препятствием для развития теории; в частности, очень мало известно о нётеровых кольцах. (Коммутативные кольца Капланского дают хорошее представление о нётеровском случае.)

В статье $dim {\ displaystyle \ operatorname {dim}}$ $\ operatorname {dim}$ обозначает Крул размер кольца и $ht {\ displaystyle \ operatorname {ht}}$ $\ operatorname {ht}$ высота простого идеала (т. е. размерность Крулля локализации при этом простой идеал.) Кольца считаются коммутативными, за исключением последнего раздела о размерностях некоммутативных колец.

Содержание

1 Основные результаты
2 Локальные кольца
- 2.1 Основная теорема
- 2.2 Последствия основной теоремы
- 2.3 Формула высоты Нагаты
3 Гомологические методы
- 3.1 Регулярные кольца
- 3.2 Глубина
- 3.3 Комплекс Кошуля
- 3.4 Инъективная размерность и размерности Tor
4 Теория множественности
5 Размеры некоммутативных колец
6 См. Также
7 Примечания
8 Ссылки

Основные результаты

Пусть R будет нётеровым кольцом или оценочным кольцом. Тогда

dim ⁡ R [x] = dim ⁡ R + 1. {\ displaystyle \ operatorname {dim} R [x] = \ operatorname {dim} R + 1.}

\ operatorname {dim} R [x] = \ operatorname {dim} R + 1.

Если R нётерово, это следует из основной теоремы ниже (в частности, теоремы Крулля о главном идеале ), но это также следствие более точного результата. Для любого простого идеала $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ в R,

ht ⁡ (p R [x]) = ht ⁡ (p) {\ displaystyle \ имя оператора {ht} ({\ mathfrak {p}} R [x]) = \ operatorname {ht} ({\ mathfrak {p}})}

\ operatorname {ht} ({\ mathfrak {p}} R [x]) = \ operatorname {ht} ({\ mathfrak {p}})

ht ⁡ (q) = ht ⁡ (p) + 1 { \ displaystyle \ operatorname {ht} ({\ mathfrak {q}}) = \ operatorname {ht} ({\ mathfrak {p}}) + 1}

\ operatorname {ht} ({\ mathfrak {q} }) = \ operatorname {ht} ({\ mathfrak {p}}) + 1

для любого простого идеала

q ⊋ p R [x] {\ displaystyle {\ mathfrak {q}} \ supsetneq {\ mathfrak {p}} R [x]}

{\ mathfrak {q}} \ supsetneq {\ mathfrak {p}} R [x]

R [x] {\ displaystyle R [x]}

R [x]

, который сжимается до

p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}

{\ mathfrak {p}}

Это может быть показано в рамках базовой теории колец (см. Каплански, коммутативные кольца). Кроме того, в каждом волокне $Spec ⁡ R [x] → Spec ⁡ R {\ displaystyle \ operatorname {Spec} R [x] \ to \ operatorname {Spec} R}$ $\ operatorname {Spec } R [x] \ to \ operatorname {Spec} R$ нельзя иметь цепочку идеалов простых чисел длины $≥ 2 {\ displaystyle \ geq 2}$ $\ geq 2$ .

Поскольку артиново кольцо (например, поле) имеет нулевую размерность, по индукции получается формула: для артинового кольца R

dim ⁡ R [x 1,…, xn] = n. {\ displaystyle \ operatorname {dim} R [x_ {1}, \ dots, x_ {n}] = n.}

\ operatorname {dim} R [x_ {1}, \ точки, x_ {n}] = n.

Локальные кольца

Основная теорема

Пусть $(R, m) {\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}})}$ $(R, {\ mathfrak {m}})$ быть нётеровым локальным кольцом, а я $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ -первичный идеал (т.е. он находится между некоторой степенью $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ и $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m }}}$ ${\ mathfrak {m}}$ ). Пусть $F (t) {\ displaystyle F (t)}$ $F (t)$ будет рядом Пуанкаре из связанного градуированного кольца $gr I ⁡ R Знак равно ⊕ 0 ∞ I n / I n + 1 {\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} R = \ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$ $\ operatorname {gr} _ {I} R = \ oplus _ {0} ^ {\ infty} I ^ {n} / I ^ {{n + 1}}$ . То есть

F (t) = ∑ 0 ∞ ℓ (I n / I n + 1) tn {\ displaystyle F (t) = \ sum _ {0} ^ {\ infty} \ ell (I ^ { n} / I ^ {n + 1}) t ^ {n}}

F (t) = \ sum _ {0} ^ {\ infty} \ ell (I ^ {n} / I ^ {{n + 1}}) t ^ {n }

где $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ относится к длине модуля (над артиновым кольцом $(гр I ⁡ R) 0 = R / I {\ displaystyle (\ operatorname {gr} _ {I} R) _ {0} = R / I}$ $(\ operatorname {gr} _ {I} R) _ {0} = R / I$ ). Если $x 1,…, xs {\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {s}}$ $x_ {1}, \ dots, x_ {s}$ генерируют I, то их изображение в $I / I 2 {\ displaystyle I / I ^ {2}}$ $I / I ^ {2}$ имеет степень 1 и генерирует $gr I ⁡ R {\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} R}$ $\ operatorname {gr} _ {I} R$ как $R / I {\ displaystyle R / I}$ $R / I$ -алгебра. По теореме Гильберта – Серра, F - рациональная функция с ровно одним полюсом в $t = 1 {\ displaystyle t = 1}$ $t = 1$ порядка $d ≤ s {\ displaystyle d \ leq s}$ $d \ leq s$ . Поскольку

(1 - t) - d = ∑ 0 ∞ (d - 1 + jd - 1) tj {\ displaystyle (1-t) ^ {- d} = \ sum _ {0} ^ {\ infty} {\ binom {d-1 + j} {d-1}} t ^ {j}}

(1-t) ^ {{- d}} = \ sum _ {0} ^ {\ infty} {\ binom {d-1 + j} {d-1}} t ^ {j}

мы находим, что коэффициент $tn {\ displaystyle t ^ {n}}$ $t^{n}$ в $F (t) = (1 - t) d F (t) (1 - t) - d {\ displaystyle F (t) = (1-t) ^ {d} F (t) (1- t) ^ {- d}}$ $F (t) = (1-t) ^ {d} F (t) (1-t) ^ {{- d}}$ имеет вид

∑ 0 N ak (d - 1 + n - kd - 1) = (1 - t) d F (t) | т знак равно 1 н д - 1 д - 1! + O (п д - 2). {\ displaystyle \ sum _ {0} ^ {N} a_ {k} {\ binom {d-1 + nk} {d-1}} = (1-t) ^ {d} F (t) | _ { t = 1} {n ^ {d-1} \ over {d-1}!} + O (n ^ {d-2}).}

\ sum _ {0} ^ {N} a_ {k} {\ binom {d-1 + nk} {d-1}} = (1-t) ^ {d} F ( t) | _ {{t = 1}} {n ^ {{d-1}} \ over {d-1}!} + O (n ^ {{d-2}}).

То есть, $ℓ (I n / I n + 1) {\ displaystyle \ ell (I ^ {n} / I ^ {n + 1})}$ $\ ell (I ^ {n} / I ^ { {n + 1}})$ - многочлен $P {\ displaystyle P}$ $P$ n степени $d - 1 {\ displaystyle d-1}$ $d-1$ . P называется многочленом Гильберта от $gr I ⁡ R {\ displaystyle \ operatorname {gr} _ {I} R}$ $\ operatorname {gr} _ {I} R$ .

Мы устанавливаем $d (R) = d {\ displaystyle d (R) = d}$ $d (R) = d$ . Мы также устанавливаем $δ (R) {\ displaystyle \ delta (R)}$ $\ delta (R)$ как минимальное количество элементов R, которые могут генерировать $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m }}}$ ${\ mathfrak {m}}$ -первоначальный идеал R. Наша цель - доказать фундаментальную теорему :

δ (R) = d (R) = dim ⁡ R {\ displaystyle \ delta (R) = d (R) = \ dim R}

\ delta (R) = d (R) = \ dim R

Поскольку мы можем принять s равным $δ (R) {\ displaystyle \ delta (R)}$ $\ delta (R)$ , у нас уже есть $δ (R) ≥ d (R) {\ displaystyle \ delta (R) \ geq d (R)}$ $\ delta (R) \ geq d (R)$ из приведенного выше. Затем мы докажем $d (R) ≥ dim ⁡ R {\ displaystyle d (R) \ geq \ operatorname {dim} R}$ $d (R) \ geq \ operatorname {dim} R$ индукцией по $d (R) {\ displaystyle d (R)}$ $d (R)$ . Пусть $p 0 ⊊ ⋯ ⊊ pm {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {m}}$ ${\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {m}$ будет цепочка простых идеалов в R. Пусть $D = R / p 0 {\ displaystyle D = R / {\ mathfrak {p}} _ {0}}$ $D = R / {\ mathfrak {p}} _ {0}$ и x ненулевой неединичный элемент в D. Поскольку x не является делителем нуля, у нас есть точная последовательность

0 → D → x D → D / x D → 0 {\ displaystyle 0 \ to D {\ overset {x} {\ to}} D \ to D / xD \ to 0}

0 \ to D {\ overset {x} \ to} D \ to D / xD \ to 0

Граница степени полинома Гильберта-Самуэля теперь означает, что $d (D)>d (D / x D) ≥ d (R / p 1) {\ displaystyle d (D)>d (D / xD) \ geq d (R / {\ mathfrak {p}} _ {1})}$ $d(D)>d (D / xD) \ geq d (R / {\ mathfrak {p}} _ {1})$ (Это по существу следует из леммы Артина-Риса ; утверждение и доказательство см. В функции Гильберта-Самуэля.) В $R / p 1 {\ displaystyle R / {\ mathfrak {p}} _ {1}}$ $R / {\ mathfrak {p}} _ {1}$ , цепочка $pi {\ display style {\ mathfrak {p}} _ {i}}$ ${\ mathfrak {p}} _ {i}$ становится цепочкой длиной $m - 1 {\ displaystyle m-1}$ $m-1$ и, таким образом, по индуктивной гипотезе и опять же по оценке степени

m - 1 ≤ dim ⁡ (R / p 1) ≤ d (R / p 1) ≤ d (D) - 1 ≤ d (R) - 1 {\ displaystyle m-1 \ leq \ operatorname {dim} (R / {\ mathfrak {p}} _ {1}) \ leq d (R / {\ mathfrak {p}} _ {1}) \ leq d (D) -1 \ leq d (R) -1}

m-1 \ leq \ operatorname {dim} (R / {\ mathfrak {p}} _ {1}) \ leq d (R / {\ mathfrak { p}} _ {1}) \ leq d (D) -1 \ leq d (R) -1

Утверждение следует. Теперь осталось показать, что $dim ⁡ R ≥ δ (R). {\ displaystyle \ operatorname {dim} R \ geq \ delta (R).}$ $\ operatorname {dim} R \ geq \ delta (R).$ Точнее, мы покажем:

Лемма : Максимальный идеал

m {\ displaystyle { \ mathfrak {m}}}

{\ mathfrak {m}}

содержит элементы

x 1,…, xd {\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {d}}

{\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {d}}

, d = Krull размерность R, такая, что для любого i любой простой идеал, содержащий

(x 1,…, xi) {\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {i})}

(x_ {1}, \ dots, x_ {i})

имеет высоту

≥ я {\ displaystyle \ geq i}

\ geq i

(Примечание: $(x 1,…, xd) {\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {d})}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {d})}$ тогда $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ -primary.) Доказательство опускается. Он появляется, например, в Атье – Макдональде. Но он также может поставляться частным образом; идея состоит в том, чтобы использовать простое избегание.

Последствия фундаментальной теоремы

Пусть $(R, m) {\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}})}$ $(R, {\ mathfrak {m}})$ быть нётеровым локальным кольцом и положить $k = R / m {\ displaystyle k = R / {\ mathfrak {m}}}$ $k = R / {\ mathfrak {m}}$ . Тогда

$dim ⁡ R ≤ dim k ⁡ m / m 2 {\ displaystyle \ operatorname {dim} R \ leq \ operatorname {dim} _ {k} {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2}}$ $\ operatorname {dim} R \ leq \ operatorname {dim} _ {k} {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2}$ , поскольку базис $м / м 2 {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2}}$ ${\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2}$ поднимается до генераторной установки $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ от Nakayama. Если равенство выполняется, то R называется регулярным локальным кольцом.
$dim ⁡ R ^ = dim ⁡ R {\ displaystyle \ operatorname {dim} {\ widehat {R}} = \ operatorname {dim} R}.$ $\ operatorname {dim} \ widehat {R} = \ operatorname {dim} R$ , поскольку $gr ⁡ R = gr ⁡ R ^ {\ displaystyle \ operatorname {gr} R = \ operatorname {gr} {\ widehat {R}}}$ $\ operatorname {gr} R = \ operatorname {gr} \ widehat {R}$ .
(теорема Крулля о главном идеале ) Высота идеала, порожденного элементами $x 1,…, xs {\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {s}}$ $x_ {1}, \ dots, x_ {s}$ в нётеровом кольце, не превышает s. И наоборот, простой идеал высоты s является минимальным над идеалом, порожденным s элементами. (Доказательство: пусть $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ простой идеал, минимальный над таким идеалом. Тогда $s ≥ dim ⁡ R p = ht ⁡ p { \ displaystyle s \ geq \ operatorname {dim} R _ {\ mathfrak {p}} = \ operatorname {ht} {\ mathfrak {p}}}$ $s \ geq \ operatorname {dim} R_ { {\ mathfrak {p}}} = \ operatorname {ht} {\ mathfrak {p}}$ . Обратное было показано в ходе доказательства основная теорема.)

Теорема - Если $A → B {\ displaystyle A \ to B}$ $от A \ до B$ является морфизмом нётеровых локальных колец, то

dim ⁡ B / m AB ≥ dim ⁡ B - dim ⁡ A. {\ displaystyle \ operatorname {dim} B / {\ mathfrak {m}} _ {A} B \ geq \ operatorname {dim} B- \ operatorname {dim} A.}

$\ operat orname {dim} B / {\ mathfrak {m}} _ {A} B \ geq \ operatorname {dim} B- \ operatorname {dim} A.$

Равенство выполняется, если $A → B {\ displaystyle A \ to B}$ $от A \ до B$ является плоским или в более общем смысле, если он имеет свойство идти вниз.

Доказательство: Пусть $x 1, …, Xn {\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$ $x_ {1}, \ dots, x_ {n}$ создать $m A {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {A}}$ ${\ mathfrak {m}} _ { A}$ -первичный идеал и $y 1,…, ym {\ displaystyle y_ {1}, \ dots, y_ {m}}$ $y_ {1}, \ dots, y_ {m}$ так, чтобы их изображения генерировали $m B / m AB {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {B} / {\ mathfrak {m}} _ {A} B}$ ${\ mathfrak {m}} _ {B} / {\ mathfrak {m}} _ {A} B$ - первичный идеал. Тогда $m B s ⊂ (y 1,…, ym) + m AB {\ displaystyle {{\ mathfrak {m}} _ {B}} ^ {s} \ subset (y_ {1}, \ dots, y_ {m}) + {\ mathfrak {m}} _ {A} B}$ ${{\ mathfrak {m}} _ {B}} ^ {s} \ subset (y_ {1}, \ dots, y_ {m}) + {\ mathfrak {m}} _ {A} B$ для некоторого s. Возводя обе стороны в более высокие степени, мы видим некоторую степень $m B {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {B}}$ ${\ mathfrak {m}} _ {B}$ , содержащуюся в $(y 1,…, ym, x 1,…, xn) {\ displaystyle (y_ {1}, \ dots, y_ {m}, x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ $(y_ {1}, \ dots, y_ {m}, x_ {1}, \ точки, x_ {n})$ ; т.е. последний идеал $m B {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {B}}$ ${\ mathfrak {m}} _ {B}$ -первоначальный; таким образом, $m + n ≥ dim ⁡ B {\ displaystyle m + n \ geq \ dim B}$ $m + n \ geq \ dim B$ . Равенство - это прямое применение свойства снижения. $◻ {\ displaystyle \ square}$ $\ square$

Предложение - Если R - нётерово кольцо, то
$dim ⁡ R + 1 = dim ⁡ R [x] = dim ⁡ R [[x]] {\ displaystyle \ dim R + 1 = \ dim R [x] = \ dim R [\! [x] \!]}$ $\ dim R + 1 = \ dim R [x] = \ dim R [\! [x] \!]$ .
Доказательство: если $p 0 ⊊ p 1 ⊊ ⋯ ⊊ pn {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {n}}$ ${\ mathfrak {p}} _ {0} \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq {\ mathfrak {p}} _ {n}$ являются цепочка простых идеалов в R, то $pi R [x] {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i} R [x]}$ ${\ mathfrak {p}} _ {i} R [x]$ представляет собой цепочку простых идеалов в $R [x] {\ displaystyle R [x]}$ $R [x]$ в то время как $pn R [x] {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {n} R [x]}$ ${\ mathfrak {p}} _ {n} R [x]$ - это не максимальный идеал. Таким образом, $dim ⁡ R + 1 ≤ dim ⁡ R [x] {\ displaystyle \ dim R + 1 \ leq \ dim R [x]}$ $\ dim R + 1 \ leq \ dim R [x]$ . Для обратного неравенства, пусть $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ будет максимальным идеалом $R [x] {\ displaystyle R [x]}$ $R [x]$ и $p = R ∩ m {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = R \ cap {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {p}} = R \ cap {\ mathfrak {m} }$ . Ясно, что $R [x] m = R p [x] m {\ displaystyle R [x] _ {\ mathfrak {m}} = R _ {\ mathfrak {p}} [x] _ {\ mathfrak {m }}}$ $R [x] _ {{ \ mathfrak {m}}} = R _ {{{\ mathfrak {p}}}} [x] _ {{\ mathfrak {m}}}$ . Поскольку $R [x] m / p R p R [x] m = (R p / p R p) [x] m {\ displaystyle R [x] _ {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}} R [x] _ {\ mathfrak {m}} = (R _ {\ mathfrak {p}} / {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}}) [x] _ {\ mathfrak {m}}}$ $R [x] _ {{{\ mathfrak {m}}}} / {\ mathfrak {p }} R _ {{{\ mathfrak {p}}}} R [x] _ {{{\ mathfrak {m}}}} = (R _ {{{\ mathfrak {p}}}} / {\ mathfrak {p }} R _ {{{\ mathfrak {p}}}}) [x] _ {{{\ mathfrak {m}}}}$ тогда является локализацией области главных идеалов и имеет размерность не более единицы, мы получаем $1 + dim ⁡ R ≥ 1 + dim ⁡ Р п ≥ dim ⁡ р [x] m {\ displaystyle 1+ \ operatorname {dim} R \ geq 1+ \ operatorname {dim} R _ {\ mathfrak {p}} \ geq \ operatorname {dim} R [x] _ {\ mathfrak {m}}}$ $1+ \ operatorname {dim} R \ geq 1+ \ operatorname {dim} R _ {{\ mathfrak {p}}} \ geq \ operatorname {dim} R [x] _ {{\ mathfrak {m }}}$ по предыдущему неравенству. Поскольку $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ произвольно, из него следует $1 + dim ⁡ R ≥ dim ⁡ R [x] {\ displaystyle 1+ \ operatorname { dim} R \ geq \ operatorname {dim} R [x]}$ $1+ \ operatorname {dim} R \ geq \ operatorname {dim} R [x]$ . $◻ {\ displaystyle \ square}$ $\ square$
Формула высоты Нагаты
Теорема - Пусть $R ⊂ R ′ {\ displaystyle R \ subset R '}$ $R\subset R'$ быть областями целостности, $p ′ ⊂ R ′ {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}' \ subset R '}$ ${\mathfrak {p}}'\subset R'$ быть простым идеалом и $p = R ∩ p '{\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = R \ cap {\ mathfrak {p}}'}$ ${\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {p}}'$ . Если R - нётерово кольцо, то
$dim ⁡ R p ′ ′ + t r. d e g R / p ⁡ R ′ / p ′ ≤ dim ⁡ R p + t r. deg R ⁡ R ′ {\ displaystyle \ dim R '_ {{\ mathfrak {p}}'} + \ operatorname {tr.deg} _ {R / {\ mathfrak {p}}} {R '/ {\ mathfrak {p}} '} \ leq \ dim R _ {\ mathfrak {p}} + \ operatorname {tr.deg} _ {R} {R'}}$ $\dim R'_{{{\mathfrak {p}}'}}+\operatorname {tr.deg}_{{R/{\mathfrak {p}}}}{R'/{\mathfrak {p}}'}\leq \dim R_{{{\mathfrak {p}}}}+\operatorname {tr.deg}_{{R}}{R'}$
где равенство выполняется, если (а) R универсально цепная и R 'конечно порожденная R-алгебра или (b) R' кольцо многочленов над R.

Доказательство: сначала предположим $R ′ {\ displaystyle R '}$ $R'$ - кольцо многочленов. Индукцией по количеству переменных достаточно рассмотреть случай $R ′ = R [x] {\ displaystyle R '= R [x]}$ $R'=R[x]$ . Поскольку R 'плоский над R,
$dim ⁡ R p ′ ′ = dim ⁡ R p + dim ⁡ κ (p) ⊗ RR ′ p ′ {\ displaystyle \ dim R' _ {\ mathfrak {p '}} = \ dim R _ {\ mathfrak {p}} + \ dim \ kappa ({\ mathfrak {p}}) \ otimes _ {R} {R '} _ {{\ mathfrak {p}}'}}$ $\dim R'_{{{\mathfrak {p'}}}}=\dim R_{{{\mathfrak {p}}}}+\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}{R'}_{{{\mathfrak {p}}'}}$ .
По нормировочной лемме Нётер второй член в правой части равен:
$dim ⁡ κ (p) ⊗ RR ′ - dim ⁡ κ (p) ⊗ RR ′ / p ′ = 1 - tr. d e g κ (p) ⁡ κ (p ′) = t r. г д г R ⁡ R ′ - т р. d e g ⁡ κ (p ′). {\ displaystyle \ dim \ kappa ({\ mathfrak {p}}) \ otimes _ {R} R '- \ dim \ kappa ({\ mathfrak {p}}) \ otimes _ {R} R' / {\ mathfrak {p}} '= 1- \ operatorname {tr.deg} _ {\ kappa ({\ mathfrak {p}})} \ kappa ({\ mathfrak {p}}') = \ operatorname {tr.deg} _ {R} R '- \ operatorname {tr.deg} \ kappa ({\ mathfrak {p}}').}$ $\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'-\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'/{\mathfrak {p}}'=1-\operatorname {tr.deg}_{{\kappa ({\mathfrak {p}})}}\kappa ({\mathfrak {p}}')=\operatorname {tr.deg}_{R}R'-\operatorname {tr.deg}\kappa ({\mathfrak {p}}').$
Далее, предположим, $R '{\ displaystyle R'}$ $R'$ генерируется одним элементом; таким образом, $R '= R [x] / I {\ displaystyle R' = R [x] / I}$ $R'=R[x]/I$ . Если I = 0, то все готово. Предположим, что нет. Тогда $R ′ {\ displaystyle R '}$ $R'$ алгебраичен над R, и поэтому $t r. d е г р ⁡ R 'знак равно 0 {\ displaystyle \ operatorname {tr.deg} _ {R} R' = 0}$ $\operatorname {tr.deg}_{R}R'=0$ . Поскольку R является подкольцом R ', $I ∩ R = 0 {\ displaystyle I \ cap R = 0}$ $I \ cap R = 0$ и поэтому $ht ⁡ I = dim ⁡ R [x] I = dim ⁡ Q (R) [x] I = 1 - tr. град Q (R) ⁡ κ (I) = 1 {\ displaystyle \ operatorname {ht} I = \ dim R [x] _ {I} = \ dim Q (R) [x] _ {I} = 1- \ имя оператора {tr.deg} _ {Q (R)} \ kappa (I) = 1}$ $\ operatorname {ht} I = \ dim R [x] _ {I} = \ dim Q (R) [x] _ {I} = 1- \ operatorname {tr.deg} _ {{Q ( R)}} \ kappa (I) = 1$ , поскольку $κ (I) = Q (R ') {\ displaystyle \ kappa (I) = Q (R ')}$ $\kappa (I)=Q(R')$ является алгебраическим над $Q (R) {\ displaystyle Q (R)}$ $Q (R)$ . Пусть $p ′ c {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {\ prime c}}$ ${\ mathfrak {p}} ^ {{\ prime c}}$ обозначает прообраз в $R [x] {\ displaystyle R [x] }$ $R [x]$ из $p ′ {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} '}$ ${\mathfrak {p}}'$ . Тогда, как $κ (p 'c) = κ (p) {\ displaystyle \ kappa ({\ mathfrak {p}} ^ {\ prime c}) = \ kappa ({\ mathfrak {p}})}$ $\ kappa ({\ mathfrak {p}} ^ {{\ prime c}}) = \ kappa ({\ mathfrak {p}})$ , в полиномиальном случае
$ht ⁡ p ′ = ht ⁡ p ′ c / I ≤ ht ⁡ p ′ c - ht ⁡ I = dim ⁡ R p - tr. d e g κ (p) ⁡ κ (p ′). {\ displaystyle \ operatorname {ht} {{\ mathfrak {p}} '} = \ operatorname {ht} {{\ mathfrak {p}} ^ {\ prime c} / I} \ leq \ operatorname {ht} {{ \ mathfrak {p}} ^ {\ prime c}} - \ operatorname {ht} {I} = \ dim R _ {\ mathfrak {p}} - \ operatorname {tr.deg} _ {\ kappa ({\ mathfrak { p}})} \ kappa ({\ mathfrak {p}} ').}$ $\operatorname {ht}{{\mathfrak {p}}'}=\operatorname {ht}{{\mathfrak {p}}^{{\prime c}}/I}\leq \operatorname {ht}{{\mathfrak {p}}^{{\prime c}}}-\operatorname {ht}{I}=\dim R_{{{\mathfrak {p}}}}-\operatorname {tr.deg}_{{\kappa ({\mathfrak {p}})}}\kappa ({\mathfrak {p}}').$
Здесь обратите внимание, что неравенство является равенством, если R' является цепной. Наконец, работая с цепочкой простых идеалов, нетрудно свести общий случай к рассмотренному выше. $◻ {\ displaystyle \ square}$ $\ square$

См. Также: Квази-несмешанное кольцо.
Гомологические методы
Правильные кольца
Пусть R будет нётеровым кольцом. Проективная размерность конечного R-модуля M является кратчайшей длиной любой проективной разрешающей способности M (возможно, бесконечной) и обозначается $pd R ⁡ M {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} M}$ $\ operatorname {pd} _ {R} M$ . Устанавливаем $г л. d i m ⁡ R = sup {pd R ⁡ M | M - конечный модуль} {\ displaystyle \ operatorname {gl.dim} R = \ sup \ {\ operatorname {pd} _ {R} M | {\ text {M - конечный модуль}} \}}$ $\ operatorname {gl.dim} R = \ sup \ {\ operatorname {pd} _ {R} M | {\ text {M - конечный модуль}} \}$ ; это называется глобальным измерением R.

Предположим, что R является локальным с полем вычетов k.

Лемма - $pd R ⁡ k = g l. d я м ⁡ R {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} k = \ operatorname {gl.dim} R}$ $\ operatorname {pd} _ {R} k = \ operatorname {gl.dim} R$ (возможно, бесконечно).

Доказательство: Мы утверждаем: для любого конечного R-модуля M
$pd R ⁡ M ≤ n ⇔ Tor n + 1 R ⁡ (M, k) = 0 {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R } M \ leq n \ Leftrightarrow \ operatorname {Tor} _ {n + 1} ^ {R} (M, k) = 0}$ $\ operatorname {pd} _ {R} M \ leq n \ Leftrightarrow \ operatorname {Tor} _ {{n + 1}} ^ {R} (M, k) = 0$ .
Путем сдвига размерности (см. Доказательство теоремы Серра ниже) это достаточно, чтобы доказать это для $n = 0 {\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ . Но тогда, по локальному критерию плоскостности, $Tor 1 R ⁡ (M, k) = 0 ⇒ M flat ⇒ M free ⇒ pd R ⁡ (M) ≤ 0. {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (M, k) = 0 \ Rightarrow M {\ text {flat}} \ Rightarrow M {\ text {free}} \ Rightarrow \ operatorname {pd} _ {R} (M) \ leq 0.}$ $\ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (M, k) = 0 \ Rightarrow M {\ text {flat}} \ Rightarrow M {\ text {free}} \ Rightarrow \ operatorname {pd} _ {R} (M) \ leq 0.$ Итак,
$gl. d i m ⁡ R ≤ n ⇒ pd R ⁡ k ≤ n ⇒ Tor n + 1 R ⁡ (-, k) = 0 ⇒ pd R - ≤ n ⇒ g l. тусклый ⁡ р ≤ N, {\ displaystyle \ operatorname {gl.dim} R \ leq n \ Rightarrow \ operatorname {pd} _ {R} k \ leq n \ Rightarrow \ operatorname {Tor} _ {n + 1} ^ { R} (-, k) = 0 \ Rightarrow \ operatorname {pd} _ {R} - \ leq n \ Rightarrow \ operatorname {gl.dim} R \ leq n,}$ $\ operatorname {gl.dim} R \ leq n \ Rightarrow \ operatorname {pd} _ {R} k \ leq n \ Rightarrow \ operatorname {Tor} _ {{n + 1 }} ^ {R} (-, k) = 0 \ Rightarrow \ operatorname {pd} _ {R} - \ leq n \ Rightarrow \ operatorname {gl.dim} R \ leq n,$
завершение доказательства. $◻ {\ displaystyle \ square}$ $\ square$

Примечание : Доказательство также показывает, что $pd R ⁡ K = pd R ⁡ M - 1 {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} K = \ operatorname {pd} _ {R} M-1}$ $\ operatorname {pd} _ {R} K = \ operatorname {pd} _ {R} M-1$ , если M не является свободным и $K {\ displaystyle K}$ $K$ является ядром некоторой сюръекции из свободного модуль к M.

Лемма - Пусть $R 1 = R / f R {\ displaystyle R_ {1} = R / fR}$ $R_ {1} = R / fR$ , fa ненулевой делитель R. Если f не является нулевым делителем на M, тогда
$pd R ⁡ M ≥ pd R 1 ⁡ (M ⊗ R 1) {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} M \ geq \ operatorname {pd} _ { R_ {1}} (M \ otimes R_ {1})}$ $\ operatorname {pd} _ {R} M \ geq \ operatorname {pd} _ {{R_ {1}}} (M \ otimes R_ {1})$ .
Доказательство: Если $pd R ⁡ M = 0 {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} M = 0}$ $\ operatorname {pd} _ {R} M = 0$ , тогда M не содержит R и, следовательно, $M ⊗ R 1 {\ displaystyle M \ otimes R_ {1}}$ $M \ otimes R_ {1}$ равно $R 1 {\ displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ - бесплатно. Затем предположим, что $pd R ⁡ M>0 {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} M>0}$ $\operatorname {pd}_{R}M>0$ . Тогда у нас есть: $pd R ⁡ K = pd R ⁡ M - 1 {ornamestyle \ operatyle \ operatyle pd} _ {R} K = \ operatorname {pd} _ {R} M-1}$ $\ operatorname {pd} _ {R} K = \ operatorname {pd} _ {R} M-1$ как в замечании выше. Таким образом, по индукции достаточно рассмотреть случай $pd R ⁡ M = 1 {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} M = 1}$ $\ operatorname {pd} _ {R} M = 1$ . Тогда существует проективное разрешение: $0 → P 1 → P 0 → M → 0 {\ displaystyle 0 \ to P_ {1} \ to P_ {0} \ to M \ to 0}$ $0 \ to P_ {1} \ to P_ {0} \ to M \ to 0$ , что дает:
$Tor 1 R ⁡ (M, R 1) → P 1 ⊗ R 1 → P 0 ⊗ R 1 → M ⊗ R 1 → 0 {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (M, R_ {1}) \ to P_ {1} \ otimes R_ {1} \ в P_ {0} \ время R_ {1} \ в M \ время R_ {1} \ to 0}$ $\ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} ( M, R_ {1}) \ to P_ {1} \ otimes R_ {1} \ to P_ {0} \ otimes R_ {1} \ to M \ otimes R_ {1} \ to 0$ .
Но $Tor 1 R ⁡ (M, R 1) = f M = {m ∈ M | fm = 0} = 0. {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (M, R_ {1}) = {} _ {f} M = \ {m \ in M | fm = 0 \} = 0.}$ $\ operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (M, R_ {1}) = {} _ {f} M = \ {m \ in M | fm = 0 \} = 0.$ Следовательно, $pd R ⁡ (M ⊗ R 1) {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} (M \ otimes R_ {1})}$ $\ operatorname {pd} _ {R} (M \ otimes R_ {1})$ не более 1. $◻ {\ displaystyle \ square }$ $\ square$

Теорема Серра - R регулярный $⇔ gl. dim ⁡ R < ∞ ⇔ g l. d i m ⁡ R = dim ⁡ R. {\displaystyle \Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R<\infty \Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R=\dim R.}$ $\ Leftrightarrow \ operatorname {gl.dim} R <\ infty \ Leftrightarrow \ operatorname {gl.dim} R = \ dim R.$

Доказательство: если R является правильным, мы можем написать $k = R / (f 1,…, fn) {\ displaystyle k = R / (f_ {1}, \ dots, f_ {n })}$ $k = R / (f_ {1}, \ точки, f_ {n})$ , $fi {\ displaystyle f_ {i}}$ $f_ {i}$ обычная система параметров. Точная последовательность $0 → M → е M → M 1 → 0 {\ displaystyle 0 \ to M {\ overset {f} {\ to}} M \ to M_ {1} \ to 0}$ $0 \ to M {\ overset {f} \ to} M \ to M_ {1} \ to 0$ , некоторое f в максимальном идеале конечных модулей, $pd R ⁡ M < ∞ {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty }$ $\ operatorname {pd} _ {R} M <\ infty$ , дает нам:
$0 = Tor i + 1 R ⁡ (M, k) → Tor i + 1 R ⁡ (M 1, k) → Tor i R ⁡ (M, k) → f Tor i R ⁡ (M, k), i ≥ pd R ⁡ M. {\ displaystyle 0 = \ operatorname {Tor} _ {i + 1} ^ {R} (M, k) \ to \ operatorname {Tor} _ {i + 1} ^ {R} (M_ {1}, k) \ to \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M, k) {\ overset {f} {\ to}} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M, k), \ quad i \ geq \ operatorname {pd} _ {R} M.}$ $0 = \ operatorname {Tor} _ {{i + 1}} ^ {R} (M, k) \ to \ operatorname {Tor} _ {{i + 1}} ^ {R} (M_ {1 }, k) \ to \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M, k) {\ overset {f} \ to} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M, k), \ quad i \ geq \ operatorname {pd} _ {R} M.$
Но здесь f равно нулю, так как убивает k. Таким образом, $Tor i + 1 R ⁡ (M 1, k) ≃ Tor i R ⁡ (M, k) {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {i + 1} ^ {R} (M_ {1}, k) \ simeq \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M, k)}$ $\ operatorname {Tor} _ {{i + 1}} ^ {R} (M_ {1}, k) \ simeq \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M, k)$ и, следовательно, $pd R ⁡ M 1 = 1 + pd R ⁡ M {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} M_ {1} = 1 + \ operatorname {pd} _ {R} M}$ $\ operatorname {pd} _ {R} M_ {1} = 1 + \ operatorname {pd} _ {R} M$ . Используя это, получаем:
$pd R ⁡ k = 1 + pd R ⁡ (R / (f 1,…, f n - 1)) = ⋯ = n. {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} k = 1 + \ operatorname {pd} _ {R} (R / (f_ {1}, \ dots, f_ {n-1})) = \ cdots = n.}$ $\ operatorname {pd} _ {R} k = 1 + \ operatorname {pd} _ {R} (R / (f_ {1}, \ dots, f _ {{n-1}})) = \ cdots = n.$
Доказательство обратного проводится индукцией по $dim ⁡ R {\ displaystyle \ operatorname {dim} R}$ $\ operatorname {dim} R$ . Начнем с индуктивного шага. Установить $R 1 = R / f 1 R {\ displaystyle R_ {1} = R / f_ {1} R}$ $R_ {1} = R / f_ {1} R$ , $f 1 {\ displaystyle f_ {1}}$ $f_ {1}$ среди системы параметров. Чтобы показать, что R является регулярным, достаточно показать, что $R 1 {\ displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ является обычным. Но, поскольку $dim ⁡ R 1 < dim ⁡ R {\displaystyle \dim R_{1}<\dim R}$ $\ dim R_ {1} <\ dim R$ , по предположению индукции и предыдущей лемме с $M = m {\ displaystyle M = {\ mathfrak {m}}}$ $M = {\ mathfrak {m}}$ ,
$g l. d i m ⁡ R < ∞ ⇒ g l. d i m ⁡ R 1 = pd R 1 ⁡ k ≤ pd R 1 ⁡ m / f 1 m < ∞ ⇒ R 1 regular. {\displaystyle \operatorname {gl.dim} R<\infty \Rightarrow \operatorname {gl.dim} R_{1}=\operatorname {pd} _{R_{1}}k\leq \operatorname {pd} _{R_{1}}{\mathfrak {m}}/f_{1}{\mathfrak {m}}<\infty \Rightarrow R_{1}{\text{ regular}}.}$ $\ operatorname {gl.dim} R <\ infty \ Rightarrow \ operatorname {gl.dim} R_ {1} = \ operatorname {pd} _ {{R_ {1}}} k \ leq \ operatorname {pd} _ {{R_ {1}}} {\ mathfrak {m}} / f_ {1} {\ mathfrak {m}} <\ infty \ Rightarrow R_ {1} {\ text {regular}}.$
Остается основной шаг. Предположим, $dim ⁡ R = 0 {\ displaystyle \ operatorname {dim} R = 0}$ $\ operatorname {dim} R = 0$ . Мы требуем $г л. d я м ⁡ R = 0 {\ displaystyle \ operatorname {gl.dim} R = 0}$ $\ operatorname {gl.dim} R = 0$ , если оно конечно. (Это означало бы, что R является полупростым локальным кольцом ; т. Е. Полем.) Если это не так, то существует некоторый конечный модуль $M {\ displaystyle M}$ $M$ с помощью $0 < pd R ⁡ M < ∞ {\displaystyle 0<\operatorname {pd} _{R}M<\infty }$ $0 <\ operatorname {pd} _ {R} M <\ infty$ и, таким образом, мы можем найти M с помощью $pd R ⁡ M = 1 {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} M = 1}$ $\ operatorname {pd} _ {R} M = 1$ . По лемме Накаямы существует сюръекция $F → M {\ displaystyle F \ to M}$ $F \ to M$ из свободного модуля F в M, ядро K которого содержится в $m F {\ displaystyle { \ mathfrak {m}} F}$ ${\ mathfrak {m}} F$ . Поскольку $dim ⁡ R = 0 {\ displaystyle \ operatorname {dim} R = 0}$ $\ operatorname {dim} R = 0$ , максимальный идеал $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ - ассоциированное простое число R; т.е. $m = ann ⁡ (s) {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} = \ operatorname {ann} (s)}$ ${\ mathfrak {m}} = \ operatorname {ann} (s)$ для некоторых ненулевых s в R. Поскольку $K ⊂ м F {\ Displaystyle K \ подмножество {\ mathfrak {m}} F}$ $K \ subset {\ mathfrak {m}} F$ , $s K = 0 {\ displaystyle sK = 0}$ $sK = 0$ . Поскольку K не равно нулю и является свободным, это означает $s = 0 {\ displaystyle s = 0}$ $s = 0$ , что абсурдно. $◻ {\ displaystyle \ square}$ $\ square$

Следствие - регулярное локальное кольцо - это уникальная область факторизации.

Доказательство: пусть R - регулярное локальное кольцо. Тогда $gr ⁡ R ≃ k [x 1,…, xd] {\ displaystyle \ operatorname {gr} R \ simeq k [x_ {1}, \ dots, x_ {d}]}$ $\ operatorname {gr} R \ simeq k [x_ {1}, \ dots, x_ {d }]$ , представляющий собой интегрально замкнутую область. Это стандартное упражнение по алгебре, чтобы показать, что из этого следует, что R - целозамкнутая область. Теперь нам нужно показать, что каждый дивизориальный идеал является главным; т.е. группа классов дивизоров кольца R обращается в нуль. Но, согласно Бурбаки, коммутативному альгебру, глава 7, §. 4. Следствие 2 предложения 16, дивизориальный идеал является главным, если он допускает конечную свободную резольвенту, что действительно так по теореме. $◻ {\ displaystyle \ square}$ $\ square$

Теорема - Пусть R - кольцо. Тогда $г л. d i m ⁡ R [x 1,…, x n] = g l. dim ⁡ R + N {\ displaystyle \ operatorname {gl.dim} R [x_ {1}, \ dots, x_ {n}] = \ operatorname {gl.dim} R + n}$ $\ operatorname {gl.dim} R [x_ {1 }, \ dots, x_ {n}] = \ operatorname {gl.dim} R + n$ .
Глубина
Пусть R - кольцо, а M - модуль над ним. Последовательность элементов $x 1,…, xn {\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$ $x_ {1}, \ dots, x_ {n}$ в $R {\ displaystyle R}$ $R$ называется M- регулярной последовательностью, если $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ не является делителем нуля на $M {\ displaystyle M}.$ $M$ и $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ не является делителем нуля на $M / (x 1,…, xi - 1) M {\ displaystyle M / (x_ {1}, \ dots, x_ {i-1}) M}$ $M / (x_ {1}, \ dots, x _ {{i-1}}) M$ для каждого $i = 2,…, n {\ displaystyle i = 2, \ dots, n}$ $i = 2, \ dots, n$ . Априори не очевидно, является ли какая-либо перестановка регулярной последовательности регулярной (см. Некоторые положительные ответы в разделе ниже).

Пусть R - локальное нётерово кольцо с максимальным идеалом $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ и положите $k = R / m {\ displaystyle k = R / {\ mathfrak {m}}}$ $k = R / {\ mathfrak {m}}$ . Тогда по определению глубина конечного R-модуля M является супремумом длин всех M-регулярных последовательностей в $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ . Например, у нас $глубина ⁡ M = 0 ⇔ m {\ displaystyle \ operatorname {depth} M = 0 \ Leftrightarrow {\ mathfrak {m}}}$ $\ operatorname {depth} M = 0 \ Leftrightarrow {\ mathfrak {m} }$ состоит из нулевых делителей на M $⇔ m {\ displaystyle \ Leftrightarrow {\ mathfrak {m}}}$ $\ Leftrightarrow {\ mathfrak {m} }$ связано с M. По индукции мы находим
$depth ⁡ M ≤ dim ⁡ R / p {\ displaystyle \ operatorname {depth } M \ leq \ dim R / {\ mathfrak {p}}}$ $\ operatorname {depth} M \ leq \ dim R / { {\ mathfrak {p}}}$
для любых связанных простых чисел $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ из M. В частности, $глубина ⁡ M ≤ dim ⁡ M {\ displaystyle \ operatorname {depth} M \ leq \ operatorname {dim} M}$ $\ operatorname {depth} M \ leq \ operatorname {dim} M$ . Если равенство выполняется для M = R, R называется кольцом Коэна – Маколея.

Пример : Регулярным нётеровым локальным кольцом является Коэна – Маколея (поскольку регулярная система параметров является R-регулярной последовательностью.)

В общем случае нётерово кольцо называется кольцом Коэна – Маколея, если локализации на всех максимальных идеалах являются Коэна – Маколея. Отметим, что кольцо Коэна – Маколея является универсальным цепным. Это означает, например, что кольцо многочленов $k [x 1,…, xd] {\ displaystyle k [x_ {1}, \ dots, x_ {d}]}$ $k [x_ {1}, \ dots, x_ {d}]$ является универсальной цепной связью, поскольку оно регулярна и, следовательно, Коэна – Маколея.

Предложение (Рис). Пусть M - конечный R-модуль. Тогда $глубина ⁡ M = sup {n | Ext R i ⁡ (k, M) = 0, i < n } {\displaystyle \operatorname {depth} \operatorname {M} =\sup\{n|\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0,i$ $\ operatorname {depth} \ ope ratorname {M} = \ sup \ {n | \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, M) = 0, i <n \}$ .

В общем, для любого конечного R-модуля N, поддержка которого равна точно ${m} {\ displaystyle \ {{\ mathfrak {m}} \} }$ $\ {{\ mathfrak {m}} \}$ ,
$глубина ⁡ M = sup {n | Ext R i ⁡ (N, M) = 0, i < n } {\displaystyle \operatorname {depth} \operatorname {M} =\sup\{n|\operatorname {Ext} _{R}^{i}(N,M)=0,i$ $\ operatorname {depth} \ operatorname {M} = \ sup \ {n | \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} ( N, M) = 0, i <n \}$ .
Доказательство: сначала докажем индукцией по n следующее утверждение: для любого R-модуля M и любой M-регулярной последовательности $x 1,…, xn {\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$ $x_ {1}, \ dots, x_ {n}$ in $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ ,
(*) $Ext R n ⁡ (N, M) ≃ Hom R ⁡ (N, M / (x 1,…, xn) M). {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (N, M) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {R} (N, M / (x_ {1}, \ dots, x_ {n})) M).}$ $\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (N, M) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {R} (N, M / (x_ {1}, \ точки, x_ {n}) M).$
Основной шаг n = 0 тривиален. Далее, по индуктивному предположению $Ext R n - 1 ⁡ (N, M) ≃ Hom R ⁡ (N, M / (x 1,…, xn - 1) M) {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n-1} (N, M) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {R} (N, M / (x_ {1}, \ dots, x_ {n-1}) M)}$ $\ operatorname {Ext} _ {R } ^ {{n-1}} (N, M) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {R} (N, M / (x_ {1}, \ dots, x _ {{n-1}}) M)$ . Но последний равен нулю, поскольку аннулятор N содержит некоторую степень $x n {\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ . Таким образом, из точной последовательности $0 → M → x 1 M → M 1 → 0 {\ displaystyle 0 \ к M {\ overset {x_ {1}} {\ to}} M \ к M_ {1} \ на 0}$ $0 \ to M {\ overset {x_ {1}} \ to} M \ to M_ {1} \ to 0$ и тот факт, что $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ убивает N, снова используя индуктивную гипотезу, мы получаем
$Ext R n ⁡ (N, M) ≃ Ext R N - 1 ⁡ (N, M / x 1 M) ≃ Hom R ⁡ (N, M / (x 1,…, xn) M) {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ { R} ^ {n} (N, M) \ simeq \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n-1} (N, M / x_ {1} M) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {R} (N, M / (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) M)}$ $\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (N, M) \ simeq \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {{n-1}} (N, M / x_ {1} M) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {R} (N, M / (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) M)$ ,
доказательство (*). Теперь, если $n < depth ⁡ M {\displaystyle n<\operatorname {depth} M}$ $n <\ operatorname {depth} M$ , то мы можем найти M-регулярную последовательность длиной больше n, и поэтому с помощью (*) мы видим $Ext R n ⁡ (N, M) = 0 {\ displaystyle \ operatorname {Ext } _ {R} ^ {n} (N, M) = 0}$ $\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (N, M) = 0$ . Осталось показать $Ext R n ⁡ (N, M) ≠ 0 {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (N, M) \ neq 0}$ $\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (N, M) \ neq 0$ , если $n = глубина ⁡ M {\ displaystyle n = \ operatorname {depth} M}$ $n = \ operatorname { глубина} M$ . По (*) мы можем предположить, что n = 0. Тогда $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ связан с M; таким образом, находится в носителе M. С другой стороны, $m ∈ Supp ⁡ (N). {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} \ in \ operatorname {Supp} (N).}$ ${\ mathfrak {m}} \ in \ operatorname {Supp} (N).$ Из линейной алгебры следует, что существует ненулевой гомоморфизм из N в M по модулю $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ ; следовательно, по лемме Накаямы один от N до M. $◻ {\ displaystyle \ square}$ $\ square$

Формула Ауслендера – Буксбаума связывает глубину и проективное измерение.

Теорема - Пусть M - конечный модуль над нётеровым локальным кольцом R. Если $pd R ⁡ M < ∞ {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty }$ $\ operatorname {pd} _ {R} M <\ infty$ , то
$pd R ⁡ M + depth ⁡ M = depth ⁡ Р. {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} M + \ operatorname {depth} M = \ operatorname {depth} R.}$ $\ operatorname {pd} _ {R} M + \ operatorname {depth} M = \ operatorname {depth} R.$
Доказательство: мы рассуждаем индукцией по $pd R ⁡ M {\ displaystyle \ operatorname {pd} _ {R} M}$ $\ operatorname {pd} _ {R} M$ , основной случай (т.е. M free) тривиален. По лемме Накаямы у нас есть точная последовательность $0 → K → f F → M → 0 {\ displaystyle 0 \ to K {\ overset {f} {\ to}} F \ to M \ to 0}$ $0 \ to K {\ overset {f} \ to} F \ to M \ to 0$ где F свободен, а изображение f содержится в $m F {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} F}$ ${\ mathfrak {m}} F$ . Since $pd R ⁡ K = pd R ⁡ M − 1, {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1,}$ $\ имя оператора {pd} _ {R} K = \ operatorname {pd} _ {R} M-1,$ what we need to show is $depth ⁡ K = depth ⁡ M + 1 {\displaystyle \operatorname {depth} K=\operatorname {depth} M+1}$ $\ operatorname {глубина} K = \ operatorname {depth} M + 1$ . Since f kills k, the exact sequence yields: for any i,
$Ext R i ⁡ ( k, F) → Ext R i ⁡ ( k, M) → Ext R i + 1 ⁡ ( k, K) → 0. {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,F)\to \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)\to \operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)\to 0.}$ $\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, F) \ to \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, M) \ to \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {{ i + 1}} (k, K) \ до 0.$
Note the left-most term is zero if $i < depth ⁡ R {\displaystyle i<\operatorname {depth} R}$ $i <\ operatorname {depth} R$ . If $i < depth ⁡ K − 1 {\displaystyle i<\operatorname {depth} K-1}$ $i <\ operatorname {depth} K-1$ , then since $depth ⁡ K ≤ depth ⁡ R {\displaystyle \operatorname {depth} K\leq \operatorname {depth} R}$ $\ operatorname {depth} K \ leq \ operatorname {depth} R$ by inductive hypothesis, we see $Ext R i ⁡ ( k, M) = 0. {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0.}$ $\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, M) = 0.$ If $i = depth ⁡ K − 1 {\displaystyle i=\operatorname {depth} K-1}$ $i = \ operatorname {depth} K-1$ , then $Ext R i + 1 ⁡ ( k, K) ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)\neq 0}$ $\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {{i + 1}} (k, K) \ neq 0$ and it must be $Ext R i ⁡ ( k, M) ≠ 0. {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)\neq 0.}$ $\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, M) \ neq 0.$ $◻ {\displaystyle \square }$ $\ square$

As a matter of notation, for any R-module M, we let
$Γ m ( M) = { s ∈ M | supp ⁡ ( s) ⊂ { m } } = { s ∈ M | m j s = 0 for some j }. {\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}(M)=\{s\in M|\operatorname {supp} (s)\subset \{{\mathfrak {m}}\}\}=\{s\in M|{\mathfrak {m}}^{j}s=0{\text{ for some }}j\}.}$ $\ Gamma _ {{{\ mathfrak {m}}}} (M) = \ {s \ in M | \ operatorname {supp} (s) \ subset \ {{\ mathfrak {m}} \} \} = \ {s \ in M | {\ mathfrak {m}} ^ {j} s = 0 {\ text {для некоторых} } j \}.$
One sees without difficulty that $Γ m {\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}}$ $\ Gamma _ {{{\ mathfrak {m}}}}$ is a left-exact functor and then let $H m j = R j Γ m {\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{j}=R^{j}\Gamma _{\mathfrak {m}}}$ $H _ {{{\ mathfrak {m}}}} ^ {j} = R ^ {j} \ Gamma _ {{{\ mathfrak {m}}}}$ be its j-th right derived functor, called the local cohomology of R. Since $Γ m ( M) = lim → ⁡ Hom R ⁡ ( R / m j, M) {\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}(M)=\varinjlim \operatorname {Hom} _{R}(R/{\mathfrak {m}}^{j},M)}$ $\ Gamma _ {{{\ mathfrak {m}}}} (M) = \ varinjlim \ operatorname {Hom} _ {R} (R / {\ mathfrak {m}} ^ {j}, M)$ , via abstract nonsense,
$H m i ( M) = lim → ⁡ Ext R i ⁡ ( R / m j, M) {\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=\varinjlim \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/{\mathfrak {m}}^{j},M)}$ $H _ {{{\ mathfrak {m}}}} ^ {i} (M) = \ varinjlim \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (R / {{\ mathfrak {m}}} ^ {j}, M)$ .
This observation proves the first part of the theorem below.

Theorem(Grothendieck) — Let M be a finite R-module. Then
$depth ⁡ M = sup { n | H m i ( M) = 0, i < n } {\displaystyle \operatorname {depth} \operatorname {M} =\sup\{n|H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=0,i$ $\ operatorname {depth} \ operatorname {M} = \ sup \ {n | H _ {{{\ mathfrak {m}}}} ^ {i} (M) = 0, i <n \ }$ .
$H m i ( M) = 0, i>dim ⁡ M {\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=0,i>\dim M}$ $H _ {{{\ mathfrak {m}}}} ^ {i} (M) = 0, i>\ dim M$ and $≠ 0 {\displaystyle \neq 0}$ $\ neq 0$ if $i = dim ⁡ M. {\displaystyle i=\dim M.}$ $i = \ dim M.$
If R is complete and d its Krull dimension and if E is the injective hull of k, then
$Hom R ⁡ ( H m d ( −), E) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(H_{\mathfrak {m}}^{d}(-),E)}$ $\ имя оператора {Hom} _ {R} (H _ {{{\ mathfrak {m}}}} ^ {d} (-), E)$
is representable (the representing object is sometimes called the canonical module especially if R is Cohen–Macaulay.)
Proof: 1. is already noted (except to show the nonvanishing at the degree equal to the depth of M; use induction to see this) and 3. is a general fact by abstract nonsense. 2. is a consequence of an explicit computation of a local cohomology by means of Koszul complexes (see below). $◻ {\displays tyle \square }$ $\ square$
Koszul complex
Let R be a ring and x an element in it. We form the chain complex K(x) given by $K ( x) i = R {\displaystyle K(x)_{i}=R}$ $K (x) _ {i} = R$ for i = 0, 1 and $K ( x) i = 0 {\displaystyle K(x)_{i}=0}$ $K (x) _ { i} = 0$ for any other i with the differential
$d : K 1 ( R) → K 0 ( R), r ↦ x r. {\displaystyle d:K_{1}(R)\to K_{0}(R),\,r\mapsto xr.}$ $d: K_ {1} (R) \ к K_ {0} (R), \, r \ mapsto xr.$
For any R-module M, we then get the complex $K ( x, M) = K ( x) ⊗ R M {\displaystyle K(x,M)=K(x)\otimes _{R}M}$ $K (x, M) = K (x) \ otimes _ {R} M$ with the differential $d ⊗ 1 {\displaystyle d\otimes 1}$ $d \ otimes 1$ and let $H ∗ ⁡ ( x, M) = H ∗ ⁡ ( K ( x, M)) {\displaystyle \operatorname {H} _{*}(x,M)=\operatorname {H} _{*}(K(x,M))}$ $\ operatorname {H} _ {*} (x, M) = \ имя оператора {H} _ {*} (K (x, M))$ be its homology. Note:
$H 0 ⁡ ( x, M) = M / x M {\displaystyle \operatorname {H} _{0}(x,M)=M/xM}$ $\ operatorname {H} _ {0} (x, M) = M / xM$ ,
$H 1 ⁡ ( x, M) = x M = { m ∈ M | x m = 0 } {\displaystyle \operatorname {H} _{1}(x,M)={}_{x}M=\{m\in M|xm=0\}}$ $\ operatorname {H} _ {1} ( x, M) = {} _ {x} M = \ {m \ in M | xm = 0 \}$ .
More generally, given a finite sequence $x 1, …, x n {\displaystyle x_{1},\dots,x_{n}}$ $x_ {1}, \ dots, x_ {n}$ of elements in a ring R, we form the tensor product of complexes :
$K ( x 1, …, x n) = K ( x 1) ⊗ ⋯ ⊗ K ( x n) {\displaystyle K(x_{1},\dots,x_{n})=K(x_{1})\otimes \dots \otimes K(x_{n})}$ $K (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = K (x_ {1}) \ otimes \ dots \ otimes K (x_ {n})$
and let $H ∗ ⁡ ( x 1, …, x n, M) = H ∗ ⁡ ( K ( x 1, …, x n, M)) {\displaystyle \operatorname {H} _{*}(x_{1},\dots,x_{n},M)=\operatorname {H} _{*}(K(x_{1},\dots,x_{n},M))}$ $\ operatorname {H} _ {*} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, M) = \ operatorname {H} _ {*} (K (x_ {1}, \ dots, x_ {n}, M))$ its homology. As before,
$H 0 ⁡ ( x _, M) = M / ( x 1, …, x n) M {\displaystyle \operatorname {H} _{0}({\underline {x}},M)=M/( x_ {1}, \ dots, x_ {n}) M}$ $\ operatorname {H} _ {0} (\ underline {x}, M) = M / (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) M$ ,
$H n ⁡ (x _, M) = Ann M ⁡ ((x 1,…, xn)) {\ displaystyle \ operatorname {H} _ {n} ({\ underline {x}}, M) = \ operatorname {Ann} _ {M} ((x_ {1}, \ dots, x_ {n}))}$ $\ operatorname {H} _ {n} (\ underline {x}, M) = \ operatorname {Ann} _ {M } ((x_ {1}, \ dots, x_ {n}))$ .
Теперь у нас есть гомологическая характеристика регулярной последовательности.

Теорема - Предположим, что R нетерово, M - конечный модуль над R и $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ находятся в радикале Джекобсона of R. Тогда следующие эквивалентны
(i) $x _ {\ displaystyle {\ underline {x}}}$ ${\ underline {x}}$ - M-регулярная последовательность.
( II) $ЧАС я ⁡ (Икс _, М) знак равно 0, я ≥ 1 {\ Displaystyle \ OperatorName {H} _ {я} ({\ underline {x}}, М) = 0, я \ geq 1 }$ $\ operatorname {H} _ {i} (\ underline {x}, M) = 0, i \ geq 1$ .
(iii) $H 1 ⁡ (x _, M) = 0 {\ displaystyle \ operatorname {H} _ {1} ({\ underline {x}}, M) = 0}$ $\ operatorname {H} _ {1} (\ underline {x}, M) = 0$ .
Следствие - Последовательность $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ является M-регулярной тогда и только тогда, когда такова любая из ее перестановок.

Следствие - Если $x 1,…, xn {\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$ $x_ {1}, \ dots, x_ {n}$ является M-регулярной последовательностью, то $x 1 j,…, xnj {\ displaystyle x_ {1} ^ {j}, \ dots, x_ {n} ^ {j}}$ $x_ {1} ^ {j }, \ dots, x_ {n} ^ {j}$ также является M-регулярной последовательностью для каждого положительного целого числа j.

Комплекс Кошуля - мощный вычислительный инструмент. Например, это следует из теоремы и следствия
$H mi ⁡ (M) ≃ lim → ⁡ H i ⁡ (K (x 1 j,…, xnj; M)) {\ displaystyle \ operatorname {H} _ {\ mathfrak {m}} ^ {i} (M) \ simeq \ varinjlim \ operatorname {H} ^ {i} (K (x_ {1} ^ {j}, \ dots, x_ {n} ^ {j}) ; M))}$ $\ operatorname {H} _ {{{\ mathfrak {m}}}} ^ {i} (M) \ simeq \ varinjlim \ operatorname {H} ^ {i} (K (x_ {1} ^ {j}, \ dots, x_ {n} ^ {j}; M))$
(Здесь используется самодуальность комплекса Кошуля; см. Предложение 17.15. Эйзенбуда, Коммутативная алгебра со взглядом на алгебраическую геометрию.)

Другой пример:

Теорема - Предположим, что R локально. Тогда пусть
$s = dim k ⁡ m / m 2 {\ displaystyle s = \ dim _ {k} {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2}}$ $s = \ dim _ {k} {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2}$ ,
размер касательного пространства Зарисского (часто называемого размерностью вложения кольца R). Тогда
$(si) ≤ dim k ⁡ Tor i R ⁡ (k, k) {\ displaystyle {\ binom {s} {i}} \ leq \ dim _ {k} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (k, k)}$ ${\ binom {s} {i }} \ leq \ dim _ {k} \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (k, k)$ .
Замечание : Эту теорему можно использовать для второго быстрого доказательства теоремы Серра о том, что R является регулярным тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. Действительно, по приведенной выше теореме $Tor s R ⁡ (k, k) ≠ 0 {\ displaystyle \ operatorname {Tor} _ {s} ^ {R} (k, k) \ neq 0}$ $\ operatorname {Tor} _ {s} ^ {R} (k, k) \ neq 0$ и таким образом $гл. d я м ⁡ р ≥ s {\ displaystyle \ operatorname {gl.dim} R \ geq s}$ $\ operatorname {gl.dim} R \ geq s$ . С другой стороны, поскольку $г л. d i m ⁡ R = pd R ⁡ k {\ displaystyle \ operatorname {gl.dim} R = \ operatorname {pd} _ {R} k}$ $\ operatorname {gl.dim} R = \ operatorname {pd} _ {R} k$ , формула Ауслендера – Буксбаума дает $г л. d я м ⁡ р знак равно тусклый ⁡ р {\ displaystyle \ operatorname {gl.dim} R = \ dim R}$ $\ operatorname {gl.dim} R = \ dim R$ . Следовательно, $dim ⁡ R ≤ s ≤ g l. dim ⁡ R = dim ⁡ R {\ displaystyle \ dim R \ leq s \ leq \ operatorname {gl.dim} R = \ dim R}$ $\ dim R \ leq s \ leq \ operatorname {gl.dim} R = \ dim R$ .

Далее мы используем гомологии Кошуля для определения и изучения полных колец пересечений. Пусть R - нётерово локальное кольцо. По определению первое отклонение R - это размерность векторного пространства
$ϵ 1 (R) = dim k ⁡ H 1 ⁡ (x _) {\ displaystyle \ epsilon _ {1} (R) = \ dim _ {k} \ operatorname {H} _ {1} ({\ underline {x}})}$ $\ эпсилон _ {1} (R) = \ dim _ {k} \ operatorname {H} _ {1} (\ underline {x})$
где $x _ = (x 1,…, xd) {\ displaystyle {\ underline {x}} = (x_ {1}, \ dots, x_ {d})}$ $\ underline {x} = (x_ {1}, \ dots, x_ {d})$ - это система параметров. По определению R является полным кольцом пересечения, если $dim ⁡ R + ϵ 1 (R) {\ displaystyle \ dim R + \ epsilon _ {1} (R)}$ $\ dim R + \ epsilon _ {1} (R)$ - размер касательной Космос. (См. Геометрический смысл в Хартсхорне.)

Теорема - R является полным кольцом пересечений тогда и только тогда, когда его алгебра Кошуля является внешней алгеброй.
Инъективный размер и размеры Tor
Пусть R - кольцо. инъективное измерение R-модуля M, обозначенное $id R ⁡ M {\ displaystyle \ operatorname {id} _ {R} M}$ $\ operatorname {id} _ {R} M$ , определяется так же, как проективное Размерность: это минимальная длина инъективного разрешения M. Пусть $Mod R {\ displaystyle \ operatorname {Mod} _ {R}}$ $\ operatorname {Mod} _ {R}$ будет категорией R-модулей.

Теорема - Для любого кольца R
$g l. d i m ⁡ R = sup ⁡ {id R ⁡ M | M ∈ Mod R} = inf {n | Внешний R я ⁡ (M, N) знак равно 0, я>N, M, N ∈ Mod R} {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {gl.dim} R \, = \ operatorname {sup} \ {\ operatorname {id} _ {R} M | M \ in \ operatorname {Mod} _ {R} \} \\ = \ inf \ {n | \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} ( M, N) = 0, \, i>n, M, N \ in \ operatorname {Mod} _ {R} \} \ end {align}}}$ ${\begin{aligned}\operatorname {gl.dim}R\,=\operatorname {sup}\{\operatorname {id}_{R}M|M\in \operatorname {Mod}_{R}\}\\=\inf\{n|\operatorname {Ext}_{R}^{i}(M,N)=0,\,i>n, M, N \ in \ OperatorName {Mod} _ {R} \} \ end {align}}$
Доказательство: Предположим, $gl. dim ⁡ R ≤ n {\ displaystyle \ operatorname {gl.dim} R \ leq n}$ $\ operatorname {gl.dim} R \ leq n$ . Пусть M будет R -модуль и рассмотрим разрешение
$0 → M → I 0 → ϕ 0 I 1 → ⋯ → I n - 1 → ϕ n - 1 N → 0 {\ displaystyle 0 \ to M \ to I_ {0} {\ overset {\ phi _ {0}} {\ to}} I_ {1} \ to \ dots \ to I_ {n-1} {\ overset {\ phi _ {n-1}} {\ to}} N \ в 0}$ $0 \ to M \ to I_ {0} {\ overset {\ phi _ {0}} \ to} I_ { 1} \ to \ dots \ to I _ {{n-1}} {\ overset {\ phi _ {{n-1}}} \ to} N \ to 0$
, где $I i {\ displaystyle I_ {i}}$ $I_ {i}$ - инъективные модули. Для любого идеального I
$Ext R 1 ⁡ (R / I, N) ≃ Внешний R 2 ⁡ (R / I, ker ⁡ (ϕ n - 1)) ≃ ⋯ ≃ Ext R n + 1 ⁡ (R / I, M), {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {1} (R / I, N) \ simeq \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {2} (R / I, \ operatorname {ker} (\ phi _ {n-1})) \ simeq \ dots \ simeq \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n + 1} (R / I, M),}$ $\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {1} (R / I, N) \ simeq \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {2} (R / I, \ operatorname {ker} (\ phi _ {{n-1}})) \ simeq \ dots \ simeq \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {{n + 1}} (R / I, M),$
который равен нулю, поскольку $Ext R n + 1 ⁡ (R / I, -) {\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {n + 1} (R / I, -)}$ $\ operatorname {Ext} _ {R} ^ {{n + 1} } (R / I, -)$ вычисляется через проективное разрешение $R / I {\ displaystyle R / I}$ $R / I$ . Таким образом, по критерию Бэра N инъективен. Мы заключаем, что $sup {id R ⁡ M | M} ≤ N {\ Displaystyle \ sup \ {\ operatorname {id} _ {R} M | M \} \ leq n}$ $\ sup \ {\ operatorname {id} _ {R} M | M \} \ leq n$ . По сути, перевернув стрелки, можно также доказать подтекст и другим способом. $◻ {\ displaystyle \ square}$ $\ square$

Теорема предполагает, что мы рассматриваем своего рода двойник глобального измерения:
$w. г л. d i m = inf {n | Тор я р ⁡ (M, N) знак равно 0, я>N, M, N ∈ Mod R} {\ displaystyle \ operatorname {w.gl.dim} = \ inf \ {n | \ operatorname {Tor} _ {i } ^ {R} (M, N) = 0, \, i>n, M, N \ in \ operatorname {Mod} _ {R} \}}$ $\operatorname {w.gl.dim}=\inf\{n|\operatorname {Tor}_{i}^{R}(M,N)=0,\,i>n, M, N \ in \ OperatorName {Mod} _ {R} \}$ .
Первоначально оно называлось слабым глобальным измерением R, но сегодня его чаще называют измерением Tor R.

Примечание: для любого кольца R, $w. gl. dim ⁡ R ≤ gl. dim ⁡ R {\ displaystyle \ operatorname {w.gl.dim} R \ leq \ operatorname {gl.dim} R}$ $\ operatorname {w.gl.dim} R \ leq \ operatorname {gl.dim} R$ .

Предложение - кольцо имеет слабую глобальную размерность ноль тогда и только тогда, когда она регулярна по фон Нейману.
Теория множественности
Размерности некоммутативных колец
Пусть A - градуированная алгебра над полем k. Если V является конечномерным порождающим подпространством A, тогда пусть $f (n) = dim k ⁡ V n {\ displaystyle f (n) = \ dim _ {k} V ^ {n }}$ $f (n) = \ dim _ {k} V ^ {n}$ и затем положите
$gk ⁡ (A) = lim sup n → ∞ log ⁡ f (n) log ⁡ n {\ displaystyle \ operatorname {gk} (A) = \ limsup _ { n \ to \ infty} {\ log f (n) \ over \ log n}}$ $\ operatorname {gk} (A) = \ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ log f (n) \ over \ log n}$ .
Это называется размерностью Гельфанда – Кириллова матрицы A. Легко показать $gk ⁡ (A) {\ displaystyle \ operatorname {gk} (A)}$ $\ operatorname {gk} (A)$ не зависит от выбора V.

Пример : если A конечномерно, то gk (A) = 0. Если A - аффинное кольцо, то gk (A) = размерность Крулля A.

Неравенство Бернштейна - см. [1]

. См. Также:,.
См. Также
Число басов
Совершенная комплексная
амплитуда
Примечания
Ссылки
Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Кольца Коэна-Маколея, Кембриджские исследования в области высшей математики, 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521- 41068-7, MR 1251956
Часть II из Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8, MR 1322960.
Глава 10 из Атия, Майкл Фрэнсис ; Macdonald, IG (1969), Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8.
Каплански, Ирвинг, Коммутативные кольца, Аллин и Бэкон, 1970.
H. Мацумура Коммутативная теория колец. Перевод с японского М. Рейда. Второе издание. Кембриджские исследования по высшей математике, 8.
Серр, Жан-Пьер (1975), регион Альжебра. Multiplicités, Cours au Collège de France, 1957–1958, rédigé par Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Конспекты лекций по математике (на французском языке), 11, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
Weibel, Charles A. (1995). Введение в гомологическую алгебру. Cambridge University Press.