Главный идеал домен

В математике, область главного идеала или PID, является областью целостности, в которой каждый идеал является основным, то есть может быть сгенерирован одним элементом. В более общем смысле, кольцо главных идеалов - это ненулевое коммутативное кольцо, идеалы которого являются главными, хотя некоторые авторы (например, Бурбаки) называют PID главными кольцами. Различие в том, что кольцо главных идеалов может иметь делители нуля, тогда как область главных идеалов не может.

Главные идеальные области, таким образом, являются математическими объектами, которые ведут себя как целые числа в отношении делимости : любой элемент PID имеет уникальное разложение на простые элементы (так что имеет место аналог основной теоремы арифметики ); любые два элемента PID имеют наибольший общий делитель (хотя его может быть невозможно найти с помощью алгоритма Евклида ). Если x и y являются элементами PID без общих делителей, то каждый элемент PID можно записать в форме ax + by.

Главные идеальные домены - это нетеровы, они интегрально замкнутые, это уникальные домены факторизации и дедекиндовы домены. Все евклидовы области и все поля являются главными идеальными областями.

Области главных идеалов появляются в следующей цепочке включений классов :

rngs ⊃ колец ⊃ коммутативных колец ⊃ областей целостности ⊃ интегрально замкнутых областей ⊃ областей GCD ⊃ уникальные домены факторизации ⊃ главные идеальные домены ⊃ Евклидовы домены ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

• 1 Примеры
  • 1.1 Не-примеры
• 2 Модуля
• 3 Свойства
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Примеры включают:

• $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$: любое поле ,
• $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$: кольцо из целых чисел,
• $K\; [x]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [x]\}$: кольца многочленов от одной переменной с коэффициентами в поле. (Обратное также верно, т.е. если $A\; [x]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; [x]\}$является PID, то $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$равно поле.) Кроме того, кольцо формальных степенных рядов от одной переменной над полем является PID, поскольку каждый идеал имеет форму $(xk)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{k\})\}$,
• $Z\; [\; i]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [i]\}$: кольцо целых гауссовских чисел,
• $Z\; [\omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; omega]\}$(где $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$является примитивным кубическим корнем из 1): целые числа Эйзенштейна,
• Любое кольцо дискретной оценки, например кольцо p-адических чисел $Z\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \_\; \{p\}\}$.

Non-examples

Примеры интегральных домены, которые не являются PID:

• $Z\; [-\; 3]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\{\backslash \; sqrt\; \{-3\}\}]\}$- пример кольца, которое не является уникальная область факторизации, поскольку $4\; =\; 2\; \cdot \; 2\; =\; (1\; +\; -\; 3)\; (1\; -\; -\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; =\; 2\; \backslash \; cdot\; 2\; =\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-3\}\})\; (1\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{-3\}\}).\}$Следовательно, это не основная идеальная область поскольку области главных идеалов являются уникальными областями факторизации.

• $Z\; [x]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [x]\}$: кольцо всех многочленов с целыми коэффициентами. Это не принципиально, потому что $⟨2,\; x⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; 2,\; x\; \backslash \; rangle\}$является примером идеала, который не может быть сгенерирован одним полиномом.
• $K\; [\; x,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [x,\; y]\}$: кольца многочленов от двух переменных. Идеальный $⟨x,\; y⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\}$не является главным.
• Большинство колец алгебраических целых чисел не являются области основных идеалов, потому что в них есть идеалы, которые не порождаются одним элементом. Это одна из основных мотиваций, лежащих в основе определения Дедекинда доменов Дедекинда, поскольку простое целое число больше не может быть разложено на элементы, вместо этого они являются простыми идеалами. На самом деле многие $Z\; [\zeta \; p]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; zeta\; \_\; \{p\}]\}$для корня p-й степени из единицы $\zeta \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; \_\; \{p\}\}$не являются принципиально идеальными областями. Фактически, номер класса кольца алгебраических целых чисел $OK\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{K\}\}$дает представление о том, «насколько далеко прочь "это не область главных идеалов.

Ключевым результатом является структурная теорема: если R - область главных идеалов, а M - конечно порожденный R-модуль, то $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$представляет собой прямую сумму циклических модулей, т. Е. Модулей с одним образующим. Циклические модули изоморфны $R\; /\; x\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; xR\}$для некоторого $x\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; R\}$(примечание что $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$может быть равно $0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\}$, и в этом случае $R\; /\; x\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; /\; xR\}$равно $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$).

Если M является свободным модулем над областью главных идеалов R, то каждый подмодуль M снова свободен. Это не выполняется для модулей над произвольными кольцами, как, например, $(2,\; X)\; \subseteq \; Z\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; (2,\; X)\; \backslash \; substeq\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [X]\}$модулей более $Z\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [X]\}$показывает.

В области главного идеала любые два элемента a, b имеют наибольший общий делитель, который может быть получен как генератор идеала (a, б).

Все евклидовы области являются областями главных идеалов, но обратное неверно. Примером области главных идеалов, не являющейся евклидовой областью, является кольцо $Z\; [1\; +\; -\; 19\; 2].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-19\}\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right].\}$В этой области нет q и r, с 0 ≤ | r | < 4, so that $(1\; +\; -\; 19)\; =\; (4)\; q\; +\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-19\}\})\; =\; (4)\; q\; +\; r\}$, несмотря на $1\; +\; -\; 19\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-19\}\}\}$и $4\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\}$с наибольшим общим делителем 2.

Каждый главный идеальный домен является уникальным доменом факторизации (UFD). Обратное неверно, поскольку для любого UFD K кольцо K [X, Y] многочленов от 2 переменных является UFD, но не PID. (Чтобы доказать это, взглянем на идеал, порожденный $⟨X,\; Y⟩.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; X,\; Y\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle.\}$Это не все кольцо, поскольку оно содержит нет полиномов степени 0, но он не может быть порожден каким-либо одним элементом.)

1. Каждая область главных идеалов нётерова.
2. Во всех кольцах с единицей максимальные идеалы равны простое число. В областях главных идеалов имеет место почти обратное: каждый ненулевой простой идеал максимален.
3. Все области главных идеалов интегрально замкнуты.

Предыдущие три утверждения дают определение дедекиндовской области, и, следовательно, всякая область главных идеалов является дедекиндовской.

Пусть A - область целостности. Тогда следующие эквивалентны.

1. A - PID.
2. Каждый простой идеал A является главным.
3. A - область Дедекинда, которая является UFD.
4. Каждый конечно порожденный идеал A является главным (т. е. A является областью Безу ) и A удовлетворяет условию возрастающей цепочки на главных идеалах.
5. A допускает норму Дедекинда – Хассе.

A норма поля - норма Дедекинда-Хассе; таким образом, (5) показывает, что евклидова область является PID. (4) сравнивается с:

• Область целостности является UFD тогда и только тогда, когда она является областью GCD (т. Е. Областью, где каждые два элемента имеют наибольший общий делитель), удовлетворяющей условию возрастающей цепочки на главных идеалах.

Область целостности является областью Безу тогда и только тогда, когда любые два элемента в ней имеют НОД, который является линейной комбинацией этих двух. Таким образом, домен Безу является доменом GCD, и (4) дает еще одно доказательство того, что PID является UFD.

• личность Безу

1. ^См. Fraleigh Katz (1967), стр. 73, следствие теоремы 1.7 и примечания на стр. 369, после следствия теоремы 7.2
2. ^См. Fraleigh Katz (1967), с. 385, теорема 7.8 и с. 377, теорема 7.4.
3. ^Милн. «Алгебраическая теория чисел» (PDF). п. 5.
4. ^См. Также Рибенбойм (2001), стр. 113, доказательство леммы 2.
5. ^Уилсон, Джек К. «Главное кольцо, не являющееся евклидовым кольцом». Математика. Mag 46(январь 1973 г.) 34-38 [1]
6. ^Джордж Бергман, основная идеальная область, не являющаяся евклидовой - разработана как серия упражнений файл PostScript
7. ^Доказательство: каждое простое число Идеал порождается одним элементом, который обязательно прост. Теперь обратимся к тому факту, что область целостности является UFD тогда и только тогда, когда ее простые идеалы содержат простые элементы.
8. ^Джейкобсон (2009), стр. 148, теорема 2.23.
9. ^Fraleigh Katz (1967), стр. 368, теорема 7.2
10. ^Хазевинкель, Губарени и Кириченко (2004), с.166, теорема 7.2.1.
11. ^Т. Ю. Лам и Мануэль Л. Рейес, Основной идеальный принцип в коммутативной алгебре Архивировано 26 июля 2010 г. в Wayback Machine
12. ^Hazewinkel, Gubareni Kirichenko (2004), с.170, Предложение 7.3.3.

• Мишель Хазевинкель, Надежда Губарени, В.В. Кириченко. Алгебры, кольца и модули. Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Джон Б. Фрали, Виктор Дж. Кац. Первый курс абстрактной алгебры. Издательство Эддисон-Уэсли. 5 изд., 1967. ISBN 0-201-53467-3
• Натан Джейкобсон. Основы алгебры I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1
• Пауло Рибенбойм. Классическая теория алгебраических чисел. Springer, 2001. ISBN 0-387-95070-2

• Основное кольцо на MathWorld