Кольцо оценки

редактировать

В абстрактной алгебре кольцо оценки является областью целостности D такой, что для каждого элемента x его поля дробей F по крайней мере один из x или x принадлежит D.

Для данного поля F, если D является подкольцом кольца F, таким что либо x, либо x принадлежит D для любого ненулевого x в F, то D называется оценочным кольцом для поля F или поместите из F. Так как F в этом случае действительно является полем дробей D, оценочное кольцо для поля является оценочным кольцом. Другой способ охарактеризовать оценочные кольца поля F состоит в том, что оценочные кольца D поля F имеют F как свое поле дробей, а их идеалы полностью упорядочены включением; или, что то же самое, их главные идеалы полностью упорядочены включением. В частности, каждое оценочное кольцо является локальным кольцом.

Оценочные кольца поля - это максимальные элементы множества локальных подколец в поле, частично упорядоченных по преобладанию или уточнение, где

(A, m A) {\ displaystyle (A, {\ mathfrak {m}} _ {A})}

(A, {\ mathfrak {m }} _ {A})

доминирует над

(B, m B) {\ displaystyle (B, {\ mathfrak {m}} _ {B})}

(B, {\ mathfrak {m}} _ {B})

, если

A ⊃ B {\ displaystyle A \ supset B}

A \ supset B

m A ∩ B = m B {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {A} \ cap B = {\ mathfrak {m}} _ {B}}

{\ mathfrak {m}} _ {A} \ cap B = {\ mathfrak { m}} _ {B}

В каждом локальном кольце в поле K доминирует некоторое оценочное кольцо K.

Область целостности, локализация которой в любом простом идеале является оценочным кольцом, называется областью Прюфера.

Содержание

1 Определения
2 Примеры
3 Конструкция
4 Доминирование и интегральное замыкание
5 Идеалы в оценочных кольцах
6 Места
- 6.1 Общее определение
  - 6.1.1 Пример
- 6.2 Специализация мест
  - 6.2.1 Пример
  - 6.2.2 Примечания
- 6.3 Бесконечные точки
7 Примечания
- 7.1 Цитирования
8 Источники

Определения

Существует несколько эквивалентных определений оценочного кольца (см. Ниже характеристику с точки зрения доминирования). Для области целостности D и ее поля дробей K следующие условия эквивалентны:

Для любого ненулевого x в K, либо x в D, либо x в D.
Идеалы элемента D полностью упорядочены включением.
Основные идеалы D полностью упорядочены включением (т. е. элементы в D полностью упорядочены по делимость.)
Существует полностью упорядоченная абелева группа Γ (называемая группой значений ) и гомоморфизм сюръективной группы (называемый оценка ) ν: K → Γ с D = {x ∈ K | ν (x) ≥ 0} ∪ {0}.

Эквивалентность первых трех определений легко следует. Теорема о ( Krull 1939) утверждает, что любое кольцо, удовлетворяющее первым трем условиям, удовлетворяет четвертому: возьмем Γ как факторное отношение K / D единичной группы кольца K по единичной группе кольца D, и возьмем ν в качестве естественной проекции. Мы можем превратить Γ в вполне упорядоченную группу, объявив классы вычетов элементов D a s «положительный».

Более того, для любой полностью упорядоченной абелевой группы Γ существует кольцо нормирования D с группой значений Γ (см. раздел ниже).

Из того факта, что идеалы оценочного кольца полностью упорядочены, можно сделать вывод, что оценочное кольцо является локальной областью, и что каждый конечно порожденный идеал оценочного кольца является главным (т. Е. Оценочным кольцом это домен Безу ). Фактически, это теорема Крулля о том, что область целостности является оценочным кольцом тогда и только тогда, когда она является локальной областью Безу. Из этого также следует, что оценочное кольцо нётерово тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов. В данном случае это либо поле, либо ровно один отличный от нуля простой идеал; в последнем случае оно называется кольцом дискретной оценки. (По соглашению, поле не является кольцом дискретной оценки.)

Группа значений называется дискретной, если она изоморфна аддитивной группе целых чисел, а кольцо оценки имеет дискретную группу оценки тогда и только тогда. если это дискретное оценочное кольцо.

Очень редко оценочное кольцо может относиться к кольцу, которое удовлетворяет второму или третьему условию, но не обязательно является доменом. Более общий термин для этого типа кольца - «одинарное кольцо ».

Примеры

Любое поле $F {\ displaystyle \ mathbb {F}}$ $\ mathbb {F}$ представляет собой кольцо оценки. Например, кольцо рациональных функций $F (X) {\ displaystyle \ mathbb {F} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} (X)}$ на алгебраическом многообразии $X {\ displaystyle X}$ $X$ .
A простой не пример - это область целостности $C [X] {\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}$ , поскольку инверсия общего $f / g ∈ C (X) {\ displaystyle f / g \ in \ mathbb {C} (X)}$ ${\ displaystyle f / g \ in \ mathbb {C} (X)}$ is $g / f ∉ C [X] {\ displaystyle g / f \ not \ in \ mathbb {C} [X]}$ ${\ displaystyle g / f \ not \ in \ mathbb {C } [X]}$
Поле степенного ряда:

F ((X)) = {f (X) = ∑ i>- ∞ ∞ ai X i} {\ displaystyle \ mathbb {F} ((X)) = \ left \ {f (X) = \ sum _ {i>- \ infty} ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i} \ right \}}

\mathbb {F} ((X))=\left\{f(X)=\sum _{i>- \ infty } ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i} \ right \}

имеет оценку

v (f) = inf и ≠ 0 n {\ displaystyle v (f) = \ inf \ nolimits _ {a_ {n} \ neq 0} n}

{\ displaystyle v (f) = \ inf \ nolimits _ {a_ {n} \ neq 0} n}

. Подкольцо

F [[X]] {\ displaystyle \ mathbb {F} [[X]]}

{\ displaystyle \ mathbb {F} [[X]]}

является оценочным кольцом a s хорошо.

$Z (p), {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)},}$ локализация целых чисел $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ в простом идеале (p), состоящий из соотношений, где числитель - любое целое число, а знаменатель не делится на p. Поле дробей - это поле рациональных чисел $Q. {\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$
Кольцо мероморфных функций на всей комплексной плоскости, которые имеют ряд Маклорена (Ряд Тейлора разложение в нуле) является оценочным кольцом. Поле дробей - это функции, мероморфные на всей плоскости. Если f не имеет ряда Маклорена, то 1 / f имеет.
Любое кольцо целых p-адических чисел $Z p {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} }$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ для данного простого числа p является локальным кольцом с полем дробей p-адическими числами $Q p {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ . интегральное замыкание $Z p cl {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ text {cl}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ text {cl}}}$ p-адических целых чисел также локальное кольцо с полем дробей $Q p cl {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {\ text {cl}}}$ ${ \ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {\ text {cl}}}$ (алгебраическое замыкание p-адических чисел). И $Z p {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ , и $Z p cl {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ text {cl }}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ text {cl}}}$ - кольца оценки.
Пусть k будет упорядоченным полем. Элемент k называется конечным, если он лежит между двумя целыми числами n < x < m; otherwise it is called infinite. The set D of finite elements of k - это кольцо оценки. Множество элементов x таких, что x ∈ D и x∉D - это набор бесконечно малых элементов; и элемент x такой, что x ∉ D и x ∈ D, называется бесконечным.
Кольцо F конечных элементов гиперреального поля *R(упорядоченное поле, содержащее действительные числа) представляет собой оценочное кольцо * R. F, состоящее из всех гиперреальных чисел, отличающихся от стандартного действительного числа на бесконечно малую величину, что эквивалентно произнесению гиперреального числа x, такого что -n < x < n for some standard integer n. The поле остатка, конечные гиперреалистические числа по модулю идеала бесконечно малых гиперреалистических чисел изоморфны действительным числам.
Обычный геометрический пример взят из алгебраических плоских кривых. Рассмотрим кольцо многочленов $C [x, y] {\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$ и неприводимый многочлен $f {\ displaystyle f}$ $f$ в этом ринге. Тогда кольцо $C [x, y] / (f) {\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (f)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (f)}$ является кольцом полиномиальных функций на кривой ${(x, y): f (x, y) = 0} {\ displaystyle \ {(x, y): f (x, y) = 0 \}}$ ${\ displaystyle \ {(x, y): f (x, y) = 0 \}}$ . Выберите точку $P = (P x, P y) ∈ C 2 {\ displaystyle P = (P_ {x}, P_ {y}) \ in \ mathbb {C} ^ {2}}$ ${\ displaystyle P = (P_ {x}, P_ {y}) \ в \ mathbb {C} ^ {2}}$ такой, что $f (P) = 0 {\ displaystyle f (P) = 0}$ ${\ displaystyle f (P) = 0}$ и это обычная точка на кривой; т.е. локальное кольцо R в точке является регулярным локальным кольцом размерности Крулля один или кольцом дискретной оценки.
. Например, рассмотрите включение $(C [[X 2 ]], (Икс 2)) ↪ (С [[X]], (X)) {\ displaystyle (\ mathbb {C} [[X ^ {2}]], (X ^ {2})) \ hookrightarrow (\ mathbb {C} [[X]], (X))}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {C} [[X ^ {2}]], (X ^ {2})) \ hookrightarrow (\ mathbb { C} [[X]], (X))}$ . Это все подкольца в поле степенного ряда с ограничением снизу $C ((X)) {\ displaystyle \ mathbb {C} ((X))}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ((X))}$ .

Конструкция

Для заданного полностью упорядоченная абелева группа Γ и поле вычетов k, определим K = k ((Γ)) как кольцо формальных степенных рядов, степени которого происходят из Γ, то есть элементы из K - это функции от Γ до k такие, что опора (элементы Γ, где значение функции не является нулем k) каждой функции является хорошо упорядоченным подмножеством Γ. Сложение является точечным, а умножение - это произведение Коши или свертка, что является естественной операцией при просмотре функций как степенных рядов:

∑ g ∈ G f (g) xg {\ displaystyle \ sum _ {g \ in G} f (g) x ^ {g}}

\ sum _ {{g \ in G}} f (g) x ^ {g}

xg ⋅ xh = xg + h. {\ displaystyle x ^ {g} \ cdot x ^ {h} = x ^ {g + h}.}

x ^ {g} \ cdot x ^ {h} = x ^ {{g + h}}.

Оценка ν (f) для f в K определяется как наименьший элемент поддержки f, то есть наименьший элемент g графа Γ такой, что f (g) отличен от нуля. F с ν (f) ≥0 (вместе с 0 в K) образуют подкольцо D кольца K, которое является кольцом нормирования с группой значений Γ, оценкой ν и полем вычетов k. Эта конструкция подробно описана в (Fuchs Salce 2001, pp. 66–67) и следует конструкции (Krull 1939), в которой используются частные полиномов вместо степенных рядов.

Доминирование и интегральное замыкание

Единицы, или обратимые элементы, оценочного кольца - это элементы x, такие, что x также является членом D. Другие элементы D, называемые неединицами, не имеют обратного, и они образуют идеал M. Этот идеал является максимальным среди (полностью упорядоченных) идеалов D. Поскольку M является максимальным идеалом, кольцо частных D / M - это поле, называемое полем вычетов поля D.

В общем, мы говорим локальное кольцо $(S, m S) {\ displaystyle (S, {\ mathfrak {m}} _ {S})}$ $(S, {\ mathfrak {m}} _ {S})$ доминирует в локальном кольце $(R, m R) {\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}} _ {R})}$ $(R, {\ mathfrak {m}} _ {R})$ , если $S ⊃ R {\ displaystyle S \ supset R}$ $S \ supset R$ и $m S ∩ R = m R {\ displaystyle {\ mathfrak { m}} _ {S} \ cap R = {\ mathfrak {m}} _ {R}}$ ${\ mathfrak {m}} _ {S} \ cap R = {\ mathfrak {m}} _ {R}$ ; другими словами, включение $R ⊂ S {\ displaystyle R \ subset S}$ $R \ подмножество S$ является локальным гомоморфизмом колец. Каждое локальное кольцо $(A, p) {\ displaystyle (A, {\ mathfrak {p}})}$ $(A, {\ mathfrak {p}})$ в поле K подчиняется некоторому оценочному кольцу K. Действительно, множество, состоящее из всех подколец R в K, содержащих A и $1 ∉ p R {\ displaystyle 1 \ not \ in {\ mathfrak {p}} R}$ $1 \ not \ in {\ mathfrak {p}} R$ непусто и индуктивно; таким образом, имеет максимальный элемент $R {\ displaystyle R}$ $R$ по лемме Цорна. Мы утверждаем, что R - оценочное кольцо. R - локальное кольцо с максимальным идеалом, содержащим $p R {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} R}$ ${\ mathfrak {p}} R$ по максимальности. Опять-таки по максимальности он также целиком замкнут. Теперь, если $x ∉ R {\ displaystyle x \ not \ in R}$ $x \ not \ in R$ , то по максимальности $p R [x] = R [x] {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} R [x] = R [x]}$ ${\ mathfrak {p}} R [x] = R [x]$ и, таким образом, мы можем написать:

1 = r 0 + r 1 x + ⋯ + rnxn, ri ∈ p R {\ displaystyle 1 = r_ {0} + r_ {1} x + \ cdots + r_ {n} x ^ {n}, \ quad r_ {i} \ in {\ mathfrak {p}} R}

1 = r_ {0} + r_ {1} x + \ cdots + r_ {n} x ^ {n}, \ quad r_ {i} \ in {\ mathfrak {p}} R

Поскольку $1 - r 0 {\ displaystyle 1-r_ {0}}$ $1-r_ {0}$ является единичным элементом, это означает, что $x - 1 {\ displaystyle x ^ {- 1}}$ $x^{-1}$ является целым над R; таким образом, находится в R. Это доказывает, что R - оценочное кольцо. (R доминирует над A, поскольку его максимальный идеал содержит $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ по построению.)

Локальное кольцо R в поле K является кольцо нормирования тогда и только тогда, когда оно является максимальным элементом множества всех локальных колец, содержащихся в K, частично упорядоченных по преобладанию. Это легко следует из вышеизложенного.

Пусть A подкольцо поля K и $f: A → k {\ displaystyle f: A \ to k}$ $f: A \ to k$ кольцевой гомоморфизм в алгебраически замкнутое поле k. Тогда f продолжается до кольцевого гомоморфизма $g: D → k {\ displaystyle g: D \ to k}$ $g: D \ to k$ , D некоторого оценочного кольца K, содержащего A. (Доказательство: пусть $g: R → k {\ displaystyle g: R \ to k}$ $g: R \ К$ - максимальное расширение, которое, очевидно, существует по лемме Цорна. По максимальности R - локальное кольцо с максимальным идеалом, содержащим ядро f. Если S является локальным кольцом, доминирующим над R, тогда S алгебраична над R; в противном случае $S {\ displaystyle S}$ $S$ содержит кольцо многочленов $R [x] {\ displaystyle R [x] }$ $R [x]$ , до которой продолжается g, противоречие максимальности. Отсюда следует, что $S / m S {\ displaystyle S / {\ mathfrak {m}} _ {S}}$ $S / {\ mathfrak {m}} _ { S}$ is расширение алгебраического поля $R / m R {\ displaystyle R / {\ mathfrak {m}} _ {R}}$ $R / {\ mathfrak {m}} _ {R}$ . Таким образом, $S → S / m S ↪ k { \ displaystyle S \ to S / {\ mathfrak {m}} _ {S} \ hookrightarrow k}$ $S \ to S / {\ mathfrak {m}} _ {S} \ hookrightarrow k$ расширяет g; следовательно, S = R.)

Если подкольцо R кольца поле K содержит оценочное кольцо D для K, тогда, проверяя определение 1, R также является оценочным кольцом для K. cular, R локально, и его максимальный идеал стягивается к некоторому простому идеалу D, например, $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ . Тогда $R = D p {\ displaystyle R = D _ {\ mathfrak {p}}}$ $R = D _ {{\ mathfrak {p}}}$ , поскольку $R {\ displaystyle R}$ $R$ доминирует над $D p {\ displaystyle D _ {\ mathfrak {p}}}$ $D_ \ mathfrak {p }$ , который представляет собой кольцо оценки, поскольку идеалы полностью упорядочены. Это наблюдение относится к следующему: существует биективное соответствие $p ↦ D p, Spec ⁡ (D) → {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ mapsto D _ {\ mathfrak {p}}, \ Operatorname {Spec} (D) \ to}$ ${\ mathfrak {p}} \ mapsto D _ {{\ mathfrak {p}}}, \ operatorname {Spec} (D) \ to$ множество всех подколец K, содержащих D. В частности, D является целочисленным замкнутым, а измерение Крулля кольца D является мощность собственных подколец K, содержащих D.

Фактически, целочисленное замыкание области целостности A в поле дробных K кольца A является пересечением всех колец нормирования группы K, содержащей A. В самом деле, интегральное замыкание содержится в пересечении, поскольку кольца нормирования интегрально замкнуты. И наоборот, пусть x находится в K, но не является целым над A. Поскольку идеал $x - 1 A [x - 1] {\ displaystyle x ^ {- 1} A [x ^ {- 1}]}$ $x ^ {{- 1}} A [x ^ {{- 1}}]$ не $A [x - 1] {\ displaystyle A [x ^ {- 1}]}$ $A [x ^ {{- 1}}]$ , он содержится в максимальном идеале $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ . Затем существует оценочное кольцо R, которое доминирует в локализации $A [x - 1] {\ displaystyle A [x ^ {- 1}]}$ $A [x ^ {{- 1}}]$ в $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ . Поскольку $x - 1 ∈ m R {\ displaystyle x ^ {- 1} \ in {\ mathfrak {m}} _ {R}}$ $x ^ {{- 1}} \ in {\ mathfrak {m}} _ {R}$ , $x ∉ R {\ displaystyle x \ not \ in R}$ $x \ not \ in R$ .

Доминирование используется в алгебраической геометрии. Пусть X - алгебраическое многообразие над полем k. Затем мы говорим, что кольцо оценки R в $k (X) {\ displaystyle k (X)}$ $k (X)$ имеет «центр x на X», если $R {\ displaystyle R}$ $R$ доминирует в локальном кольце $O x, X {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {x, X}}$ ${\ mathcal {O}} _ {{x, X}}$ структурного пучка в точке x.

Идеалы в оценочных кольцах

Мы можем описать идеалы в оценочном кольце с помощью его группы значений.

Пусть Γ вполне упорядоченная абелева группа. Подмножество Δ в Γ называется отрезком, если оно непусто и для любого α из Δ любой элемент между -α и α также находится в Δ (включая конечные точки). Подгруппа группы Γ называется изолированной подгруппой, если она является отрезком и является собственной подгруппой.

Пусть D - оценочное кольцо с оценкой v и группой значений Γ. Для любого подмножества A из D пусть $Γ A {\ displaystyle \ Gamma _ {A}}$ $\ Gamma _ {A}$ будет дополнением к объединению $v (A - 0) {\ displaystyle v (A-0)}$ $v (A-0)$ и $- v (A - 0) {\ displaystyle -v (A-0)}$ $-v (A-0)$ в $Γ {\ displaystyle \ Gamma }$ $\ Gamma$ . Если I - правильный идеал, то $Γ I {\ displaystyle \ Gamma _ {I}}$ $\ Gamma _ {I}$ представляет собой сегмент $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ . Фактически, отображение $I ↦ Γ I {\ displaystyle I \ mapsto \ Gamma _ {I}}$ $I \ mapsto \ Gamma _ {I}$ определяет взаимно однозначное соответствие между множеством собственных идеалов D и множеством сегментов. из $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ . При этом соответствии ненулевые первичные идеалы группы D биективно соответствуют изолированным подгруппам группы Γ.

Пример: кольцо p-адических целых чисел $Z p {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ - это кольцо оценки с группой значений $Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ . Нулевая подгруппа $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ соответствует уникальному максимальному идеалу $(p) ⊂ Z p {\ displaystyle (p) \ subset \ mathbb {Z } _ {p}}$ ${\ displaystyle (p) \ subset \ mathbb {Z} _ {p}}$ и всю группу к нулевому идеалу. Максимальный идеал - единственная изолированная подгруппа в $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ .

Множество изолированных подгрупп полностью упорядочено по включению. высота или ранг r (Γ) группы Γ определяется как мощность множества изолированных подгрупп группы Γ. Поскольку ненулевые простые идеалы тотально упорядочены и соответствуют изолированным подгруппам в Γ, высота Γ равна размерности Крулля кольца нормирования D, ассоциированного с Γ.

Наиболее важным частным случаем является высота один, что эквивалентно тому, что Γ является подгруппой действительных чисел ℝ при сложении (или, что эквивалентно, положительных действительных чисел ℝ при умножении.) Оценочное кольцо с оценкой высоты один имеет соответствующее абсолютное значение, определяющее ультраметрическое место. Частным случаем этого являются упомянутые ранее кольца дискретной оценки.

рациональный ранг rr (Γ) определяется как ранг группы значений как абелевой группы,

d i m Q (Γ ⊗ Z Q). {\ displaystyle \ mathrm {dim} _ {\ mathbb {Q}} (\ Gamma \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q}).}

{\ displaystyle \ mathrm {dim} _ {\ mathbb {Q}} (\ Gamma \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q}).}

Места

Общее определение

A место поля K является кольцевым гомоморфизмом p из оценочного кольца D поля K в некоторое поле такое, что для любого $x ∉ D {\ displaystyle x \ not \ in D}$ $x \ not \ in D$ , $p (1 / x) = 0 {\ displaystyle p (1 / x) = 0}$ $p (1 / x) = 0$ . Изображение места - это поле, называемое полем остатков на стр. Например, каноническая карта $D → D / m D {\ displaystyle D \ to D / {\ mathfrak {m}} _ {D}}$ $D \ to D / {\ mathfrak {m}} _ {D}$ - это место.

Пример

Пусть A будет областью Дедекинда и $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ простым идеалом. Тогда каноническая карта $A p → k (p) {\ displaystyle A _ {\ mathfrak {p}} \ to k ({\ mathfrak {p}})}$ $A _ {{{\ mathfrak {p}}}} \ to k ({\ mathfrak {p}})$ - это место.

Специализация мест

Мы говорим, что место p специализируется на месте p ', обозначается $p ⇝ p ′ {\ displaystyle p \ rightsquigarrow p' }$ $p\rightsquigarrow p'$ , если оценочное кольцо p содержит оценочное кольцо p '. В алгебраической геометрии мы говорим, что простой идеал $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ специализируется на $p ′ {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} '}$ ${\mathfrak {p}}'$ если $p ⊂ p ′ {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ subset {\ mathfrak {p}} '}$ ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'$ . Эти два понятия совпадают: $p ⇝ p ′ {\ displaystyle p \ rightsquigarrow p '}$ $p\rightsquigarrow p'$ тогда и только тогда, когда простой идеал, соответствующий p, специализируется на простом идеале, соответствующем p' в некотором оценочном кольце. (напомним, что если $D ⊃ D ′ {\ displaystyle D \ supset D '}$ $D\supset D'$ являются оценочными кольцами одного и того же поля, то D соответствует простому идеалу $D ′ {\ displaystyle D '}$ $D'$ .)

Пример

Например, в поле функции $F (X) {\ displaystyle \ mathbb {F} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} (X)}$ некоторого алгебраического разнообразия $X {\ displaystyle X}$ $X$ каждый простой идеал $p ∈ Spec (R) {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in { \ text {Spec}} (R)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in {\ text {Spec}} (R)}$ , содержащийся в максимальном идеале $m {\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ mathfrak {m}}$ , дает специализацию $p ⇝ m {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ rightsquigarrow {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ rightsquigarrow {\ mathfrak {m}}}$ .

Замечания

Это может быть показано: если $p ⇝ p ′ {\ displaystyle p \ rightsquigarrow p '}$ $p\rightsquigarrow p'$ , тогда $p ′ = q ∘ p | D ′ {\ displaystyle p '= q \ circ p | _ {D'}}$ $p'=q\circ p|_{{D'}}$ для некоторого места q поля вычетов $k (p) {\ displaystyle k (p)}$ $k (p)$ из стр. (Обратите внимание: $p (D ') {\ displaystyle p (D')}$ $p(D')$ - это кольцо оценки $k (p) {\ displaystyle k (p)}$ $k (p)$ и пусть q - соответствующее место; все остальное - механическое.) Если D является оценочным кольцом p, то его размерность Крулля равна мощности специализаций, отличных от p и p. Таким образом, для любой точки p с оценочным кольцом D поля K над полем k мы имеем:

t r. d e g k ⁡ k (p) + dim ⁡ D ≤ t r. degk ⁡ K {\ displaystyle \ operatorname {tr.deg} _ {k} k (p) + \ dim D \ leq \ operatorname {tr.deg} _ {k} K}

\ operatorname {tr.deg} _ {k} k (p) + \ dim D \ leq \ operatorname {tr.deg} _ {k} K

Если p - место и A является подкольцом оценочного кольца p, то $ker ⁡ (p) ∩ A {\ displaystyle \ operatorname {ker} (p) \ cap A}$ $\ operatorname {ker} (p) \ cap A$ называется центром p в A.

Размещает на бесконечности

Для поля функции на аффинном многообразии $X {\ displaystyle X}$ $X$ есть оценки, не связанные ни с одним из простые числа $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Эти оценки называются бесконечно удаленными . [1] Например, аффинная линия $A k 1 {\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ { 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {1}}$ имеет функциональное поле $k (x) {\ displaystyle k (x)}$ $К (Икс)$ . Место, связанное с локализацией

$k [1 x] {\ displaystyle k \ left [{\ frac {1} {x}} \ right]}$ ${\ displaystyle k \ left [{\ frac {1} {x}} \ right]}$

в максимальном идеале

$m = (1 x) {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} = \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ мат hfrak {m}} = \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}$

- это место в бесконечности.

Примечания

Цитаты

Источники