Положительные вещественные числа

редактировать

В математика, набор положительных действительных чисел, R>0 = {x ∈ R ∣ x>0} {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {>0} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x>0 \ right \}}\mathbb{R}_{>0} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x>0 \ right \ } , является подмножеством тех действительные числа больше нуля. неотрицательные действительные числа, R ≥ 0 = {x ∈ R ∣ x ≥ 0} {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq 0 \ right \}}\ mathbb {R} _ {\ geq 0} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq 0 \ right \} , также включает ноль. Хотя символы R + {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}\ mathbb {R} _ {+} и R + {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}{\ mathbb {R}} ^ {{+}} неоднозначно используется для любого из них обозначение R + {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}\ mathbb {R} _ {+} или R + {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+} }{\ mathbb {R}} ^ {{+}} для {x ∈ R ∣ x ≥ 0} {\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq 0 \ right \}}{\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq 0 \ right \}} и R + ∗ {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}} или R ∗ + {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {* } ^ {+}}{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {*} ^ {+}} для {x ∈ R ∣ x>0} {\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x>0 \ right \}}{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0 \ right \}} также широко используется, соответствует практике в алгебре обозначения исключения нулевого элемента звездочкой и должно быть понятно большинству практикующих математиков.

В комплексной плоскости, R>0 {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {>0}}{\mathbb {R}}_{{>0}} отождествляется с положительной действительной осью и обычно рисуется как горизонтальный луч . Этот луч используется как ссылка в полярной форме комплексного числа. Действительная положительная ось соответствует комплексным числам z = | z | ei φ {\ displaystyle z = | z | \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ varphi}}z = | z | \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ varphi} с аргументом φ = 0 {\ displaystyle \ varphi = 0}\ varphi = 0 .

Содержание

  • 1 Свойства
  • 2 Логарифмическая мера
  • 3 Приложения
    • 3.1 Квадрат
  • 4 См. также
  • 5 Ссылки
  • 6 Библиография

Свойства

Набор R>0 {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {>0}}{\mathbb {R}}_{{>0}} закрыто при сложении, умножении и делении. Он наследует топология из вещественной линии и, таким образом, имеет структуру мультипликативной топологической группы или аддитивной топологической полугруппы.

для данного положительного действительного числа x {\ displaystyle x}x , последовательность {xn} {\ displaystyle \ {x ^ {n} \}}{\ displaystyle \ {x ^ {n} \}} из его интегральные способности имеют три разные судьбы: когда x ∈ (0, 1) {\ displaystyle x \ in (0,1)}{ \ displaystyle x \ in (0,1)} , предел равен нулю; когда x = 1 {\ displaystyle x = 1}x = 1 , последовательность постоянна; и когда x>1 {\ displaystyle x>1}x>1 , последовательность неограниченная.

R>0 = (0, 1) ∪ {1} ∪ (1, ∞) {\ displaystyle \ mathbb {R } _ {>0} = (0,1) \ cup \ {1 \} \ cup (1, \ infty)}\mathbb{R}_{>0} = (0,1) \ cup \ {1 \} \ cup (1, \ infty) и обратная мультипликативная функция меняет местами интервалы. Функции floor, floor: [1, ∞) → N, x ↦ ⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ operatorname {floor}: [1, \ infty) \ to \ mathbb {N}., \, x \ mapsto \ lfloor x \ rfloor}\ operatorname {floor}: [1, \ infty) \ to \ mathbb {N}, \, x \ mapsto \ lfloor x \ rfloor и избыток, избыток: [1, ∞) → (0, 1), x ↦ x - ⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ operatorname {излишек}: [1, \ infty) \ to (0,1), \, x \ mapsto x- \ lfloor x \ rfloor}\ operatorname {extra}: [1, \ infty) \ to (0,1), \, x \ mapsto x - \ lfloor x \ rfloor , использовались для описания элемент x ∈ R>0 {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} _ {>0}}x \in \mathbb{R}_{>0} в виде непрерывной дроби [n 0; n 1, n 2,… ] {\ displaystyle [n_ {0}; n_ {1}, n_ {2}, \ ldots]}[n_0; n_1, n_2, \ ldots] , которая представляет собой последовательность целых чисел, полученную из функции пола после того, как избыток был возвращен. рациональное x {\ displaystyle x}x последовательность заканчивается точным дробным выражением x {\ displaystyle x}x , а для квадратичным иррациональным x {\ displaystyle x}x последовательность становится периодической цепной дробью.

. При изучении классических групп для каждого n ∈ N {\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}n \ in \ mathbb {N} , определитель дает карту из n × n {\ displaystyle n \ times n}n \ times n матриц вещественных чисел в действительные числа: M (n, R) → R. {\ displaystyle \ mathrm {M} (n, \ mathbf {R}) \ to \ mathbf {R}.}{\ displaystyle \ mathrm {M} (n, \ mathbf {R}) \ to \ mathbf {R}.} Ограничение до обратимых матриц дает отображение из общей линейной группы в ненулевые действительные числа: GL (n, R) → R × {\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbf {R}) \ to \ mathbf {R} ^ {\ times}}{\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbf {R}) \ to \ mathbf {R} ^ {\ times}} . Ограничение матриц с положительным определителем дает отображение GL + (n, R) → R>0 {\ displaystyle \ mathrm {GL} ^ {+} (n, \ mathbf {R}) \ to \ mathbf { R} _ {>0}}{\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n,\mathbf {R})\to \mathbf {R} _{>0}} ; интерпретация изображения как факторгруппа по нормальной подгруппе, отношение SL (n, ℝ) ◁ GL (n, ℝ) выражает положительные действительные числа как группа Ли.

Логарифмическая мера

Если [a, b] ⊆ R>0 {\ displaystyle [a, b] \ substeq \ mathbb {R} _ {>0}}{\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} _{>0}} - это интервал, тогда μ ([a, b]) = log ⁡ (b / a) = log ⁡ b - log ⁡ a {\ displaystyle \ mu ([a, b]) = \ log (b / a) = \ log b- \ log a}{\ displaystyle \ mu ([a, b]) = \ log (b / a) = \ log b- \ log a} определяет меру на определенных подмножествах R>0 {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {>0}}{\mathbb {R}}_{{>0}} , соответствует откату обычной меры Лебега на действительных числах под логарифмом: это длина в логарифмической шкале. Фактически, это инвариантная мера относительно умножения [a, b] → [az, bz] {\ displaystyle [a, b] \ to [az, bz]}{\ displaystyle [a, b] \ to [az, bz]} на z ∈ R>0 {\ displaystyle z \ in \ mathbb {R} _ {>0}}z \in \mathbb{R}_{>0} , так же как мера Лебега инвариантна относительно сложения. В контексте топологических групп эта мера является примером меры Хаара.

. Полезность этой меры показана в ее использовании для описания звездных величин и уровней шума в децибелах, среди других приложений логарифмическая шкала. Для целей международных стандартов ISO 80000-3 безразмерные величины называются уровнями.

Приложения

Неотрицательные Реалы служат в качестве диапазона для показателей, норм и показателей в математике.

Включая 0, набор R ≥ 0 {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}{\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0}} имеет структуру полукольца (0 - аддитивная идентичность ), известное как полукольцо вероятности ; логарифмирование (с выбором основания, дающим логарифмическую единицу ) дает изоморфизм с логарифмическим полукольцом (с 0, соответствующим −∞), и его единицами измерения (конечные числа, исключая −∞) соответствуют положительным действительным числам.

Квадрат

Пусть Q = R>0 × R>0, {\ displaystyle Q \ = \ \ mathbb {R} _ {>0} \ times \ mathbb {R } _ {>0},}{\displaystyle Q\ =\ \mathbb {R} _{>0} \ times \ mathbb {R} _ {>0},} первый квадрант декартовой плоскости. Сам квадрант разделен на четыре части линией L = {(x, y): x = y} {\ displaystyle L \ = \ \ {(x, y): x = y \}}{\ displaystyle L \ = \ \ {(x, y): x = y \}} и стандартная гипербола H = {(x, y): xy = 1}. {\ Displaystyle H \ = \ \ {(x, y): xy = 1 \}.}{\ displaystyle H \ = \ \ {(x, y): xy = 1 \}.}

L ∪ H образует трезубец, а L ∩ H = (1,1) - центральная точка.Это тождественный элемент двух однопараметрических групп, которые пересекаются там:

{{(ea, ea): a ∈ R}, ×} {\ displaystyle \ {\ {(e ^ {a}, \ e ^ {a}): a \ in R \}, \ times \}}{\ displaystyle \ {\ {(e ^ {a}, \ e ^ {a}): a \ in R \}, \ times \}} на L и {{(ea, e - a): a ∈ R}, ×} {\ displaystyle \ {\ {(e ^ {a}, \ e ^ {- a}): a \ in R \}, \ times \}}{\ displaystyle \ {\ {(e ^ {a}, \ e ^ {- a}): a \ in R \}, \ times \}} на H.

Поскольку R>0 {\ displaystyle \ math bb {R} _ {>0}}{\displaystyle \mathbb {R} _{>0}} - это группа, Q - прямое произведение групп. Однопараметрические подгруппы L и H в Q профилируют активность в продукте, а L × H - это разрешение типов групповых действий.

Сферы бизнеса и науки изобилуют соотношениями, и любое изменение соотношений привлекает внимание. Исследование относится к гиперболическим координатам в Q. Движение против оси L указывает на изменение среднего геометрического √ (xy), а изменение вдоль H указывает на новое гиперболическое угол.

См. также

Литература

  1. ^«Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Проверено 11 августа 2020 г.
  2. ^"положительное число в nLab". ncatlab.org. Проверено 11 августа 2020 г.

Библиография

  • Кист, Джозеф; Леетсма, Сэнфорд (1970). «Аддитивные полугруппы положительных действительных чисел». Mathematische Annalen. 188 (3): 214–218. doi :10.1007/BF01350237.
Последняя правка сделана 2021-06-02 12:20:41
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте