Единица (теория кольца)

редактировать

В теории колец, единица из ring R {\ displaystyle R}R - это любой элемент u ∈ R {\ displaystyle u \ in R}{\ displaystyle u \ in R} с мультипликативным обратным в R {\ displaystyle R}R : элемент v ∈ R {\ displaystyle v \ in R}{\ displaystyle v \ in R} такой, что

vu = uv = 1 R {\ displaystyle vu = uv = 1_ {R}}{\ displaystyle vu = uv = 1_ {R}} ,

, где 1 R {\ displaystyle 1_ {R}}{\ displaystyle 1_ {R}} - это мультипликативное тождество. Набор единиц U (R) {\ displaystyle U (R)}U ( R) кольца образует группу при умножении, потому что он замкнут при умножении. (Произведение двух единиц снова является единицей.) Он никогда не содержит элемента 0 (кроме случая нулевого кольца ), и поэтому не замыкается при сложении; его дополнение, однако может быть добавляемой группой, что происходит тогда и только тогда, когда кольцо является локальным кольцом.

Термин «единица» также используется для обозначения элемента идентичности 1 R кольца в таких выражениях, как кольцо с элементом или кольцо с элементом, а также, например, «единичная» матрица. По этой причине некоторые авторы называют 1 R «единством» или «идентичностью» и говорят, что R - это «кольцо с единицей» или «кольцо с идентичностью», а не «кольцо с единицей»..

Мультипликативный тождество 1 R и его аддитивная обратная величина -1 R всегда являются единицами. Следовательно, пары аддитивных обратных элементов x и −x всегда связаны.

Содержание

  • 1 Примеры
    • 1.1 Целые числа
    • 1.2 Полиномы и степенные ряды
    • 1.3 Матрица кольца
    • 1.4 В целом
  • 2 Группа единиц
  • 3 Связанность
  • 4 См. также
  • 5 Примечания
    • 5.1 Цитаты
  • 6 Источники

Примеры

1 - единица в любом кольце. В более общем смысле, любой корень из единицы в кольце R является единицей: если r = 1, то r является мультипликативным обратным к r. С другой стороны, 0 никогда не является единицей (кроме нулевого кольца). Кольцо R называется телом (или телом), если U (R) = R - {0}, где U (R) - группа единиц R (см. Ниже). Коммутативное тело называется полем. Например, единицы действительных чисел Rравны R - {0}.

Целые числа

В кольце целых чисел Zединственными единицами измерения являются +1 и −1.

Кольца целых чисел R = OF {\ displaystyle R = {\ mathfrak {O}} _ {F}}{\ displaystyle R = {\ mathfrak {O}} _ {F}} в числовом поле F, как правило, имеет больше единиц. Например,

(√5 + 2) (√5 - 2) = 1

в кольце Z[1 + √5 / 2], и фактически группа единиц этого кольца бесконечно.

На самом деле теорема Дирихле о единице точно описывает структуру U (R): она изоморфна группе вида

Z n ⊕ μ R {\ displaystyle \ mathbf {Z} ^ {n} \ oplus \ mu _ {R}}{\ displaystyle \ mathbf {Z} ^ {n} \ oplus \ mu _ {R}}

где μ R {\ displaystyle \ mu _ {R}}\ mu_R - (конечная, циклическая) группа корней из единицы в R и n, ранг группы единиц равен

n = r 1 + r 2-1, {\ displaystyle n = r_ {1} + r_ {2} -1,}{\ displaystyle n = r_ {1} + r_ {2} -1,}

где r 1, r 2 {\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}{\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}} - количество реальных вложений и количество пар комплексных вложений F, соответственно.

Это восстанавливает приведенный выше пример: единичная группа (кольца целых чисел) вещественного квадратичного поля бесконечна с рангом 1, поскольку r 1 = 2, r 2 = 0 {\ displaystyle r_ {1} = 2, r_ {2} = 0}{\ displaystyle r_ {1} = 2, r_ {2} = 0} .

В кольце Z/nZиз целых чисел по модулю n единицы представляют собой классы конгруэнтности (mod n), представленные целыми числами , взаимно простыми с n. Они составляют мультипликативную группу целых чисел по модулю n.

Многочлены и степенные ряды

Для коммутативного кольца R единицы кольца многочленов R [x] в точности такие, как многочлены

p (x) = a 0 + a 1 x +… travelling {\ displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + \ dots a_ {n} x ^ {n}}{\ displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + \ dots a_ {n} x ^ {n}}

такой, что a 0 {\ displaystyle a_ {0}}a_ {0} - это единица в R, а остальные коэффициенты a 1,…, an {\ displaystyle a_ {1}, \ точки, a_ {n}}a_ {1}, \ dots, a_ {n} являются нильпотентными элементами, т. е. удовлетворяют ai N = 0 {\ displaystyle a_ {i} ^ {N} = 0}{\ displaystyle a_ {i} ^ {N} = 0} для некоторого N. В частности, если R является областью (не имеет делителей нуля ), то единицы R [x] согласуются с единицами R. единицы кольца степенного ряда R [[x]] {\ displaystyle R [[x]]}{\ displaystyle R [[x]]} - это именно те степенные ряды

p (x) = ∑ я знак равно 0 ∞ aixi {\ displaystyle p (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} x ^ {i}}{\ displaystyle p (x) = \ sum _ {я = 0} ^ {\ infty} a_ {i} x ^ {i}}

такой, что a 0 {\ displaystyle a_ {0}}a_ {0} - единица в R.

Матричные кольца

Группа единиц кольца M n (R) из n × n матриц над коммутативным кольцом R (например, поле ) - это группа GLn(R) из обратимых матриц.

Элемент кольца матриц M n ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {M } _ {n} (R)}{\ displaystyle \ operatorname {M} _ {n} (R)} является обратимым тогда и только тогда, когда определитель элемента обратим в R, с обратным явным образом, заданным правилом Крамера.

В общем,

Пусть R {\ displaystyle R}R будет кольцом. Для любого x, y {\ displaystyle x, y}x, y в R {\ displaystyle R}R , если 1 - xy {\ displaystyle 1- xy}{\ displaystyle 1-xy} обратимо, тогда 1 - yx {\ displaystyle 1-yx}{\ displaystyle 1-yx} обратимо с обратным 1 + y (1 - xy) - 1 x {\ displaystyle 1 + y (1-xy) ^ {- 1} x}{\ displaystyle 1 + y (1-xy) ^ {-1} x} . Формулу обратного можно найти следующим образом: мысля формально, предположим, что 1 - yx {\ displaystyle 1-yx}{\ displaystyle 1-yx} обратимо, и что обратное дается геометрическим рядом: (1 - yx) - 1 знак равно ∑ 0 ∞ (yx) n {\ displaystyle (1-yx) ^ {- 1} = \ sum _ {0} ^ {\ infty} (yx) ^ {n}}{\ displaystyle (1-yx) ^ {- 1} = \ sum _ {0} ^ {\ infty} (yx) ^ {n}} . Затем, формально манипулируя им,

(1 - y x) - 1 = 1 + y (∑ 0 ∞ (x y) n) x = 1 + y (1 - x y) - 1 x. {\ displaystyle (1-yx) ^ {- 1} = 1 + y \ left (\ sum _ {0} ^ {\ infty} (xy) ^ {n} \ right) x = 1 + y (1-xy) ^ {- 1} x.}{\ displaystyle (1-yx) ^ {- 1} = 1 + y \ left (\ sum _ {0} ^ { \ inft y} (ху) ^ {n} \ right) x = 1 + y (1-xy) ^ {- 1} x.}

См. Также личность Хуа для получения аналогичных результатов.

Группа элементов

Элементы кольца R образуют группу U (R) при умножении, группу элементов R.

Другие распространенные обозначения для U (R) - R, R и E (R) (от немецкого термина Einheit ).

A коммутативное кольцо является локальным кольцом, если R - U (R) является максимальным идеалом.

Как оказывается, если R - U (R) идеал, то он обязательно является максимальным идеалом и R является локальным, поскольку максимальный идеал не пересекается с U (R).

Если R является конечным полем, то U (R) является циклической группой порядка | R | - 1 {\ displaystyle | R | -1}{\ displaystyle | R | -1} .

Формулировка группы единиц определяет функтор U из категории колец в категорию групп :

каждый гомоморфизм колец f: R → S индуцирует гомоморфизм групп U (f): U (R) → U (S), поскольку f отображает единицы в единицы.

Этот функтор имеет сопряженный слева, который является конструкцией целого группового кольца.

Связанность

В коммутативном унитальном кольце R группа единиц U (R) воздействует на R посредством умножения. орбиты этого действия называются наборами партнеров; другими словами, существует отношение эквивалентности ∼ на R, называемое ассоциативностью, такое, что

r ∼ s

означает, что существует единица u с r = us.

В области целостности мощность класса эквивалентности ассоциированных лиц такая же, как у U (R).

См. Также

Примечания

Цитаты

Источники

Последняя правка сделана 2021-06-20 11:24:50
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте