Минимальный простой идеал

редактировать

В математике, особенно в области алгебры, известной как коммутативная алгебра, некоторые простые идеалы, называемые минимальными простыми идеалами, играют важную роль в понимании колец и модулей. В понятии высоты и теоремы Крулля о главном идеале используются минимальные простые числа.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
3 Свойства
4 Равноразмерное кольцо
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Дополнительная литература

Определение

Первичный идеал P называется минимальным первичным идеалом над идеалом I, если он минимален среди всех простых идеалов, содержащих I. (Примечание: если I - простой идеал, то I - единственное минимальное простое число над ним.) Простой идеал называется минимальным простым идеалом, если он является минимальным простым идеалом над нулевым идеалом.

Минимальный простой идеал над идеал I в нётеровом кольце R - это в точности минимальное ассоциированное простое число (также называемое изолированным простым числом) для $R / I {\ displaystyle R / I}$ $R / I$ ; это следует, например, из первичного разложения кольца I.

Примеры

В коммутативном артиновом кольце каждый максимальный идеал является минимальный простой идеал.
В области целостности единственным минимальным простым идеалом является нулевой идеал.
В кольце Z из целых чисел минимальные простые идеалы над ненулевым главным идеалом (n) являются главными идеалами (p), где p - простой делитель числа n. Единственный минимальный простой идеал над нулевым идеалом - это сам нулевой идеал. Аналогичные утверждения справедливы для любой области главных идеалов.
. Если I является p- первичным идеалом (например, символическая степень числа p), то p является единственным минимальный простой идеал над I.
Идеалы $(x) {\ displaystyle (x)}$ $(x)$ и $(y) {\ displaystyle (y)}$ ${\ displaystyle (y)}$ - минимальные простые идеалы в $C [x, y] / (xy) {\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (xy)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (xy)}$ , поскольку они расширение простых идеалов морфизма $C [x, y] → C [x, y] / (xy) {\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] \ to \ mathbb {C} [x, y] / (xy)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] \ to \ mathbb {C} [x, y] / (xy)}$ , содержат нулевой идеал (который не является простым, поскольку $x ⋅ y = 0 ∈ (0) {\ displaystyle x \ cdot y = 0 \ in (0)}$ ${\ displaystyle x \ cdot y = 0 \ in (0)}$ , но ни $x {\ displaystyle x}$ $x$ , ни $y {\ displaystyle y}$ $y$ не содержатся в нулевом идеале) и не содержатся ни в каком другом простом идеале.
В $C [x, y, z] {\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y, z]}$ $\ mathbb {C} [x, y, z]$ минимальные простые числа над идеалом $((x 3 - y 3 - z 3) 4 (x 5 + y 5 + z 5) 3) {\ displaystyle ((x ^ {3} -y ^ {3} -z ^ {3}) ^ {4} (x ^ {5} + y ^ {5} + z ^ {5}) ^ {3})}$ ${\ displaystyle ((x ^ {3} -y ^ {3} -z ^ {3}) ^ {4} (x ^ {5} + y ^ {5} + z ^ {5}) ^ {3})}$ - идеалы $(x 3 - y 3 - z 3) {\ displaystyle (x ^ {3} -y ^ {3} -z ^ {3})}$ ${\ displaystyle (x ^ {3} -y ^ {3} -z ^ {3})}$ и $(x 5 + y 5 + z 5) {\ displaystyle (x ^ {5} + y ^ {5} + z ^ {5})}$ ${\ displaystyle (x ^ {5} + y ^ {5} + z ^ {5})}$ .
Пусть $A = C [x, y] / (x 3 y, xy 3) {\ displaystyle A = \ mathbb {C} [x, y] / (x ^ {3 } y, xy ^ {3})}$ ${\ displaystyle A = \ mathbb {C} [x, y] / (x ^ {3} y, xy ^ {3})}$ и $x ¯, y ¯ {\ displaystyle {\ overline {x}}, {\ overline {y}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {x}}, {\ overline {y}}}$ изображения x, y в A. Тогда $(x ¯) {\ displaystyle ({\ overline {x}})}$ $(\ overline {x})$ и $(y ¯) {\ displaystyle ({\ overline {y}})}$ ${ \ displ aystyle ({\ overline {y}})}$ - минимальные простые идеалы A (других нет). Пусть $D {\ displaystyle D}$ $D$ будет набором делителей нуля в A. Тогда $x ¯ + y ¯ {\ displaystyle {\ overline {x}} + {\ overline { y}}}$ ${\ overline {x}} + { \ overline {y}}$ находится в D (так как он убивает ненулевое значение $x ¯ 2 y ¯ - x ¯ y ¯ 2 {\ displaystyle {\ overline {x}} ^ {2} {\ overline { y}} - {\ overline {x}} {\ overline {y}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ overline {x}} ^ {2} {\ overline {y}} - {\ overline {x}} {\ overline {y}} ^ {2}}$ ), но ни один из них не находится в $(x ¯) {\ displaystyle ({\ overline {x} })}$ $(\ overline {x})$ ни $(y ¯) {\ displaystyle ({\ overline {y}})}$ ${ \ displ aystyle ({\ overline {y}})}$ ; поэтому $(x ¯) ∪ (y ¯) ⊊ D {\ displaystyle ({\ overline {x}}) \ cup ({\ overline {y}}) \ subsetneq D}$ ${\ displaystyle ({\ overline {x}}) \ cup ({\ overline {y}}) \ subsetneq D}$ .

Свойства

Предполагается, что все кольца коммутативны и унитальны.

Каждый собственный идеал I в кольце имеет по крайней мере один минимальный первичный идеал над ним. Доказательство этого факта использует лемму Цорна. Любой максимальный идеал, содержащий I, является простым, и такие идеалы существуют, поэтому множество простых идеалов, содержащих I, непусто. Пересечение убывающей цепочки простых идеалов простое. Следовательно, набор простых идеалов, содержащий I, имеет минимальный элемент, который является минимальным простым числом над I.
Эмми Нётер показала, что в нётеровом кольце существует только конечное число минимальных простых чисел. идеалы выше любого данного идеала. Факт остается верным, если "нётерианский" заменить условиями восходящей цепочки для радикальных идеалов.
радикал $I {\ displaystyle {\ sqrt {I}}}$ ${\ s qrt {I}}$ любого собственного идеала I совпадает с пересечением минимальных простых идеалов над I.
Множество делителей нуля данного кольца содержит объединение минимальных простых идеалов.
Теорема Крулля о главном идеале гласит, что в нётеровом кольце каждое минимальное простое число над главным идеалом имеет высоту не более единицы.
Каждый собственный идеал I нётерова кольца содержит произведение возможно повторение минимальных простых идеалов над ним (Доказательство: $I = ⋂ irpi {\ displaystyle {\ sqrt {I}} = \ bigcap _ {i} ^ {r} {\ mathfrak {p}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {I}} = \ bigcap _ {i} ^ {r} {\ mathfrak {p}} _ {i}}$ - это пересечение минимальных простых идеалов над I. Для некоторого n, $I n ⊂ I {\ displaystyle {\ sqrt {I}} ^ {n} \ subset I}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {I}} ^ {n} \ subset I}$ и поэтому я содержит $∏ 1 rpin {\ displaystyle \ prod _ {1} ^ {r} {\ mathfrak {p}} _ {i} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ prod _ {1} ^ {r} {\ mathfrak {p}} _ {i} ^ {n}}$ .)
Простой идеал $п {\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ в кольце R является единственным минимальным простым числом над идеалом I тогда и только тогда, когда $I = p {\ displaystyle {\ sqrt {I}} = {\ mathfrak {p }}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {I}} = {\ mathfrak {p}}}$ , и таким I является $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ -primary, если $p {\ displaystyle {\ mathfrak { p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ максимально. Это дает локальный критерий минимального простого числа: простой идеал $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ является минимальным простым числом над I тогда и только тогда, когда $IR p { \ Displaystyle IR _ {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle IR _ {\ mathfrak {p}}}$ - это $p R p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}}}$ -первоначальный идеал. Когда R - нётерово кольцо, $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ является минимальным простым числом над I тогда и только тогда, когда $R p / IR p {\ displaystyle R_ {\ mathfrak {p}} / IR _ {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}} / IR _ {\ mathfrak {p}} }$ является артиновым кольцом (т. е. $p R p {\ displaystyle {\ mathfrak {p }} R _ {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}}}$ - нильпотентный модуль I). Прообраз $IR p {\ displaystyle IR _ {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle IR _ {\ mathfrak {p}}}$ под $R → R p {\ displaystyle R \ to R _ {\ mathfrak {p}} }$ ${\ displaystyle R \ to R _ {\ mathfrak {p}}}$ является первичным идеалом $R {\ displaystyle R}$ $R$ , который называется $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ -первичным компонентом из I.

Равномерное кольцо

Для минимального простого идеала $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ в локальном кольце $A {\ displaystyle A}$ $A$ , как правило, не обязательно, чтобы $dim ⁡ A / p = dim ⁡ A {\ displaystyle \ dim A / {\ mathfrak {p}} = \ dim A}$ ${\ displaystyle \ dim A / {\ mathfrak {p}} = \ dim A}$ , измерение Крулля в $A {\ displaystyle A}$ $A$ .

A Noetherian local ring $A {\ displaystyle A}$ $A$ называется равноразмерным, если для каждого минимального простого идеала $p {\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ mathfrak {p}}$ , $dim ⁡ A / p = dim ⁡ A {\ displaystyle \ dim A / {\ mathfrak {p}} = \ dim A}$ ${\ displaystyle \ dim A / {\ mathfrak {p}} = \ dim A}$ . Например, локальная нетерова область целостности и локальное кольцо Коэна – Маколея равноразмерны.

См. Также равноразмерную схему и квази-несмешанное кольцо.

См. Также

Примечания

Ссылки

Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра, Тексты для выпускников по математике, 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
Капланский, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца, University of Chicago Press, MR 0345945

Дополнительная литература