Евклидова область

В математике, более конкретно в теории колец, евклидова область (также называемая евклидовым кольцом ) - это область целостности, которая может быть снабжена евклидовой функцией, которая позволяет подходящее обобщение евклидова деления целых чисел. Этот обобщенный алгоритм Евклида можно использовать во многих из тех же сфер, что и исходный алгоритм Евклида в кольце целых чисел : в любой евклидовой области можно применить алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя любых двух элементов. В частности, существует наибольший общий делитель любых двух элементов, который может быть записан как их линейная комбинация (тождество Безу ). Также каждый идеал в евклидовой области является основным, что подразумевает подходящее обобщение фундаментальной теоремы арифметики : каждая евклидова область является уникальной факторизацией домен.

Важно сравнить класс евклидовых доменов с более широким классом доменов главных идеалов (PID). Произвольный PID имеет почти те же «структурные свойства» евклидовой области (или даже кольца целых чисел), но когда известен явный алгоритм для евклидова деления, можно использовать Алгоритм Евклида и расширенный алгоритм Евклида для вычисления наибольших общих делителей и тождества Безу. В частности, наличие эффективных алгоритмов евклидова деления целых чисел и многочленов от одной переменной над полем имеет принципиальное значение в компьютерной алгебре.

. Итак, учитывая область целостности R, часто очень полезно знать что R имеет евклидову функцию: в частности, это означает, что R является PID. Однако, если нет «очевидной» евклидовой функции, то определение того, является ли R PID, обычно намного проще, чем определение того, является ли это евклидовой областью.

Евклидовы домены появляются в следующей цепочке включений классов :

rngs ⊃ колец ⊃ коммутативных колец ⊃ интегральных доменов ⊃ интегрально замкнутых доменов ⊃ GCD доменов ⊃ уникальные области факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ Евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

• 1 Определение
  • 1.1 Примечания к определению
• 2 Примеры
• 3 Свойства
• 4 Нормы-евклидовы поля
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Пусть R - область целостности. Евклидова функция на R - это функция f от R \ {0} до неотрицательных целых чисел, удовлетворяющая следующему фундаментальному свойству деления с остатком:

• (EF1) Если a и b находятся в R, а b не равно нулю, то существуют q и r в R такие, что a = bq + r и либо r = 0, либо f (r) < f (b).

A Евклидова область является областью целостности, которая может быть наделен хотя бы одной евклидовой функцией. Важно отметить, что конкретная евклидова функция f не является частью структуры евклидовой области; в общем, евклидова область допускает множество различных евклидовых функций.

Большинство текстов по алгебре требует, чтобы евклидова функция обладала следующим дополнительным свойством:

• (EF2) Для всех ненулевых a и b в R, f (a) ≤ f (ab).

Однако, можно показать, что одного (EF1) достаточно для определения евклидовой области, поскольку любая область R, которая может быть снабжена функцией g, удовлетворяющей (EF1), также может быть наделена собственно евклидовой функцией; то есть функция f, удовлетворяющая (EF1) и (EF2). Действительно, для a ∈ R \ {0} можно определить f (a) следующим образом:

$f\; (a)\; =\; min\; x\; \in \; R\; \setminus \; \{0\}\; g\; (xa)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\; =\; \backslash \; min\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; R\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0\; \backslash \}\}\; g\; (xa)\}$

На словах можно определить f (a) как минимальное значение, достигаемое g на множестве всех ненулевых элементов главного идеала, порожденного a.

A мультипликативная евклидова функция - это евклидова функция f такая, что f (ab) = f (a) f (b) и f (a) никогда не равно нулю. Отсюда следует, что f (1) = 1. Вообще говоря, f (a) = 1 тогда и только тогда, когда a - единица.

Примечания к определению

Многие авторы используют другие термины вместо «евклидовой функции», такие как «функция степени», «функция оценки», «калибровочная функция» или «функция нормы».. Некоторые авторы также требуют, чтобы область определения евклидовой функции была всем кольцом R; однако это существенно не влияет на определение, поскольку (EF1) не включает значение f (0). Иногда определение обобщают, позволяя евклидовой функции принимать значения в любом упорядоченном множестве; это ослабление не влияет на наиболее важные следствия евклидовости.

Свойство (EF1) можно переформулировать следующим образом: для любого главного идеала I кольца R с ненулевой образующей b все ненулевые классы факторкольца R / I имеют представителя r с f (r) < f (b). Since the possible values of f are well-ordered, this property can be established by proving that f (r) < f (b) for any r ∉ I with minimal value of f (r) in its class. Note that, for a Euclidean function that is so established, there need not exist an effective method to determine q and r in (EF1).

Примеры евклидовых доменов включают:

• Любое поле. Определите f (x) = 1 для всех ненулевых x.
• Z, кольцо целых чисел. Определите f (n) = | n |, абсолютное значение числа n.
• Z[i], кольцо гауссовских целых чисел. Определите f (a + bi) = a + b, norm гауссовского целого числа a + bi.
• Z[ω] (где ω - примитив (нереальный) кубический корень из единицы ), кольцо целых чисел Эйзенштейна. Определим f (a + bω) = a - ab + b, норму целого числа Эйзенштейна a + bω.
• K [X], кольцо многочленов над поле К. Для каждого ненулевого многочлена P определим f (P) как степень P.
• K [[X]], кольца формальных степенных рядов над полем K. Для каждого ненулевой степенной ряд P, определим f (P) как порядок числа P, то есть степень наименьшей степени X, встречающейся в P. В частности, для двух ненулевых степенных рядов P и Q, f ( P) ≤ f (Q) тогда и только тогда, когда P делит Q.
• Любое кольцо дискретной оценки. Определим f (x) как наивысшую степень максимального идеала M, содержащего x. Аналогично, пусть g является генератором M, а v - уникальным целым числом, таким, что g является ассоциированным с x, затем определим f (x) = v. Предыдущий пример K [[X]] является частный случай этого.
• A область Дедекинда с конечным числом ненулевых простых идеалов P 1,..., P n. Определим $f\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; nvi\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; v\_\; \{i\}\; (x)\}$<164.>, где v i - дискретная оценка, соответствующая идеалу P i.

Примеры доменов, не являющихся евклидовыми доменами, включают:

• Каждый домен, который не является доменом главного идеала, например кольцо многочленов по крайней мере от двух неопределенностей над полем, или кольцо одномерных многочленов с целыми коэффициентами, или кольцо чисел Z [√ − 5].
• Кольцо целых чисел из Q (√ − 19), состоящее из чисел a + b√ − 19/2, где a и b - целые числа и оба четные или оба нечетные. Это неевклидова область главных идеалов.
• Кольцо R [X, Y] / (X + Y + 1) также является неевклидовой областью главных идеалов.

Пусть R является областью и является евклидовой функцией на R. Тогда:

• R является областью главных идеалов (PID). Фактически, если I - ненулевой идеал кольца R, то любой элемент a из I \ {0} с минимальным значением (на этом множестве) f (a) является генератором I. Как следствие, R также является уникальным доменом факторизации и нётеровым кольцом. Что касается общих областей главных идеалов, существование факторизаций (т. Е. То, что R является атомарной областью ) особенно легко доказать в евклидовых областях: выбирая евклидову функцию f, удовлетворяющую (EF2), x не может иметь любое разложение на более чем f (x) неединичных множителей, поэтому, начиная с x и многократно разлагая приводимые множители, обязательно получится факторизация на неприводимые элементы.
• Любой элемент R, в котором f принимает глобально минимальное значение, является обратима в R. Если выбрано f, удовлетворяющее (EF2), то верно и обратное, и f принимает свое минимальное значение точно на обратимых элементах R.
• Если евклидово свойство является алгоритмическим, т. е. если существует алгоритм деления, который для заданного a и ненулевого b дает частное q и остаток r с a = bq + r и либо r = 0, либо f (r) < f(b), then an расширенный алгоритм Евклида можно определить в терминах этой операции деления.
• Если евклидова область не является полем, то она имеет s элемент a со следующим свойством: любой элемент x, не делящийся на a, может быть записан как x = ay + u для некоторой единицы u и некоторого элемента y. Это следует из того, что в качестве a следует взять неединицу с как можно меньшим f (a). Это странное свойство можно использовать, чтобы показать, что некоторые основные идеальные области не являются евклидовыми областями, поскольку не все PID обладают этим свойством. Например, для d = −19, −43, −67, −163 кольцо целых чисел из $Q\; (d)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{d\; \}\})\}$- это PID, который не является евклидовым, но случаи d = −1, −2, −3, −7, −11 евклидовы.

Однако во многих конечных расширений из Q с тривиальной группой классов , кольцо целых чисел является евклидовым (не обязательно относительно абсолютного значения нормы поля; см. ниже). Предполагая расширенную гипотезу Римана, если K является конечным расширением Q и кольцо целых чисел K является PID с бесконечным числом единиц, тогда кольцо целых чисел является евклидовым. В частности, это относится к случаю полностью вещественных полей квадратичных чисел с тривиальной группой классов. Вдобавок (и без допущения ERH), если поле K является расширением Галуа Q, имеет тривиальную группу классов и единичный ранг строго больше трех, тогда кольцо целых чисел будет Евклидово. Непосредственным следствием этого является то, что если числовое поле Галуа над Q, его группа классов тривиальна, а расширение имеет степень больше 8, тогда кольцо целых чисел обязательно евклидово.

Поля алгебраических чисел K имеют на них каноническую нормированную функцию: абсолютное значение нормы поля N, которое принимает алгебраический элемент α к продукт всех конъюгатов α. Эта норма отображает кольцо целых чисел числового поля K, скажем O K, в неотрицательные целые рациональные числа, поэтому он может быть евклидовым норма на этом кольце. Если эта норма удовлетворяет аксиомам евклидовой функции, то числовое поле K называется норм-евклидовым или просто евклидовым. Строго говоря, евклидово кольцо целых чисел, поскольку поля тривиально представляют собой евклидовы области, но терминология стандартна.

Если поле не является евклидовым по норме, то это не означает, что кольцо целых чисел не евклидово, просто норма поля не удовлетворяет аксиомам евклидовой функции. Фактически, кольца целых чисел числовых полей можно разделить на несколько классов:

• Те, которые не являются основным и, следовательно, не евклидовы, такие как целые числа $Q\; (-\; 5)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{-5\}\})\}$
• Те, которые являются главными, а не евклидовыми, например целые числа $Q\; (-\; 19)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{-19\}\})\}$
• Те, которые являются евклидовыми, а не норм-евклидовыми, например, целые числа $Q\; (69)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{69\; \}\})\}$
• Нормально-евклидовы числа, такие как целые гауссовы (целые числа $Q\; (-\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{-1\; \}\})\}$)

Нормально-евклидовы квадратичные поля были полностью классифицированы; это $Q\; (d)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{d\}\})\; \}$, где d принимает значения

−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (последовательность A048981 в OEIS ).

Каждое евклидово мнимое квадратичное поле является нормальным Евклидово и является одним из пяти первых полей в предыдущем списке.

• Оценка (алгебра)

1. ^Роджерс, Кеннет (1971), «Аксиомы для евклидовых областей», American Mathematical Monthly, 78(10): 1127–1128, doi : 10.2307 / 2316324, JSTOR 2316324, Zbl 0227.13007
2. ^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра. Хобокен, Нью-Джерси, США: Wiley. п. 270. ISBN 9780471433347.
3. ^Fraleigh Katz (1967), стр. 377, пример 1
4. ^Fraleigh Katz (1967), стр. 377, пример 2
5. ^Самуэль, Пьер (1 октября 1971 г.). «О евклидовых кольцах». Журнал алгебры. 19 (2): 282–301 (стр. 285). DOI : 10.1016 / 0021-8693 (71) 90110-4. ISSN 0021-8693.
6. ^Fraleigh Katz (1967), стр. 377, теорема 7.4
7. ^Fraleigh Katz (1967), стр. 380, теорема 7.7 ​​
8. ^Моцкин, Теодор (1949), «Алгоритм Евклида», Бюллетень Американского математического общества, 55(12): 1142–1146, doi : 10.1090 / S0002-9904-1949-09344-8, Zbl 0035.30302
9. ^Вайнбергер, Питер Дж. (1973), «О евклидовых кольцах алгебраических целых чисел», Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, AMS, 24 : 321–332, doi : 10.1090 / pspum / 024/0337902, ISBN 9780821814246
10. ^Харпер, Малкольм; Мурти, М. Рам (2004), «Евклидовы кольца целых алгебраических чисел» (PDF), Canadian Journal of Mathematics, 56 (1): 71– 76, doi : 10.4153 / CJM-2004-004-5
11. ^Рибенбойм, Пауло (1972). Алгебраические числа. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-71804-8.
12. ^Харди, Г. Х.; Райт, Э. М. (1975). Введение в теорию чисел. Оксфорд.
13. ^Кларк, Дэвид А. (1994). «Квадратичное поле, которое является евклидовым, но не евклидово по норме».. 83 (3–4): 327–330. CiteSeerX 10.1.1.360.6129. doi : 10.1007 / BF02567617. Zbl 0817.11047.
14. ^Левек, Уильям Дж. (2002) [1956]. Разделы теории чисел, тома I и II. Нью-Йорк: Dover Publications. С. II: 57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

• Джон Б. Фрейли, Виктор Дж. Кац. Первый курс абстрактной алгебры. Издательство Эддисон-Уэсли. 5 изд., 1967. ISBN 0-201-53467-3
• Пьер Самуэль, «О евклидовых кольцах», Journal of Algebra 19 (1971) 282-301.