Главный идеал

В математике, особенно теории колец, главный идеал - это идеальный $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$в кольце $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, которое генерируется одним элементом $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$из $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$посредством умножения на каждый элемент $R.\; \{\backslash \; displaystyle\; R.\}$Этот термин также имеет другое, похожее значение в теории порядка, где он относится к (порядковому) идеалу в poset $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$, генерируемый одним элементом $x\; \in \; P,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; P,\}$то есть набор всех элементов, меньших или равных $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $P.\; \{\backslash \; displaystyle\; P.\}$

В оставшейся части статьи рассматривается концепция теории колец.

• 1 Определения
• 2 Примеры неглавного идеала
• 3 Связанные определения
• 4 Примеры главного идеала
• 5 Свойства
• 6 См. Также
• 7 Ссылки

• левый главный идеал $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$является подмножеством $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$формы $R\; a\; =\; \{ra:\; r\; \in \; R\},\; \{\backslash \; displaystyle\; Ra\; =\; \backslash \; \{ra:\; r\; \backslash \; in\; R\; \backslash \},\}$
• правый главный идеал $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$представляет собой подмножество формы $a\; R\; =\; \{ar:\; r\; \in \; R\},\; \{\backslash \; displaystyle\; aR\; =\; \backslash \; \{ar:\; r\; \backslash \; in\; R\; \backslash \},\}$
• a two -сторонний главный идеал $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$- это подмножество всех конечных сумм элементов формы $ras\; \{\backslash \; displaystyle\; ras\}$, а именно, $R\; a\; R\; =\; \{r\; 1\; as\; 1\; +\dots \; +\; rnasn:\; r\; 1,\; s\; 1,\dots ,\; rn,\; sn\; \in \; R\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; RaR\; =\; \backslash \; \{r\_\; \{1\}\; as\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; r\_\; \{n\}\; as\_\; \{n\}:\; r\_\; \{1\},\; s\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; r\_\; \{n\},\; s\_\; \{n\}\; \backslash \; in\; R\; \backslash \}.\}$

Хотя это определение двустороннего главного идеала может показаться более сложным, чем другие, необходимо убедиться, что идеал остается замкнутым при сложении.

Если $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$является коммутативным кольцом с идентичностью, тогда все три вышеуказанных понятия одинаковы. В этом случае идеал, созданный $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, обычно записывают как $⟨a⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; a\; \backslash \; rangle\}$или $(а).\; \{\backslash \; displaystyle\; (a).\}$

Не все идеалы являются главными. Например, рассмотрим коммутативное кольцо $C\; [x,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\}$всех многочленов от двух переменные $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y,\; \{\backslash \; displaystyle\; y,\}$с комплексными коэффициентами. Идеальный $⟨x,\; y⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\}$, созданный с помощью $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y,\; \{\backslash \; displaystyle\; y,\}$который состоит из всех многочленов в $C\; [x,\; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [x,\; y]\}$, которые имеют ноль для постоянного члена не является главным. Чтобы увидеть это, предположим, что $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$был генератором для $⟨x,\; y⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle.\}$Затем $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$оба будут делиться на $p,\; \{\backslash \; displaystyle\; p,\}$, что невозможно, если $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$не является ненулевой константой. Но ноль - единственная константа в $⟨x,\; y⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle,\}$, поэтому мы имеем противоречие.

в кольце $Z\; [-\; 3]\; =\; \{a\; +\; b\; -\; 3:\; a,\; b\; \in \; Z\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\{\backslash \; sqrt\; \{-3\}\}]\; =\; \backslash \; \{a\; +\; b\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; 3\}\}:\; a,\; b\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \},\}$числа, где $a\; +\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; b\}$даже образуют неглавный идеал. Этот идеал образует правильную гексагональную решетку на комплексной плоскости. Рассмотрим $(a,\; b)\; =\; (2,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (a,\; b)\; =\; (2,0)\}$и $(1,\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; (1,1).\}$Эти числа являются элементами этого идеала с той же нормой (два), но поскольку единственными единицами в кольце являются $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$и $-\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; -1,\}$они не связаны.

Кольцо, в котором каждый идеал является главным, называется главным или кольцом главных идеалов. область главного идеала (PID) - это область целостности, в которой каждый идеал является главным. Любой PID является уникальным доменом факторизации ; нормальное доказательство уникальности факторизации в целых числах (так называемая основная теорема арифметики ) выполняется в любом PID.

Основные идеалы в $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$имеют форму $⟨n⟩\; =\; п\; З.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; n\; \backslash \; rangle\; =\; n\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}.\}$Фактически, $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$является основной идеальной областью, что можно показать следующим образом. Предположим, что $I\; =\; ⟨n\; 1,\; n\; 2,\dots ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; langle\; n\_\; \{1\},\; n\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\; \backslash \; rangle\}$где $n\; 1\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{1\}\; \backslash \; neq\; 0,\}$и рассмотрим сюръективные гомоморфизмы $Z\; /\; ⟨n\; 1⟩\; \to \; Z\; /\; ⟨n\; 1,\; n\; 2⟩\; \to \; Z\; /\; ⟨n\; 1,\; n\; 2,\; n\; 3⟩\; \to \; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; \backslash \; langle\; n\_\; \{1\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; \backslash \; langle\; n\_\; \{1\},\; n\_\; \{2\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; \backslash \; langle\; n\_\; \{\; 1\},\; n\_\; \{2\},\; n\_\; \{3\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; cdots.\}$Начиная с $Z\; /\; ⟨n\; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; \backslash \; langle\; n\_\; \{1\; \}\; \backslash \; rangle\}$конечно, для достаточно большого $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$мы имеем $Z\; /\; ⟨n\; 1,\; n\; 2,\dots ,\; nk⟩\; =\; Z\; /\; ⟨n\; 1,\; n\; 2,\dots ,\; nk\; +\; 1⟩\; =\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; \backslash \; langle\; n\_\; \{1\},\; n\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; n\_\; \{k\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; \backslash \; langle\; n\_\; \{1\},\; n\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; n\_\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; cdots.\}$Таким образом, $I\; =\; ⟨n\; 1,\; n\; 2,\dots ,\; nk⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; langle\; n\_\; \{1\},\; n\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; n\_\; \{k\}\; \backslash \; rangle,\}$, что подразумевает, что $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$всегда генерируется конечным числом. Поскольку идеал $⟨a,\; b⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; a,\; b\; \backslash \; rangle\}$генерируется любыми целыми числами $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$равно $⟨gcd\; \; (a,\; b)⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathop\; \{\backslash \; mathrm\; \{gcd\}\}\; (a,\; b)\; \backslash \; rangle,\; \}$индукцией по количеству генераторов следует, что $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$является главным.

Однако все кольца имеют главные идеалы, а именно любой идеал, порожденный ровно одним элементом. Например, идеал $⟨x⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x\; \backslash \; rangle\}$является главным идеалом $C\; [x,\; y],\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; [\; x,\; y],\}$и $⟨-\; 3⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; sqrt\; \{-3\}\}\; \backslash \; rangle\}$- главный идеал $Z\; [-\; 3].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\{\backslash \; sqrt\; \{-3\}\}].\}$Фактически, $\{0\}\; =\; ⟨0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\; =\; \backslash \; langle\; 0\; \backslash \; rangle\}$и $R\; =\; ⟨1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \backslash \; langle\; 1\; \backslash \; rangle\}$- главные идеалы любого кольца $R.\; \{\backslash \; displaystyle\; R.\}$

Любой евклидов домен является PID ; алгоритм, используемый для вычисления наибольших общих делителей, может быть использован для поиска генератора любого идеала. В более общем смысле, любые два главных идеала в коммутативном кольце имеют наибольший общий делитель в смысле идеального умножения. В областях основных идеалов это позволяет нам вычислять наибольшие общие делители элементов кольца с точностью до умножения на единицу ; мы определяем $gcd\; (a,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gcd\; (a,\; b)\}$как любой генератор идеала $⟨a,\; b⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; a,\; b\; \backslash \; rangle.\}$

Для дедекиндовского домена $R,\; \{\backslash \; displaystyle\; R,\}$мы также можем спросить, если -главный идеал $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$из $R,\; \{\backslash \; displaystyle\; R,\}$, есть ли какое-то расширение $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$из $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$такой, что идеал $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$сгенерирован $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$является основным (более широко, $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$становится основным в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$). Этот вопрос возник в связи с изучением колец целых алгебраических чисел (которые являются примерами дедекиндовских областей) в теории чисел и привел к развитию теории поля классов от Тейджи Такаги, Эмиль Артин, Дэвид Гильберт и многие другие.

Теорема главного идеала теории поля классов утверждает, что каждое целое кольцо $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$(то есть кольцо целых чисел некоторого числового поля ) содержится в большем целочисленном кольце $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, которое обладает тем свойством, что каждый идеал $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$становится главным идеалом $S.\; \{\backslash \; displaystyle\; S.\}$В этой теореме мы можем взять $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$как кольцо целых чисел поля класса Гильберта из $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$; то есть максимальное неразветвленное абелево расширение (то есть расширение Галуа, группа Галуа которого абелева ) поля дробей $R,\; \{\backslash \; displaystyle\; R,\}$, и это однозначно определяется $R.\; \{\backslash \; displaystyle\; R.\}$

Теорема Крулля об основном идеале утверждает, что если $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$является нётеровым кольцом и $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$- главный, правильный идеал для $R,\; \{\backslash \; displaystyle\; R,\}$, тогда $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$имеет height максимум один.

• Условие восходящей цепочки для основных идеалов

• Галлиан, Джозеф А. (2017). Современная абстрактная алгебра (9-е изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-305-65796-0.