В коммутативной алгебре, основная теорема идеала Крулля, названная в честь Вольфганга Крулля (1899-1971), дает оценку на высоту от более главного идеала в коммутативном нётеровом кольце. Теорема иногда упоминается под немецким названием Krulls Hautilealsatz ( Satz, что означает «предложение» или «теорема»).
А именно, если R - нетерово кольцо, а I - главный собственный идеал кольца R, то каждый минимальный простой идеал над I имеет высоту не более единицы.
Эту теорему можно обобщить на не главные идеалы, и результат часто называют теоремой Крулля о высоте. Это говорит о том, что если R - нетерово кольцо, а I - собственный идеал, порожденный n элементами кольца R, то каждое минимальное простое число над I имеет высоту не более n. Верно и обратное: если простой идеал имеет высоту n, то это минимальный простой идеал над идеалом, порожденным n элементами.
Теорема о главном идеале и обобщение, теорема о высоте, следуют из основной теоремы теории размерности в коммутативной алгебре (см. Также ниже прямые доказательства). Коммутативная алгебра Бурбаки дает прямое доказательство. В « Коммутативных кольцах» Каплански есть доказательство, принадлежащее Дэвиду Рису.
СОДЕРЖАНИЕ
- 1 Доказательства
- 1.1 Доказательство теоремы о главном идеале
- 1.2 Доказательство теоремы о высоте
- 2 ссылки
Доказательства
Доказательство теоремы о главном идеале
Пусть - нётерово кольцо, x - его элемент и минимальное простое число над x. Заменив A на локализацию, мы можем считать локальным с максимальным идеалом. Пусть будет строго меньше простой идеал, и пусть, что это - первичный идеал называется п ей символической власти из. Он образует нисходящую цепочку идеалов. Таким образом, в кольце существует нисходящая цепочка идеалов. Теперь радикал - это пересечение всех минимальных простых идеалов, содержащих ; среди них. Но есть единственный максимальный идеал и при этом. Поскольку содержит некоторую степень своего радикала, следует, что кольцо является артиновым и, следовательно, цепь стабилизируется, и поэтому существует некоторое n такое, что. Это подразумевает:
- ,
от того, является -примарным (если в, то с и. Поскольку минимален над, и поэтому предполагает в.) Теперь, Факторизуя из обоего сторон по урожайности. Тогда по лемме Накаямы (которая гласит, что конечно порожденный модуль M равен нулю, если для некоторого идеала I содержится в радикале), мы получаем ; т.е. и таким образом. Снова используя лемму Накаямы, и является артиновым кольцом; таким образом, высота равна нулю.
Доказательство теоремы о высоте
Теорема Крулля о высоте может быть доказана как следствие теоремы о главном идеале индукцией по числу элементов. Пусть - элементы в, минимальное простое число над и такой простой идеал, что строго между ними нет простого числа. Заменив локализацией, мы можем предположить, что это локальное кольцо; обратите внимание, что мы тогда имеем. По минимальности не может содержать все ; смены метки индексов, скажем,. Поскольку каждый содержащий простой идеал находится между и, и поэтому мы можем написать для каждого,
с и. Теперь рассмотрим кольцо и соответствующую ему цепь. Если - минимальное простое число над, то содержит и, таким образом ; то есть является минимальным простым числом над и, следовательно, по теореме Крулля о главном идеале, является минимальным простым числом (над нулем); является минимальным простым числом над. По индуктивному предположению, а значит.
Рекомендации